PQ : FQ' :: OP : OF

en élevant au carré les quatre termes de cette proportion^ on en conclura donc

el, par conséquent, Téqualion précédente.

Il résulte de là que les actions exercées sur le point 0 par tous les élémens de la couche sphérîque se détruisent deux à deux. L'action totale de cette couche sera donc nulle ; et il en sera f ncore de même si elle a une épaisseur finie; car alors on pourra la décomposer en une infinité de couches infiniment minces, dont chacune n'exercera aucune action sur le point 0.

§ II. Formules relatwes à F elli nsoïde .

io3. Lorsque le point 0 appartiendra à la masse attirante, on facilitera souvent les intégrations en prenant ce point pour origine des coordonnées polaires. Le rayon vecteur du point quL'lconque M sera alors r/; en appelant donc, com:i»e dans len^^gS, d(û 1 élément de la surface sphérique dont le rayon est l'uni té,' on aura

dv = u^dud'jûy: dm = fu^diuloùy

t66 TRAITÉ DE MÉGAISIQUE.

et si Ton appelle g, ^^ A:, les angles que fait la droite OM avec des parallèles aux axes Doc , Dj^, Dz, menées par le point 0, ou aura aussi ^ d'après les notations

du n"" g5 ,

cos s = • cos h = "^ , cos A: = ^ ;

ce qui changera les équations (i) de ce numéro en

celles-ci :

A = — l^fffff cos gdudcê , B = — f^ffffp cos hdudcù , C = — m/JJTp cos kdudcê.

Les intégrales relatives à u s'étendront depuis uz^o jusqu'à uz=Lr, en désignant par rie rayon vecteur d'un point quelconque de la surface qui termine le corps attirant. Pour plus de simplicité , si l'on sup* pose ce corps homogène , ces intégrales s'effectueront immédiatement, et il en résultera

k=L^fAjpffrco%gd(ê, ï

B = — fxf 0 Jjfr cos Iidûû , / (a)

C = — f^JpJT^ cos Wv. )

Pour déterminer la valeur de r, qu'on devra substituer dans ces formules , soit , en coordonnées rectangulaires,

l'équation de la surface du corps attirant. En un point quelconque de cette surÊice , on a

a: = a + ucosg, j^C + ucosh, 2=^-f-«cosA:,

d'après les valeurs précédentes de cos g, cos A, cosAr,

et a,€, y , étant toujours les trois coordonnées du point 0 dont les valeurs sont données. On substituera donc ces valeurs de Jo,jr, z, dans l'équation précédente; celle qui en résultera donnera ^ en général^ deux valeurs de r, Tune positive et lautre négative} mais on rejettera la valeur négative, parce que le rayon vecteur r est une quantité positive dont la direction est uniquement déterminée par les angles g, h, k, qui peuvent être aigus ou obtus.

Après la substitution de la valeur de r dans les équations (a), les intégrales doubles s'étendront à tous les élémens dco dé la surface spbérique, décrite du point 0 comme centre, et d'un rayon égal à Tunité.

104. Appliquons ces formules au cas de l'ellipsoïde homogène dont la surface a pour équation

n, b, c, désignant les trois demi-axes, et le centre de figure étant l'origine D des coordonnées. Si Ton y substitue les valeurs précédentes de ac, jr, z, il vient

pr^ + 2qr = l,

en faisant, pour abréger,

cos'^ cos*h cos'^

dL COS^ ^^ C C08 h ^^ y C08 h

Nous aurons donc

i88 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Ovj la quantité p est positive; la quantité / est aussi positive ou zéro, parce que le point 0, qui répond aux coordonnées et^ Ç^ y^ qs\. situé dans l'intérieur de rellipsoïde, ou, tout au plus, à sa surface; par conséquent, il faudra prendre le radical avec le signe +, pour que le rayon r ne soit pas négatif. Je dis, de plus, qu'on pourra supprimer ce radical dans les formules {a). En effet, la partie correspondante de l'intégrale contenue dans A, pati exemple, serait

mais pourcBaque couple d'éléniensrfry dont les rayons sont dans le prolongement l'un do l'antre, les élémens de cette intégrale double se détruisent ; car en passant de l'un de ces élémens da> a l'autre, chacun des trois cosinus cos g, cosh, cosk, change de signe, les quantités p, /, q^, restent les mêmes, et le coefficient dedj) sous le signe y prend des valeurs égales et de signe contraire. Tous les élémens de l'intégrale précédente se détruisant ainsi deux à deux, la valeuc de A devient d'abord

A = «/-, iiff'-^/d^ + p//'-=^ ^

en ayant égard à la valeur de q. Ov, les deux dernières de ces trois intégrales se composeront de cou-

pies deléraens qui répondront aux mêmes valeurs de h et de k^ et à des valeurs de g supplémens Tune de l'autre. Chacun ^ie ces couples d'élémens se réduira donc à zéro, et, par conséquent aussi ^ les intégrales entières. En supprimant ces intégrales et faisant subir des réductions semblables aux valeurs de B et de C, on aura simplement

c = '^ff'-^ *.

Soient actuellement â l'angle compris entre le rajon OM et la parallèle à l'axe Ox menée par le point D, et \[/ l'angle que fait le plan de ces deux droites avec un plan passant par la seconde et parallèle à celui des x et jr ; nous aurons (n° 8)

cosg=cosô, cos/t = sinGcos-s}/, cosA; = sinSsin-^y

et, en même temps (n* g3),

d(» = sin fltffl d^; d'où il résultera

a^b^c^p = iV cos* fl + (c» cos*4/ + b^ sin* >}/)«• sin' fl, . f^ rr cos^ Q sin g<fa d^

~ ~^JJ p ■

Pour comprendre les directions de tous les rayons OM, les intégrales devront s'étendre depuis 0 = o et >[/ =0 jusqu'à 3=7 et 4 =^'^; niais à cause que le coeffi-

igo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

cient de M Si lai même yaleur pour 8 et pour tr — - 9, il suffira d'intégrer depuis 6 = 0 jusqu'à 8 s=t*^ir, et de doubler le résultat ; et parce que le coefficient de 4 est le même pour 4 ^^ po^^ ^^^^4^ ^ saffiiat «us» d'intégrer depuis 4 =^ o jusqu'à 4 = 7^> et cfe quftdrujder le résultat. Cela étante je fais

et à cause de

cos'4 =^ ! a 9 sin'4 ^^

il en résulte o p"^ ^Jo (^•co8'l-Hi*sm*Ô)c'+(c«cos*l-fû«8in*l)*V

vr-rr>

a J^(6* cos* # + a» sin* •) (c» cos^ • + a» sin» •)

au moyen de quoi la valeur de A ne dépendra jJua que de l'intégrale relative à 0. Sans nouveau calcul, ou déduira B de A en y mettant S au lieu de ce, et permutant les lettres a et 6; et de même, on déduira C de A en y mettant y au lieu de a, et permutant les lettres a et c. De cette manière, on aura finalement

A, /• ri^ bc cos* I sin fîrfl

B = \-rrffrr^ ^ accosUs\n^dé

^ "^^ J o 1/ (a*cos«ô+ A-sin*6)(c'co8*ô + b^sin^b) ( ^

ab cos* â 8ln 8d3

\/ (6*cos*ô + c*8in»6)(û*cos*a + c»8În»ô)

Ces valeurs de A, B, C, étant positives, il s'ensuit

que ehacnne de ces trois contposantes tend à rapprocher le point 0 du centre de l'ellipsoïde ; le contraire anrait lieu dans le cas d'une répulsion où l'on devrait mettre, dans ces formules, — fdxi lieu de^i

io5. Désignons par cT une constante positive, et supposons qu'on substitue (i + J^)^, (ï+ J^)ô, (i -f- J^)c, au lieu de a, i, c, dans les formules (c). Le facteur i + cT disparaîtra , et les valeurs de A , B, C, resteront les mêmes. Or, par celte substitution, l'ellipsoïde se trouvera augmenté d'une partie comprise entre sa surface primitive et une surface semblable; les composantes A, B, C, ne changeant pas, il en faut donc conclure que l'action de cette partie additive sur le point intérieur 0 se réduit à zéro.

Ainsi une couche homogène comprise entre deux surfaces elliptiques semblables , ayant le même centre et leurs axes dans les mêmes directions , n'exerce aucune action attractive ou répulsive sur un point 0 situé dansl'espace vide que termine sa surface intérieure; en sorte que ce point matériel restera en équilibre, quelque part qu'il soit placé dans cet espace ; tbéo^ rème qui comprend celui que nous avons précédem^ ment trouvé pour Iç; cas d'une couche spbérique.

Il en résulte que l'action d'un ellipsoïde plein et homogène sur un point 0 de sa masse, se réduit à celle qui est exercée par la partie de cette masse terminée par la surface elliptique, passant par ce point, semblable à ceUe du corps entier, et semblablement placée. l)'après les formules {c), la composante de cette force, parallèle à chacun de«î trois axes de l'eU

lipsoïde , est proportionnelle à lordonnëe du point 0 parallèle à cet ane^ et ne dépend que de cette variable. Dans le cas général où les trois demi-axes a, b^ c, sont inégaux, on transforme en fonctions elliptiques les intégrales relatives à 6 que ces formules renferment ; ce qui permettra d en calculer les valeurs numériques , au moyen des tables de M. Le- . gendre. Ces mêmes intégrales s'obtienneat sous forme finie, lorsque deux des constantes a, à^Cj sont égales t et qu'il s'agit, par conséquent, dun ellipsoïde de révolution.

io6. Supposons, par exemple, qu'on ait c = 6; la forme des intégrales relatives à 0 sera différente, selon que Tellipsoïde sera aplati ou allongé , c estrà* dire , selon qu'on aura b '^ a ou b <^ a. Supposons aussi que ce soit le premier cas qui ait li^u; et faisons, dans cette hypothèse,

en sorte que la fraction e soit l'aplatissement de l'ellipsoïde, et m sa masse. Il en résultera

. Sftfmx, r\fr cos»ô sin hd^ ^

""ô^* J o ~i-he*cos*ô '

et, en effectuant l'intégration, on aura

A = ^^§^ [e — arc (tang=: e)],

pour la composante parallèle à l'axe de révolution. On aura aussi

B C Sfifm r\^ cos'9sin6<fa

Les composantes B et C étant entre elles comme les coordonnées f et ^ du point 0, il s'ensdit que leur résultante sera dirigée suivant la perpendiculaire abaissée de ce point sur Taxe de révolution. En appelant A^ cette force ^ et et' la longueur de la perpendiculaire, de sorte qu'on ait

et effectuant l'intégration indiquée, il vient

La résultante des deux forces A et A' exprimera , en grandeur et en direction. Faction totale de l'ellipsoide sur le point 0.

Lorsque e sera une très petite fraction , on pourra développer ces valeurs de A et A' en séries très convergentes , ordonnées suivant les puissances de e. A cause de

arc (tang = e)=6 — ^ -f-j — etc. , -=e — e^+e* — etc. ,

l-hc

nous aurons

Dans le cas de la sphère, ou de 6 = 0, la résultante de A et A' sera dirigée vers le centre , et aura la même intensité que dans le n* loi.