q vertu de rëquatîon (à), on a
et la valeur de^ peut s'écrire ainsi :
^ r{\a—x)dx a r dx ^ J k'ix^^ ^J \/ax — x^'
en faisant donc ^ pour un moment ,
/• dx Y ax — a:*
et supposant que cette intégrale soit nulle comme toutes les autres, quand ar = o, on aura
d'où il résultera
fxydjr = \ax^ — i «3^ + \^f^ s/ax -^ jc* c^jc, (5) Parce que Ton a fait
y = fsjcujc — x^dxy on aura, en intégrant par partie.
fz \/ax — x^dx z=' zy — fyàz. (6) On peut écrire l'expression de y sous la forme
I ^ r dx ^^ Ç{\ a — j:)* dx
^ 4 J ^ax — x^ J \^ax — X*
et en intégrant par partie dans le second terme, il vient
> = i a* / — ( - /i — X ) |/ar — or'— yV ax^x^dx ;
i42 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
d'où l'on conclut
A cause de v/oa: — a:*dz=zdx, on aura donc
Je substitue ces valeurs de y ei/ydz dans Téqualion (6) ; il en résulte
fz [/ ax^x^dx^z -fo^^ — "( "^ — xj^ax — x^+ ^(ox — x^) ;
ce qui change l'équation (5) en celle-ci :
/xjrdjrz=:^a^X + ^eiX* — ^X^
+ ^a^z*'^'^az{\a — x)\/ax'—x'. (7) Au moyen de cette valeur et de celle de z, savoir :
(a — aa:\ COS = J ,
la troisième équation (4) ne contiendra plus rien d'inconnu^ et fera connaître la valeur de^. pour im sèment quelconque CMP.
Dans le cas de la demi-cy cloïde CAD , on aura
x = a, z:=: arc {cos = — 1)='»';
la formule (7) se réduira à
et a cause de
jr = {'TU, X = §7ra% la troisième équation (4) donnera
ce qui , joint à la valeur de oc^ du numéro précédent, déterminera complètement la position du centre de gravité.
8i. Soit S l'aire d'une zone de surface de révoludon, comprise entre deux plans perpendiculaires à son axe de figure. Cet axe renfermera le centre de gravité de S : je le prendrai pour Taxe des x; et je désignerai par X| la distance de ce centre à l'origine des coordonnées, et par a et € les distances à la même origine, des deux plans qui terminent S; la détermination du centre de gravité de cette zone se réduira à œlle de la valeur de x^.
Je décompose S en élémens dont chacun sera la surface d'un cône tronqué décrite par le côté infiniment petit de la courbe génératrice, comme dans le n"" j^; celui qui répond au point M de cette courbe dont les coordonnées sont jc et / , sera égal à a^TCjr^dx^ d/* ; il aura aussi son centre de gravité sur l'axe des x, et l'on pourra prendre x pour la distance de ce point à l'origine des coordonnées, puisqu'elle ne pourra différer de X que d'un infiniment petit. Cela étant, ou aora(n- i5et65).
en considérant j^ comme une fonction de x, donnée par lequation de la génératrice.
i44 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Si cette courbe est^ par exemple, un arc de cercle; que Ton place l'origine des coordonnées à son centre, et qu'on appelle a son rayon , on aura
d'où il résultera
S = 2^a(f — a), Sa:. = '7ra(C* — «•},
et, pargconséquent,
ce qui montre que le centre de gravité d'une zone sphérique est au milieu de la partie du diamètre comprise entre les deux plans qui la terminent « et perpendiculaire à ces plans.
83. La cjclo'ide nous fournira deux exemples de l'application des formules (8), en faisant tourner successivement l'arc CM (fig. :25) autour de l'axe Cr et de Taxe Cqt.
Dans le premier cas, on aura, en vertu de l'équation (a) du n* 73,
dx
S = 37r \/afjr — = , Sx, = ixnt \/afjr y/xdx;
les intégrales étant prises de mam'ère qu'elles s'éva-^ nouissent au point C, où l'on a or = o. En intégrant par partie, et ayant égard à la valeur de dj^ donnée par la même équation (a), il vient
Sz=L /(/rjry^ax —/çrsjafsja — x dx ^ Sa-, =:^jrx \/ax — ^ y/â/x \/a — x dx ,
et f par conséquent ,
Sx, = y /x\/ax+ — X \^a (a — x)
l6ar - /- / r* lô» ,
ce qui fait connaître la surface concave vers Taxe de figure, engendrée par Tare CM, et la distance de 80n centre de gravité au point C. Quand cet arc devient la demi-cy cloïde CA, onaa: = rtet^ = i^ra, et, conséquemment ,
Dans le second cas, il faudra, pour continuer de fiiire usage de l'équation (a) du n* yS, permuter x et jr dans les formules (8), lesquelles deviendront ^ par là,
S/. = 27rfxjr v/i + ^ dx;
y, étant la distance au point C, du centre de gravité de S situé sur la droite Cjr , et les intégrales s*évanoaissant au point C, c'est-à-dire , quand x = o. D'après Féquation (a), nous aurons
S z=i wfr fx \J -^dx = ^x\/ax\ la valeur de Sj*, sera la même que celle de Sx. du
premier cas, et en la divisant par cette valeur de S, on aura la distance au point C^ du centre de gravité de la surface convexe vers Taxe de figure , engendrée par Tare CM. Lorsque cet arc deviendra la demi-cycloïde CA, la surface engendrée sera égale k ^^rca*; en même temps, la distance^, aura pour valeur
On peut remarquer que quand un même arc de courbe tourne successivement autour de deux ax« rectangulaires et passant par une de ses extrémités , le second membre de la seconde équation (8) ne change pas de valeur, et, par conséquent, les distances à cette extrémité, des centres de gravité des deux surfaces engendrées, sont en raison inverse des aires de ces surfaces.
85. Si la courbe ABC (fig. 26) tourne autour de Taxe 0^, compris dans son plan et qui ne la traverse pas, sa surface engendrera un solide de révolution dont le volume, que je représenterai par V, pourra s'exprimer au moyen de l'aire de cette surface et de Fordonnée ^, de son centre de gravité.
En conservant toutes les notations du n*^ yS , il est aisé de voir qu'on aura
En effet, la tranche infiniment petite de ce volume, engendrée par l'élément MNN'M' de l'aire génératrice, sera la différence iry^doc — ^j'^dx des deux cylindres dont les rayons sont PM et PN, et qui ont dx
pmir hautear commune ; car on peut négliger les volomea infiniment petits du second ordre ^ engendres par les triangles que l'on retranche de cet élément , ou qu'on y ajoute , en menant par les points M et N des parallèles à Taxe Ox. Or, si l'on compare cette expression de V à la troisième formule (i) du numéro cité, on a
ce qui montre que le volume engendré par l'aire A d'une courbe plane est égal à cette aire multipliée par la circonférence 27rjr^ du cercle que décrit son centre de gravité ; théorème analogue à celui du n* 74^ et qui servira à déterminer le volume Y quand le centre de gravité de A sera connu à priori. Il subsistera encore » lorsque la surface génératrice, au lieu d'être circonscrite par une courbe fermée, sera comprise entre deux courbes différentes et deux perpendiculaires à l'axe de figure, pourvu que cet axe ne passe pas entre ces deux courbes planes.
Si Taire génératrice est un demi-cercle tournant autour de son diamètre , la distance de son centre de
gravité à cet axe de rotation sera égale à -|— (n*^ 78) , en désignant par a son rayon ; la circonférence décrite par ce point aura donc -x- pour longueur; et comme Taire du demi-cercle est 7 Tra* , on aura
ce qui est, effectivement, le volume de la sphère.
Supposons eacore que la courbe fermée ABC soit une ellipse, et représentons par a et 6 ses deux demiaxes, et par c la distance de son centre à l'axe derotation. L'aire A sera, comme on sait, égale à irabi et son centre de gravité étant évidemment le centre de figure, on aura j". =6"; d'où il résultera
V = nTT^abCy
quelle que soit l'inclinaison de l'un ou l'autre des axes '-de l'ellipse sur l'axe de rotation.
84* U est évident que le segment du solide de révolution compris entre deux plans passant par Taxe de figure, est au solide entier comme l'angle de ces deux plans est à quatre angles droits, ou, ce qui est la même chose, comme l'arc décrit entre les deux plans , par le centre de gravité de Taire génératrice , est à la circonférence entière t.'ttjt^. Donc, en appelant / la longueur de cet arc, et L le volume du segment , on aura
li = iK ;
^X étant toujours l'aire génératrice qui, par hypothèse, n'est point traversée par l'axe de rotation.
Cette formule peut s'étendre de la manière suivante à d'autres segmens qui n'appartiennent pas à des solides de révolution.
Supposons , en eifet , qu'une courbe plane se meuve ^;ans glisser ni tourner dans son plan, et de telle sorte que ce plan soit constamment perpendiculaire à une ligne donnée, qui peut être une courbe plane ou à double courbure. Dans ce mouvement, le même point de ce plan demeurera toujours sur la directrice.
et les autres points décriront des courbes semblables k cette ligne. Soient A, L, Z, Taire de la courbe gé- Beratnce, le volume engendre par cette surface> et Ift longueur de la courbe parcourue par son -centre de grayité. Si / était un arc de cercle , L serait un* segment de solide de révolution; mais, dans tous les cas, on peut diviser-/ en parties infiniment petites, dont chacune se confondra avec le cercle osculateur qui lui correspond. Désignons par a Tune de ces parties, et par i^le volume du segment correspondant de li ; et supposons que les plans perpendiculaires à sa direction f par lesquels t^ est terminé ,. se coupent suivant une droite qui ne traverse pas Faire de la géliératrice. Cet élément uAe h sera un segment de tolide de révolution; et d'après 1 équation précédente,'^ on aura
aX.
Donc, en prenant la somme de toutes les valeurs de v^ et observant que le facteur X est constant, il en résultera que le volume L est égal au produit de / et A, comme dans le.cas d'un solide de révolution ^ La règle que cette équation L = A/ renferme est utile dans la pratique, et susceptible d'unassez grand nombre d'applications; toutefois, on ne devra point oublier qu'elle n'a plus lieu quand les génératrices consécutives se coupent sur la surface engendrée, et forment, par leurs intersections successives, ce qu'on appelle une arête de rehroussement.
85. La considération du centre de gravité fournit aussi une règle pour évaluer le volume d'un, prisme
i5o TRAITÉ DE MÉCANIQUE. •
ou d'uD cyliodre à base quelconque , tronqué par uii plan incline sur celte base.
Soient y l'aire d une section de cylindre perpen^ diculaire à sa génératrice, ^ l'aire de la section inclinée qui le termine 9 6 l'angle de ces deux plans, ôà un élément quelconque de A, € sa piojectioQ sur le plan de y^ ou l'élément correspondant de l'aire >, qui est elle-même la projection de A. D'après le thëo^ reme du n"" lo, on aura
y = XcosS, 6 = a>cos6.
Cela étant, je suppose que A soit la surface a laquelle se rapportent les formules générales du n® ^5 , et que 6 représente l'inclinaison de son plan sur celui des x e\j. Je multiplie la troisième de ces formules par cos8, et je fais passer ce facteur constant sous le signe ffi en vertu des valeurs de y et €, on aura
Or, cette intégrale double est le volume du cylindre tronqué compris entœ les deux sections }^ et A, et décomposé en filets infiniment minces et perpendiculaires à y^ en supposant , toutefois , que ces deux sections ne se coupent pas mutuellement; il s'ensuit donc que le cylindre tronqué est égal à un cylindi^e droit ayant la même base y^ et pour hauteur la distance z^ à cette base, du centre de gravité de la section inclinée.
Ce théorème est évident dans le cas ordinaire, où la base du cylindre est un cercle et la section inclinée une ellipse ^ car en menant par le centre de cette courbe
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i5i
un plan parallèle à la base, ce cylîndi^ ne change pas de volume, puisque le segment qu'on en re«« tranche est évidemment égal à celui qu'on y ajoute.
Si les aires désignées par 7/ et A se coupent mutuellement, le volume se composera de deux segmens dont rintégrale j[/j3e exprimera la difierence et non pas la somme. Quand le cylindire sera terminé par deux sections inclinées dont les aires ne se coupent pas, on pourra toujours le diviser en deux parties, dont la base commune et perpendiculaire à la gêné-* ratrice, ne coupera ni Tune ni l'autre de ces deux sections; et en observant que leurs centres de gravité se trouvent sur une même droite perpendiculaire à cette base, on voit que le volume total sera égal à l'aire de cette base multipliée par la distance mutuelle de ces deux points.
§ III. Centres de gravité des volumes et des corps.
86. La détermination du centre de gravité d'un volume dépend, en général, de plusieurs intégrales triples ; mais il y a des corps pour lesquels la position de ce centre se détermine par des intégrales simples. Ce sont ces corps cjue nous allons d'abord considérer.
Le centre de gravité d'une pyramide ou d'un cône à base quelconque se trouve sur la droite qui va de son sommet au centre de gravité de la base; car cette droite rencontre toutes les sections parallèles à la base , en des points homologues qui sont leurs centres de gravité I et qu'on peut aussi prendre pour le&
centres de gravité des élémens de ce corps, infiniment minces et parallèles à sa base. Par conséquent, la droite dont il s'agit contient le centre de gravité de la pyramide ou du cone^ et il ne reste plus qua déterminer sa position sur cette ligne.
Soient 6 et X l'aire de la base et celle d'une section parallèle ; désignons par h et a: les perpendiculaires abaissées du sommet sur leurs plansj nous aurons, comme on sait,
et, conséquemment,
De plus, on pourra prendre Xdx pour Félémeutda volume du cône ou de la pyramide ; et si l'on appelle y son volume total et x^ la valeur de a: correspondante à la section qui contient le centre de gravité^ on en conclura, comme dans les questions précédentes ,
V =35 / Xda:, Vx, = / xlLdx.
En substituait la valeur de X et eflectuant les inté-r grations , il vient
V — ^ Vx - — •
d'où l'on tire
Mais si Ton mène par le centre de gravité ui\ plan pa-
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i63
rallèle à la base, il coupera en parties proportionuelles la hauteur h et la droite qui va du sommet au centre de gravité de la base; il s'ensuit donc que le centre de gravité du cône ou de la pyramide à hase quelconque se trouve aux trois quarts de cette droite, à partir du sommet, ou au quart, à partir de la base. 87. Relativement à la pyramide triangulaire, ce théorème se démontre sans le secours du calcul intégral.
Soit ABCD (fig. 3o) cette pyramide. Soient aussi £ et F les centres de gravité des faces ACD et BCD ; tirons les droites BF et AE, dont les prolongemens se rencontreront au milieu H de Tarète GD ; et ensuite dans le plan AHB, tirons les droites AF et BE, qui se couperont en un certain point G. Je dis que ce point sera le centre de gravité de la pyramide ABCD ; car en la décomposant en élémens parallèles à la base ACD , on verra , comme dans le numéro précédent , que son centre de gravité doit se trouver sur la droite BE ; et en la décomposant en élémens parallèles à BCD, on verra, de même, que ce point appartient à la droite AF. Ces deux droites AF et BE, qui sont effectivement dans un même plan, devront donc se couper, et leur intersection G sera le centre de gravité demandé.
Maintenant, dans le triangle ABH, la droite EF est parallèle à la base AB, puisqu'elle coupe les côtés AH et BH en parties proportionnelles, c'est-à-dire, an tiers à partir de H; on aura donc
