EXEMPLES DU MOUVEMENT RECTIUGNE
129. D'après ce qu'on a vu dans le n** iig, les équations du mouvement rectiligne d'un point mate* rie! sont celles-ci :
dont la dernière est une suite des deux antres, et dans lesquelles on a désigné , au bout d'un temps quelconque t y par x la distance du mobile à un point fixe de la droite qu'il décrit, par s^ sa vitesse acquise, et par (p la force qui le sollicite ; (p étant une quantité positive ou négative, selon que cette force agira dans le sens ou en sens contraire de la vitesse v. Ces équations s'appliqueront non-seulement à un point matériel isolé , mais aussi à un corps solide de grandeur quelconque, dont tous les points décriront des droites parallèles, et auront, par conséquent , un mouvement commun : (p sera alors la force accélératrice, égale à la force motrice divisée par la masse du mobile.
La valeur de (p sera donnée dans chaque problème; et la question consistera à en déduire , par l'intégration , les expressions de (^ et x en fonctions de t. Elles contiendront deux constantes arbitraires, dont on déterminera les valeui^ d'après celles de x et i^ à Tori-
gine du mouvement , qui devront être données dans chaque exemple. Dorénavant , nous supposerons toujours que l'on compte le temps t à partir de cette origine ; en sorte que les valeurs données àe œ elv répondront à f=o.
L'intégration ne sera généralement possible sous forme finie , que quand (p ne dépendra^ comme nous le supposerons dans les exemples suivans, que d'une seule des quantités t^Kf^x. Lorsque la valeur donnée de (p les contiendra toutes trois , ou deux seulement y les valeurs de or et p ne pourront s'exprimer que par les séries.
i3o. Supposons d abord que la force ^ soit constante y et qu'il s'agisse ^ par exemple , du mouvement vertical d'un corps qui tombe dans le vide en vertu de la pesanteur.
En désignant cette force par g, nous aurons
IF — S' d'où Ton tire
s^ = St, x = \gt\ et y par conséquent,
en supposant que la distance x soit comptée da point de départ du mobile , et que la vitesse initiale soit nulle, de sorte qu'on ait xz=zo et (/=o, quand / = o.
Si l'on appelle a la vitesse acquise en tombant d'une hauteur A, on aura
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. -iSg
^ qai fournit une expression commode d'une vitesse quelconque, au moyen de la hauteur d'où on corps pesant devrait tomber pour lacquërir, et de la vitesse constante g. Le temps de la chute de cette hauteur h étant représenté par 6, on aura aussi
Si le corps est lancé verticalement de bas en haut, l'équation de son mouvement dans le vide sera
'dF ~ S'f
g étant la même vitesse constante que dans le cas précédent , parce que Ton suppose l'action de la pesanteur sur les corps en mouvement, indépendante du sens dans lequel ils se meuvent , aussi bien que de la grandeur de leur vitesse. En supposant que a soit la vitesse initiale , on en déduira
i' = a — gt , a: = at — i gt* ,
pour la vitesse et l'espace parcouru à un instant quelconque. Il est évident que le mobile s'élèvera jusqu'à ce que cette vitesse soit nulle. Si donc on appelle 0^ le temps de son élévation , et h' la hauteur à laquelle il parviendra , on aura
et comme ces valeurs coïncident avec celles de 6 et A
a4o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
du cas précédent, on en conclut qu'un corps pesant, lancé de bas en haut avec une vitesse a , s'élève dans le vide à la hauteur d'où il devrait tomber pour acquérir cette même vitesse, et que le temps de son élévation est le même que celui de sa chute.
Communément on appelle h la hauteur due à la vitesse a , et , réciproquement , a la vitesse due à la hauteur h.
i5i. Soit que le mobile monte ou descende, il suffira, pour former les équations de son mouvement sur un plan incliné , de mettre dans les précédentes g cos a à la place de g, en désignant, comme dans le n» 117, par cl le complément de l'inclinaison du plan donné sur un plan horizontal.
Dans le cas de la chute , on aura donc
çzizgtcoseLy xzizijgi^cosa, i^*=:2garcosa;
mais en appelant l la longueur du plan incliné , eih sa hauteur , on a
h = Icosa;
si donc on indique par k la vitesse acquise par le mobile, quand il aura parcouru toute cette longueur, on aura
A:* = 2g l cos a = 2gh;
ce qui montre que cette vitesse k est la même que si le mobile fut tombé par la verticale h.
Soit ABC (fig. 34) la circonférence d'un cercle dont le plan est vertical. Supposons que AB repré-* sente son diamètre vertical, et cherchons, d'après les équations précédentes , le temps qu'un point ma-
tériel pesant emploiera à parcourir la corde AC, aboulissanie à rextrémitë supérieure de ce diamètre. Eu abaissant du point C la perpendiculaire CD sur AB ^ OQ aura, dans ce cas,
AC = /, ADz=zh;
mais si Ton désigne par â le temps demandé , on aura
Z = ig6-cosa = ^;
d'apfèfr une propriété connue du cercle, on a d'ailleurs
en appelant b le diamètre AB ; d'où Fou conclut
Or , ce temps est le même que celui de la chute par une hauteur verticale 6 ; il en résulte donc que la corde AC sera parcourue dans le même temps que le diamètre AB.
On trouvera le même résultat , en considérant le mouvement sur la corde CB qui aboutit à Textré-* mité inférieure de AB^ et sera aussi parcourue dans le même temps que ce diamètre vertical.
Ce théorème, indépendant de la longueur de la corde parcourue, subsistera encore lorsqu'elle deviendra infiniment petite ; ce qui tient à ce qu'en même temps la composante de la gravité , qui agit suivant cette longueur, ne sera plus une quantité finie.
iSâ. Considérons actuellement le mouvement d'un I. 16
a4a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
corps solide pesant qui tombe ou qui est lancé de
bas en baut dans un milieu r&istant , et dont tous
les points décriyent des droites verticales. Pour que
la force accélératrice ne dépende que de la yitesse ,
nous supposerons que le milieu ait partout la même
densité.
Dans le cas de la cbute , on aura
en supposant la résistance proportionnelle au carré de la vitesse ( n* 1^4 ) ^ ^^ désignant par k une yitesse constante et donnée. Cette valeur de (p étant une fonction de (^; il Êiudra faire usage de la seconde équation (i), et Ton en déduira
En intégrant et supposant nulle la vitesse initiale, de sorte qu'on ait (^ = o quand ^ = o, il en résulte
gr^ = i A log
et,
^ réciproquement,
k — v in — = ^
d'où Ton tire
Je désigne ici par e la base des logarithmes népériens^ et par hg un logarithme de cette espèce. U en sera de même dans toute la suite de cet ouvrage; ce qui n'empêchera pas d'employer quelquefois la lettre e à représenter d'autres quantités , dans des formules où la base de ces logarithmes n'entrera pas. Elle a pour valeur approchée
et celle du module constant par lequel il faut multiplier le logarithme népérien d'un nombre quelconque, pour en déduire le logarithme ordinaire de ce nombre, est
A cause de dx = vdt , on aura
^^i^oslye' +e ' J, (5)
en intégrant et supposant jr = o quand ^ = o. On a aussi
et, par conséquent ,
pour la valeur de x en fonction de (^.
iS5. Ces formules renferment la solution com-^ plète du problème. On en déduit cette conséquence, que le temps augnientant sans cesse , le mouvement
a44 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
approche de plus^ea plus de i'uniformité , et qu'il est sensiblement uniforme quand la Titesae gt, pro* duite par la pesanteur , est devenue très grande par rapport à k. £n effets en négligeant alors Texponen-
-SI tielle e , qui est une très petite fraction, ou a
\^ =z k, (p = o, X z=,kt log 2.
La résistance du fluide étant une force qui s'exerce à la surface du mobilq, la force motrice qui en résulte e^t indépendante de la masse , et serait 1^ i^^e, soit que le rr.cMie iut formé d'une matière très dense, soit qu'on ulevât la matière intérieure, et qu'on le réduisit à une enveloppe très mince. Or, la force accélératrice se déduisant de la force motrice, en la divisant par la masse du corps, il s'ensuit que la preituîère de ces deux forces sera, toutes choses d'ailleurs égales, eu raison inverse de cette masse, et, par conséquent, k en raison directe de sa racine carrée. C'est pour cela que le mouvement final, dans un milieu résistant, est le plus rapide pour le corps pesant dont la densité est la plus grande ; la forme et l'étendue de la surface restant les mêmes.
Quand la densité du milieu est très faible par rapport à celle du mobile , la quantité k est très grande; et ce n'est qu'après un temps très long que le mouvement peut approcher de l'uniformité. Tant que la vitesse gt nest pas devenue très considérable, cm a, ^n séries couvei^gentes ,
et les formules (a) et (3) deviennent
f =g<— %fï + etc.,
Elles se réduisent^ coimne cela doit être, à celles da mouyemeDt uniformément accéléré, lorsque la densité du milieu, est tout-à-fait nulle, ce qui rend la quantité k infinie.
i34« Dans le cas où le mobile est lancé de bas en haut , on a
Si sa surface supérieure est la même que sa surface inférieure, la constarrte k sera atrssi la même que dans le cas de la chute; mais si ces deux portions de surface sont dîflFérentes, les valeur^ de k le seront également; et, par exefnple, s'il s'agît d'un cône dont la base soit horizontale, la quantité k sera beaucoup plus grande ou beaucoup plus petite dans son mouvement ascensionnel que dans sa chute, selon que son sommet sera situé au-dessus ou au-dessous de sa base. Pour fixer les idées, je supposerai que le mobile soit
a46 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
une sphère homogène; en appelant rson rayon, D sa
densité et p œlle du milieu^ on aura alors (p? 1 24)
yt
y étant une constante qui ne peut plus dépendre que de la nature du milieu , liquide ou fluide aériforme, et de sa température.
En substituant cette yaleur de (p dans la seconde équation (i), on aura
kdv gdi
et en intégrant et désignant par a la vitesse initiale du mobile, il en résulte
arc (tang = 0 = arc (tang = f ) — f-'
La valeur de v qu'on en déduit peut facilement s'écrire sous la forme :
* («cosÇ — *8iaÇ)
En multipliant par dt et intégrant de nouveau , de manière qu'on ait ar=o quand ^=o, on en conclut
^ = ylog(^sinÇ+cosÇ) On aura aussi
et, par conséquent.
Si Ton fait -r=: a, et que l'on suppose ensuite a=o, pour appliquer ces formules au cas du vide , eUes se présentent sous la forme - ; et , par la règle ordinaire, on trouve , comme cela doit être ,
1; = a— gt, a: z=zat — igt*;
résultat qu'on obtient aussi par le développement en série, comme dans le numéro précédent.
i35. Appelons A la plus grande hauteur à laquelle le mobile parviendra, et qui répond à i^so; nous aurons
Soit aussi 8. le temps qu'il emploiera pour y parvenir; sa valeur sera
fl. = jarc(tang = 0
Parvenu à cette hauteur, le mobile retombera, et son mouvement sera exprimé par les formules du no iSs. Si l'on représente par a' sa vitesse, lorsqu'il sera retombé de toute cette hauteur h, on aura, d'après l'équation (4) ,
en égalant cette valeur de A à la précédente, on a
a46 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
et, par conséquent.
d'où Foa conclut al <^a\ ea sorte que la vitesse du mobile^ quand il sera revenu à son point de départ^ se trouvera moindre que sa vitesse initiale.
Soit aussi ^ le temps de la chute totale, lequel répondra à s^7=ia!. On ^ura
ou bien^ en qoifttant pOur al sa valeur >
8' =« ^ log ^^^2±^;
valeur différente de celle du temps 6, de l'élévation»
En multipliant par y^a* + A:* — a, le numérateur et le dénominateur de la fraction comprise sous le logarithme, on aura y plus simplement,
ô' = i log ^
et si l'on appelle 6 le temps total d' -{- 8, de Pallée et du retour du projectile, on en conclura
^- = arc ( tang = -^ ) + \o&—r=a=xz — r-.
Si le mobile est un boulet lancé dans l'air par un canon vertical p. on pourra , malgré la rapidité de ce mouvement, mesurer le temps 6 avec quelque précision; et si Ton connaît, en outre,, la vitesse de pro-
jection a, rëquation précédente servira à déterminer la valeur de k^ relative au rayon r du boulet. En désignant par k ce que devient k par rapport à un autre boulet de la même matière et d'un rayon /, on aura
d après l'expression de A:* du numéro précédent.
1 36. Dans le cas où Ton fait abstraction de la pesantenr^ et où Ton suppose la résistance du milieu pioportionneUe li une puissance de la vitesse dont lexposant est moindre que l'unité, la solution du problème présente une singularité qui mérite d'être remarquée.
Supposons qu'on ait, par exemple.
g et A: étant toujours la gravité et une vitesse constante et donnée. L'équation du mouvement sera
dv J V
eu en tirant la valeur de gdt^ intégrant et désignant par a la vitesse initiale , il vient
&t— \/k{\fa — V"^),
et , par conséquent ,
Eq multipliant par di , et intégrant de nouveau , de
aSo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
sorte qu'on ait x^o quand ts=o, on trouve
pour l'espace parcouru à un instant quelconque.
D'après la valeur de (^ , la vitesse diminue depuis l'origine du mouvement jusqu'à l'instant qui répond
à t=^ — ; à cet instant, la vitesse est nulle: au-
delà y le mouvement continue dans le même sens qu'auparavant y et la vitesse augmente indéfiniment. Mais la vitesse étant nulle à un certain instant, la force accélératrice est nulle en même temps; par conséquent^ le mobile doit s'arrêter à cet instant et demeurer en repos. Or, il faut remarquer que l'équation du mouvement admet une solution particulière (^ = o ; en sorte que sa solution complète est l'ensemble de son intégrale et de cette équation p=o; il s'ensuit donc que le problème est résolu depuis
^ = o jusqu'à^ = , par l'intégrale de l'équation du mouvement, et au-delà de cette valeur de t^ par la solution particulière. Pendant le premier intervalle de temps, le mobile décrit, d'un mouvement continuellement retardé, une ligne égale à
—7 — , à l'extrémité de laquelle il s'arrête et demeure
en repos.
Cet exemple, purement hypothétique, suffit pour montrer la nécessité d'avoir égard aux solutions particulières des équations différentielles du mouvement.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aSi
s'il en existait; ce qui n'arrive pas réellement ^ d'après les expressions des forces en fonctions de la vitesse acquise et de l'espace parcouru , qui ont lieu dans la nature.
1 5j . Donnons maintenant des exemples de mouvemens dans lesquels la force accélératrice variera avec l'espace parcouru.
Le cas le plus simple a lieu , lorsqu'il s'agit d'un point matériel attiré vers un centre fixe, en raison directe de la distance à ce point, que l'on suppose situé sur la droite que ce mobile décrit. Au bout du temps t, soitz cette distance; à une distance donnée a, supposons que la force accélératrice soit égale à la gravité gp; on aura, 'd'après la loi donnée,
pour sa valeur à un instant quelconque. Si a: est l'espace parcouru au même instant, et que le mobile soit parti du point situé à une distance c du centre d'attraction, en se dirigeant vers ce centre, on aura aussi
dz JC =: c — z, i; = — — .
et la troisième équation (i) deviendra
Son int^ale complète est
z = Acos t y^|-f-B sin t y^-.
A et B désignant les deux constantes arbitraires. En supposant nulle la vitesse initiale du mobile, on aura
Il la fois
dz t z=: O, Z z=: c, 57 = O;
d'oii Ton conclut
A = c, B = G, et, par conséquent,
Z SB: ccost i/5.
Cette formule montre que la distance z sera nulle ou que le mobile atteindra le centre d'attraction , au bout d'un temps indépendant de la distance c de son
point de départ, et égal à - tT l/- : il fera ensuite,
de part et d autre de ce centre , des oscillations dont l'amplitude et la durée constantes seront cette distance c et ce temps - tt i/-.
T 38. Pour un autre exemple , considérons le mouvement d'un corps pesant dans le vide; nous supposons qu'il tombe d une assez grande hauteur pour qu'on doive avoir égard , pendant «a chute , à la variation de la pesanteur.
Soient BAE (fig. 35) un grand cercle vertical de la terre, D le point de départ du mobile dans ce plan y M sa position au bout du temps t, sur la droite DC qui aboutit au centre C de la terre , et rencontre en A sa surface. Appelons r son rayon CA , h la hauteur AD y a: l'espace DM parcouru par le mobile, zsa
distance CM au centre C ; en sorte qu'on ait
La force accélératrice (p sera la pesanteur au point M; en la désignant toujours par gf à la surface de la terre, c'est-à-dire, au point A, et supposant que son intensité yarie en raison inverse du carré de la distance au centre C, on aura donc
d'où Ton tire
au moyen de quoi la troisième équation (i) deviendra
Je multiplie ses deux membres par 2dxi j'intègre ensuite; puis je détermine la constante arbitraire
dx
de manière qu'on ait -^ = o , quand ^ = o ; il vient
dr* ' / I I \
ce qui fera connaître la vitesse acquise par le mobile, à une distance quelconque jc de son point de départ. Au point A^ oii l'on a x c=à, cette vitesse sera
et, par conséquent, moindre, comme cela devait être, que si la gravité avait, dans toute la hauteur h^ la même intensité qu'à la surface*
L'équation précédente donne
Or, en comparant celte équation différentielle à Té-^ quation (a) du n^ yS, on voit que si Ton construit une demi-cycloïde DOC, qui ait son sommet au point D et son origine au point 0 , situé sur la perpendiculaire CO à la droite CD , et dont le cercle générateur ait pour diamètre cette droite CD égale à r^ h; que l'on mène ensuite par le point M une perpendiculaire MN à la droite DC^ qui rencontre la cycloïde au point N, on aura
MN
en sorte que l'ordonnée MN du point N fera connaître le temps t, employé à parcourir l'abscisse DM, et ciproquement. Sous forme finie, on aura
en intégrant y et en observant que x=:o quand /=o. Lorsque la hauteur A et , conséquemment , la distance X, seront très petites par rapport à r, cette formule devra différer très peu de celle qui répond à la pesanteur constante. En effet, on a
le sinus étant très petit, on peut le prendre à la place de lare 3 ce qui rend d'abord le second terme de la
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aSo
formule précédente égal au premier. On peut aussi mettre le rayon r au lieu de r+h — x, et réduire ,
par conséquent y leur somme à a \/rx ; et, de cette manière , la formule dont il s'agit deviendra
ou simplement
en négligeant h par rapport à r.
Je me contenterai d'indiquer, comme exemple de calcul, le cas où le mobile soumis à une pesanteur variable est lancé de bas en haut ; et , pour dernier exemple du mouvement rectiligne, je vais considérer le mouvement d'un point matériel attiré vers deux centres fixes, situés sur la droite qu'il décrit.
iSg. Soient A et B (fig. 36), les deux centres d'attraction , M la position du mobile au bout du temps ^, et D son point de départ. On suppose , pour fixer les idées, que le mouvement a lieu entre les deux centres d'attraction , et de A vers B ; faisons
DM = a:, AM = z, AD = a, BM = c — z;
en sorte que x soit l'espace parcouru , z la distance du mobile au point A , a la distance initiale , et er la longueur de la droite AB. En supposant toujours les attractions en raison inverse du carré des distances, et désignant, à l'unité de distance, par a^ et fc' les intensités àes forces qui émanent des centres A et B, nous aurons — et ; r; pour leurs
intensités quand le mobile est en M. La force accélératrice p sera l'excès de la seconde force qui tend à augmenter l'espace x , sur la première qui tend à le diminuer; donc , à cause de dx z=z dz p oa aura
pour ce que devient la troisième équation (i) , et -j
pour la vitesse v du mobile au point M.
En multipliant l'équation (a) par 2dz et intégrant , on a
y étant la constante arbitraire. Pour la déterminer , je désigne par k la vitesse initiale qui répond à z=ot; on aura
jf.
En retranchant cette équation de la précédente, il en résultera
ce qui fera connaître la vitesse du mobile, dans une position quelconque entre les deux points A et B.
i4o. Il y a, sur la droite ÂB, un certain point C, dans lequel les deux forces d'attraction sont égales; en sorte que si l'on y plaçait le mobile , ou qu'il y parvint sans aucune vitesse acquise > il y demeurerait en équilibre. En appelant h la distance AC, on a
On tire de là deux valeurs de A ^ dont l'une appartient au point C situé entre A et B , et l'autre à un point situé sur le prolongement de ÂB , du côté du centre de la moindre attraction. La première de ces deux valeurs est
Appelons f la plus petite vitesse initiale qu'il faut imprimer au mobile pour qu'il arrive au point C , de sorte que , parvenu à ce point , sa vitesse soit nulle ; on aura à la fois
k =/, zz= h, J = oj
et , en vertu de l'équation (c) et de la valeur de h , il en résultera
*/ c — « 'et C ^ ^
Si la vitesse initiale k est moindre qnef, le mobile retombera sur A ; si elle est plus grande , il dépassera le point C^ et ira tomber sur B. Dans le cas de A: ^=^f, le mobile emploierait un temps infini à atteindre le point C , à cause qu'à une distance infiniment petite de ce points il ne serait plus animé que d'une vitesse infiniment petite^ et sollicité par une force qui le serait également.
i4i« Si A et B sont les centres de deux sphères homogènes ^ ou composées de couches concentriques, 1. 13
a58 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
on pourra supposer que les attractions que l'on considère sont celles de ces deux sphères ; et alors leurs intensités a^ et h^y à Tunité de distance ^ seront entre elles comme leurs masses (n^ lOi ). En supposant , par exemple ^ que A soit le centre de la lune et B celui de la terre, et négligeant la non-sphéricité de ces deux corps , on aura
tir — — •
car la masse de la lune , conclue de son action pour souleyer les eaux de la mer . est -s de celle de la terre. On aura donc
en sorte que le point également attiré par la terre et par son satellite se trouve, à peu près, au dixième de leur distance mutuelle à partir de la lune.
Soit r le rayon de la terre j on pourra prendre 6or pour la distance c de la lune à la terre ; et si le mobile
est parti de la surface de la lune , on aura en même
3r temps a = — , d'après le rapport connu du rayon de
la lune à celui de la terre. Au moyen de ces yaleurs de r et «, et de «= -A^ ^ l'équation {d) devient
En désignant par g l'attraction de la terre à sa sur- £ice, on aura
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aSg
pour, cette force à l'unité de distance. Si donc on
fait
il en résultera
Or , l'attraction g peut être prise pour la pesanteur dont elle est la partie principale ; par conséquent , f est la vitesse due à une hauteur r' ; et à cause de
g = 9^,80896, irr = 210000000",
sa yalear est
La lune n ayant pas d'atmosphère dont la résistance puisse diminuer la vitesse des corps partis de sa surface, il s'ensuit que si la terre et la lunç étaient en repos , un corps lancé de la surface de la lune vers la terre , avec une vitesse plus graiid^ que 236i mètres par seconde, dépasserait le point d égale attraction, et viendrait tomber sur la surface de la terre. Dans le mouvement de la lune autour de la terre , la droite AB qui va d'un centre à l'autre rencontre constamment la surface de la lune en un même point, qui devrait être le point D , d'où le mobile serait lancé suivant la direction DB ; mais , pendant une seconde, le point D parcourt sur le cercle décrit du centre de la terre, une longueur d'environ 1000" par seconde; par conséquent, la vitesse absolue du mobile serait^ en grandeur et en
ri6o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
direction , la résultante d'une vitesse dirigée suivant DB y et d'une vitesse de looo" perpendiculaire à DB.
•Cela étant, le corps ne restera pas sur la droite mobile AB ; il décrira une courbe dans l'espace, les formules précédentes ne s'appliqueront plus à son mouvement , et il ne viendra plus tomber sur la surface de la terre , comme dans le cas de l'immobilité de la lune.
