II

à quoi il faudra joindre rëquatioa

M = ffffi^ sin fl drdU^ .

Quant aux limites de ces intégrales triples, eUes seront différentes selon que l'origine des coordonnées sera placée en dehoi^s ou en dedans du corps. Lorsque cette origine sera un des points de M, on intégrera d'abord depuis r= o jusqu'à r=u, en représentant par u une fonction de 6 et 4 donnée par Téquaûcn de, la surface; cela fait, on intégrera depuis 6 = 0 et «4/ = o jusqu'à 9 = tt et 4 = ^tt , en commençant à volonté par l'angle fi ou par l'angle 4. Les limites seront généralement plus compliquées quand l'origine des coordonnées n'appartiendra pas à la masse M. Représentons y dans ce cas , par u et u' deux fonctions données de fi et «^y P^^ ^ ^^ ^' deux fonctions de 4, et par âcet ol^ deux angles donnés; supposons quMl s'agisse d'une portion de corps comprise , d^une part 9 entre les deux surfaces qui ont pour équations rs=:u et r=:u' } d'une autre part, entre les surfaces coniques qui ont pour axe commun Taxe des x, leur sommet aussi commun à l'origine des coordonnées, et pour équations fi = e^ et fi = a»'; enfin , entre les deux plans passant par cet axe , et qui font des angles « et OL avec le plan fixe d'où l'on compte l'angle 4. On intégrera d'abord depuis rz=zu jusqu'à r = w', ensuite depuis 0 = 0) jusqu'à ^z=lùù j et finalement, depuis %|/ = â& jusqu'à ^ = a\

Prenons, par exemple, pour les deux premières surfaces celles de deux sphères concentriques qui ont .leur centre commtin à l'origine des coordonnées, et

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i65

dont les rayons sont a et a'; supposons^ en même temps, que les deux cônes soient à base circulaire , ou , autrement dit , que a» et cû' soient des angles constans ; supposons, de plus , que la densité ne soit fonction que de r; de sorte que la portion de corps que l'on considère appartienne à une sphère composée de couches concentriques infiniment minces , dont chacune ait la même densité dans toute son étendue, laquelle densité variera d'une couche à l'autre, suivant une fonction donnée dç là distance an centre. En faisant, pour abréger,

et efiêctuant les intégrations relatives à 8 et 4 ^ on trouve

M = A(çl' — a) (cos cù — cos a>% Mx.s iB(a — a) (cos* a» — cos» ^'), 3kl/',=-5B(sinot' — sina)(a)' — û>— jsinaw'+xsinaw)^ Mj5^ = iB(cosa — cosx')(ûtf' — a> — ism2Cû +ism2a>);^

ce qui fait connaître les valeurs de oTi , /, , 55, , qu'on ne pourrait déduire, dans cet exemple, dès équations (i).

Si la masse M forme un anneau complet , de sorte quW ait a' = a -f- 27r , il en résultera ^, = o et 2, =z=o, c'est-à-dire que le centre de gravité sera situé, comme cela doit être, sur Taxe de cet anneau : sa distance or, au centre de la sphère dont cet anneau h\l partie, aura pour valeur

B(cos«-t-coSâi')

i66 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

Dans le cas de rbomogéaéité de la sphèrç, la deii* site / étant constante , on aura

Quand le vide de l'anneau disparaîtra , on fera â);=p; et, enfin, s'il se change en un secteur sphériqae, on fera aussi a = o ; d'où il re'sultera

^, =-g- (i + COSÛ)');

çç oui s'accorde avec la valeur de la quantité dési-^ gnée par ^ dans le n"" 88, en observ|int que la flèche représentée par y aurait pour valeur a\i — cosû»'), et que le rayon est a'.

g5. Pour trouver la différentielle dv du volupie , exprimée au moyen des différentielles des coordonnées polaires, je suppose que M (fîg. 3i) soit le point qui répond aux coordonnées r, 6, «4/; en sorte que 0 étant leur origine , OM soit le rayon vecteur r, ô l'angle MOx compris entre ce rayon et un axe fixe Ox , çt 4 l'augle que fait le plan de ces deux droites avec UP plan fixe , mené arbitrairement par la seconde. Soit M' un point situé sur le prolongement de OM, et dont le rayon vecteur OM' sera r\ Du point 0 cpmipe ceutre, et dans le plan M'Oo:, décrivons les arcç de cercle MIN et M'N' compris entre les deux droites OMM' et ONN', et désignons par ^ l'angle NOx; enfin, faisons tourner le plan dç cet angle autour de Va^e Oûc , et représentons , dan^^ sa nouvelle position, par 4' l'angle qu'il fera ayçc Je plan fixe. Dans ce mouvement, l'aire MM'N'N engendrera un volume MM'N'NPP'Q'Q , que je représenterai par U.

Or, cette aire, diffiérenoe des deux secteurs circulaires M'ON' et MON, est égale à

Si Ton appelle u la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur l'axe Ox^ on aura w (>[/'— %[/) pour la longueur de l'arc que ce centre décrira autour de cette droite. D'après le théorème du n"" 84, nous aurons donc

Cela posé, concevons que les trois dimensions de U deviennent infiniment petites, et faisons, en^onséquence ,

/^r = rfr, 6'— 6 = ^9, 4'— 4=^4.

Le facteur r'+ r se réduira, en même temps, à ar; on pourra aussi prendre pour u la perpendiculaire MH abaissée du point M sur l'axe 0^, laquelle est égale à rsin 8, et ne saurait différer de u que d'un infiniment petit; enfin, U se changera en dify dont la valeur, qu'il s'agissait de déterminer, sera

dv = r* smQ drd^d'\.

On remarquera, effectivement, que ce volume dv peut être considéré comme un parallélépipède rectangle, dont les trois côtés adjacens sont MM' ou dr^ l'arc infiniment petit MN,qui a son centre au point 0 et pour longueur r^O, et l'arc infiniment petit MP, qui a son centre au point H et pour longueur r sin S^ft^î-

i68 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

La base MNQP de ce parallélépipède est l'élément de la surface sphérique dont le centre est au point O et le rayon égal à r. En la désignant par dv, on a donc

dj ^=z T^ sin ^d^d\ , dv = dadr.

Si Ton appelle dcû Félément de la surface sphérique dont le rayon est pris pour unité, on aura aussi

d(» = sind£{8^4^ ^^ ^^^ f^drdcù.

En intégrant cette expression de dcù depuis G = o et •^ = o jusqu'à G = ^ et «4/ := ^tT, on en déduit 4'7f pour le rapport de la surface de la sphère au carré de son rayon ^ ce qui est, en effet, sa yalear connue.