En résolvant réquatioQ (&) par rapport à dt^ on a

j^ ^ c% — z^àz

QJt SIS — ■ ■ ^

L'intégrale de cette formule s'exprimera toujours au moyen des fonctions elliptiques; en sorte que l'on pourra calculer, au moyen des tables de ces fonctions , le temps qui répond à une distance donnée z , et réciproquement. Mais indépendamment des cas où l'une des deux attractions est nulle , il en est d'autres pour lesquels l'intégrale de la formule précédente peut encore s^obtenir sous forme finie. Ces cas ont lieu lorsque la quantité comprise sous le radical est un carré parfait ; ce qui exige qu'on ait

«équation d'où l'on tire

3^ = f (^ =t by.

"En égalant cette valeur à celle de y du n* 1 So , il ^ient

DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE. !i6i^

L'une de ces deux valeurs de A:* est celle dey* ; Tautre est évidemment plus grande. Il s'ensuit donc que quand aucune des deux quantités a et b n'est zéro , on peut exprimer le temps sous forme finie en fonction de z, lorsque le mobile a reçu là plus petite vitesseyàvec laquelle il peut atteindre le point C , et lorsqu'on lui a imprimé une certaine vitesse plus grande que celle-là.

Je substitue la doidiile valeur de.;j^ dans l'expresr siôn de dt} il vient

. \/cz, — z^dtt

c ac — {a ± b)z*

formule que Ton rendra rationnelle et qu'on intégrera^ sans difficulté, parles règles ordinaires. La dif-^ £erentielle ^t. doit toujours être positive ; la différentielle dz est positive pendant que le mobile s'avance de D vers B, et négative lorsqu'il revient vers A. 9ans té premier cas, on prendra donc le radical'

\/cz — z* , avec le même signe que le dénominateur ac — (flit t)z, et y dans te second cas, avec un signe contraire.

i43« Soit^ue Ton suppose £ = o ou c=:oo, le mobile ne sera plus soumis qu'à l'attraction du centre A. L'équation (c) se réduira à

là valeur de dt qu'on en déduit s'intégrera sous

forme finie, et fera connaître t en fonction de z.

dz Si Ton fait -^ = o , on aura l'équation

pour déterminer la distance z à laquelle le mobile s arrêtera. Dans le cas de 2a*= k*et, cette distance sera infinie; ce qui signifie que le mobile ne s'arrêtera pas. Il en sera de même dans le cas de 2a^ <C ^^ 9 d'où il résulterait pour z une valeur négative qui ne peut appartenir à aucun point de la droite indéfinie DBy suivant laquelle le mobile a été lancé. Dans ces deux cas le mouvement approchera de plus en plus de Tuniformité , à mesure que le mobile s'éloignera de A.

Quand la distance z sera devenue très grande et le mouvement sensiblement uniforme , sa vitesse , d après l'équation (e), sera à peu près égaie li

y/ A:* , ou à V A:* — 2gct , en supposant qu'on

a a**K ga*, c'est-à-dire^ en supposant que le corps goit parti de la surface d'une sphère , d'un rayon er, et ou l'attraction était égale à g. Ce qui montre que la diminution de la vitesse initiale k sera d'autant plus grande que cette force et ce rayon seront plus considérables.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a63