CALCUL DE L9ATTRACTION DES CORPS

§ I*'. Formules relatives à un corps quelconque et à

la sphère en particulier.

94 • Supposons qu'un point matériel 0 (fig. Ss) soit soumis aux attractions de tous les points d'un corps de forme quelconque; en décomposant cba-* cune de ces forces en trois autres ^ dirigées suivant des axes rectangulaires menés arbitrairement par le point 0^ et faisant ensuite la somme des composantes positives ou négatives qui agissent suivant chaque axe, on aura les trois composantes, dont la résultante exprimera, en grandeur et en direction , Tattraction totale qui sera exercée sur le point 0. Ces trois composantes seront des sommes d'une infinité d'élémens infiniment petits, étendus à la masse entière du corps attirant ; elles s'exprimeront par des intégrales triples , et le calcul de ces quantités sera semblable à celui des coordonnées du centre de gravité d'un corps quelconque dont nous venons de nous occuper : c^est pourquoi je placerai ici ce que j'ai à dire sur le calcul des attractions.

Cette question est une de celles dont les géomètres se sont le plus occupés ^ soit à cause des difficultés

d'analyse qu'elle présente, soit à raison de ses rapports avec le problème de la figure de la terre et de la loi de la pesanteur à sa surface; mais, dans cet ouvrage , on se bornera à donner les formules qui se présentent immédiatement, et quelques-unes de leurs applications. Je renverrai, pour de plus grands développemensy au second volume de la Mécanique céleste, et à mon Mémoire sxxvYAttTxiction des S pheroïdes/inséré dans la Connaissance des Tems de l'annëe 1839» 95. Soit D un point fixe pris dans l'intérieur du corps attirant; par ce point, menons trois axes rectangulaires Do: , HjTf Dz, qui seront les axes des coordonnées positives; désignons par x, jr, z, les coordonnées d'un point quelconque M du corps attirant, et pardSvt l'élément différentiel de sa masse, qui répond à ce point M; représentons aussi par et, ^, y, les trois coordonnées du point 0 y et par fj. la masse de ce point matériel ; et soit enfin u la distance OM , de sorte qu'on ait

w* = (et — ^)*+ (ff — 7)*+ (y—zy.

L'attraction exercée par dm sur fJL sera dirigée suivant la droite OM. On suppose cette force proportionnelle aux produits des deux masses , et en raison inverse du carré de la distance k; en la désignant donc par F, on aura

f étant un coefficient constant qui exprimera l'intensité du pouvoir attractif, rapporté aux unités de masse et de distance. Pour se former une idée précise de cette quantité / , il faut concevoir deux corps

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i|

de forme et de dimension quelconques^ dont ^ masses sont égales et prises pour unité ^ et supposer que l'attraction ne varie ni en grandeur ni en direction dans toute Tétendue de ces deux corps j en sorte qu'elle soit la même entre deux élémens quelconques de leurs masses, égaux à dm et à ft^ qu'entre les points matériels /jl et dm que nous considérons, lorsque leur distaace OM est égale à l'unité : la forcée est l'attraction totale qui serait exercée alors par l'un de ces deux corps sur Tautre.

Les projections de la droite OM sur les axes Tix^ Hjr, Djs, sont et — x ^ C — jr\ y-r^Z} en les divisant par u, on aura les cosinus des augle$ qui déterminent la direction de la force F ; ses trois composantes seront donc

*-^F, i:^F, y-^^Yi

et en y considérant u comme une quantité positive , elles tendront, selon qu'elles seront positives ou négatives , à diminuer ou à augmenter les trois coordonnées a, ^, >, du point 0. Si donc on désigne par Â, B, C, les trois composantes de l'attraction totale exercée sur ce point, on aura, en mettant pour F sa valeur , et observant que (jl ei f sont des facteurs constans ,

ces intégrales triples s'étendant à la masse entière du corps attirant.

En représentant par p la densité de Téiénnent dm , et par di^ son yolnme^ on aura

dm = fdv.

Cette quantité f sera^ dans le cas général , une fonction donnée des coordonnées du point M; elle se réduira à une constante donnée , dans le cas de l'homogénéité du corps attirant. On exprimera dv au moyen des différentielles des coordonnées de M , dont on fera usage, et qui seront le plus propres à faciliter les intégrations.

g6. Far une considération très simple, on réduit à une seule les trois intégrales triples d où dépendent les valeurs de A , B, C.

Les limites étant les mêmes que dans ces intégrales, faisons

A cause que ces limites sont indépendantes de la position du point 0 , si Ton différence T par rapport à ses coordonnées , on pourra effectuer ces différen*^ tiations sous les signes /'(n* i4); et comme on a dailleurs

u^^^x — <t u jr —^ u z — y

il en résultera

^ =fff^'-''"''

ce qai change les équations (i) en celles-ci :

A «/-g, B=-^/f . C «rfî W

de sorte que le calcul des trois composantes A, B, C, ne dépendra plus que d'une seule intégrale T.

En la déterminant, il sera important de se rappeler que le dénominateur u devra avoir constamment le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, et qu*il doit être positif si Ton veut que les composantes A, B, C, tendent à diminuer ou à augmenter les coordonnées du point 0, selon que leurs valeurs données par les équations (3) seront positives ou négatives.

Au lieu d'une attraction, si le point 0 était soumis à une répulsion, il suffirait de changer les signes des valeurs de A, B, C, ou, ce qui est la même chose, d'j regarder f comme une constante négative. Dans le cas où la force attractive ou répulsive qui agit sur le point 0 ne serait pas, comme nous l'avons supposé, en raison inverse du carré de la distance , et qu'on représenterait, en général , le coefficient de/juim par une fonction donnée de u, que je désignerai par Çu^ on prendrait une autre fonction ^u, telle que l'on eut

Mu

et que Ton mettrait à la place de - dans l'expression

de T. U se pourrait aussi que cette force fût attractive pour une partie du corps qui agit sur 0 , et répulsive pour une autre partie, auquel cas la fonction

^u, dans laquelle est compris le coefficient /^ changerait de signe dans l'étendue de l'intégrale que T représenta.

Les composantes de Faction exercée sur un corps de forihe et de dimension quelconques^ se déduiront des formulés précédentes , en y remplaçant fi par rélément différentiel de sa masse, quî répond aux coordonnée^ a, Ç, y^ et intégrant ensuite, par rapport à ceÉ trois variables , dans toute l'étendue de cette masse ; d'où Ton voit que les composantes de Taction exercée' par un corps sur un autre dépendront, généralement, d'intégrales sextuples.

Telles sont les formules d'après lesquelles on calculera les attractions ou répulsions; mais avant d'en fkire aucune application , il est nécessaire d'expliquer comment elles conviennent à la constitution intime des corps naturels, et d'examiner la difficulté dont il â été question à la fin du n® 91 •

97. Les différens corps renferment, sous dos volumes égaux, des quantités inégales de matière pondérable ( n^ 60 ) ; et ces quantités variant , pour tin même corps , avec sa température et la pression eittérieure à laquelle il est soumis, on a été «Conduit à coti^idérer les corps naturels comme un assemblage de parties matérielles non contiguës, et séparées les unes des autres par des pores ou espaces vides de matière pondérable. Ces parties matérielles se nomment des atomes; leurs dimensions et celles des pores échappent, par leur extrême petitesse, à nos sens et à tous nos moyens de les mesurer. On regarde les aftomes comme indesrtructibles, et la masse, la forme.

}e volomc de chacun (Teux^ comme invariables* Les dimensions des pores varient^ au contraire^ avec les quantités diverses de chaleur qu'on introduit dans les corps ou qu'on en fait sortir^ et avec les pressions auxquelles on les soumet ; et comme les changemens de volume d'un corps peuvent être très grands, sans que sa; masse ait augmenté ni diminué, il s'ensuit que les dimensions des parties vides doivent être comparaUes et généralement supérieures à celles des parties pleines.

Les atomes de même nature ou de nature difiërente, se réunissent en diverses proportions, pour former d'autres parties des corps, toujours insensibles,qu'on appelle leurs molécules. Les corps difierent entre eux par la nature et la proportion des atomes qui entrent dans la composition de chaque molécule ; et les atomes sont regardés comme invariables et indestructibles, ainsi qu'on vient de le dire, parce qu'en les réunissant dans les mêmes proportions , on reproduit, à toutes les époques, les mêmes corps, jouissant des mêmes propriétés.

98. n eM évident, d'après cela, que la division de k masse eu élémens infiniment petite \ et là supposition d'une densité de chaque élément, qui ne varie pas dans les corps homogènes, ou qui varie par degrés insensibles dans les corps hétérogènes , ne con- ?iennent point aux corps naturels ; mais cela n'empêehe pas qu'on ne puisse faire usage des formuler fondées sur cette considération, et qu'elles ne soient encore appKcables lorsque les corps ont été divisés en parties de grandeur finie , mais tout-a-fait insensible.

i-j8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

suffit^ quant à présent, d'observer que cette exception n'a aacon rapport avec les formules des n^gi et gS , relatives aux centres de gravité des corps et aux attractions en raison inverse du carré des distances, et qu'on peut, conséquemment , les appliquer aux corps naturels formés de molécules disjointes.

99* Revenons maintenant au calcul des attractions.

Si là distance du point 0 au corps attiré est très grande relativement aux dimensions de ce corps , cm pourra, dans l'expression de T du n"" 96, développer la quantité - en série convergente, ordonnée

suivant les puissances et les produits de oc , jr , z. En faisant

«• + €• + >• = cTS

où aura alors

Si l'on prend le centre de gravité du corps attirant pour l'origine D des coordonnées , on aura

f/fxdm — o, //Jjrdm = o, /ffzdm=:o,

puisque ces intégrales, divisées par la masse M du corps,seraient les trois coordonnées de ce point (0^91). En désignant cette masse par M, nous aurons donc

Lorsque la distance OD ou cT sera assez grande pour qu'on puisse réduire cette valeur de T à son premier terme , les équations (2) deviendront

f.^fMfct |>i»M/ï: p mM^.

or ces cômposamtes sont les mêmes qne celles d'ukie

force égale à ^^, agissant au point 0 suivant la dii-^

fectionOD; il s'ensuit donc que l'attraction exercée mr un point 0 ^ par un corps qui en est très éloigné , esta pe«t près la même ^ en grandeur et en direction, que si la masse M àe ce corps était réunie à son centre 4e gravité.

Lorsque ce corps sera une sphère homogène ou composée de couches concentriques , on trouvera que tous les termes de la valeur de T, excepté le premier, se détruisent ; il suffira pour cela de remplacer x^jr^ z, par les coordonnées r, 6,4» <^i^n)^ dans le n"" 9:2 ; ce qui permettra d'effectuer les intégrations relatives à 6 et %[/. Le théorème qu'on vient d'énoncer sera donc alors tout* à-fait exiàct , si la distance J^est seulement assez grande

pour que le développement de - soit une série couver*

gente; et, en eftet, on terra dans le numéro suivant, sans recourir à la réduction en série , que ce théorèche a lieu, quelle que soit la distance du point 0 à la sphère attirante , pourvu qu'il ne soit pas situé dans son inté* rieur. D'est facile d'en conclure que l'attraction d'une sphère sur une autre est la même que si la masse de chaque sphère était réunie à son centre ; car^ en appelant M et M' les masses des deux sphères, et C et C leurs centres, l'attraction de M sur un point quelconque Ô de M' est d'abord la même que si la masse M était concentrée au point G; en outre, cette attraction de C sur tous les points 0 de M', est égale et contraire à

,8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

raltracliou de tous ces points on de M' sur C, laqaelle est la même que si la masse M' élail réunie au point C; donc, l'attraction des deux sphères est la même que celle de deux poinls matériels situés en C et C, el dont les masses seraient M et M'.

loo. L'attraction exercée sur le point 0 par une couche sphérîque , homogène et d'une épaisseur constante, dont D est le centre, se réduira évidenimentà une force dirigée suivant OD. En faisant coïncider cetledroile avec l'axe Ox, les composantes B et C, parallèles aux axes D/ et Ds, seront donc nulles, et l'on n'aura que la valeur de A à calculer.

Dans ce calcul, on emploiera, comme dans le h° ga, les coordonnées polaires r, 9, 4" L'axe Dx se confondant avec la droite DO, on aura alors

0DM = 9, DO=a, C = o, y = o} et à cause de DM = r et 0M= u, il en résultera

K* ^ a' — aarcosS -f- r".

L'angle ^4' sera celui que fait le plau ODM avec un plan fixe passant par la droite DO; on prendra (n' <)51

pour l'élément du volume; et dans l'élément d7)i=:ç.t{v de la masse, on regardera p comme un facteur constant.

Après avoir substitué ces valeurs dans l'expression de T du n° 96, on intégrera depuis r = b jusqu'à r:=a, en désignant par a et è les rayons extérieur et intérieur de la couche sphérique , et depuis G :^ o et -^ =0 jusqu'à 9 = w et "^:= 2-jr. Comme la va-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i8f

riable 4 n'entrera pas sous le signe /, Tlntégratiion relative à cette variable se réduira a remplacer la différentielle ^4 f^^ 2^- Cela étant, on aura

T=27rp/ ( / . - )rdr.

* J b \J o V a^ — 2«r cos d -H rV

Aux limites fl = o et 9 = 97, le radical aura pour valeurs

db (a— r), =t («4- r);

mais comme il exprime la valeur de w, qui doit être constamment positive (n* 96), il faudra prendre a-f-/à la limite Szrr'Tr, et r — a ou a — r à la limite 6 = 0, selon que le point 0 sera situé en dedans ou en de-« hors de la couche sphérique. Nous verrons tout à l'heure ce qu'on doit faire lorsque ce point appartiendra à la couche même , de sorte qu'on ait /• >• a, dans une partie de cette couche, et r <^ a dans lautre partie.

Relativement à 6, l'intégrale indéfinie étant

/ . ■ , - = -V^*— 2arcus6+^ +conbt.,

on aura donc, dans le cas du point intérieur,

par conséquent, la valeur de T ne dépendra pas de a, et celle de A qui s'en déduit au moyen de la première équation {2), sera égale à zéro. Dans le cas du point extérieur, on aura de même

Jo ^/«» — 2«rco5Ô + /- «LV -r y V ;j ^.

i84 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

pulsion, pourvu que cette force varie toujours en raison inverse du carré des distances.

102. L'e'quilibre du point 0, situé dans l'espace que termine une couche sphérique , et attiré ou repoussé par tous ses points, peut facilement se vériGer.

Supposons, pour cela, que cette couche soit d'abord infiniment mince. Soit € son épaisseur. Décomposons sa surface en élémens infiniment petits; et désignons par ùi> Taire de celui qui répond au point P (fig. 53). Les élémens correspondans du volume et de la masse de cette couche seront eœ et pîcô ; et si Ton appelle r la distance OP, la valeur de la force dirigée suivant cfette droite sera

f et

Imaginons un cône dont la base soit co et le sommet 0; en prolongeant la génératrice OP jusqu'à ce qu'elle rencontre en P' la surface sphérique, et prolongeant de même toutes les autres génératrices, on déterminera sur cette surface un second élément que je désignerai par co'. Soit, de plus, r^ la distance OP'; la force dirigée suivant cette droite, en sens contraire de la précédente, aura pour valeur

or, je dis que ces deux forces contraires seront égaler entre elles, c'est-à-dire qu'on aura

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i85

Soient , en eflFet, POQ et P'OQ' les sections des deux coneSy faites par un même plan quelconque, passant par leur sommet commun 0. Les surfaces semblables (û et a>' seront entre elles comme les carrés des lignes homologues PQ et P'Q'. A cause des triangles semblables POQ et P'OQ', on a d'ailleurs