CG = |CE

œ qui montre que le centre de gravité d'un triangle se trouve sur la droite qui joint son sommet au mifiea de sa base , aux deux tiers de cette droite à partir du sommet, ou au tiers à partir de la base.

77* On démontre aussi ce théorème sans le secours du calcul intégral.

En effet, par la décomposition du triangle ABC (fig. 28) en élémens parallèles au côté AB, on prouvera que son centre de gravité se trouve sur la droite CD, qui joint le sommet C au milieu D de ce côté. En le décomposant en élémens parallèles au côté CA, on prouvera de même que ce centre de gravité est aussi sur la droite BE qui va du sommet B au milieu E de CA ; ce point sera donc situé à l'intersection G des deux droites CD et BE. Or , si l'on tire la droite DE, elle sera parallèle à CB, puisqu'elle coupe CA et AB en parties proportionnelles; il en résultera donc

i36 TRAITÉ DE MÉCANIQUE. '

DE

CB

AD

AB

DG

CG

DE

CB

en sorte que DG sera la moitié de CG, et, conséquemment, le tiers de CD; ce qu'il s'agissait de démontrer.

On en peut conclure que les trois droites qui yont des sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés, doivent se couper en un même point y ce 4fai est conforme à un théorème coni^u*

Si les sommets A, B, C, du triangle sont les centres de gravité de trois masses égales, le centre de gravité de ces trois corps coïncidera avec celui du triangle; car le centre de gravité des deux masses qui répondent à A et B se trouvera d'abord au milieu D de la droite AB; et ensuite le centre de gravité de ces deux masses et de la troisième sera le point G de la droite CD, tel que GD est moitié de CG ou le tiers de CD.

Il suit de là et du théorème du n"* 67 , que si Ton applique au centre de gravité G d'un triangle , des forces représentées en grandeur et en direction par les droites GA, GB , GC, qui vont de ce point aux trois sommets, ces trois forces seront en équilibre. • 78. Connaissant le centre de gravité d'un triangle, on en déduit successivement ceux d'un secteur et d'un segment circulaires.

Soient CADB (fig. 29) le secteur, et C le centre du cercle. Si Ton considère l'arc ADB comme une portion de polygone d'une infinité de côtés égaux, on pourra décomposer le secteur en élémens triangulaires ;iussi égaux ^ qui auront tous ces côtés pour bases et

leur sommet commun au point C. On appliquera ensuite la force qui agit sur chacun de ces élémens à son centre de gravité ; et comme la distance au point C de chaque centre de' gravité est les deux tiers du rayon du cercle , il en résultera un système de forces parallèles et égales , appliquées à tous les élémens de l'arc kTïlB^, décrit du point C comme centre, et d'un rayon égal à | CD. Par conséquent, le centre de gravité du secteur sera le centre de ces forces parallèles, c'est-à-dire, le centre de gravité de cet arc AD'B'. Or, en daignant par a, /, c, le rayon CD, Tare ÂDB et la corde AB, les quantités analogues, relativement à ATyB', seront f^, f /, f c; si donc G est le centre de gravité demandé, et qu'on fasse CG=:ar, on aura, d'après le théorème du n* 70,

2ac

Maintenant, soient S, S', S,, les surfaces du secteur CADB, du triangle CAB et du segment ADBE; appelons G, G', G,, leurs centres de gravité, qui seront évidemment sur le rayon CD aboutissant au milieu D de lare ADB j si l'on désigne par x, x\ x, , les distances de ces trois points au centre C, et qu'on y ap<^ plique des forces parallèles et proportionnelles à S, S', S,, la première sera la résultante des deux autres; en considérant les momens de ces forces , on aura donc

On a, d'ailleurs.

Ea appelant h la hauteur CE du triangle dont la base est AB bu Cf on a aussi

Donc, à cause de

réquation des momens deviendra

et eUe fera connaître la distance x^ du centre de gravité du segment ÂDBE au centre du cercle. En observant que

c=2âsin — , ^ = acos — ,

2a ' aa '

on en déduira

Aa^ sin' —

S^Z— asin-J

Lorsque Tare l est la demi-<:irconférence, on a Z=^a; le secteur et le segment coïncident^ ainsi que les distances ;r et x, , dont la valeur commune est

79. Si l'on prend successivement les trois sections coniques pour la courbe à laquelle répondent les formules (2), les intégrations s'effectueront par les règles connues; et l'on pourra obtenir, sous forme finie, les valeurs des deux coordonnées ar. et^, du centre de

gravilé. J'indique cet exemple comme exercice de calcul 9 et je passe immédiatement à la détermination du centre de gravité de l'aire de la cycloïde.

Soit CPM(fîg. 35) le segment dont on veut trouver le centre de gravité ; en désignant par x eljr l'abscisse CP et l'ordonnée PM, comme dans lequatiou (a) du n** yS^ il faudra que les intégrales contenues dans les formules {2) s'évanouissent quand x = o ; et en intégrant par partie ^ ces formules deviendront

X=zxjr — fxdjy \ 7<x,z=.\a^j—\fx^dj, V (4)

les nouveUes intégrales s'évanouissant aussi en même temps que x* En vertu de l'équation (a) ^ on a

fxdj:=zf\/ax — x^dx;

mais si N est le point où l'ordonnée PM rencontre le cercle décrit sur CD comme diamètre, cette dernière intégrale exprime le demi-segment circulaire CNP ; en représentant , pour abréger, par y Taire de ce demisegment , on aura donc

X z= Xjr — y.

Dans le cas où le point M coïncide avec le point A^ on aura

x=CD = a, j=:DA=:{*7Ca, y:=:\7ra^, et, par conséquent,

i4o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

L'aire CAD de la demi-cjcloïde est donc triple de celle du demi-cercle CND, dont le rayon est > /z, on, autrement dit, l'aire de la cycloïde entière est égale à trois fois celle de son cercle générateur.

On aura aussi

fx^dxz=zfx \/ax — x^dxj ou, ce qui est la même chose,

fa^d)rz=i\af \/ ax — x^dx — f{\a — a:)\/aa:— ^^ dx.

La dernière intégrale s'obtient immédiatement ; et à cause qu'elle doit s'évanouir, quand ar=: o, nous aurons

équation qui fera connaître la valeur de x^ d'après celle de A.

Dans le cas de la demi-cycloïde CAD, où Ton a, en même temps,

x = a, x = \7ra, y=^7ra% A=|7ra%

on en conclura

pour la distance de son centre de gravité à l'axe Cj. Ainsi, le centre de gravité de Faire entière de la cycloïde se trouve aux sept-douzièmes de la hauteur CD, à partir du sommet C.

Relativement à un segment quelconque CMP, il reste à déterminer l'ordonnée ^',; ce qui exige un calcul plus compliqué.

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i4i