BU MOUVEMENT RECTILIGNE ET BE LA ME8UKË BES
FOBCES.
§ I*'. Formules du mouvement rectUigne.
iio. Le mouvement le plus simple que puisse prendre un point matériel est celui qui a lieu en ligne droite^ et dans lequel le mobile décrit des espaces égaux en temps égaux. Cest ce mouvement rectiligne que Ton appelle uniforme y et qui sert de terme de comparaison à tous les autres mouvemens.
Quand le rapport des espaces parcourus aux temj^ employés à les décrire change continuellement^ le mouvement est varié; si ce changement n'avait lieu qua des intervalles de temps finis ^ le mouvement ne serait qu'une succession de mouvemens uniformes.
âo4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Dans un mouvement quelconque, lespace parcouru par le mobile^ ou ,, plus généralement, sa distance à un point fixe pris sur la ligne quil décrit, est une fonction du temps écoulé depuis une époque convenue. Ainsi, en appelant t ce temps, et x cette distance, on aura, dans tous les cas,
a: = Ff ;.
et les diverses sortes de mouvemens différeront entre elles par la forme de cette fonction F^. La variable t pourra être positive ou négative : ses valeurs positives répondront à des époques postérieures à celle d'où l'on compte le temps , et ses valeurs négatives, à des époques antérieures.
Dans le mouvement uniforme, si Ton appelle a l'espace parcouru dans chaque unité de temps , et b la distance du mobile au point fixe , à l'origine du temps ^, c'est-à-dire, la valeur de x qui répond à ^ = 0, on aura, à un instant quelconque,
car, d'après la définition de ce mouvement , l'espace ^ — h décrit dans le temps t doit être égal à l'espace constant a, répété autant de fois que t renferme d'unités.
m. On ne définit ni le temps ni l'espace; mais il suffit à la Géométrie et à la Dynamique que nous puissions mesurer les dimensions des corps et les durées de leurs mouvemens. La mesure des longueurs est fondée sur la superposition , et se conçoit sans aucune difficulté^ celle du temps exige quelque expli«cation.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 2o5
•Oq finrait un cercle vicieux si l'on disait , d'une part, que le mouvement uniforme est celui dans lequel les espaces parcourus sont proportionnels au temp&9 et, d'un autre côté, que le temps a pour mesure le mouvement uniforme, c est-à-dire qu'il est proportionnel aux espaces parcourus dans ce mouvement. Mais la notion des temps égaux et la mesure du temps ne sont fondées nécessaii*ement sur aucune loi particulière de mouvement, et l'on peut, en conséquence, les supposer dans la définition du mouvement uniforme et de toute autre sorte de mouvemens.
Conoevons, en effet , que des corps parfaitement identiques se meuvent successivement^ et que, pendant toute la durée de son mouvement , chacun des mobiles se trouve exactement dans le même état que celui qui l'a précédé : il est évident que tous ces mouyemens , dont la loi n'est pas donnée , s'exécuteront en temps égaux, et que leur nombre pourra servir de mesure au temps. Ainsi, par exemple, si ces corps sont pesans et retenus par un axe fixe horixontal, qu'on les écarte tous également de leur pontion d'équilibre, et qu'on les abandonne ensuite à euz-»m£nKS , de sorte que le mouvement du second commence dès que le premier est revenu à cette position, celui du troisième aussitôt que le second y est revenu de même, et ainsi de suite, il n'y aura aucune différence possible entre tous ces mouvemcns sncoessife qui s'achèveront en temps égaux. On prouvera par la suite qu'il n'est pas nécessaire pour cela que ce soient différens mobiles qui se succèdent, et
2oG TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
que les oscillations successives d'un même corps, de part et d'autre de sa position d'équilibre, sont aussi wocArone^, ou d'égale durée; mais la considération précédente, qui ne suppose la solution d'aucun problème de Mécanique, suffit a l'objet que nous nous sommes proposé.
Les astronomes ont reconnu, par les obserratiom les plus précises et le plus souvent répétées, l'tora* riabililé de la révolution apparente de ia sphère céleste autour de la terre; et, eflectivemeut, la théorie n'indique aucune inégalité sensible dans le mouvement de rotation de la terre qui donne lieu à cette apparence. On appelle joiir sidéral la durée constante de cette révolution, laquelle durée est moindre que celle de la révolution diurne du soleil. Celle-ci n'est pas exactement la même à toutes les époques de l'année; et c'est sa grandeur moyenne que Ion prend pour unité de temps dans les usages ordinaires, et que l'on appelle le Jour moj'cn. Nous adopterons, dans cet ouvrage, la division du jour en a4 heures, de l'heure en Go minutes, et de la minute en 60 secondes; en sorle que la seconde sera la 86400* partie du jour moyen. Le jour sidéral ne contient que 86164,09 secondes; d'où îl résulte que pour exprimer en jours sidéraux un temps donné en jours moyens, il faudra le multiplier par le rapport de 66400 à Ô6i64>09, ou par le nombre constant 1,0037579.
I 12. Un mouvement uniforme diffère d'un autre par la grandeur de l'espace parcouru dans l'unité de temps. Dans chaque mouvement uniforme, cet es-
pace constant est ce qu on appelle la vitesse du mobile ; mais , pour parler exactement , cet espace n'est que la mesure de la vitesse , et non pas la vitesse ellemême. La vitesse d'un point matériel en mouvement est une chose qui réside dans ce point , dont il est animé y qui le distingue actuellement d'un point matériel en repos , et n'est pas susceptible d'une autre définitioD. La vitesse exprimée^ dans le mouvement uniforme, par l'espace que le mobile décrit dans chaque unité de temps , suppose qu'on prend pour unité de vitesse celle du mobile qui parcourt l'unité linéaire dans l'unité de temps.
Dans un mouvement varié quelconque, la vitesse du mobile varie par degrés infiniment petits , et elle est une fonction du temps qui se déduit , ainsi qu'on le verra tout à l'heure , de celle qui exprime l'espace parcouru : mais, auparavant , il est nécessaire de connaître le genre de mouvement que prendra un point matériel en vertu de sa vitesse acquise , si la force qui lui a imprimé cette vitesse , par son action continuée pendant un certain temps , vient à cesser d'agir y et que ce mobile soit abandonné à luimême.
II 3* Il est d'abord évident que si le mobile s'est mu jusque là en ligne droite , il continuera à se mouvoir suivant le prolongement de la ligne qu'il décrivait ; car il n'y aurait aucune raison pour que ce point matériel s'écartât de la direction qu'il a reçue plutôt d'un côté que de l'autre* Mais nous ne pouvons pas affirmer, à priori, que la vitesse qui lui a été imprimée ne se ralentira pas d'elle-même , et ne fi-
ao8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
nira pas par s eteîtidre entièrement ; ce n'est que par l'expérience et l'induction que celle question peut être décidée.
Or, à mesure que les obstacles à l'état de mouvement des corps, tels que les frottemeos et les résistances des milieux qu'ils traversent, diminuent d'intensité, nous les voyons persévérer de plus en plus dans cet état ; et , toutes les fois que nous apercevons une altération dans leur vitesse, nous reconnaissons que cet effet peut être altribué à une cause étrangère. Nous sommes donc conduits à conclure que s'il était possible qu'un point matériel , après avoir été mis en mouvement, ne fût plus sollicité par aucune foix:e , et ne rencontrât aucun obstacle, son mouvement serait rectiligne et uniforme, c'est à-dire, le plus simple de tous les mouvemcns.
Ainsi, par exemple, si une parcelle de fer est mise en mouvement dans le vide, sur un plan horizontal et sans fi-ottement , par la seule action du pôle d'un aimant, et que tout à coup on détruise le pouvoir attractif de ce pôle , en y juxtaposant un pôle égal el contraire, celte parcelle continuera de se diriger vers ce point; mais son mouvement deviendra uniforme, et sa vitesse sera plus ou moins considérable, selon qu'on aura laissé agir la force atlraciive plus ou moins long- temps.
L'impossibilité où sont tous les points matériels de se mettre en mouvement ou de changer le mouvement qui leur a été communiqué, sans le secours d'une force, est ce qu'on entend par l'inertie de la matière. Ce mot ne signifie pas que la matière soit
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aog
incapable d'agir; car, au contraire , chaque point matériel trouve toujours dans Faction d'autres points matériels, mais jamais en lui-même, le principe de son mouvement.
II 4* Au bout du temps ^, et quand le mobile se trouve à la distance x d un point fixe pris sur la droite qu'il décrit, soit s^ sa vitesse acquise, c'està-dire , la vitesse du mouvement uniforme qui aurait lieu y si, à cet instant, la force qui agit sur le mobile venait à cesser d'agir. L'action de cette force continuant, l'espace dx que le jnobile parcourra dans l'instant dt sera décrit en vertu de cette action et de la vitesse v ; la partie de dx correspondante à cette vitesse, qui serait décrite d'un mouvement uniforme , aura \>dt pour valeur. En appelant donc € la partie de cet espace qui répond à l'action de la force pendant Tinstant dt y nous aurons
dx = wft 4- 6.
Or 9 la vitesse variant par degrés infiniment petits, et ses variations étant uniquement dues à l'action de la force ^appliquée au mobile , il s'ensuit que dans le temps dt cette action ne peut produire qu'une vitesse infiniment petite ; par conséquent , cette même action ne peut faire décrire qu'un espace infiniment petit du second ordre, moindre que celui qui serait décrit uniformément par le mobile, s'il recevait au commencement de dt toute la vitesse qui sera produite pendant la durée de cet instant. On peut donc négliger € par rapport à \fdt dans l'équa-
tjon précédente; et alors on aura
dx
pour l'expression de la vitesse dans un mouvement quelconque.
Si Ton voulait connaître la partie € de l'espace parcouini par le mobile dans le temps dt , en vertu de Faction de la force qui le sollicite^ il faudrait conserver les puissances de dt supérieures à la première. Or, en appelant x' la distance du mobile au point fixe , au bout du temps t '+- dé , on aura , par le théorème de Taylor,
^'-a:=|A + i^de.+ etc.,
pour l'expression complète de l'espace parcouru dans
cet instant dt. Le premier terme , égal à vdt , est
l'espace dû à la vitesse acquise au bout du temps t;
si donc on néglige les termes du troisième et des
ordres supérieurs par rapport à ceux du second,
on aura
« = - Ti^ dt\
OU, ce qui est la même chose ,
€ = ^dvdtf
pour la partie de l'espace x' --^x que l'action de la force a fait parcourir. La vitesse produite en même temps par cette action étant d9 , on voit que l'espace cpie le mobile décrirait uniformément, pendant ce temps dt, s'il recevait au commencement
DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE. a 1 1
toute cette augmentation de vitesse^ serait égal ao produit de d^ et dt , ou double de l'espace e qu'il décrit réellement.
Il 5. Lorsque lespace parcouru sera donné en fonction du temps ^ on en déduira immédiatement la vitesse correspondante, au moyen de Féquation
V = ^. Par exemple, les mobiles, dans la machine
d^jéthoodj décrivant des espaces qui croissent comme les carrés du temps, on en peut conclure que leurs vitesses acquises doivent être proportionnelles aux temps pendant lesquels ces espaces sont parcQuruS; ce que cette machine fournit, en effets le moyen de vérifier.
Réciproquement, si la vitesse est donnée en fom>tion du temps par là définition du mouvement, ùa en déduira, par l'intégration, Texpression de l'espace parcouru. Ainsi, après le mouvement uniforme, le plus simple est celui dans lequel la vitesse augmente ou diminue, de quantités égales, en temps égaux , et qu'on appelle , pour cette raison i uniformément accéléré ou retardé. Si donc on appelle g l'accroissement constant, positif ou négatif, de la vi^ tesse dans chaque unité de temps, et a la vitesse du mobile quand ^ = o , la vitesse (^ à un instant quelconque sera, dans ce mouvement,
v =: a + gt;
«t en multipliant par dt et intégrant, on aura
X = 6 + ai + îff^S
pour la distance du mobile à un point fixe de la
ûia TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
droite qu'il décrit ; b étant cette distance à Torigine du temps t.
Lorsque les deux constantes a et b seront nulles, on aura simplement
L'espace parcouru est donc alors proportionnel au carré du temps ; et la vitesse acquise au bout d'un temps quelconque t est telle qu'en vertu de cette seule vitesse le mobile décrirait , 'en un temps égal à ^^ un espace ^t double de celui qu'il a parcouru. U s'ensuit que si l'on connaît i'espace parcouru dans la première unité de temps, on aura, en le doublant , la valeur de la vitesse constante g, par laquelle un mouvement uniformément accéléré diflere d'un autre mouvement de la même nature.
Ce mouvement est celui des corps pesans qui tombent dans le vide. En un même lieu, la vitesse g est égale pour tous leurs points; en sorte qu'ils décrivent tous, d'un même mouvement de cette espèce, des droites verticales. Cette vitesse varie d'un lien à un autre; en prenant la seconde pour unité de temps, et le mètre pour unité linéaire, on a con-* clu de l'expérience
à l'Observatoire de Paris.
La force qui produit des vitesses égales en temps égaux est pour nous une force constante. Ainsi , la pesanteur est une force constante; ce qui signifie ici qu'elle agit avec la même intensité sur les corps
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aiJ
déjà animés de vitesses quelconques ^ et non pas seulement y comme dans le n"* 5g, que son intensité est la même dans toute retendue d'un corps de dimensions ordinaires.
1 16. Les lois de l'équilibre ne supposent aucune relation particulière entre les forces et les vitesses correspondantes; et, pour résoudre les problèmes de Statique , il suffit de connaître les rapports ntr* mériques des forces^ tels qu'ils ont* été définis dans le n® 5. Les lois du mouvement , au contraire , dépendent du rapport qui doit exister entre les grandeurs des vitesses produites par des forces données; et ce rapport, dont la connaissance est indispensable pour la solution des problèmes de Dynamique , est le même que celui des forces , ainsi qu'on va le dé-^ montrer.
Soient toujours x et f^ l'espace parcouruet ht vitesse acquise par un point matériel au bout du temps ti Supposons qu'à cette époque deux forces données y et y agissent simultanément sur le mobile , suivant la direction de son mouvement; désignons par u la vitesse infiniment petite que la force y imprimerait au mobile , si elle agissait seule pendant un «temps r infiniment petit,, et par i^' celle qui serait produite par la force^^, dans le même temps, si la force^n'exis* tait pas. Je dis que la simultanéité de ces deux forces ne modifiera pas les vitesses dont elles sont capables séparément , et que la vitesse produite par la force / + /' sera u + u\ c'est-à-dire qu'au bout du temps t -^^ r , la vitesse du mobile sera devenue
9i4 TRAITÉ DE MÉCAHK^JE.
.£n effet, l'augmentation de Titesse du moiâle ne pourra dépendre que du temps r auquel elle aéra proportiounelle 9 et de l'état de ce point matériel , ou, autrement dit, de sa position et de sa vitesse pçodant ce même temps r; ce ne serait donc qu'en influant sur cet état que l'action de la force f pour^ rait modifier U vitesse qui sera produite par la force/. Or, pe9dant le temps r, la distance du mobile i un p^iût fixe et sa vitesse ne peuvent varier que de quantités infiniment petites , négligeables par rapport k x e\ i^; se& variations de distances à d'autres points fixes ou mobiles , d'où peuvent émaner les forces / et fp sont également négligeables ; par conséquent , la vite^e que produira la force /, pendant cet intérvaUe de temps r, ne saurait être modifiée en aucusie ma^ nière par l'action simultanée de la force f'; et il eti sera de même à l'égard de la vitesse due k la forée y, qui ne sera pas non plus changée par l'action de /. 9onc la vitesse totale imprimée au mobile pendant le temps t, par la force /•+'/', sera égaliç à u + «'.
Oa verra (le même que si la forée f agît dailis lé sens de la vitesae p, et la force f en sens contraire, l'augmentation de vitesse produite par la force f^^f^ ^ sera égale iiU-^-^u'.
. iQuelle que soit la nature de chacune des forces f fà\. f\ si elles sont capables d'une même vitesse n dass un même temps infiniment petit, ce sont pour ■DUS des forc^ égales. Appliquées en sens contraire l'une de l'antre , elles ne changeront pas ht vitesse du mobile, s'il est déjà en mouvement; il y aura ésfii^
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. !^t^
libre, m ce point matériel est eu repo$; ce quirantr^ dans la définition des forces égales du n^ 5.
Lorsque la force qui agit sur le mpbile dans le sens de la vitesse acquise, deviendra double, triple, qua* dmpie,..«. la vitesse qu'elle produira dans le temps r croîtra suivant la même proportion. Réciproquement, quand cette force se réduira à moitié, au tiers, au quart,.... la vitesse qui sera produite diminuera de )a même manière; et, généralement, les vitesses infiniment petites produites pendant des instanségaux^ dans le sens ou çn sens contraire de la vitesse acquise ., ou imprimées à un point matériel en repos, seront entre elles comme les intensités des forces correspondantes.
C'est sur ce principe général qu'est fondée la mesure des forces dans la Dynamique. On a coutume de le présenter comme une hypothèse; nous le donnons ici comme une conséquence nécessaire de ce que les vitesses imprimées par des forces quelconques , dans des intervalles de temps infiniment petits, sont toujours infiniment petites, et de ce qu'en même temps les déplacemens des mobiles sont aussj infiniment petits.
1 1 7. Si les forces que Ton veut comparer Tune à Tautre sont des forces constantes, de sorte que cbacnue d^jeBes produise , pendant toute Ja durée du mouvement, des vitesses égales en temps égaux (n** 1 15), leurs intensités serorit entre elles comme les vitesses qn elles imprimeiA en ûu inènie temps quelconque à no mhm point m^téri^l- lio,rs donc que œs vitès^e^ seront donpées par l'observation , en en cpuekiiA h xapport des forces; el, réciproquement, quand c?
ai6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
rapport sera donné à priori, ou pourra le prendre pour celui des vitesses.
Désignons, par exemple, par ^ et fiff' les intensités de la pesanteur à deux latitudes différentes , et supposons qu'on ait déterminé, en ces deux lieux de la terre , les vitesses g et g', acquises en une seconde par les corps qui tombent verticalement dans le vide; on aura
Le rapport de ces forces ^ et ^^ sera aussi celui des poids d'un même corps, ou de deux corps homogènes et d'un même volume, a ces deux latitudes. L'observation a fait connaître que les vitesses dues à la pesanteur augmentent en allant de l'équateur au pôle , et que l'accroissement total est à peu près ^hô d® 1^ plus petite. Il s'ensuit donc que le poids d'un même corps, transporté de l'équateur au pôle, augmentera de 7^ , et que , pour mettre en équilibre les poids de deux corps homogènes placés en ces deux lieux de la terre, il faudra que le volume du corps situé à réquateur excède de j^ celui du corps situé au pôle.
Soient encore ^9* l'intensité de la pesanteur dans le sens vertical , et 'ZiTi sa composante suivant une droite qui fait avec sa direction un angle a. D'après la règle du parallélogramme des forces, nous aurons
^, = <sr cos a ;
et si l'on appelle g et g^ les vitesses qui seront produites dans l'unité de temps par ces deux forces constantes, agissant séparément sur un même point ma-
tériel, la proportion
g : g, :: ns- : ns-,,
donnera aussi
g, = g cos et.
Si ce point matériel pesant est posé sur un plan incliné^ qui fasse avec le plan horizontal un angle égal à 90* — a , la force «r se décomposera en deux autres^ Tune perpendiculaire au plan donné et qui sera détruite par sa résistance , l'autre dirigée suivant ce même plan et qui sera la force ^sr,. C'est cette dernière force qui produira le mouvement dans le vide, abstraction faîte du frottement du mobile contre le plan incliné. Ce mouvement^ du à une force constante , sera donc uniformément accéléré ; et si Ton appelle x. et p, l'espace parcouru et la vitesse acquise au bout du temps t, on aura
équations dans lesquelles on devra mettre la valeur précédente de g..
Cet exemple est très propre à montrer la nécessité de connaître à priori le rapport des vitesses • dues à des forces dont le rapport est connu ; car si Ton ne savait pas déduire g, de la vitesse g donnée par Tob^ servation, et qu'il fallût , pour faire usage de ces dernières équations, déterminer aussi par l'expérience la valeur de g, qui répond à chaque valeur de l'angle et , la Dynamique se trouverait à peu près réduite à une science expérimentale.
%i9 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
II 8. Pour mesurer une force yériable^jl faut en considérer l'effet pendant un temps infiniment petite durant lequel on peut la considérer comme constante. Soit donc ^, dans un mouvement rectiligne quelconque , la force qui agit sur le oiobile au bout du temps t, et que nous regarderons comme una quantité positive ou négative ^ selon que cette force agira dans le sens de la vitesse acquise ou en sens opposé. Cette vitesse étant ç au mépfie instant^ elle sera V + ^(^ au bout du temps t-^dti en sorte que la force ^ aura imprimé une vitesse dv au mobile dans rinstant dt. Si donc on désigne par ^ar une force coustante et connue^ capable d'une vitesse g dans Tuiiita de temps ;^ et qui puisse, conséquemmçnt^ imprimer au mobile une vitesse gdtâsLm le temp$^^ on aura
^ : ^ :: di^ : gdt;
d'où l'on tire
Après avoir choisi arbitrairement une unité Ihiétfrf et un^ unité de temps, on exprimera en nombres la
constantç g et la valeur de ^ qui a lieu au ' boi]}!
d'un temps donné. Cette formule fera ensuite osmr naître, au même instant, le rapport numérique det la force ^ à la force connue 09- ; et si celle-ci est la pèr lenteur , ce rapport sera celui de la force <p au poids du mobile sur lequel elle agit ; en sorte que ce poinl matériel étant pesant et sollicité par la force f en
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 21g
contraire de la pesanteur, demeurerait en équilibre ,
si l'on trouvait, par exemple, - ^ = i.
On simplifiera la formule précédente, en prenant narei g pour unités ; ce qui la réduira à
L'unité de force sera alors la force constante qui imprimerait au mobile, dans l'unité de temps, une vitesse représentée par l'unité linéaire, de manière que si ces deux dernières unités sont la seconde et le mètre, l'unité de force sera à peu près le di:Kiènie du poids du mobile , d'après la valeur de g du n® ii5.
On peut remarquer que cette mesure -j- de la
force variable ^ est la vitesse que produirait, dans l'unité de temps, une force constante qui conaei*** verait pendant ce temps la même intensité que la force (p pendant rinsta.nt dt. Ainsi ^ diM^s le mouvez mont d'une parcelle de fer vers le pôle d'un aimant ^ que nous avons déjii pris pour exemple (n"" 1 13), la force (p dépend de la distance ait pôle, et est pair conséquent variable; mais si l'oa S4ip|K)ise qu'à un instant donné le pôle reculf devant 1^ ippbile , de manière que la distance de l'un à l'autre devienne constante, la force ^ le deviendra aussi, le mouvement se changera en un mouvement uniformément accéléré, et l'augmentation de vitesse qui aura lieii dans Tunité de temps sera la mesure de œtté force k l'instant où eHe est devenve constante.
aao TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
£n ayant égard a la valeur de € trouvée dans le n"" 1 14^ on peut aussi écrire
Il suit donc de cette formule et de la précédente qu'une force a également pour mesure la ^Hitesse qu elle produit dans un temps infiniment petit , divisée par ce temps, ou bien le double de l'espace qu'elle fait parcourir, divisé par le carré de ce même temps. Dans le mouvement uniformément accéléré, ces deux manières équivalentes de mesurer la force ont encore lieu y sans qu'il soit nécessaire que te temps soit infiniment petit.
1 19. Nous avons maintenant
pour les formules générales du mouvement rectiligne. Elles montrent les rapports qui existent, dans un mouvement quelconque , entre l'espace parcouru , la vitesse acquise et la force qui agit sur le mobile, et comment ces trois fonctions du temps peuvent se déduire l'une de l'autre, soit par la di fièrent ia tîon , soit par l'intégration.
En éliminant v entre les deux dernières, on a
ce qui suppose qu'on prenne le temps t pour la variable indépendante, et que sa diflërentielle dt soit constante; hypothèse que nous ferons de méme^ dans
toute la suite de cet ouvrage , sans que nous ayons besoin de le repéter.
Par rélimination de dt, on aura aussi
ce qui servira à déterminer v quand la force ^ sera donnée eu fonction de Jtr , et , réciproquement , cette force lorsque la vitesse sera .connue en fonction de l'espace parcouru.
Nous donnerons, dans le chapitre suivant, diverses applications de ces formules générales*
§; \V^ Mesure des forces en ayant égard aux l'j ^î- masses.
I20. Avant de montrer comment on devra tenir compte des masses dans la comparaison des forces qui agissent sur des mobiles dififérens, il importe de rectifier une expression inexacte, que l'on emploiesouvent, et qui tient à une confusion d'idées*
CcMicevons qn'un corps soit posé sur un plan horizontal, et qu'il n'y soit retenu par aucun frottement. Si je veux le faire glisser sur ce plan , il faudra néanmoins, à cause de l'inertie de la matière, que j'exerce un efibrt quelconque ; si à ce corps on en joint un second, puis un troisième, etc., il faudra que je déploie, pour produire le même mouvement, une force de plus en plus considérable. J'aurai, dans chaque cas, le sentiment de l'effort que je serai obligé de faire ^ mais je ne devrai pas en conclure que la ma-
222 TAAITÉ DE MÉGANIQUE.
tière oppose aucune résistance à cet effort , et ^'îi existe dans les corps ce qu'on appelle très inûipropre* ment une force d'inertie. Qaand on s'exprime ainsi , on confond la sensation que l'on a éprouvée^ et qui résulte de l'effort qu'on a exercé , avec la sensation d'une résistance qui n'existe réellement pas. .
Lorsque le corps frotte contre le plan ,ilja. effec^ tivement une résistance au mouvement horizontal , et je ne peux pas déplacer le mobile sur ce jJan sans exercer un effort supérieur à cette résistance. De même 9 quand je veux soulever le mobile verticalement^ il y a aussi une résistance à ce mouvement , que je dois vaincre par un effort qui la surpasse. Dans les deux cas, je ne produirai aucun ndèiivement tant que je ne ferai pas un effort plus grand que le poids du corps , ou que son adhésion au plau horizontal ; mais si l'on ne suppose ni pesanteur ni frottement, je mettrai le corps en mouvement^ qud* que ÊEiible que soit l'effort que j'exercerai, et quelque grande que soit la masse du mobile : alors , si j'éprouve qu'il faut Caire un plus grand effort pour communiquer le même mouvement à un corp» qu'à un autre 9 j'en conclurai que le premier se cQmpoK d'une plus grande quantité de matière que le second; et si je pouvais comparer avec précision les gran-^ deurs des efforts que j'aurai exercés , leur rapport serrait celui des masses de ces deux mobiles. C'est sur une semblable considération qu'est foiklée, ainsi que nous allons l'expliquer^ la mesure des ntiasses d'après les grandeurs des forces qui les mettent en mouvement^ et, réciproquement, la mesure
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 2a3
des forces en ayant égard aux masses et aux vi-
121. Deux points matériels, appartenant à des corps qui peuvent être de nature différente ^ ont des masses égales ou inégales^ selon que des forces qu'on suppose égales leur impriment ^ dans un même temps, la même vitesse ou des vitesses différentes. Supposons , pour fixer les idées ^ que les forces appliquées à ces deux points soient verticales, et qu'après les avoir placées dans les deux plateaux d'une balance ^ il y ait équilibre. Ces forces seront égales dans cette hypothèse ; et cela étant , si les deux points sont rendus entièrement libres , et que les mêmes forces les mettent en mouvement, leurs masses seront égales ou inégales, selon qu'ils prendront, dans le premier instant, des vitesses infiniment petites, égales ou inégales.
Lorsque, de cette manière , les masses de différens points matériels auront été reconnues égales , en les réunissant on formera d'autres points dont les masses auront entre elles des rapports quelconques. Ainsi , en appelant fi la masse de chacun des points égaux , met n^ les masses de deux autres points formés de. n et n' des premiers, m et m' seront entre elles comme ces nombres fi et h', et l'on aura
m = nu, m' =s /l'yx.
Maintenant, soient u, VfSf\ des vitesses infiniment petites, I et t des nombres entiers, et
a24 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Si deux forces f et f impriment aux masses m et m' les vitesses (^ et u dans un même instant , je dis quon aura
/ : /' :: mif : mV.
En effet, on peut regarder la force y comme la somme d'un nombre n de forces égales qui impriment la même vitesse (^ à chacun des n points égaux dont m se compose ; de sorte qu'en appelant A: lune de ces forces égales, on aura
f — nk.
Soit , en outre ^ ^ la force qui imprimerait la vitesse u à chacun de ces points égaux , pendant le même instant que la force A: lui imprime la vitesse s^. Ces forces agissant sur un même point matériel, seront entre elles comme les vitesses i^et(^(n''ii6);et, à cause de (^= iuj il en résultera
k = ih.
Nous aurons de même
/ = n^k\ k! = Vh',
en regardant J^ comme la somme de n' forces k' capables d'imprimer la vitesse i^' à chacun des points égaux dont se compose m', et appelant h' la force qui imprimerait à chacun de ces mêmes points la vitesse u. Or, h et h' étant des forces capables d'imprimer dans un même instant une même vitesse u à deux points égaux en masse , savoir, à deux des points dont la masse commune a été représentée par yu , il suit de ce qui précède qu'on doit avoir h':=:h. D après
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aaS
les équations précédentes , on aura alors
f=inh, fz:^i'n'h;
et, en ayant égard aux valeurs de m, m', </, v\ il en résultera la proportion qu'il s'agissait de démontrer.
123. Cela posé^ considérons un corps de grandeur et de forme quelconques , dont tous les points décrivent des droites parallèles , avec une vitesse commune qui peut d'ailleurs varier avec le temps. Partageons ce corps en une infinité de points matériels égaux en masse ^ tels qu'on vient de les définir. On pourra attribuer le mouvement de tous ces points à des forces qui seront égales et parallèles dans toute rétendue du mobile ; leur résultante, pour une partie quelconque de ce corps , sera égale à leur somme, et appliquée au centre de gravité de celle même par^ tie. Les forces correspondantes à deux parties quelconques seront donc entre elles comme leurs masses; par conséquent , si l'on appelle f la force totale qui agit sur le mobile , m sa masse , et ^ la force qui répond à une partie de cette masse prise pour unité , on aura
Quant à la force (p, elle sera proportionnelle à l'accroissement de la vitesse des points du mobile pendant un temps infiniment petit; et si l'on appelle sf cette vitesse au bout du temps t, on pourra prendre pour sa mesure, comme dans le n* ii8,
dv
a26 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Il en résultera donc
/dv
pour l'expression de la force dans un mouvement quelconque , en ayant égard à la masse du mobile , et supposant tous ses points animés d'une même vitesse.
Cette force /, qui est la résultante ou la somme des forces infiniment petites quW peut supposer appliquées à tous les points dont le corps est composé, se nomme force motrice; le facteur cp de sa valeur m^ s'appelle ybrce accélératrice , et n'est autre cfaosç que la force motrice rapportée à Tunité de masse.
La force motrice se change en une pression lorsque la masse sur laquelle elle agit est appuyée contre un plan fixe, perpendiculaire à sa direction. Une pression et une force motrice ne difierent donc l'une de l'autre qu'en ce que les vitesses infiniment petites qu'une pression tend à produire sont incessamment détruites par la résistance du plan fixe qui la supporte , tandis que celles qui sont effectivement ji^oduites pendant chaque instant par la force motrice s'accumulent dans le mobile , et qu'il en résulte une vitesse finie après un temps fini. Deux pressions sont entre elles comme les masses multipliées par les vitesses infiniment petites qu'elles tendent k leur imprimer dans un même instant , et qu'elles leur imprimeraient , en effet , si ces masses étaient libres.
123. Si le mouvement commun à tous les points d'un mobile est uniformément accéléré, et qu'on appelle g l'augmentation de vitesse qui a lieu dans
chaque unité de temps , on a
Pour une autre force constante f'^ agissant sur une masse m\ et produisant une vitesse g^ dans l'unité de temps, on aura de même
Or, Tobservation a prouvé que deux coi-ps pesans, quelle que soit la différence des matières , acquièrent la même vitesse en tombant dans le vide pen«dant un même intervalle de temps. Dans le cas de la pesanteur, on a donc g^sg' ; et, conséquemment, les poids / et /' de deux corps quelconques sont «ntre eux comme leurs masses m et m% ainsi que nous l'avons supposé dans le n^ 60. Le seul fait , constaté par une expérience journalière, que des corps hétérogènes ont des poids égaux sous des volumes différens , ne suffisait pas pour décider si leurs masses sont égales ou inégales ; il fallait savoir , de plus , que la pesanteur leur imprime le même mouvement, pour pouvoir conclure, de l'égalité des poids, l'égalité des quantités de matière.
Le poids d'un corps pesant qui tombe dans le vide est sa force motrice , et la pesanteur est sa force accélératrice. Pour abréger , on appelle souvent pestai" leur ou gravité la vitesse g , qui n'est que la mesure de cette force.
I a4* ^^ d^ forces données agissent à la sur&ce ou sur d'autres parties d'un corps solide , et qu'il en ré» suite pour tous ses points des vitesses égales et pa-
128 TRAITÉ DE MÉCANIQTJÉ.
ra1lè1eK,iL faudra que ces forces aient uoe résultante unique , qui coïncidera , en grandeur et eu direction , avec la force motrice, telle qu'on vient de la définir, et dont on déduira la force accélératrice en la divisant par la masse entière du luobile.
Supposons, par exemple, qu'un corps pesant tombe dans l'air, dans l'eau, ou dans tout autre fluide, et que sa forme et sa densité, s'il n'est pas homogène , soient symétriques autour d'un axe vertical. Il est évident que tout étant semblable autour de cet axe , tous les points du mobile décriront des droites verticales ; ce qui exige , puisqu'il s'agit d'un corps solide, qu'ils aient tous la même vitesse à chaque instant. La résistance du milieu, qui s'exerce a la surface de ce corps , se réduira donc à une force dirigée suivant son axe de ligure. Je désignerai par R son intensité à un instant quelconque, par ^ la partie correspondante de la force accélératrice du mobile, cl par m sa masse ; on aura alors
Comme cette force agit en sens contraire de la gravité pendant la chute du corps, la force accélératrice totale sera g — 4-. Si le mobile était lancé verticalement de bas en haut, les deux forces agiraient dans le même sens, et la force accélératrice totale serait négative et égnle à — g — ■^,
La théorie de la résistance des fluides est encore trop peu avancée pour qu'on puisse déterminer, à priori, la valeur de R , laquelle peut dépendre de la vitesse V dont le mobile est animé, de sa foriue, de
la densité et de la nature du fluide. Le plus communément ^ on la suppose proportionnelle au. carré dé c^. et à la densité du fluide t que je représenterai par p^ de sorte que l'on a
R = Cfv^;
a étant un coefficient qui ne peut plus dépendre cpie de la forme et dés dimensions du corps, de la nature du fluide , liquide ou aériforme , et de sa température.
Dans le cas d'une sphère^ on regarde le coefficient er comme proportionnel à sa surface ou au carré de son diamètre. En désignant donc par r son rayon ^ et par D sa densité > de sorte que sa masse soit
il en r&ultera
m = ^DrS
^ ^ Dr '
y désignant un coefficient numérique qui sera le même pour toutes les sphères, et dont la valeur devra être déterminée par l'expérience pour chaque nature de fluide. A cause que cette quantité 4 ^^^ ^^ la même nature que g, il s'ensuit que si Fôn désigne par k une vitesse donnée, il faudra qu'on ait
Dr k^
yf ë'
afin que l'expression de 4 prenne la forme
4 — iï>
a3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
conformément au principe de rhomogénéitë des quantités (n*» 25).
. 135. Une même force constante, agissant successivement sur des masses différentes, produira des mouvemens uniformément accélérés, dans lesquels la force accélératrice , ou l'accroissement constant de la Titesse dans chaque unité de temps, sera en raison inverse de la masse.
Ainsi, par exemple, y étant le poids mg d'une masse m, si Ton suspend cette masse à l'extrémité d'un fil qui soit attaché par son autre bout à une autre masse m' posée sur un plan horizontal , il est évident que ces deux masses prendront un même mouvement uniformément accéléré , et dcl à la force motrice f, abstraction faite du frottement et du poids de la partie verticale du fil. Si donc on appelle g' la force accélératrice de ce mouvement , on aura
g' = g COS w.
OU, ce qui est la même chose,
en désignant par a un angle tel que Ton ait
m =: (m -+- m!) cos a.
Par conséquent , le mouvement dont il s'agit sera le même que celui d'un corps pesant sur un plan incliné, qui fait l'angle a avec la verticale (n* 117).
Tous les corps étant mobiles et susceptibles de prendre des vitesses en raison inverse de leurs masses.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aSi
lorsqu'ils sont soamisy pendant un même temps ^ à l'actioa d'une même force , il s'ensuit qu'il n'existe pas de corps réellement ^/^reif; ceux qu'on appelle ainsi sont des corps qui ont de très grandes masses par rapport à celles dont dépendent les forces motrices qu'on leur applique , et qui ne reçoivent ^ amsequenounent y de l'action de ces forces que des vitesses extrêmement petites. A la surface de. la terre^ ce sont les corps attachés à cette sur£Eice qui ne font qu'une seule masse avec celle du globe terrestre ; et^ eu effets en prenant cette masse pour m' dans l'exemple précédent , on voit que la vitesse g' qui lui sera imprimée dans l'unité de temps , par un poids mg correspondant à une masse m de grandeur ordinaire , pourra être regardée comme tout-àfait insensible.
126. On a coutume d'appeler quantité de mour* ventent dun corps lé produit de sa masse par sa vi-* tesse. Four me conformer à l'usage ^ j'emploierai cette expression j à laquelle il serait toutefois plus correct de substituer celle de quantité de vitesse j puisque c'est la vitesse qui réside dans le mobile , et que le mouvement n'en est qu'un effet subséquent.
Il n'y a auame force qui produise instantanément une quantité finie de mouvement. Le choc d'un corps solide en mouvement contre un corps solide en re^ pos imprime à celui-ci^ dans un temps très court , mais non pas infiniment petite une vitesse qui peut être quelquefois très grande; et, pendant cet intervalle de temps^ les deux corps ne se déplacent pas sensiblement. Quelque durs qu'on les suppose, ils se com-
23a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
priment toujours un tant soit peu; la vitesse passe de l'un à l'autre pardegrésinfininient petils;et si l'on fait abslraclion de l'élasticilé de ces deux corps, leur action mutuelle cesse dès qu'ils ont des vitesses égales. Cette comniuoicatiou rapide de la vitesse, sans déplacement sensible des masses, est ce qu'on appelle une percussion ou une impulsion; elle équivaut, comme on voit, à une force motrice agissant, pendant un temps très court, avec une très grande intensité.
En considérant ainsi la percussion comme la somme des actions infiniment petites d'une force motrice, on en conclut qu'elle se décompose en deux autres percussions , suivant des directions données, par la règle du parallélogramme des forces , comme chacune de ces actions successives. Si, par exemple, ou exerce sur la tête d'un coin une percussion uomiale quej'appellerai P, elle se décomposera en deux autres percussions perpendiculaires à ses àeux J'n£es,- et si l'on représente par Q et Q' les deux composantes, par K et K' les longueurs des faces auxquelles elles répondent, el par H celle de la tête du coin, il est aisé do voir qu'on aura, d'après la règle citée,
d'oii l'on tire
Ainsi, en supposant que cette percussion F provienne d'une masse m qui vient frapper la lêle du coin ave« une vitesse a, ses deux facçs , ou plutôt les obstacles
fixes contre lesquels elles s'appuient , seront dans le même cas que s'ils étaient frappés normalement par la même masse m , animée de vitesses propor*
tionnelles à leurs longueurs, et exprimées par -^
1:27. Si un corps solide en repos est frappé à la fois y en sens opposés , par deux autres corps dont les masses sont m et mf, et les vitesses (^ et t^'; que ces trois corps soient symétriques autour d'un même axe quant à leur forme et quant a leur densité , et que tous les points des deux derniers se meuvent parallèlement à cette droite y leurs percussions sur le corps intermédiaire se feront équilibre , lorsque les quantités de mouvement mi^ et mV seront égales , c est-à-dire que ces quantités de mouvement passeront, pendant un temps très court, dans le corps intermédiaire , et s'y détruiront sans que ce corps soit déplacé d'une manière sensible.
L'équilibre aura lieu également si l'on supprime le corps intermédiaire, et que la communication de la vitesse se fasse immédiatement entre les deux autres corps. Ainsi, deux corps solides qui vont au-devant l'un de l'autre se réduisent au repos, abstraction faite de l'élasticité, lorsqu'ils viennent à se choquer, et que leurs masses sont en raison inverse de leurs vitesses; et, réciproquement, les produits des masses et des vitesses sont égaux quand il y a équilibre dans le choc de deux corps solides. On suppose ici, comme on vient de le dire, les deux mobiles symétriques autour d'une même droite, et les vitesses
(le tous leurs points parallèles à cette droite, laquelle est celle qui passe par les centres de gravité des deux masses. La condition d'équilibre dans le choc de ces corps est donc l'égalité de leurs quantités de mouvement, ou l'équation
m et m' étant leurs masses, et v et v' leurs vitesses, Nous déterminerons par la suite les mouvemens qui auront lieu après le choc, quand ces conditions relatives aux grandeurs et à la direction des vitesses, et à la forme des mobiles, ne seront pas remplies, ou bien quand on aura égard à leur élasticité.
Il résulte de celte loi de l'équilibre dans le choc que la percussion fournirait le moyen le plus direct de mesurer la masse des corps. Ou imprimerait une vitesse connue a à tous les points d'un corps dont la masse serait prise pour unité; et si l'on pouvait déterminer exactement la vitesse v dont tous les poiats d'un autre corps devraient être animés , pour qu'il fit équilibre au premier, en le choquant en sens contraire de son mouvement, la masse de ce second corps aurait alors pour valeur numérique le rapport -; mais II est inutile de dire que ce mo^en est
impraticable, et que c*est toujours aux poids des corps qu'il faut recourir pour mesurer leurs masses. Il s'ensuit aussi que deux percussions, exercées sur un corps solide, devront être regardées comme équivalentes, lorsqu'elles répondront à desquautités égales de mouvement; en sorte que, dans l'exemple du
numéra précédent , la tète et les deux faces du coin éproQTeront les mêmes effets, ou seront frappées avec la même énergie , si la masse m et la yitesse a sont remplacées par une masse m^ et une yitesse a', telles Ejue Ton ait ma s= mW,.
1:28*. Lorsque deux percussions , provenant de vi-* tesses en raison inverse des masses, seront exercées simultanément sur les deux plateaux d'une balance , il y aura équilibre; la balance remplaçant ici le corps intermédiaire que nous avons considéré dans le numéro précédent. Ce cas sera , par exemple , celui de ienx corps pesans , dont les masses sont m et m', et ({ni tombent au même instant sur ces deux plateaux:, après ayoir acquis des vitesses v et /, telles que Ton ait mi^=rmV. . ,
Si la masse m est en repos dans Tun des deux plateaux, son poids y exercera une pression qui sera généralement vaincue par la percussion de l'autre masse ; mais il n'est point exact de dire, cotnme on \efaâx ordinairement, que cela aura toujours lieu, quelque grande que soit la pi^ssion dans son es* pèœ, et quelque petite que soit la percussion dans U sienne.
En effet, on peut remplacer la percussion de m' par une force motrice agissant sur l'un des deux plateaux sans le déplacer sensiblement , pendant un temps très court que je représenterai par r. En dés^ant par tn'udt la quantité infiniment petite de vi-^ tiesse dont cette force variable est capable pendant
l'instant dt, le produit m' judt sera la quantité
de vitesse qu'elle communiquera rt la balance pendaut le temps t. Feudant ce même temps, le poids de m produira une quantité de mouvement exprimée par ngr, en représentant par g la gravilé. Pour qu'il y ait équilibre dans le système, il faudra donc que l'intégrale / udt soit toute la vit&sse v' dont la masse
m' estanîmée à l'instant où la percussion commence, de sorte qu'il ne lui reste plus aucun degré de vitesse quand le choc est fini; et, cela étant, il suOira
que les quantités de mouvement mgr et m' j udt,
imprimées en sens contraire à la balance pendant la durée du choc, soient égales entre elles. La condition de cet équilibre sera donc exprimée par l'équation
mV = mgr ;
et Bolon qu'on aura, au contraire, /nV >• mgr ou m'v' <C mgT , ce sera la percussion qui l'emportera sur la pression, ou la pression sur la percussion. Or, quoique le temps T soit extrêmement petit, ce dernier cas est possible, en supposant la masse m sufnsamment grande à l'égard de m' ; pour qu'il fût impossible, il faudrait que la durée de la percussion fût infiniment petite; ce qui n'a pas Heu dans la nature.
La Dynamique sera une application continuelle des principes que nous avons exposés en détail dans ce chapitre, et dont il est nécessaire de se former une idée précise , avant d'essayer de résoudre les différens problèmes relatifs au mouvement des corps.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. !l3^
