M = DV, P = ^DV

Telles sont les équations qui ont lieu entre les cinq quantités P, g. M, D, Y , dont chacune doit être exprimée numériquement , en la rapportant à une unité de son espèce.

6i. Le gramme f ou l'unité de poids, est celui d'un centimètre cube d'eau distillée et prise à son maximum de densité, qui répond à environ 4* ^^ thermomètre centigrade. Ce poids varie avec le lieu qu'il occupe ; mais connue les poids des autres corps, qu'il sert à peser , varient exactement dans le même rapport , il s'ensuit que le poids d'un corps quelcon^ que, exprimé en grammes, est partout le même, ^ qu'on n'a pas besoin de dire en quel endroit il a M déterminé. D'après les expériences de M. HallstfOm , le poids du centimètre cube d'eau distillée, à la tem««

pérature zéro , est

oS'^*», 999891 8.

On prend commanemeiit poar unité de densité , celle de l'eau distillée à cette dernière température. Les densités d'un grand nombre de substances ont été déterminées par l'expérience, et exprimées en nom-< bres au moyen de cette unité. Ainsi , par exemple , la densité da mercure à cette même température est

15,5975, et elle augmente ou diminue de

pour chaque degré de diminution ou d'augmentation de la température. La densité de lair, prise aussi à la température de la glace fondante, sous la pression barométrique de 76 centimètres et à robser- Tatoire de Paris, a été trouvée égale à

et^ pour chaque variation d'un degré dans la température , elle varie , en sens contraire , de

oomme celle de tout autre gaz.

Le poids de la colonne de mercure qui exprime la pression banxnétrique variant avec la latitude et Vélévalion au-dessus de la sur&ce de la terre , la densité de l'air , soumise à une pression d'une hauteur donnée, varie en même temps. Voilà pourquoi il ne suffit pas d'assigner cette hauteur; il faut encore dire à quel lieu elle se rapporte, comme ici à l'Observatoire de Paris. Le rapport de la densité du mercure h

1 1 o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

ceUe de l'air, qui répond aux nombres precédens, est

Dès qu'on attribue un phénomène , tel que la chaleur, par exemple , h une substance matérielle , cette substance est soumise à la pesanteur; et l'expressioa impondérable ne doit s'entendre que d'une matière dont la densité est si faible, qu^elle échappe à tous nos moyens d'investigation ; en sorte que sa prince n'augmente ni le poids ni la masse mesurables du corps dont elle fait partie , en quelque quantité qu'elle sy trouve.

62. lies poids sont les forces qui nous sont le plus familières , et dont nous pouvons , au moyen de la balance, déterminer les rapports avec le plus d'exactitude et de facilité. C'est pourquoi il est naturel de les faire servir de terme de comparaison aux forces d'une autre nature. Ainsi, lorsque la force musculaire d'un animal, ou tout autre force, agit sur un corps par l'intermédiaire d'une corde attachée à sa surface, nous pouvons toujours concevoir que cette force soit équivalente à un certain poids déterminé, et nous pouvons même , sans changer sa direction 9 remplacer son action par celle de ce poids, .en le suspendant à l'extrémité de la co^de, après avoir fait passer celle-ci sur une poulie fixe convenable-* ment placée.

Le poids fournit la mesure la plus commode de la masse ; sans le secours de la pesanteur, il serait , ^en efibt , très difficile de déterminer le rapport des masses de deux corps. On verra par la suite qu'on pourrait.

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE . m

a la rigaeur^ le conclure du choc mutuel de ces corps; mais il est beaucoup plus simple de remplacer le rapport des masses par celui des poids, auquel il est égal en chaque lieu de la terre , en vertu de Tëquatiou P = gM. Toutefois , on doit avoir une idée préalable de l'égalité et du rapport des masses , indépendamment de la pesanteur, qui n'est qu'une propriété secondaire des corps, puisqu'elle deviendrait tout- à -fait insensible, sans que les masses eussent changé, en les transportant à une distance suffisamment grande de la terre. Nous reviendrons sur ce point dans un autre endroit de cet ouvrage.

65. Puisque tous les points d'un corps pesant sont sollicités par des forces parallèles, il s'ensuit que si on lui £dt prendre successivement diverses positions par rapport k la direction de ces forces, leur résultante passera constamment par un certain point de œ corps. Ce point, que nous avons appelé, en général, centre des forces parallèles (n® 55) , prend ici le nom particulier de centre de gravité. Sa propriété caractéristique dans les corps solides, qui ne sont soumis qu^ la seule action de la pesanteur , consiste en ce que, s'il est supposé fixe , le corps auquel il appartient reste en équilibre • dans toutes les positions possibles autour de ce point , puisque , dans toutes ces positions, la résultante des forces appliquées à tous les points du corps vient passer par le point. fixe.

On conçoit aussi que quand un corps solide pesant est retenu par un autre point fixe , il est nécessaire et il suflit , pour l'équilibre , que la droite

H3 TRAITÉ DE MÉCAHIQITE.

qni joiut ce point et le centre de gravité soit verticale; ce centre pouvant d'ailleurs se trouver audessus ou au-dessous du point fixe. Eo eilet, le poids du corps ctant une force verticale appliquée à son centre de gravi'é, sa direction coïncidera, dans cette hypothèse, avec la droite qui joint ce centre et le point fixe, ou avec son prolongement; par conséquent , cette force sera détruite par la résistance dn point Rxe, comme si elle y était immédiatement appliquée.

Par la mènie raison , si l'on suspend un corps solide pesant à un point fixe, par le moyen d'an til dont l'extrémité inférieure est attachée à un point de sa surface, la direction de ce fil sera verticale dans l'état d'équilibre, et son prolongement ira passer par le centre de gravité du corps, II en sera de même si l'on suspend , une ou plusieurs autres fois, ce même corps au point fixe, en attachant l'exlrémité inférieure du fil à d'autres points de sa surface. Les prolongemeos du fil, tracés successivement dans l'intérieur du corps , s'y couperont à son centre de gravité; ce qui fournit un moyen pratique de déterminer la position de ce centre dans un corps de forme quelconque, homogène ou hétérogène.

Dans toutes les questions d'équilibre relatives à un corps solide , on pourra faire abstraction de la pesanteur de ses diverses parties , pourvu qu'on ajoute aux autres forces données qui agissent sur ce corps, une force égale à son poids, et appliquée verticalement à son centre de gravité. Ainsi y par exemple, dans le cas de l'équilibre du levier, il fan-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE, ii3

dra amiprendre au nombre des forces danqëes dont la somme des momens doit être nuQû^«par raj^rt an point d'appui (n** fy])y le poids djir.levier agissant à son centre de gravité suiyantja, direction de la pesanteur. * ^

64* Lorsque l'on connaît les cisntres dé gravité G et G^ des deux parties d'un corps'^let leu^ poids p et p% on en déduit immédiatement' le* centre de gravité K de ce corps ; car ce centre est le point d'application sur la droite GG', de la résultante des forces parallèles p et p^ j qui agissent dans. le; mémo sens à» ses extrémité G et G'; et^.gomrl en 'déterminer la* position, on a conséquemment , •>:! i • f.. ; f :!) * I

GK : GG' :: /i' : p + p\

De même, si l'on connaît les centres de gravité K et G d'nn corps et de l'une de ses parties, et que les poids dn corps et de cette partie soient P et /? , on en conclura le centre de gravité G' de l'autre partie \ car ce point sera situé au-delà du point K sur le prolongement de la droite GK , et sa distance au point G sera déterminée par la proportion

GG' : GK :: P : P — p.

Si un corps est divisé en un nombre quelconque de parties dont les poids et les centres de gravité soient connus, on en pourra déduire son centre de gravité par une suite de proportions; mais il conviendra mieux de déterminer ses trois coordonnées au moyen du théorème relatif aux momens des forces parallèles (n* 54).

Ii4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Soiefity -po^^ cela , p, p'f ff', etc. , les poids des différentes parties du corps > et P son poids total , de sorte qu'on ait

P = ;i + p' + /," + etc.

Soient aussi x , ^^ z ^ les coordonnées du centre de grayité de la partie dont p est le poids ; a:', y, z'^ c<ules du centre de gravité de la partie dont le poids est p' ; etc. Toutes ces quantités seront données par hj« potfaèse ; et si Ton appelle x, , ^^ ^ jS| ^ les coordoniiéés du centre de gravité du corps entier , rapportées itkt mêmes axes que les précédentes^ on aurâ^ d'après le théorème cité,

Px, tszzpx+p'x' + p^'x'' + etc. ,

iy« =W +Py +pY + etc. , Pz, =ipz +p'zf 4-p"^' +etc. ;

ce qui fait connaître les valeurs de «r,,^,, z,.

65. On peut, dans ces équations, remplacer les poids par les masses auxquelles ils sont proportion-* uels. £n désignant donc par m, mf, m% etc., les masses des différentes parties du corps dont les poids sont représentés par p, />', p', etc. , et représentant par M la masse totale , de sorte qu'on ait

M== m + m' + m'' + tetc. ,

il en résultera

Mxt = mx -f- n/x' 4- m^x^ -+- etc. -,

Mj, =mr +my + my +etc., ) (i)

Mz^ = mz + m'r' + mV -H etci

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. irS

ce qui montre que le centre de gravité est indépendant de rintensité de la pesanteur , et qu'il sera tou-« jours le même point du corps , à différentes latitudes et à différentes hauteurs au*^essus de la surface de la terre. En considérant que ce point ne suppose pas Faction de la gra vite, et qu'il ne dépend que des masses et de lemr disposition respective , Euler et d'autres auteurs Tappellent centre et inertie; mais la dénomination de centre de gravité a plus généralenient préyaln.

Si la masse M a été divisée en un nombre infini départies infiniment petites m, m% wl'j etc.^ on pourra prendre tel point qu'on voudra de chacune d'elles pour son centre de gravité , puisque les coordonnées , suivant chaque axe de tous les points d'un même élé-* ment , ne différeront entre elles que d'un infiniment petit. Les seconds membres des équations (i)se composeront alors d'une infinité de termes infiniment petits 9 dont les sommes seront des intégrales définies, d'après le théorème du n^ i5 étendu aux inté?grales multiples. Par conséquent , on pourra toujours^ par les règles du calcul intégral, déterminer exactement ou par approximation le centre de gravité d'un corps quelconque, sans connaître celui d'aucune de ses parties.

Dans un corps dont toutes les parties sont homo« gènes, leurs masses sont entre elles comme les volumes ; on peut donc alors substituer les volumes aux masses , dans les équations ( i ) ; et si Ton représente par V le volume entier, et par </, v\ p^, etc. , ses parties cori^espondantes à m , m\ rri'j etc. , on aura

ii6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

V=p + i/ + i/'4-etc., Vjc, = pj:+ i/a:'+ i/'jr"+ etc. ,

Yz, =çz + (/z' + i/V + etc.

Le poiût qu'on détermine par ces équations est le centre des forces parallèles appliquées à tous les points d'un corps, et proportionnelles aux élémens de son volume; ce point s'appelle le centre de gravité du volume, quoiqu'un volume n'ait ni masse ni pesanteur. On appelle aussi centre de grai^ité d'une surBice ou d'une ligne , le centre des forces parallèles appliquées à tous leurs points, et proportionnelles à leurs élémens. On déterminera ses coordonnées en remplaçant, dans les équations précédentes, les volumes V, p, i^', i^', etc. , soit par les aires de la surface et de ses parties, soit par les longueurs de la ligne et de ses parties.

66. Les masses M, m, m\ m*', etc., et les distances mutuelles de leurs centres de gravité, sont liées entre elles par une équation facile à déduire des équations (i).

Pour cela, plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité de M ; ces équations deviendront

mx + m'x' + m'V + etc. = o , mjr 4- my -f- m'y + etc. = o, mz + nïz' -f- mV + etc. = o.

En faisant le carré de la première, on en conclut

m*x* + m'*x" H- m" V + etc. = — 2mm' xx' — 2mm" xx" ^-^ 2m'ni'x'x" —, etc.

J'ajoate, aux deux nombres de cette équation, la quantité

m (m' + m" + etc.) x* 4. m' (m + m" + etc) x'^ + m^'lm + m' -f- etc.) or"* + etc. ;

il en résulte

M (nKC* + m'd/^ + m'x"* + etc.) = minT (x — a:')' + min'^ (a: — j/7 + '^''»" (^' — ^'0" + etc.

La seconde et la troisième équation (i) donneront de même

M (mj* H- my • 4- m'y + etc.) = wm»' (^ —/Y + mm' {jr —ff + wlm' {f-^ff + etc. ,

M (mz* + m'z" H- in"z"»4- etc.) = mm' (z— z')* -f- mni' (z — z")' + mW (z'— z")* + etc.

Or, si nous ajoutons ces trois dernières équations, et que nous fassions

a:* -\-y* +z* =/*, a/* -f-y H- z'» = r'% ar'»-f-y* + z'» = i'*, etc.,

etc. ,

nous aurons

M {jni* + mV 4- mV* + etc.) = mm'f»* + mni'^'* + nini'f* + «te. ,

i «8 T&AITÉ JDB HÉCANIQUB.

pour réquatioa qu'il s'agissait d'obtenir, et daas bquelle p, f\ p'^ etc. , sont les distances mutudiles des centres de gravité de m, m!, rjf^ etc., et r, r, i^', etc., les distances de ces points au centre de gravité de M.

67. On déduit aussi des équations (i) une propriété curieuse de l'équilibre d'un point matérid entièrement libre. Voici en quoi elle consiste.

Soit 0 (fîgf aS) le pcHnt en équilibre; représentons en grandeurs et en directions, par les droites OA, OA', 0A% etc., les forcer qui le sollicitent; si leurs extrémités A, A^ A'', etc., sont les centres de

Sr^yité de masses égales, le point 0 sera le centre e gravité de ce sjstèmo entier* En effet, en appliquant les équations (i) à ces masses, et supposant q[ue n soit leur nombre, on aura

jwCi «s ,sc + ar' + a:" + etc. ,

'îTi =J +y +/' H-etc. , wz, = z + z' + 2" + etc.

D'un autre côté, si Ton désigne par et, ^, 7, les angles que fait la force OA avec trois axes rectangulaires menés par le point 0 ; par a', ^', y'^ ce que ces angles deviennent relativement à la force OA'; para", G\ >", ce qu'ils deviennent relativement à la force OA"; etc., les équations d'équilibre de ces forces seront

OA cos (t + OA' cos aJ -f- OA^ cos a' + etc. = 0, OA cos ^ + OA' cos g' -h OA^ cos &' + elc.;=o, OA cos y + OA' cos ^ + OA^ cos y' + etc. = o.

Or; en plaçant l'origine des coordonnées au point O^

STATIQUE, PREMftRE PARTIE. n^

X :^0A ços a , ^ = OA cos Ç , z = OA ços y , x'=OA'cosa', /=?OA'cosÇ', /=«OA'ços^',

x'=r=0A'cp6«', /=?*0A'X»S1?', ;^=S0A'ÇP8/,

ponr les coordoao^ des. points A , A', A^, etc. En TSits d«s équations d'ëàaiUbre , on aura donc

3p -i- x* -^ x" •+■ etc. = o ,

y H-/ +y' -H etc.. == p, z +z' +z" -j-etc. = oj

d'où Foa condnt

pour les coordonnées du centre de gravité des masses égales; par conséquent^ ce centre coïncidera avec le point O; ce qu'il s'agissait de démontrer.

68. 11 y a beaucoup de cas particuliers où le centre de gravité est immédiatement connu. Ainsi, le centre de gravite d'une sphère ou d'un ellipsoïde est évidenmaent au centre de figure; celui d'un parallélépipède, à l'intersection de ses quatre diagonales; celui d'un cylindre à bases parallèles^ au milieu de son axe. Le centre de gravité d'un cercle ou d'une ellipse est aussi au centre de figure , et celui d'un parallélogramme, à rintersection des deux diagonales.Le centre de gravité d'une ligne droite est le milieu de cette droite; d'où l'on conclut sans difficulté le centre de gravité du contour d'un polygone quelconque, soit par une suite de proportions (n* 64) , soit par les

loo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

équations des momens des forces parallèles. On voit de même que quand on aura trOuyé les centres de gi^vite d'un triangle et d'une pyramide triangulaire^ on eîi dëdiufa, par l'un ou l'autre de ces deux moyens, les centres de gravité d'un polygone et d'un polyèdre donnés y que l'on peut toujours décomposer, soit en triangles*^ *soit^en pyramides triaugulijE^ires.

Mais, ei^ g^^éi^., ^1^ ^fgrmination deâ^oeiitres de gravité exige l'emploi du calcul, intégral; et dans le chapitre suivant nôuà^ àlloiiâ donnefr tous les détails qu'on peut désirer sur ce probiènore*. • '^

STATIQUE, PREBnÈRE PARTIE. lai

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