FG : GA :: I
en sorte que FG est le tiers de GA ou le quart de AF; ce qu'il s'agissait de prouver.
On en conclut que si les quatre sommets A, B, C, D> de la pyramide sont les centres de gravité de masses égales^ le point G sera le centre de gravité de ces quatre masses ; car déjà le point F est celui des trcHS masses qui répondent à B, C^ D (n"" 77) ; et ensuite le point G, tel que GF est le tiers de. GA ^ s^era le cac^tre de gravité de ces trois masses et de la quatrième»
Il suit de YstÇu!" 67) que si l'on applique au centre de gravité de la pyramide triangulaire des forces représentées, en. grandeur et en direction, par les droites qui vont de ce point aux. quatre sommets, ces quatre forces se feront équilibre.
88. Ayant déterminé le centre de gravité d'une pyramide triangulaire, on en déduit immédiatement celui d'une pyramide ou d'un cône à base quelconque, en décomposant cette base en un nombre fini ou infini de triangles : le centre de gravité de cette pyramide ou de ce cane doit se trouver à la fois sur la droite qui va du sommet au centre de gravité de la base, et dans le plan parallèle à la base qui coupe toutes les lignes menées du sommet à cette base, aux trois quarts à partir du sommet ; ce qui s'accorde avec le résultat du n' 86.
On en déduit aussi le centre de gravité d'un secteur sphérique. En effet, si l'on décompose ce secteur en une infinité de pyramides dont le sommet com-*
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i55
munsoitaa centre de la sphère^ et qui aient pbiit bases les élëmens infiniment petits de la base du seo teur, leurs centres de gravité se trouveront tous sur la basé d'un secteur concentrique , dont le rayon sera les trois quarts de celui du secteur donné; d'où Ton condut que le centre de gravité du secteur donné sera le même que celui de la base du secteur con^ cen trique; ce qui en détermine la position.
Supposons que le secteur sphérique soit engendré par le secteur circulaire CADB (fîg. 2g), tournant autour du rayon CD , qui aboutit au milieu de l'arc ÂB; le triangle CÂB et le segment circulaire ÂDB engendreront, en même temps, un cône etr un segment sphérique; et le centre de gravité de ce segment sphérique se déterminera d'après ceux du secteur sphérique et du cône.
Pour cela, appelons V, , V, V, les volumes respectifs de ces trois corps, et a:,, oc, a:\ les distances de leurs centres de gravité au point C ; nous aurons
V = V + V,, Va: = Yx' + V.a:.. (a)
Soient a le rayon CD , c la corde AB et^ la flèche DE de l'arc ADB. Relativement au cône , on aura
La base du secteur sphérique sera égale au produit de la flèche et de la circonférence du grand cercle , ou à a^raf, et son volume aura pour valeur le produit de cette base et de |a, ou --3— • Si Ton décrit du point C comme centre, et d'un rayon égal à
i56 TRAITÉ HE MÉCANIQUE.
I G) ^ un arc de cercle tel que A'D'B',. le centre* de gravité de la surface engendrée par cet arc se trouvera au milieu de la flèche D'£' (n* Si), ou, autrement dit, à une distance du point C égale à CD^— ^-^D'E', dont la valeur est |(^ — î/^). Donc, ce centre de gravité étant,, d'après ce qu'on vient de dire, celui du secteur sphérique Y, on aura
En substituant ces différentes valeurs dans les équations (a) , il vient
d'où Ton tirera les valeui's de V, et jc, .
Si l'on appelle / la longueur de l'arc ÂB, on aura
c = sa sin — , /= a(\ — cos — j , et il en résultera
V, = -^— ( I — cos sm'— cos — j;
oa sm* —
8 ( I — cos sm* — cos — )
Lorsque l'arc /est la demi-circonférence, on a lz=z^a^ et par suite
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. lS^
8g. On détermine aussi par des intégrales simples le volume et le centre de gravité de tout corps symétrique par rapport à un axe, comme un ellipsoïde, par exemple.
Soient j:,^, z, les trois coordonnées rectangulaires d*un point quelconque de la surface ; prenons l'axe de figure pour celui des oc, et désignons par X Taire de la section perpendiculaire à cette droite, qui répond à l'extrémité de l'abscisse oc. Si l'on décompose le volume en élémens infiniment minces et perpen* diculairesà Taxe de figure, on pourra prendre Xdx pour le volume d'un élément quelconque, et a: pour la distance de son centre de gravité à l'origine des coordonnées. Donc, en désignant par V une tranche comprise entre deux sections correspondantes à des abscisses données et et S, et par ac^ la distance de son centre de gravité à l'origine des coordonnées, nous aurons
V =1 1 \ djc , V^, = / xlidx.
Dans Je cas de l'ellipsoïde , l'équation de la surface est
a f b, c ^ désignant les trois derai-axes. Ceux de la section X seront
on aura donc
X =nAc(. - J),
i58 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
et f par conséquent ,
v=,Ke-.)0-:y^±^.
Vx.= i^4c («•-«•)(. -^^):
d'où Ton tire
3(A+C)(a^— ^-— g>) »~ 4(3a*— ic* — «C — CO*
Si Ton applique cette formule au segment sphérique que Ton a considéré dans le n* précédent , il faudra prendre
a =z a cos — , b = ^ ;
ce qui donne
3a ( i+cos — jsîû* — \ aa/ ai
aa
4f i — cos 1- sin* — )
et en multipliant le numérateur et le dénominateur
de cette fraction par i — cos — , on vérifie qu elle
coïncide avec la valeur de x^ déjà trouvée-
Pour avoir la valeur entière de l'ellipsoïde, il faudra faire ^ = aet a = — a; ce qui donne
Ce volume est aussi donné par l'intégrale triple ffjdxdjrdz , étendue à tous les élémens de l'espace terminé par la surface de l'ellipsoïde ; mais en faisant
X = ax', j = hj\ z = cz\
SUnqiZ, fSEHBlE PAITIE. iS»
VéamiÉam. 4c oeUe suûce derient
abcfffdxfdrdz'.
Celte MMrrcfle inl^nJe dem s'ckendre a tons les âérneos ^ Tenace circoiiscrit paor U sar^Kre qui répond àréqnatkm précédeiile ; die sen , pir tonséqueat, le Tolvune de U sphère qui a roiiilê pour
rvfOD; et ce vcJome étant ^al à ^ , il en résulte
ttrtÊbc
^\^ 9 comme précédemment, pour celui de Tellip-
soide.
^o). Les corps sjrmétriques autour d'un axe comprennent les solides de révolution. Nous prendrons toujours Taxe de figure pour celui des abscisses «r. En supposant alors un solide de cette nature engendré par une aire plane , comprise entre deux courbes données et les perpendiculaires à l'axe des x qui répondent àa:=:aeta:=:f, et désignant par y et y les ordonnées de ces courbes relatives à une même abscisse quelconque Xy il faudra faire
dans les formules du numéro précédent; ce qui donne
V=^y^^Cr— yyx, \x,z=7rf^{y^y')xdx.
Dans le cas le plus ordinaire où la courbe intérieure
i6o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
6e confondra avec l'axe de figure , on aura ^ es o , et simplement
Y =:^ r jr^dx , Vx, = ttJ j^xdx. (Jb)
La cycloïde fournira encore des exemples de 1 application de ces formules , dans lesquels toutes les intégratîotis s^eiTectueront sous forme finie.
Si l'on considère le solide convexe , engendré par l'aire CMP ( fig, 25 ) tournant autour de l'axe Gr^ on intégrera d'abord par partie; ce qui donnera
V = '^xjr^ — 27rfxjrdjr^
les intégrales étant prises de manière qu'elles s'évanouissent au point C, ou quand ^ = o. En vertu de l'équation {a) du n^ 75, on aura donc
V = 'Ttxjr*' — 2^r/y \/ax — x^ dx, \x^= i^rxy^ — "Tcfjrx \/ax — x^dx ;
et les calculs s'achèveront par des transformations semblables a celles du n^ 8o. Dans le cas du volume engendré par la demi-cycloïde CÂB , on trouve
^Ta3/9^ \ (63x' — 64)fl
S'il s'agit, au contraire, du solide convexe engendré par l'aire CMP , tournant autour de Taxe Cjr, il faudra préalablement permuter x et y dans les équations (b) ; d'où il résultera
V = ^fx'djr , Vjr. = Trfxydjr;
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i6i
^, étant la distance au point C^ du centre de gravité qui se trouve sur l'axe Cjr , et les intégrales s'évanouissant en ce point C. En vertu de l'équation Ça) de la cjdoide , on aura donc
V = ^fx sjdx — jc^dxy Vj, = irfjx y/ax — x* dx.
La première intégrale s'obtiendra sans difficulté ; la seconde , par des transformations semblables à celles du n^ 8o« Dans le cas où CM sera la demi-cycloïde entière , on trouvera
91 . Maintenant , soient a:,, ^, ^ z, , les trois coordonnées rectangulaires du centre de gravité d'un corps de forme quelconque , homogène ou hétérogène y dont la masse sera représentée par M. D'après ce qu'on a déjà dit dans le n* 65 y il faudra ^ pour déterminer ces trois inconnues, diviser M en parties infiniment petites^ et changer, en conséquence, les sommes en intégrales dans les seconds membres des équations(i) de ce numéro. On aura, de cette manière,
VLx:{=fffxdm, Mj.=//)5^t/w , Mz,==y7ys^ ; (i)
dm étant l'élément différentiel de la masse du . corps
qui répond aux coordonnées x^jr, z. En appelant /
la densité de ce même élément , et d^f son volume ,
on aura aussi
dm = fdv.
On pourra prendre maintenant, pour l'élément dv du volume , le parallélépipède rectangle dont les trois côtés adjacens sont parallèles aux axes des jr, I. Il
i6ft TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
j^f^j et égiuix aux dificrentielles dxj dj^ dz; d'oÀ
il résultera
d9^=^dxdjdz.
Si le corps est homogène, sa densité sera constaute ; en désignant par Y son volume^ on aura
Mc=fV; et. les équations (i) deviendront
^a^.=Snxds^,yy,=ffryds^,yz,^f[f2ds^. (a).
Si le corps est hétérogène, il pourra se présenter deux cas différens. Dans le premier cas , ce corps se composera de parties homogènes de grandeur finie , et la densité ne variera que d'une partie à lautre» On appliquera donc à chacune d'elles lès équatioqs (a), puis ou déteiminera le centre de gravité du corps entier d'après ceux de toutes ses parties (n^ 64)* Dans le second cas , la densité variera par degrés inseosi-» blés dans Tintérieur du corps; el alors on fera usage des équatious (i), dans lesquelles/» devra être une fonction donnée de a: ^jr, z.
Toutefois, on doit remarquer que, soit qu'il s'agisse (futi corps homogène ou d'un corps hétérogène, hif division de la masse en élémens infiniment petits, dont les densités sont les mêmes ou ne varient que pa^ degrés insensibles, suppose ^e ce corps est formé d'une matière continue. Or, cela n'a pas lieu dans la nature, où les corps, an contraii^ , se composent de parties matérielles disjointes et séparées les unes des autres par des espaces vides ,. comparables en grandeur aux parties pleines. Nous revien-
STAÏÎQUE, PREMIÈRE PARTIE. i63
drons sur cette observation dàtié le chapitre âtirrant , et nous ferons voir qu'on peut , néanmoins, appliquer les formules (i) et (2) aux corps naturels , comme si la matrère n*éprôutait aucune discontinuité danâ leur intérieur.
92. Au lieu des coordonnées x^y^ z, il sera queî- ^efbis nécessaire ^ pour faciliter les intégrations , d^employer lés coordonnées polaires de chaque élément dm. Soit alors r son rayon vecteur, fl l'angle qu'il fait avec Taxe des a: positives^ et -^ Tangle compris entre lé plan de ces deux droites et celui des a: et j"; nous aurons ( n* 9 )
a*issrcos^, j^Œsrsin fl cos 4 > :5=sr sin ô flîn 4-
U faucira , en même temps, exprimer ds^ au mojen des différentielles de ces nouvelles variables r, fl, 4- On a des formules générales pour la transCôrmalion des variables indépendantes daiis les inté*gralés multiples; mais on peut aussi trouver directement Texprèssiou de dif dont nous devrons faire usage , savoir :
d0:=zr* sin 6 drdà ^4 f
ainsi quW lé verra tout 4 l'heure.
Je mets fds^ à la place de dm dans les équations (i), et j'y substitue ensuite cette valeur de dv et celles de x,^, z; elles devienrieilt
M7-, ^fiffr" sin*ôcos4rfrûffl ^4 , l (5) Mu, » j59yH 8in*e siû '^dr dii d^ , f
