CHAPITRE V
DETEBUSVATION DES CENTRES DE GBAVITE.
§ i*'. Centres de gravité des lignes courbes.
69. Soit s Tare de la courbe donnée, aboutissant à un point quelconque M , et compté à partir d un point fixe que j'appellerai C. Soient aussi x^jr, z, les trois coordonùées rectangulaires de M. On considérera cette courbe comme un polygone d'une infinité de côtés; ds sera le côté ou l'élément de la courbe qui répond au point M ; et quelque part que soit le centre de gravité de cet élément, on prendra oc^jr, z, pour ses trois coordonnées y qui ne sauraient , effectivement, différer de x^jr, z, que de quantités infiniment petites.
Appelons / la longueur de la partie déterminée de la courbe dont il s'agit de déterminer le centre de gravité ; et représentons par s^ et ^, les valeurs données de s qui répondent aux deux extrémités de /• Soient ^, , T", , z^, les coordonnées du centre de gravité de cet arc l, rapportées aux axes des a:, jr, z. D'après le théorème du n** i3, la somme des valeurs de chacun des produits xds^ ydsy zds, dans toute rétendue de /, sera une intégrale définie prise depuis .9 = ^0 jusqu'à ^:=j,, en regardant x, /•, z,
199 WAÏl* PE MÉeANIQOB.
comme des fonctions de adonnées par la nature de k courbe que Ton considère. Nous aurons donc (n^ 65)
Lc,=J^'' xds, ljr,zssij^*^jrds, h,—J^''zds, (i)
pour les trois téquations qui serviront à déterminer
Supposons, par exemple, que la ligne donnée soit une droite; ^^ ^^ I» partiç / abputi$$e w point C, de sorte qu'on ait s^z=so et s^ = L Désignons par a, Ç,yp Ips trois ;^gle$ qw fait cette partiç l ^vec de^ J9;^p$ nue»iÇ3 par le ppint C fuiy^Al; la4ir^<|tîon des Vp/f ^f positives ; soient au$si n, hp ç, les trois jçopr-
dopi^ées au point C ; ppur le ppiioA quelco^q^ç M ^ops
Je substitue ces valeurs dans les (équations (i>^; et en effectuant les iQtéj°^ratioo3 et divisant ensuit^ par /, il vient
x,=a+ï/cosflt, j^,=6-(-^/cos^, z,=c+î/cos^;
ce qui piontre, conuoe cela devait être, que le ceatrie dç cavité de la droite l est situé à son milieu.
7Q. l4pFsqu'il s'agira d une courbe plane^ et qia'oP INT-^dra ^n plan pour celui des x et j*, il suffiri^ i^m deu< premières équations (i) pour déterminer la pprsi^tiou4e son centre de gravité dans ce plaa. Si, 4^ f\w, la portion / de la courbe est symétrique 4? part .et 4'autw du point C, on aura s^ti^-^^l 0L s^=^7li le centre de gravité sera situé sur 1^ UQf^
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. iiS
BMte M point C; et cm preoanl cette droite pMir Taxt dmx, il suffira de détecminer la valeiir de Xg^ qai 9en donnée par Téquation
L'arc de cercle est compris dans ce cas particulier, en prenant pour axe des x^ le diamètre qui passe par son milieu. Si l'on place en méipe temps l'origine des coordonnées au centre du cercle , et qu'on appelle a SQn rayon ^ on aura
jrssacm-,
pour raiwçisse du point quelconque M. On en con*' dut
/!r, = 2iï*sîn — :
el en appelant ^ la 430rde de l'arc l, on aura
ce qui montre que la distance «r. du centre de gra-* rite d'un arc de cercle au centre du c^cle , est qua<trième proportionnelle au rayon, à la <corde et à Tarc^
ju Jb'iéqyatiçu de la courbe plane fera connaltiv Fun^des deux variables^ et^ en fondion de l'autrew Si l'on suppose la valeur 'de jr donnée en fonction de ^ , jQu prendra
ia4 TRAITÉ DE MÉGAUIQUR '
et en appelant. «t et des valeurs de œ qni répondent aux deu^. extrémités de Farc ly on aura, au lieu des équations précédentes y
Si la courbe donnée est une section conique, on obtiendra sous forme finie> par les règles ordinaires, les valeurs des intégrales contenues dans les deux dernières équations (2). Dans le cas dé la parabole, on obtiendra de même la valeur de l'intégrale que ren^ ferme la première de ces équations ; en sorte que les deux coordonnées du centre de gravité d'un arc de parabole pourront toujours s'obtenir en fonctions des abscisses et et f de ses extrémités. D'après un théorème de«Landen, l'arc d'hyperbole s'exprime au moyen de deux arcs d'ellipse et d'une partie algébrique; quant à l'arc d^ellipse y on le regarde comme une fonction irréductible à d'autres fonctions plus simples; et M. Legendre a calculé des tables fort étendues de dette fonction , qui en font connaître les valeurs numériques avec une grande approximation. Par conséquent, lorsque les valeurs numériques de (t et C et celles des axes de l'hyperbole ou de l'ellipse seront données, il sera facile de calculer la valeur de /, et par suite les coordonnées x^ et y^ du centre de gravité d'un arc appartenant à l'une ou l'autre de ces deux courbes.
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. mS
71;. Je prendrai lare de cjchïde pour un autre exeni}Je de l'application des équations (2). Dans cette courbe, la longueur, l'aire, la surface et le Yolume engendrés par sa révolution, et les coordonnées de leurs centres de gravité, se déterminent exactement. La constiniction de la tangente en an point quelconque de cette courbe est aussi très simple; sa développée est une autre cycloïde; et, de plus , par une série de développemens successifs, une courbe quelconque approche de plus en plus de se confondre avec la cycloïde, et s'y confondrait rigoureusement à l'infini (^). C'est encore la cycloïde que Ton trouve, comme ou le verra par la suite, lorsqu'on cherche la courbe qui jouit des propriétés les plus remarquables, par rapport au mouvement curviligne des corps pesans. Cette réunion singulière d'un grand nombre de propriétés curieuses et de nature différente sur une même courbe, en rend la considération très utile et très fréquente en Géométrie et dans la Mécanique. Voici comment on obtient son équation.
La cycloïde est une courbe plane ACB ( fig. a^)y engendrée par un point déterminé M de la circonférence d'un cercle pendant qu'il roule sans glisser sur une droite ÂB. Si le point générateur se trouve d'abord au point A, et qu'il arrive ensuite au point B de cette droite , l'intervalle AB sera égal à la circonférence du cercle donné; on voit aussi que son
(*) Journal de V École Polytechnique, i8* cahier , page 43 1.
126 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.
diamètre sera égal & la perpendiculaire CD, abaissée du sommet C de la cycloîde sur AB^ et qui divise la courbe en deux parties symétriques. En â{H pelant c le rayon du cercle donné , on aura donc
AB = !i7rc, CD = 2C.
Dans une position quelconque du cercle, soient HG son diamètre perpendiculaire à la base AB , et H son point de contact avec cette droite. Du point M f abaissons les perpendiculaires MF et MK sur AB et GH, et faisons
AP = p, PM = ç;
nous aurons
AH c= AP + MK ss p ^\/2cq^q^, arcMH = c.arcTsin := J-££LlI-£j,
Mais le cercle générateur tournant sans glisser sur la droite AB, il s ensuit qu'on a constamment
AH = arc MH ; l'équation demandée de la cycloîde sera donc
p -+• x/acj — î* =^ c.arc Tsinss iLîf2 — ÎTS .
pei q étant les coordonnées courantes.
En la diiférentiant ^ on a
y ncq — q*
pour son équation difiérentielle. On en conclut que
les deux cordes MG et MH du cerde gënéraUror sMt la tangente et la normale à la çydoïde qui répondent au point M. En déterminant par la formule connue son rayon de courbure au même point ^ on le trouve égal au double de MH; d*où il résulte qu'en prolon^ géant IVIH d'une quantité HN égale à MH, le point N sera le centre de courbure. En faisant de même la droite CDE double de CD , le point E sera le centre de courbure qui répond au sommet C; et de là on conclut aisément que la développée ANE de la demicjcloide AMC est la même courbe, renversée de manière que son sommet C soit transporté en A et son origine A en £• Il s'ensuit que la longueur de ANE ou de AMC est égale i la droite CDE , et que, par conséquent , la longueur totale de la cycloîde est égalé à quatre fois le diamètre de son cercle générateur.
75. Dans les usages que nous ferons de cette équa<^ tion, il sera plus commode de transporter l'origine des coordonnées au sommet C ( fig. a5 )• Je prendrai pour axes des x et des y les droites Cr et C^y perpendiculaires et parallèles à la base AB. En abaissant du point quelconque M une perpendiculaire MP sur Cr, on aura donc
CP = x, MP=j-;
et si Ton compare ces coordonnées aux précédentes , et que Ion appelle a le diamètre CD du cercle générateur, on voit que
p = \7ra —7, 9 c= a — j:; donc, en substituant ces valeur^ dans l'éqtiation dif-^
férentielle de la cycloïde, et* mettant aussi a au lieu de 2C p elle deviendra
Il en résulte
En prenant l'intégrale de manière qu'elle s'évanouisse quand ^ = o ^ on a
pour la longueur de l'arc CM , dont l'origine est au sommet C* Au point A , on a xz=a; ce qui donne , comme précédemment , 2a pour la longueur de la demi*cycloïde CMA. On peut remarquer que ^=j^ax est une équation de la cycloïde semblable à celle de la parabole, dont elle ne diffère qu'en ce que l'ordonnée jr s'y trouve remplacée par l'arc s»
En appliquant les deux dernières équations (3) au centre de gravite de l'arc CM, nous aurons
SX
,=J]x:\/^dx, sjr,=zjy \/lda:.
où l'on prendra les intégrales de manière qu'elles s'évanouissent avec x. En y mettant pour s sa valeur, il en résulte
aoc*, \/x ^f\fxdx^ 27", yjx == / "^V^.
On aura donc
d'où l'on conclut d'abord que le centre de gravité
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. «2g
d'an arc M'CM symétrique de part et d autre du som* met C^ qui doit appartenir à la droite CD, se trouve au tiers de CP, à partir du point C.
Eo intégrant par partie, on a
f^77^ = 2jr y/x — nfy/xdjr.
Si l'on substitue pour djr sa valeur donnée par l'équation (a) , on aura donc
jr^ \/œ =z y sfx —fy/a — xdx , et, par conséquent,
ce qui^ joint à la valeur de x,, détermine complètement le centre de gravité de lare CM. Dans le cas delà demi-cycloïde , on a x = rt et ^= j- 7ra ; d'où il r&ulte
74* Quand une courbe plane tourne autour d'une droite comprise dans son plan et que je prendrai pour Taxe des abscisses ^ elle engendre une surface de révolution dont rétendue peut se déduire de la longueur de cette courbe et de Tordonnée de son centre de gravité.
Pour le feiire voir, soient j: et ^ l'abscisse et l'ordonnée du point quelconcpe M de cette courbe, et «lare CIVI aboutissant à ce point et compté d'un point iixe Ç; l'élément ds engendrera la surface d'un cône
i3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
tronqué; et son milieu décrira une circonférence égale à o,7r{j'\^\ djr)y ou simplement à nirjr^ à cause que dj est un infiniment petit* D'après la règle connue , on aura donc 27rjrds pour cet élément de surface. DonC; si l'on appelle ^o ^^ s^ les valeurs de s qui répondent aux deux extrémités de la courbe génératrice, et S la surface engendrée, on aura, d'après le théorème du n® i3,
S = a^r A ' jrds.
On remarquera que cette expression suppose que la courbe génératrice n'est pas coupée par Taxe des X , sans quoi ses parties situées des deux côtés de cet axe décriraient deux surfaces difi*érentes, dont S n'exprimerait plus que la différence. Avec cette restriction, elle subsistera encore lorsque la génératrice sera une courbe fermée; et, pour l'appliquer à ce cas, il suffira de prendre pour s^ l'arc ^o augmenté de la circonférence entière de cette courbe.
Cela posé , si Ton compare cette formule à la troisième équation (2) , on en conclut
S = oirljr, ;
ce qui montre que la surface engendrée S est égale à la longueur / de la courbe génératrice , multipliée par la circonférence Tirjr^ que décrit son centre de gravité.
Ce théorème servira à déterminçj la valeur de S toutes les fois que le centre de gravité de la génératrice sera connu sans aucun calcul , et , pour ainsi 4ire, à l'inspection de cette courbe; il ne servirait
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i3i
plus à rien s'il fallait calculer Fordonnée j-^ ^ puisque ce calcul serait le même que celui de S. En supposant^ par exemple, que la courbe génératrice soit un cercle; désignant par a son rayon , par c la distance de son centre à l'axe de rotation y et supposant qu'on n'ait pas cK^a^ on aura
et, par conséquent,
S = /\nt^ac.
Quand le cercle touchera l'axe de rotation , on aura c=ia, et la surface engendrée sera équivalente au carré dont le côté est égal à la circonférence 27ra du cercle générateur.
§ n. Centres de granité des surfaces.
j5. Soient toujours x^j^z^ les coordonnées d un point quelconque M , et x, , j*, , z, , celles du centre de gravité qu'il s'agit de déterminer. Je considère z comme une fonction donnée de x et ^ ; je £ads
dz dz
di = P' ^ = î»
et j'appelle on l'élément de la surface donnée qui ré pond au point M ; on aura (n"* 2 1 )
Où = dxdj \/i + p" + 9*.
Quel que soit le point de (» où se trouve le centre de gravité de cet élément, ses coordonnées différeront infiniment peu de x, 7*, z; on pourra donc
i32 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
prendre ù>x ^ cojr^ ùùz, pour les momens de cû par rapport aux trois plans des coordonnées^ et il en résultera ( n*** 1 5 et 65 )
^=//û>, Ax.=/yxa>, ^j,—Jfx(a, Xz.^ffzcsi
A étant l'aire de la portion de surface dont on demande le centre de gravité , et les intégrales doubles s'étendant a tous les élémens de A.
Dans le cas d'une surface plane , et en prenant son plan pour celui des x et jr, les quantités p et q seront nulles^ et l'on aura seulement à considérer les trois équations
X=ffdxdj, Xx.—ffxdxdjTy ^Ji=ffjrdxdjr.
Supposons que A soit alors terminée par la courbe ABC (fig. 26); à chaque abscisse x ou OP répondront deux ordonnées PM et PN, que je représenterai par jr et j^, et qui seront données en fonctions de X par l'équation de cette courbe. Soient aussi 06 et € les abscisses OD et OE des points A et B où les tangentes sont parallèles aux ordonnées. Les intégrales devront être prises^ d'abord depuis j = PN jusqu'à jr = PM , et ensuite depuis xz=za et x;=:C } et il en résultera
^^. = /^ (jr — f)xdx,\ (i)
^J.=if'{r-7'')dx.
Au lieu d'être circonscrite par une courbe fermée
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i33
ABC, sî Taire A est comprise entre deux courbes différentes et entre deux droites parallèles à Taxe Ojdes ordonnées, on tirera de l'équation de la courbe supérieure la valeur de j, et de l'équation de la courbe inférieure celle de y, et Ton prendra pour a et ^ les dîstmces de ces deux parallèles au point 0. Dans le cas le plus ordinaire, la courbe inférieure sera remplacée par Taxe Ox des abscisses ; on aura donc y=o, et simplement
pour déterminer Taire et le centre de gravité d'une portion de surface plane comprise entre une courbe donnée, Taxe des abscisses et deux ordonnées de cette courbe.
Observons aussi qu'on parvient directement aux équations (i) de la manière suivante.
Je partage Taire ABC en élémens tels que MNN'M', infiniment minces et parallèles à Taxe Oy. J'appelle u la longueur de la droite MN; par ses deux extrémités M et N, si Ton mène des parallèles à Taxe Ox, on ajoutera à Télément MNN'M', ou Ton en retranchera, des triangles infiniment petits du second ordre, qui n'en altéreroijt pas la grandeur; par conséquent, cet élément sera égal à udx. Si Ton désigne par v la distance du milieu de MN à Taxe Ox, on pourra prendre x et v pour les deux coordonnées du centre de gravité de cet élément; car il est évident qu elles n'en pourront différer que de quantités infiniment petites. D'après les autres
i34 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Dotations précédentes, on aura donc
A=/ udXf Xx^=zj xudxj Xy{=Ll i^udx. (3)
D ailleurs, jr et jr' étant toujours les ordonnées PM et PN qui répondent à une même abscisse quelconque , on a aussi
ce qui fait coïncider ces dernières formules avec les équations (i).
76. Pour premier exemple, je suppose qu'on demande le centre de gravité du triangle ABC (fig. 37).
Je place l'origine des coordonnées au somimet C ^ et je prends l'axe des x perpendiculaire à la base ÂB ; je représente cette base par 6, et la hauteur CD par h. Par le point quelconque P appartenant à CD, je mène la perpendiculaire MN à cette droite ; CP et MN seront les variables x élu, et l'on aura la proportion
de laquelle on tire
bx
On aura, en outre, a=so et C=sA. Au moyen de ces valeurs, les deux premières équations (3) donneront
X =: ^bk, Xx, = ^bh^',
d'ojii il résulte
On n'aura pas besoin de calculer la valeur de jr ;;
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i35
ear si E est le milieu de ÂB, et qu'on tire la droite CE^ elle coupera en deux parties égales tous les elémens du triangle parallèles à AB, et contiendra , conséqaemoient, son centre de gravité. Si donc on prend sur CD une partie
CF = I CD = x, ,
et qu'on ëlève la droite FG perpendiculaire à CD, le point G où elle rencontrera CE sera le centre de gravité du triangle. La droite FG coupant CD et CE en parties proportionnelles, on aura aussi
