Le calcul de lattraction d'un ellipsoïde ho

l94 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

mogène sur un point extérieur présente encore beaucoup plus de difficulté; mais on doit à M. Yyori un théorème au moyen duquel ce cas peut être ramené à celui du point intérieur ; ce qui permet d'exprimer les composantes de l'attraction par des intégrales simples j semblables aux formules (c). Voici une démonstration de cette importante proposition.

En faisant^ dans la première équation (i)dun''95,

dm = pdûcdjrdz,

et observant que f est un facteur constant, on a

A=^yp rrf- — (izL^)'^4r&

Je suppose que l'équation de la surfiice soit tooicors l'équation (h), et j'y naets ajc', by', cz'^ à la place de ^> y* z, ce qui la change en celle-ci :

En même temps la valeur de A devient

et si l'on désigne par ± x, les valeurs de x\ égales et de signe contraire , que l'on tire de l'équation précédente , l'intégrale relative à a:' devra être prise depuis or' = — JC, jusqu'à jc' = x, ; ce qui donne

A=«^ / ff ^^ ..

__ rr dydz! \

JJ [(« + «r,)' -f (f — byy + (y — cTfyî^ J

CbacoBe de ces deux intégrales doubles s'étendia: à» tous les élémens de la demi-suf&ce sphérique doiri; le rayon est Fumlé, et qui a sou centre, à Tongine des coordonnées ; le produit dydz' est la projeetioit sur le plan des jr et z , d'un élément <|ueIconque. SI donc on désigne par 8 l'angle que le rayon qui aboi»^. tit à cet élément fait avec Taxe des x^ et par ^{r l'angle: compris entre le plan de ces deux droites et le plan des X e\ jTf l'aire de cet élément sera sin ^d^d*^ , son inclinaison sur le plan des jr eï z sera Tanglè 8^ et il en résultera

4y^rf/=cos8sinflrferf^|/,

pour sa projection sur ce plan. On aura en même temps

x» = cos6, j^' = sin 0 cos n|/ , 2'= sin 0 sin 4.

Les limites des deux intégrales seront maintenait 8 = 0 et ^^ = o, 6= ^ TT et >(/ = a^; mais si l'on met, dans la seconde, 7r — > 8 à la place de «tt, il est aisé de voir que ces deux intégrales se réuniront en une seule, qui aura les mêmes limites par rapport à 4» ^^ ^^^^ l^s limites relatives à 0 deviendront 8=0 et 8 = ^; en sorte que l'on aura simplement

en faisant, pour, aliréger, *r '

R*=:ce*-{-C>4-y^ — 2(aaco8l-fr^^siDlco84/4-r^^ûi'sii^40

+ fl*Coè'i + b* sin* • cos* 4^ + c* sin" I siii* 4^ , \

et regardant R comme une <piantité positive. Les

,tj6 TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.

deux aulres composantes B et C s'exprimeront pareîl-

lement par des intégrales doubles.

Maintenant, considérons l'attraction d'un autre ellipsoïde ayant la même densité f, le même centre, et ses axes dans les mêmes directions que le premier. Soient a^ , b, , c, , les trois denii-axes coirespondans k a, b, c; appelons 0, le point soumis à cette attraction, a,,€,, y,, ses coordonnées, et A, , B, , C,, les composantes de cette force, parallèles aux trois axes de l'ellipsoïde. En supposant toujours que /*. soit la masse du point attiré, nous aurons

A,^f.Jb,c,JJ^ -^^i

R, étant ce que devient R quand on y change a, b, Cfa,€ , y,ea a,, b,, c,, cl,, 6, , >,. Les valeui-s de B, et C, se déduiront de même de celles de B etc.

Supposons tpie les deux ellipsoïdes aient les mêmes foyers, et couséquemment des excentricités égales; on aura alors

i'^a'+A, c*^a^+Â, b]=a]-^-/^, c'^fl*-f-A;

h, k, h — k, étant des quantités positives ou négatives qui exprimeront, abstraction faite du signe, les carrés des excentricités communes à ces deux corps. Supposons, de plus , que le point O, , attiré par le second ellipsoïde, soit situé sur la surface du premier, et le point 0 attiré par le premier , sur la surface du second. D'après l'équation [h) et celle de la surface du second ellipsoïde, il faudra qu'on ait

Soient enfin p et q deux angles donnés; et prenons

,=:acos^, 6,=:6sin/7C0S9, ^,c=csin/^sinçy ) ^ ^ zzza^cospf £ =:6|Sin/?cos ç, ^ sizcfiinpsiuq; j ,

valeurs qui satisferont aux deux ëquatîons précédentes et qui établissent une relation particulière entre les coordonnées deé points 0 et Q, . En substituant ces râleurs de a , ff , 7, dans Texpression de R*, et y mettant aussi les valeurs précédentes de A*, c*, b^, c], il vient

R' = û| + a*t+ h (sin^p cos* q •+• sin* 9 cos* 4) A: (sin*/i sin* q + sin" 9 sin* 4) a (a, a cos /? cos Q + b^b sinpcos q sîn 9cos>|/ c, c sin^ sin q sin 9 sin 4)*

Or, sans écrire la valeur de R^ , on voit qu'elle sera Ta même que celle de R* ; car elle s en déduirait par Tes permutations deueta^^betb^^c et c, , sans changer A et k, qui sont des quantités communes aux deux eUipsoldes f et il est évident que cette dernière formule ne change pas par ces permutations. A cause de R, = R ^ les valeurs de A et A; renfermeront la même intégrale doublé ; en Téliminant , on aura donc

A,Ac = A6,c,,

Relativement aux autres composantes , on obtiendra des résultats semblables; en sorte que, d'après les

^g8 mAlTÉ DE MÉCANIQUE.

suppositions qu'on a faites sur les deux points attirés

0 et 0| y on aura finalement

A| biCj, B, \ a^c^ C, g|^i ^-v

A ~ 6c ' B ^ ûc ' 'C ~ ûô • l^-'

Pour énoncer le théorème que ces trois équations Mnfei^ent^ appdoQs points Correspohdans , ivi lès surfaces d^s detot ellipsoïdes , dem: poitits déni les coordonnées sont entre elles dans le rapport des demi-axes auxquels elles sont parallèles. Le point O^ de la surface du premier ellipsoïde, dont les coordonnées parallèles aux denii-^axes a^ b^ c^ sont 'Ci|y ^if yi9 a^i'A pour correspondant., sur la surlace du second ellipsoïde , le point 0, dont les coondoo^ nées parallèles aux demi-axes Ht^b^yC^f sont œ, Q^ y, puisiqu'on a^ d'après les équations (2),

«e, a . Qy h y, c

Cela posé y il résulte des équations (3) le théorème suivant :

Si l'on a deux ellipsoïdes homogènes qui aient le même centre et les mêmes foyers, l'attraction suivant chaque axe que l'un des deux corps exerce sur un point situé à la surface de l'autre, est à l'attraction de celui<-ci sur le point correspondant de la sur£sice du premier, comme le produit des 4eux autres axes du premier ellipsoïde est au produit des deux autres axes du second.

io8. Lorsque deux ellipsoïdes différensont, comme on le suppose, le même centre et les mêmes foyers^

Tun des deux est entièrement comjpris dans l'autre ; par conséquent , si le point 0 est extérieur par rapport au premier ellipsoïde , le point 0. sera intérieur par rapport au second. Pour déterminer, au mojeo du théorème précédent , l'attraction d'un ellipsoïde donné sur un point extérieur 0 aussi donné , on fera donc passer par ce point la surface d'un second ellip* soïde ayant le même centre et les mêmes foyers que le premier ; par les formules relatives aux points intérieurs, on déterminera les trois composantes A,, B,, G,, de Tattraction de ce second corps sur le point 0, de la surface du premier, correspondant du point 0 ; les équations (3) feront ensuite connaître les composantes A, B, C, de l'attraction de l'ellipsoïde donné sur le point donné. Ainsi tout se réduira à trouver les valeurs des trois demi-axes a^, b^j c^, du second ellipsoïde, d'après ceux du premier qu'on a représentés par a, à^ c, et d'après les coordonnées a, C^ y, du point donné 0.

Pour fixer les idées, je suppose que a soit la plus petite des trois quantités a^ b^ c; ce qui rendra positives les quantités A et A: du numéro précédent. J'appelle u le carré de a, ; on aura

et il ne restera plus qu'à déterminer cette inconnue //, qui devra être réelle et positive. Or, en vertu de la seconde équation (1), nous aurons

équation da troisième degré par rapport a u, qui a au moins une racine réelle et positive ; car en faisant croître u depuis zéro jusqu'à l'infini , son premier membre est d'abord plus grand et ensuite plus petit que le second ; en sorte qu'il y a au moins une valeur positive de u qui les rend égaux. Je dis de plus qu'il n'y en a qu'une; car en supposant qu'il y en ait deux , u et li ^ il fsiudrait qu'on eût à la fois

"f" ,, i it ■"" ^ ^

u ^^M+A'^ll + A

II' ^ 1/+ A ^ i/'+ k

et en retranchant ces équations l'une de l'autre, et supprimant le facteur vl -^u^ commun à tous Les termes , il en résulterait

^ , ^ t yl ^

ce qui est évidemment impossible. Donc il n'existe qu'un seul ellipsoïde qui ait le même centre et les mêmes foyers qu'un ellipsoïde donné, et qui passe en outre par un point donné. La quantité 2^, d'où dépendent ses trois demi-axes a^y b,, c, , est déterminée par l'équation (4) ; ce qu'il s'agissait de trouver.

109. Nous ferons remarquer que le théorème du n"* 107 convient également à toutes les lois d'attraction en fonction de la distance ; Car la démonstration qu'on vient d'en donner est fondée sur la forme que prend l'expression de R* , qui se trouve identique pour les deux points 0 et 0. , et non sur la forme

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aoi

de la fonction de R^ qui exprime la loi de l'attraction.

Si les deux ellipsoïdes sont des sphères concentriques, l'attraction de chacune d'elles sera la même sur tous les points de la surface de l'autre, et il ne sera plus nécessaire que les points 0 et 0, soient correspondans. En appelant a et a^ les rayons de ces deux sphères, D l'attraction de la sphère du rajon a sur un point de la surface sphérique du rayon a, , et D, celle de la sphère du rayon a, sur un point de la surface sphérique du rayon a, lesquelles forces seront dirigées suivant les rayons des points attirés, on aura

quelle que soit la loi de l'attraction en fonction de la distance.

Cette proportion est facile à vérifier dans le cas ordinaire où l'attraction est en raison inverse du carré de la distance. En effet , d'après les résultats du n° I o I , si l'on suppose a > a, , l'attraction D de la sphère du rayon a sur un point intérieur, situé à une distance a, de son centre et dont ft est la masse, sera

lattraction D, de la sphère du rayon a^ sur un point extérieur, dont ^ est aussi la masse et qui se trouve ila distance a de son centre, aura pour valeur

202 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

et en comparant ces valeurs de D et D,, on voit qu elles sont entre elles comme les carrés des rayons a et a^.

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