CHAPITRE m

PU MOinTEHENT CURVIUGNE.

§ I*'. Formules générales de ce mous^ment.

i44* Dans le monyement curviligne^ la. courbe décrite par le mobile est ce qu'on appelle la trajectoire de ce point matériel. Au bout d un temps quelconque t, soit M (fig. 57) la position du mobile. Si Ton appelle s l'arc CM de la trajectoire compris entre le mobile et un point fixe C , pris arbitrairement sur cette même courbe^ s sera une fonction de ^; en sorte que Ton aura , dans un mouvement curviligne quelconque,

Si Ton désigne, au même instant, par x^ jy z, les trois coordonnées rectangulaires du mobile, ces variables seront aussi des fonctions de t^ et l'on aura également

ar=/^ J=ft, z—Pt.

Lorsque ces trois dernières équations seront connues, on en déduira, par l'élimination de ty les deux équations en a:, ^, z, de la trajectoire* Au moyen des équations de cette courbe , on déterminera s en

fonction de l'une des trois coordonnées, et, par suite, en fonction de t; ce qui fera connaître la loi du mouvement sur la trajectoire. Chacune des trois équations précédentes est celle du mouvement rectiligue de la projection du mobile sur l'un des axes des coordonnées ; il s'ensuit donc que la détermination complète du mouvement curviligne d'un point matériel dans l'espace se réduira à celle de trois mouvemens rectilignes, qui seront les mouvemens de ses projections sur les trois axes Oj:, 0/, Os, des coordonnées. Quand ces trois mouvemens seront uniformes, celui du mobile sera aussi rectiligne et uniforme, et réciproquement.

145. Pendant l'instant fit, le mobile décrira l'élément dsde sa trajectoire; en négligeant, dans cet intervalle de temps inllniment petit, l'action des foi-ces qui le sollicitent, on pourra considérer son mouvement comme rectiligne et uniforme. Si donc on appelle V la vitesse acquise au bout du temps (, on

Si ces forces cessaient réellement d'agir à l'instant que I'oti considère, le mobile continuerait de se mouvoir avec cette vitesse v, et suivant le prolongement MT de l'élément efs, c'est-à-dire, suivant la tangente à la trajectoire, puisque en vertu de l'inerlie de la matière il ne pourrait alors changer ni la direction de son mouvemeut ni la grandeur de sa vitesse (n* 1 1 3). On peut donc considérer un point matériel qui décrit une ligne courbe quelconque comme étant anïmé^

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a65

à chaque instant^ d'une vitesse dirigée suivant la tangente à cette courbe^ et exprimée par le rapport de son élément différentiel à l'élément du temps.

En représentant , au bout du même temps t , par p , q , r, les vitesses des projections du mobile sur les trois axes des oc ^ y^ z, on aura aussi, dans ces trois mouvemens rectilignes,

dx dr dz

Mais si Ton désigne par a, € ,y fies angles que fait la tangente à la trajectoire, ou la direction de la vitesse if, avec des parallèles aux axes des x, /, z, on a (n^ 17)

dx g9 dr dz

d'où Ton conclut

pzi^sfCOSAy q=ifcos€, rz=zifcosy f (1)

et en même temps

Le temps t croissant continuellement, sa différen-^ tielle est toujours positive. Les vitesses /?, q, r, sont positives ou négatives , selon que les coordonnées x , X, z, croissent ou décroissent. Dans les équations (1), on peut regarder la vitesse (^ comme une quantité positive ; le sens de cette vitesse , ou la partie MT de la tangente à la trajectoire, suivant laquelle elle sera dirigée, se déterminera alors par les signes dé /? , 9, r, qui feront connaître si les angles a,€,y, sont

266 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

aigus ou obtus. Dans l'équation (^ = ^^ , on considérera la vitesse (^ comme positive ou comme négative , selon que l'arc s croîtra ou décroîtra.

On appelle composantes de la vitesse (^ d'un point matériel les vitesses^, j^^ r, de ses trois projections sur des axes rectangulaires ; et chacune de ces trois composantes est ce que l'on entend par la vitesse du mobile^ parallèlement à l'axe auquel elle répond. En comparant les équations (i) à celles du n"* 3i, on voit que cette composition des vitesses se fera suivant les mêmes règles que celle des forces. D'après cette analogie, si l'on mène par le point M une droite quelconque MA^ qui fasse avec les parallèles aux axes des oc ^ J'y Zf menées par le même points des angles a, b, c, aigus ou obtus, la composante de la vitesse V suivant cette droite MA aura pour expression générale

Ati.^:,.?..rSc. pcosa -f- qcosb -f- rcosc.

La quantité de mouvement (n^ 126) d'un point matériel isolé, et celle d'un corps dont tous les points sont animés de vitesses égales et parallèles, se décomposeront en d'autres quantités de cette nature, et celles-ci se réduiront à une seule, suivant les mêmes règles que les vitesses qu'elles ont pour facteur.

146. Au bout du temps t '{^ dt , soient p + p', q^q'f r-^r'y ce que deviennent les trois compCH santés de la vitesse du mobile, parallèles aux axes des X f jr f z ; en sorte que p', q\ r', représentent

les auginentatîoos infiniment petites de vitesse qui ont lieu suivant ces directions pendant l'instant dt. L'accroissement de vitesse suivant la droite MA sera

p'cosa + q'cosb + /côs c.

Or, quelles que soient les quantités p', q% r% si l'on fait

et qu'on regarde u comme une quantité positive , on pourra toujours trouver trois angles a', €% y\ aigus ou obtus, tels que Ton ait

au moyen de quoi l'accroissement de vitesse suivant MA deviendra

u (cos a cos a! + cos b cos Q + cos c cos y').

De plus , la quantité comprise entre les parenthèses est le cosinus d'un certain angle que j'appelle a. L'ac^ croissement dont il s'agit est donc égal a u cos a; par conséquent , i^ est sa plus grande valeur, et elle répond à la direction de la droite MA, pour la** quelle les angles a, b , c, sont les mêmes que a\ C, y% ce qui rend le coefficient de u égal à l'unité. Dans toute autre direction, l'accroissement de vi^tesse sera égal au maximum u, multiplié par le co^ sinus de l'angle ff que fait celte dîrectioki qnelcon^que avec celle du maximum; d'où il résulte qu'il sera nul par rapport à toutes les directions, perpepdiculaiiies à celles de sa plus grande valeur. .

Quelle que soil la variation de vitesse du mobile, eu grandeur et en direction , pendant l'instant dt , il y a donc toujours une certaine direction pour laquelle l'augmentation de vitesse est la plus grande, et qui jouit de cette propriété , que, suivant toutes les directions perpendiculaires à celle-là, la vitesse n'est ni augmentée ni diminuée.

147. La direction d'une force qui agit sur un point matériel en mouvement est la droite suivant laquelle elle augmente ou diminue la vitesse acquise, et perpendiculairement à laquelle elle n'y produit aucune altération. Ainsi, quand nous disons que la pesanteur d'un corps en mouvement dans un sens quelconque est verticale,conimecclle d'un corps en repos, nousentendons par là que cette force augmente la vitesse verticale, et n'altère aucunement la vitesse horizontale.

Cela étant, désignons, au bout du temps l, par U, U', U", etc., les intensités des différentes forces qui agissent sur le point matériel dont nous considérons le mouvement curviligne ; par a, b, c, a', b\ c', a", b'', c", etc., les angles que font leurs directions données avec des parallèles aux axes des oc, y , z; et par X, Y, Z, les sommes de leurs composantes suivant ces axes ; nous aurons d'abord (n" 62)

X := U cos a -f- U' cos a' ■+- U" cos a" •+• etc., Y = U cos A 4* U' cos A' -H U" cos b" -f- etc., Z = U cos c -f- U' cos c' 4- U" cos c" -f- etc.

Soient ensuite u, u', ii\ etc. , les vitesses infiniment petites que ces forces U, U', U", etc , produïraienti pendant l'ihstant dt, suivant leurs directions respec-

tîves, si chacune d'elles agissait seule sur le mobile animé de la vitesse (^. On verra y comme dans le n"" 116, que la simultanéité de ces forces n'influera nullement sur les grandeurs et les directions des vitesses qui seront réellement produites; par consé*quent y si Ton continue d'appeler p'^ q'^ /, les quantités infiniment petites dont les vitesses Pfq^ r^ des projections du mobile sur les axes des oc^jy Zy s'ac- ^roltront dans l'instant dt, ces quantités seront les sommes des composantes de Uy i/y u", etc. , suivant x:es trois axes; en sorte que nous aurons

p' =s u cos a + u' cos a' + w" cos a" -f- etc., (( =z u cos J -f- w' cos hf -f- tt" cos V^ -f- etc., r' z=z u cos c + u' cos & -f- li' cos d' -4- etc.

Mais en appliquant k chacune des forces u y u\ li'y etc., ce qu'on a trouvé (n® 118) pour la mesure d'une force d'après la vitesse dont elle est capable , on a aussi

u^Vdty u' — V'dt, u!' = U'dt, etc;

en comparant les valeurs de p\ q\ r', à celles de X , Y, Z , il en résulte donc

p'z=\dûy q'=\dty r^=Zdti

ce qui montre que l'accroissement de la composante de la vitesse du mobile suivant chaque axe, dans l'instant dty est la vitesse produite, pendant cet instant, par la composante totale suivant ce même axe, des forces données qui agissent sur ce point matériel.

a7o TRAITÉ DE MÉCAMQUE.

Ce résultat tient à ce que lea forces sont proportionnelles aux vitesses qu'elles impriment au mobile (laus un même temps intiniment petit, lesquelles vitesses infiniment petites ne changent pas , soit que ces forces agissent isolément , soit que leurs actions aient lieu simultanément. Il s'ensuit aussi que si les forces appliquées au mobile sont, par exemple, au nombre de trois, non comprises dans un même plan; que l'ou prenne sur les directions de ces trois forces U, U', U", à partir de leur point d'application, des droites de grandeurs finies qui soient entre elles comme les vitesses correspondantes u , u', u" ; et cpjc l'on achève le parallélépipède dont ces trois droites seront les eûtes adjacens, la re'sultante de ces forces sera dirigée suivant la diagonale, et sa grandeur sera à celle de chacune de ces forces comme la diagonale est au côté correspondant.

148. Si les forces qui agissent sur le mobile sont indépendantes de sa vitesse et de sa position dans l'espace, les mouvemens de ses trois projections sur les axes des coordonnées seront indépcndans entre eux; en sorte que sa projection sur chaque axe se trouvera, au bout d'un temps quelconque, au même point, et aura la même vitesse que si les forces et les vitesses étaient nulles parallèlement aux deux autres axes. Il n'en sera plus de même , en général , quand les forces données varieront , en grandeur ou eu direction , soit avec la position du mobile, soit avec sa vitesse acquise; mais on pourra toujours déterminer sa vitesse et sa position , à chaque instant, de la manière suivante.

Puisque toutes les forces qui agissent sur le mobile peuvent toujours être réduites à une seule^ supposons que \J y capable de la vitesse u, soit cette force unique , et désignons par e l'espace qu'elle fera parcourir au mobile pendant l'instant dt , suivant sa direction , indépendamment de la vitesse (^ de ce point matériel au bout du temps t. D'après ce qu'on a vu dans le n^ I i4f nous aurons

€ = judû.

Mais, en vertu de cette vitesse acquise if et de l'action de la force U ou de ses composantes, les espaces parcourus par les projections du mobile sur les axes des ^9 Jy ^f pendant l'instant dty seront

pdt^^p'dty qdt^^q'dtj rdt-i-^r'dt;

donc, à cause de

p':=:u cos a , q' =zu cos by r =2u cos c ,

et en ayant égard aux équations (i) et à la valeur de €, on aura

ocf -^ X :=. (A COS a + ^ cos a ,

y — y z=i cù cos ^ + 6 cos h ,

jS* — z = û) cos 7 + € cos c ;

(à étant l'espace vdt qui serait décrit par le mobile dans rinstant dt^ en vertu seulement de la vitesse i', et x\ jr'f z\ ses trois coordonnées au bout du temps t^dt, qui étaient x y y^ z^ au bout du temps t.

Cela posé y soient toujours M ( fig. 57 ) le point delà trajectoire dont Xy y y z, sont les trois coor-

2^a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

données, et MT la direction de la vitesse v. Soit aussi MA. celle de la force U. Preoons sur MA et MT des droites MH et MK, égales à é et «, et achevons te parallélogramiiie MHM'K, dont ces droites sont les deux cùlés adjacens. L'extrémité M' de sa diagonale sera, en vertu des équations précédentes, le point dont les coordonnées sont a:', y' , s', ou la position du mobile au bout du temps ( -f- (ft.

Appelons v la vitesse du mobile au point M', laquelle vitesse sera dirigée suivant le prolongement M'T' de la droite MM', et aura pour valeur la composante de v suivant MM', augmentée de la vitesse produite suivant cette direction par l'actiou de la force U pendant l'instant dt. L'espace £ étant infiniment petit par rapport à cw, il s'ensuit que l'angle TMM' est aussi infiniment petit; la composante de V est donc cette vitesse même, en négligeant les inSniment petits du second ordre. De plus, si l'on désigne par o l'angle AMM' que fait la direction de la force U avec le côté MM' de la trajectoire, on aura u cos tT pour l'augmentation de vitesse qui sera produite par l'action de cette force; il en résultera donc

c' = c -f- u cos S.

Je fais K^ dt ^ a', et je prends sur M'T' une partie M'K' égale à ai'; je désigne par M'A' la direction de la force qui agit sur le mobile quand il est parvenu en M'; sur cette droite, je prends une partie M'H', égale à l'espace que cette force peut faire parcourir au mobile dans un instant f/^; j'achève le paralléto-

gramme MUIVI^K'; et Vextrëmîté M'^ de la diagonale sera nn troisième point de la trajectoire.

£d commençant cette suite de constructions au point de départ du mobile , où Ton doit connaître sa vitesse en grandeur et en direction, il est évident que l'on déterminera successivement tous les points de sa trajectoire plane ou à double courbure , et , en même temps, la vitesse dont il sera animé en chacun de ces points. Si les intervalles de temps, qu on a supposa infiniment petits et désignés par dt , sont seulement très petits, on obtiendra une suite de points qui seront les sommets d'un polygone y d'au*tant moins différent de la trajectoire, que ses côtés seront plus petits. En regardant la vitesse comme constante sur chaque côté, et prenant pour sa valeur la demi-somme des vitesses qu'on aura trouvées aux deux extrémités, on pourra calculer le temps employé à parcourir une portion quelconque du polygone ; par conséquent, on connaîtra de cette manière la courbe décrite par le mobile, ainsi que sa vitesse et sa position à un instant donné sur cette courbe, à tel degré d'approximation qu'on voudra ; mais il vaut mieux faire dépendre les valeurs des coordonnées du mobile en fonctions du temps, d'équations différentielles que l'on intégrera ensuite s'il est possible.

i49* Ces équations différenlielles du mouvement curviligne sont une suite immédiate du principe établi dans le n* 147.

En effet, les composantesde la vitesse du mobile, parallèles aux ^xes de ses coordonnées x^y^ z, étant ■^, I. 18

^74 TAAITÉ 0£ MÉGANIQUE.

^, "^y au bout du temps quelconque t, leurs ac-

croissenpieus , pendant l'instant dt p seront d^-^,

d.-^, ^'dii ®* comme chacun d'eux est dû unî-

4]uement à la composante suivant Taxe correspondant , de la force qui agit à cet instant sur le mobile^ il s'-ensuit quen appelant toujours X, Y, Z^ les composantes de cette force, parallèles aux axes des coordonnées x^ j'y z, nous aurons

ou p ce qui est la même chose y

^ — -^^ "SF — ^' 2? — ^- W

Le problème consistera , dans chaque cas, à intégrer ces trois équations du mouvement; et Tcm peut considérer , pour cette intégration , le procédé du n^ précédent comme une méthode générale d'approximation. Leurs intégrales contiendront six constantes arbitraires, que Ton déterminera au moyen des trois coordonnées du mobile à l'origine du mouvement, et des trois composantes de la vitesse initiale , c'est-à-dire , au moyen des valeurs des six

• / dx dy dz . ■» ,

quantités x, j, z, -^ , ^, ^, qui seront données

pour ^ = o* Ces intégrales et leurs différentielles premières feront ensuite connaître la position du mobile à un instant quelconque, et sa vitesse en grandeur et en direction. En âiminant entre elles

le temps ^ , on aura les deux équations de la trajectoire. Quand on saura d avance que cette courbe est plane , on pourra prendre son plan pour celui des a: et jr, par exemple ; ce qui réduira les trois équations précédentes aux deux premières.

i5o. Au bout du temps t, soient a, b, c , les trois coordonnées d'un second point matériel , à la position duquel on veut comparer celle du premier. Les axes de ces coordonnées étant ceux des Xyjr, Zy je fais

les variables ûo', y, z', feront connaître à chaque instant la position du premier point par rapport au second; et d'après les équations (2)^ on aura

dt} — di"^ di* ^ di"^ IF — d^^

pour les déterminer en fonctions du temps.

Quand le mouvement du second point ne sera pas connu ^ mais que Ton donnera seulement les composantes A, B^ C^ parallèles aux axes descoor^ données, delà force qui le sollicite^ on aura

et il en résultera

pour les équations du mouvement relatif du pre« mier point.

Si la force dont A, B^ C, sont les composantes

agît à la fois sur les deux mobiles, ces composantes entreront aussi dans les valeurs de X, V, Z, et disparaîtront de ces dernières équations. C'est ce qui arrivera, par exemple, à 1 égard des corps qui se meuvent à la surface de la terre, et dont ou rapporte les positions à des points de'terminés de cette surface : les forces relatives à ces points et provenant du mouvement diurne de la terre, n'entrent pas dans les équations des divers mouvemens que l'on considère à sa superficie ; et l'on en fait complètement abstraction , eu formant ces équations.

Toutefois, cela ne veut pas dire que les mouvemens que nous observons soient tous ïndépendans de la vitesse de rotation de la terre. Elle influe pour une petite partie sur l'intensité de la pesanteur , et , couséquemment , sur les mouvemens verticaux. De plus, quand un corps tombe d'une hauteur considérable , la vitesse de rotation dont il est animé à son point de départ est un peu plus grande que celle qui a lieu au pied de la verticale menée par ce point; d'où il est aisé de conclure que le mobile doit s'écarter un peu de cette droite , et venir rencontrer la terre à une petite distance de son extrémité inférieure. Cette déviation , qui a été effectivement observée, rend sensible, par une expérience directe, le mouvement de la terre autour de son axe.

Les mouvemens tndépendans de cette rotation sont ceux que produit le choc des corps, et aussi ceux qui sont dus à l'actiou musculaire des hommes et des animaux.

i5i. Les équations (2) sont celles du mouvement d'an point matériel entièrement libre; mais il est facile de les étendre à un point matériel assujetti >à se mouvoir sur. une surface donnée. Il suffira pour cela y comme dans le cas de l'équilibre (n"" 36)^ de joindre aux forces données qui agissent sur le mobile^ une force de grandeur inconnue, qui représentera la résistance de la surface. Cette force sera normale à la surface donnée ; je la représenterai par N, et par A, /u , y , les angles .qu'elle fait avec les prolongemens des coordonnées x, ^, ^y du mobile; les équations du .mouvement seront alors.

•^ = X -f- N cosX,

^ = Y + Ncos;t,^ (3)

1^ = Z + N cos r.

Ea- représentant par L == o l'équation de la surface donnée , et faisant , pour abréger,

^ — W» ^ dx^ ^^ dz^J

on aura ( n^ 31 ) , en même temps ,

. -.T dh 17 £^ ir dit

^^^^^ di> cos^ = V 3p, cos V = V ■^.

Après avoir substitué ces valeurs dans les équations (3) , on éliminera entre elles le produit NV ; les deux équations qui en résulteront, jointes à L=o , servirpnt à déterminer x^jr^ Zy en fonctions de t. On

tirera ensuite de Tune des équations (3) , ou d'nne combinaison quelconque de ces équations , la valeur de NV ; et comme N doit toujours être une quantité positive y le signe de cette valeur fera connaître celui de y ; au moyen de quoi la force normale N et le sens dans lequel elle agit seront complètement déterminés.

Si le mobile est assujetti à se mouvoir sur deux surfaces données^ ou sur leur courbe dlntersection^ on le considérera encore conmie entièrement libre ^ après avoir joint aux forces données deux forces inconnues N et N' ^ normales à ces surfaces ; et en désignant par X, /jl, p , les angles qui détermineront les directions de la première par rapport aux axes des

^ 9 y^^f ^^ psir ^'9 1^7 ^' y les angles qui répondront à la seconde ^ il en résultera

^ = X + NcosA 4- N'cosAS

^ = Y + Ncosf. + N'cos^tt', \ (4)

= Z + Ncos V + N'cos/,

pour les équations du mouvement. Si L=o est Téquation de la surface dont N est la résistance , et qu'on représente par L'=o celle de la surface à laquelle N' correspond , les valeurs de cos ^ ^ cos /t , cos y ^ seront les mêmes que précédemment, et celles de cos A', cos fi!^ cos v\ s'en déduiront par le changement de V et I4 en V et \I. Après avoir substitué les unes et les autres dans les équations (4) , on éliminera les pnH duits NV et NT'. L équation qui en résultera^ et le$

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. %^g

équations données L = o et L' =; o , serviront à dé* terminer les valeurs de x,j^,z, en fonctions de t. Cela fait^ on tirera de deux des équations (4) , . les valeurs de NV et N'Y', dont les signes seront ceux de V et Y'; et^ de cette manière^ on connaîtra les forces normales N et N'y et le sens dans lequel elles agissent : leur résultante sera , en grandeur et en direction , la résistance de la courbe sur laquelle le mobile est astreint à se mouvoir.

i53. Pour donner une forme plus simple aux équations (4) ; soient m k masse du mobile et mP la pression qu'il exercera , dans son état de mouvement^i sur la courbe qu'il est forcé de décrire. Désignons par nar, m\ ^^ y les angles que fait h direction de cette force avec les prolongemf ns , dans le sens positif y des coordonnées x,j^,z,dece point ; la résistance que la courbe oppose au mouvement du mobile, considérée comme une force accélératrice ^ sera égale et contraire à P; en la joignant aux forces données ILyY, Z, qui agissent sur le mobile ^ nous aurons y au lieu des équations (4)^

Pcos«,

dr ~

Pcos^',

Tcosna".

La direction de la force P n'est pas connue à priori : on sait seulement qu'elle est normale à la courbe dcNnilée; d'où il résuite que le cosinus de l'aD^^ compris entre cette directkm et la tangente à la tca,-^

28o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

jectoire doit être égal à zéro; ce qai donne

^ C0S<Z9* -f- ^ COS '»'' + ^ COS <Ot" S5S o. (6)

Les angles nar , nar', nsf\ seront^ en outre ^ liés entre eux par Téquatîon ordinaire

€0s*4r -4- cos*^ -4- co^tcaf^ = i.

On éliminera P^ <tsr^ ns^^ '(iar'\ entre ces équations, en ajoutant les équations (5), après les avoir multipliées

par ^ , ^ , S ' ^^ ayant égard à Téquation (6) > et en faisant, pour abréger,

on a alors f

En différentiant Téquation identique

dot^J^dj^^dz"^ d^

di^ £Û*^

et divisant par ^ds^ on voit que le premier membre de réquation précédente est la même chose que —- ; od aura donc simplement

La force ^ est la somme des composantes des forc^^ données, suivant la tangente à la trajectoire, le^' quelles composantes seront regardées comme po^^

tives ou comme négatives ^ selon qu'elles tendront à augmenter ou à diminuer Tare s décrit par le mobile. L'équation (7) signifie donc que dans le mouvement curviligne , comme dans le mouvement rectiligne , la force qui agit sur le mobile dans le sens de son mouvement est égale au second coefficient

différentiel de l'espace parcouru : à cause de (^ = ^ ^

on peut aussi dire qu'elle est égale au premier coefficient différentiel de la vitesse acquise i^.

Cette équation étant indépendante de la résistance de la courbe, convient aussi au mouvement d'un point matériel entièrement libre et à celui d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface courbe; mais c'est principalement dans le cas d'un point matériel qui se meut sur une courbe donnée , que cette équation pourra être utile. On tirera des équations de cette courbe les valeurs de a:, j', z, en fonctions de ^ ; et après les avoir substituées dans l'équation (7) , il ne restera plus qu'à intégrer cette équation du second ordre entre s et t. Les deux constantes arbitraires que renfermera son intégrale se détermineront au

moyen des valeurs de ^ et ^ qui répondent à ^= o,

c'est-à-dire, au moyen de la position et de la vitesse initiales du mobile. Quand les trois coordonnées x , jr, z, auront été déterminées en fonctions de ^, d'après l'intégrale de l'équation (7), jointe aux deux équations données de la trajectoire , les équations (5j feront connaître , à un instant quelconque , les trois composantes de la pression P qu'éprouvera la courbe sur laquelle le mobile est obligé de se mouvoir.

s8a TRAITS DE MÉCANIQUE.

Qa trouvera y dans le chapfître suivant , une détermination plus simple de cette £6rce en grandeuF et eu direction.

§ n. Conséquences principales des fonmles

précédentes.

i55. Lorsqiie le mobile est sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, on obtient immédiatement trois intégrales premières des équations {2).

Pour cela, plaçons Forigine des coordonnées œ^ jTp Zf en ce point ; représentons , en grandeur et en direction, la force qui sollicite le mobile, par son rajon vecteur; et construisons le parallélépipède dont ce rayon est la diagonale , et qui a ses trois c6tés adjacens sur les axes des a:,jr,z. Les trois coordonnées ^fj^9 ^9 ^u mobile seront les grandeiirs de ces trois côtés, et représenteront les trois composantes de la force donnée ; en sorte que Ton aura

d'où l'on tire

ILj = Y^, Zo: = Xz, \z = Zx.

D'un autre cÀté, les équations (2) peuvent être remplacées par celles-ci :

jrd^x — xd^jr z=z ÇLjr ^^\x) dt^ p \ xd^z '—zd^x^ÇLx--'\z)dt^, \ {a) zd^j —jd^z = (Yz — Zy) di\ J

Or, leurs seconds membres sont nuls en vert« dei

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a83

équations précédentes; et comme lem^ premiers membres sont les différentielles de ydx — xdjTp acdz-^zdxj ^j'—jrdZf on aura, en intégrant,

jrdx — xdjr^=cdt, \ xdz — zdx = c'dtf \ (b) zdjr — jrdz ssc^'dt; ]

c, c^p c''p étant des constantes arbitraires.

i54* Ponr énoncer le théorème contenu dans ces int^prales premières des équations du mouvement, considérons la projection AMB (fig. 38) de la trajectoire du mobile sur le plan des coordonnées x et j-, dont les axes sont Ojc et Ojr. Au bout du temps t, soient M la projection du mobile, OP et MF son abscisse or et son ordonnée^; et C étant le point où cette courbe coupe Taxe 0;^, appelons u le secteur COM, p Taire COPM, q le triangle OPM ; nous aurons

u = p -^ q, q = {XX.

Si BT est la projection du mobile au bout du temps /+£&, MOM^ sera Taire décrite par le rayon yecteur de cette projection pendant Tinstant dt; ce sera aussi la différentielle de i£ ou de p — ç ; et à cause de

i^=jrdx, dq=zixdjr + ijrdx, on aura

par conséquent, la première équation (b) signifie que Taire décrite pendant chaque instant dt par le rayon ▼ecteur de la projection M du mobile est constante et égale à ^cdt; donc aussi Taire décrite pendant un

a84 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

temps t quelconque , est proportionnelle à cette variable et égale à \ct. Les aires décrites dans ce même temps par les rayons vecteurs des projections du mo* bile sur les plans des x ei z^ et désuet z, seront de même égales à 7 c't et 7 d't.

Concluons donc que quand un point matériel est soumis à une force constamment dirigée vers un centre fixe, les aires décrites autour de ce point par le rayon vecteur de sa projection sur un plan quelconque passant par ce même point, sont proportionnelles au temps employé à les décrire.

Réciproquement, lorsque cette propriété a lieu par rapport à trois plans rectangulaires menés par le centre des aires, on en peut conclure que la force ou la résultante des forces qui sollicitent le mobile est constamment dirigée vers ce centre fixe.

En effet , si les équations Çb) sont données, on aura, en les différentiant ,

j-^ or— :crf^=: o, xd^z — zd^xz=zOf zd^jr — jrd^zz=io\

en vertu des équations (a), qui sont celles d'un mouvement quelconque, on aura donc aussi

X7^ = Y:r, Z:r = Xj3, \zz=zZjr;

par conséquent, les forces X, Y, Z, seront entre elles comme les coordonnées a*,^, z, du mobile; ce qui sufEt pour que leur résultante soit constamment dirigée vers l'origine des coordonnées. Au reste, cette force peut être attractive ou répulsive , c'est-à-dire qu'elle peut agir suivant le rayon vecteur du mobile, ou suivant son prolongement.

i55. Lorsqu'un point matériel est soumis à une force dirigée vers un centre fixe , il est évident que sa trajectoire est une courbe plane , puisqu'il n'y aurait aucune raison pour qu'il sortit , plutôt d'un côté que de l'autre^ du plan passant par la direction de sa vitesse initiale et par le centre fixe. C'est aussi ce que l'on déduit des équations [b); car en les ajoutant^ après les avoir multipliées par z, /, ûc, et divisées par dt, il vient

cz + c'j- + c"a: = o.

On peut prendre ce plan pour celui des oc eij"; 1 aire décrite par le rayon vecteur même du mobile^ dans le plan de sa trajectoire , sera donc proportionnelle au temps; et^ de plus^ le théorème précédent se réduira à cette proportionnalité. En effet , si elle a lieu pour l'aire décrite sur le plan de la trajectoire, elle aura lieu également pour l'aire décrite par le rayon vecteur de la projection du mobile sur tout autre plan ; car cette autre aire n'est autre chose que la projection de la première sur ce plan; et nous savons (n** 10) que la projection d'une aire plane a un rapport constant avec l'aire projetée.

1 56. L'aire infiniment petite MOM' peut aussi s'exprimer en coordonnées polaires. Pour cela , désignons par r le rayon vecteur OM, et par G l'angle MOûc qu'il fait avec l'axe des x. Décrivons du point 0, comme. centre^ lare de cercle OMN qui coupe au point N le rayon vecteur OM' correspondant k l'angle fl — ^^ et qui aura pour longueur nrfô. Le secteur circulaire MON sera égal à \r^d&, et pourra être pris pour l'aire MOM', en négligeant l'aire MNRf, infini-

ment petite du second ordre. On devra donc ayoif

jdx — xdy = r*6ft;

équation que l'on yériiie effectivement au moyen des valeurs

X == rcosfl, y = rsinS,

et de leurs différentielles, qui sont

dlrscosO^r-l-rsind^/6, rf^ = sin9d!r — rcosOdS,

à cause que celle de Tangle 8 est ici — -^iO. De cette manière, la première équation (6) prendra la forme

sous laquelle on l'emploie ordinairement.

On exprime de même en coordonnées polaires l'élément de la courbe. En désignant l'arc CM par ^ et cet élément par dtr , on aura à la fois

en considérant MNM^ comme un triangle rectiligoe rectangle en N, on en conclura donc

rftf^ ss= dr* 4- r^cffl*; ce qu'on peut aussi déduire de la formule

da» = dix* + rfrS

au moyen des valeurs précédentes de dx et dy.

A cette occasion , nous ferons remarquer que, dans une trajectoire plane, les composantes de la vitesse du mobile suivant le prolongement MO' de son rayon vecteur MO, et suivant la perpendiculaire à ce rayon i

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. d8)

sont exprimées par

^ rdd dt' dt »'

car Tangle (XMT que fait ce prolongement avec la tangente MT est complément de l'angle M du triangle M1!^ ; d après ce triangle ^ on a donc

cos(yMT = ^. sinOlMT^^j

et en multipliant ce cosinus et ce sinus par la vitesse

^, dirigée suivant MT^ on aura les composantes dont

il s'agit. Il est souvent utile d'en faire usage. Elles

différent des composantes -^ et ^ de la même vitesse

en ce que les directions de celles-ci sont fixes, et que celles des précédentes varient avec la position du mobile.

dà

La vitesse -r , avec laquelle le rayon vecteur OM

décrit l'angle COM, compté à partir d'une droite fixe, est ce qu'on appelle la vitesse angulaire du mobile. Elle

se déduit, comme on voit, de sa vitesse -^ , perpendiculaire à OM, en la divisant par la longueur de ce rayon.

167. Revenons maintenant aux équations différentielles du mouvement.

Ajoutons les équations (5) du n"* iS^, après les avoir multipliées par dx, djr, dzy en ayant égard à l'équation (6) du même numéro , et observant que

de a de % ^

a88 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

il en résultera

id.if* = lUx + Ydjr + Zdz. (c)

Supposons que les expressions des forces données Xy Y, Zy ne renferment explicitement ni le temp$ t, ni la vitesse (^^ et qu'en considérant x,j^,z, commç des variables indépendantes^ cette formule (c) soit une différentielle exacte; faisons^ en conséquence^

F indiquant une fonction donnée : en intégrant l'équation (c) et désignant par C la constante arlntrairCi nous aurons

Pour éliminer cette constante^ soient a, b, c, k,}es valeurs initiales dea:,j^, z, v; on aura

A:* = 2F(rt, 6, c) ■+- C,

et, en retranchant cette équation de la (»récédente,

s^ = 1^ + tkY{xyf, z) — 2F(a, b, c). (d)

Ce résultat étant indépendant de la résistance Nde la courbe , égale et contraire à la force F qui entrait dans les équations dont on la déduit, il s'ensuit qa'il a également lieu dans le mouvement d'un point matériel entièrement libre , et dans le mouvement sur une surface ou sur une courbe donnée.

La conséquence immédiate de cette équation (d)f c'est que la vitesse est constante et le mouvenient uniforme toutes les fois que le mobile n'est sollicité par aucune force donnée; car alors la fonction F est

nulle y et l'on a 1^ = ^, soit que le mouvement ait lieu sur une surface ou sur une courbe donnée y en que le mobile soit entièrement libre.

Cette équation nous montre^ de pluà^ que dans la supposition qu'on a faite sur la nature des forces X^ Y^ Z, l'accroissement du carré de la vitesse du mobile^ en passant d'une position à une autre, est toujours le même, quelle que soit la courbe qu'il a décrite, et ne dépend que des coordonnées a, b, Cp Xj j^ js, des deux points extrêmes* Lorsque cette courbe sera donnée, ou seulement lorsque le mobile sera assu^ jetti à se mouvoir sur une sur£sK:e donnée^ on prendra pour k la vitesse du mobile tangente à cette courbe ou à cette sur£ace. Si la percussion exercée sur le mobile à l'origine de son mouvement nV pas cette direction , elle se décomposera en deux autres forces, l'une normale et l'autre tangentielle ; la première sera détruite par la résistance de la courbe ou de la sur- £ice donnée; et c'est la seconde qui produira la vi-* tesse ifc , et qui en déterminera le sens et la directiofi.

Si l'on désigne par C une constante arbitraire, l'équation

sera celle cf une surface qui sera atteinte àvéc des vi^ teues égales par totm les mobiles soumis aux mêmes fiorces, partis du point dont a, b, c, sont les Coot^ àonnées, suivant différetites directions et aveé une même vitesse k. Lorsque, par exemple, ces molâles M Moit solicités que par la pesanteur, cette équation est celle d'un pian borizontah

ago TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Dans le cas d'une courbe donnée, on déduira de ses équations les valeurs de o:,^, z^ eu fonctions de l'arc s; en les substituant^ dans l'équation (d), et y

mettant ^^ à la place de p , on en tirera

dt == Sds,

où S est une fonction donnée de s ; par conséquent , dans ce cas, la détermination du temps en fonction de Tespace parcouru se trouvera réduite à Tintégra^tion d'une différentielle donnée. Mais la supposition sur laquelle est fondée l'équation (d), et, conséqucmment y cette équation, n'auront pas lieu quand le mobile éprouvera la résistance d'un milieu, qui est une force dépendante de la vitesse; il en sera de même lorsqu'il s'agira du mouvement d'un point matériel attiré ou repoussé par d'autres points qui seront euxmêmes en mouvement; circonstance qui introduira le temps t explicitement dans les valeurs de X , Y, Z. Dans ces deux cas, si la trajectoire est une courbe donnée, on fera usage de l'équation (c),dans laquelle

on mettra -j ^^^ li^u ^^ ^9 ^t qui se changera dans

l'équalion (7) du n® i52.

1 58. La formule Tida: + Ydjr + Zdz sera une différentielle exacte, comme on vient de le supposer, toutes les fois que le mobile sera attiré ou repoussé par des centres fixes, et que les intensités de ces forces seront exprimées par des fonctions de la distance aux centres dont elles émanent.

En effet, soient e, /, gjles trois coordonnées d'an des centres fixes , rapportées aux mêmes axes que x,

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. agi

y y z. Désignons par r la distance du mobile à ce point ; on aura

et les cosinus des angles que cette droite r fait avec des axes menés par le mobile ^ suivant les directions des œ f jr,Zy positives^ seront les rapports de e — x, f — J'y ^ — 2 , à r. Si donc on représente par R la force attractive, dirigée du mobile vers ce centre fixe, ses trois composantes auront pour expressions

Me — x") R^(/-.jr) R(g — z) . r ^ r ' l' ^

et, conséquemment , la partie de Xdlr +Y^+ TAz qui proviendra de R sera

Mais en difierentiant la valeur de r*, on a

ce qui réduit à — * Kdr la quantité précédente. Si la force qui émane du centre fixe était répulsive, il suffirait de changer le signe de cette quantité , qui deviendrait Hdr, en considérant, dans tous les cas, R comme une quantité positive.

On conclut de là que si le mobile est sollicité par un nombre quelconque de forces R, R', R", etc., qui émanent de centres fixes, dont les distances à ce point matériel sont r, r , r ', etc. , on aura

Jidx+Ydx+Zdz^:=p^rzpKWzpK'Wzpeic,;

aga TRAITÉ DE MÉCAKIQUE.

les signes supérieurs ayant lien dans le cas des attractions , et les signes inférieurs dans le cas des répulsions. Or, en supposant que chacune de ces forces soit une fonction donnée de la distance correspondante ^ tous les termes de cette valeur de Xdx'-^^YdjT'^Zdz seront des différentielles dépendantes d'une seule yariable^ et^ par conséquent ^ cette formule sera une différentielle exacte ; ce qu'il s'agissait de prouver.

On voit aussi par là , et d'après l'équation (d) , que l'accroissement du carré de la vitesse provenant de chacune des forces R, R', R", etc., sera le même que si elle existait seule : à l'égard de la force R, par exemple, cet accroissement sera exprimé par zp nfKdTf en prenant llntégrale de manière qu'elle s'évanouisse pour la valeur initiale de r.

iSq. Dans le cas d'un point matériel pesant, qui se meut, sur une courbe donnée, dans le vide et sans frottement sur cette courbe, l'équation (if) se réduira à

en désignant par g la gravité , et prenant Taxe des z positives vertical et dans le sens de cette force, de sorte qu'on ait

Soient ADBG (fig. Sg) la courbe donnée, B son point le plus bas, A son point le plus élevé, qui peut n'être pas dans la même verticale que B , et D le point de départ du mobile. Plaçons en ce dernier point l'origine des z, et supposons que k vitesse inir

tiale k soit dae à une hauteur h ; nous auix)ns

c = o, A:* = 2gh,

etp par conséquent ,

U en résultera que quand le mobile arrivera au point By la vitesse maxima sera la même que s'il fàt tombé de la hauteur h , augmentée de celle du point D au-dessus du plan horizontal mené par le point B. En vertu de cette vitesse acquise ji le mobile s'élèvera le long de BCA; sa vitesse diminuera continuellement ; et si Ton a A s= o , elle sera nulle au point C situé dans le même plan horizontal que D. Parvenu au point C , le mobile redescendra le long de CB ; et il oscillera ainsi indéfiniment de D vers C, et de C vers D. Lorsque la constante h ne sera pas nulle , le mobile s'élèvera au-dessus du point C. Si l'élévation du point A au^essus du plan horizontal qui comprend D et C, est moindre que h, le mobile n'atteindra pas le point A; il s'arrêtera en un certain point G} et si l'on mène par G un plan horizontal qui coupe la courbe en un autre point D', le mobile oscillera indéfiniment de C vers D', et de D' vers C\ Les oscillations seront toutes isochrones ou d'égale durée. Cela est évident à l'égard de celles qui auront lieu dans le même sens ; et Ton voit aussi que la durée de chaque oscillation de C vers D' sera la même que celle d'une oscillation de D' vers C\ en observant qu'un élément quelconque de la coui*be sera parcouru avec la même vitesse dans

îà94 TRAITÉ DE MÉCANIQUE*

les deux cas. Cette dorée commune de toutes les oscillations entières dépendra de la forme de la courbe et de la grandeur de h.

Lorsque l'élévation de A au-desstîs du plan horizontal passant par le point de départ sera égale à A, lé mobile approchera indéfiniment du point A , mais ne l'atteindra qu'après un temps infini. Quand cette élévation sera plus grande que h^ le mobile dépassera le point A, et parcourra la circonférence entière de la courbe donnée. Revenu au point D, sa vitesse sera la même qu'à l'origine du mouve-^ ment; d'où l'on conclut qu'il fera une suite indéfinie de révolutions ^ qui auront toutes une égale durée , dépendante de la forme de la courbe et de la grandeur de h»

Si la courbe donnée est d'abord comprise dans un plan vertical^ tangent à un cylindre à base quelconque , et qu'on enveloppe ce plan sur le cylindre ^ de sorte que la courbe donnée devienne une ligne à double courbure, le mouvement oscillatoire ou révolutif du mobile ne changera nullement , en supposant, toutefois, que son point de départ et sa vitesse initiale restent les mêmes ; car alors la valeur de t en fonction de s^ déterminée comme il a été dît précédemment (n* iSy), ne dépendra que de celle de z en fonction de ^, qui ne changera pas, quelle que soit la base du cylindre vertical sur lequel la courbe donnée sera tracée.

i6o. Dans tous les cas où l'équation {d) a lieu, et où le mobile n'est pas astreint à se mouvoir sur une courbe donnée, celle qu'il décrit pour aller d'un

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a^

point donné que jajppellerai A^ à un autre point donné que je nommerai B^ jouit d'une propriété remarquable* Si le mobile est entièrement libre , l'intégrsAe fvdsy prise depuis le point A jusqu'au point B, est plus petite que suivant toute autre courbe aboutissant à ces deux points; s'il est assu'<^ jetti à se mouvoir sur une surface donnée^ cette propriété de la trajectoire n'a plus lieu que relati-^ vement à toutes les courbes tracées sur cette sur-^ face, et qui aboutissent toujours aux points A et B. Dans ces deux cas, ds est Télérpent différentiel d'une courbe quelconque , qui répond aux coordonnées Xj y^ Zj ^\ \^ une fonction de ces trois variables et d'une constante k y donnée par l'équation (df).

La démonstration de ce théorème revient à prouver qu'en vertu des équations du mouvement , la variation àe fvds est nulle , en supposant fixes les limites de cette intégrale : alors elle sera un m/nimum ou un maximum ; et ce sera toujours le m/mmum qui aura lieu quand le mobile sera entièrement libre ; car il est évident que l'intégrale fi^ds pourra croître indéfiniment avec la longueur de la trajectoire, et ne sera pas susceptible de maximum.

Or , par les règles les plus simples du calcul dés variations, on a

J'.fuds =B f^.vds, S'.vds = ^s^ds + i^cT^.

D'ailleurs dt étant l'élément du temps, on a ds=.çdti

donc

^^}ds = \dt^.^>\

Si Ion différentie lequation (d) et que Ton remplace

9g6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

les diffârentielles dXfdjydzy par les yariatioiis ^Xf

jy, JW^ on aura

icT.P* = '^x + Yjy + ZcTz.

En ayant égard aux valeur^ de cos A , cos ;^^ cos r ^ et obserrant que

les équations (5) du n"" i5i donnent

Le terme NY^L n'entrerait pas dans cette équation , si le mobile était entièrement libre ; quand il est assujetti à se mouvoir sur la surface dont l'équation est L = o y ce terme est nul \ car toutes les courbes que Ton compare à la trajectoire du mobile devant aussi être tracées sur cette surface, on a «TL =0; donc on doit supprimer ce terme dans tous les cas \ et il en résulte

Quant au second terme vS^ds de la variation de (a(2r ^ nous avoDs

et y par conséquent ,

donc y à cause de ds = s^dby et en intervertissant, dans le second membre , l'ordre des caractéristiques d et iy

DYNAMIQUE, PREIilÈRE PARTIE. 297

noos aurons

En réunissant ces deux parties de la valeur de S" . vds^ il vient

d'où Ton conclut

S'.ifds = "^ ^-^ + ^ jy + 57 <^^ + constante ,

pour rintégrale indéfinie de J^.pdlr. Mais les deux points extrêmes A et B étant supposés fixes y les variations cTjr, jy, eTz, qui s'y rapportent, devront être nulles ; par conséquent , l'intégrale définie fS" . i^ds , prise depuis le point A jusqu'au point B , laquelle est égale à la variation i'.fvdsy se réduira à zéro; ce qu'il s'agissait de démontrer.

161 • Quand le mobile, assujetti à se mouvoir sur une surface courbe, n'est sollicité par aucune force donnée , sa vitesse est constante (n^ 1^7 ); l'intégrale f\^ds est donc le produit vs. Par conséquent l'arc s décrit par le mobile est, en général, la ligne la plus courte du point A au point B; et il suit de l'uniformité du mouvement, que, dans ce cas, le mobile va d'un point a l'autre , dans un temps plus court que s'il était forcé de décrire sur la surface donnée toute autre courbe que sa trajectoire. Toutefois , si cette surface est fermée de toute part, comme une sphère , par exemple , les points A et B seront les extrémités de deux arcs de grand cercle , dcmt l'un sera moindre et l'autre plus grand que tous les arcs

de petits cercles aboutissant aux mêmes points ; et le mobile pourra décrire Tune ou lautre de ces deux portions d'un même grand cercle , selon le sens de sa vitesse initiale k tangente à la sphère.

On peut présenter l'équation difiërentielle de la trajectoire sous une forme qui mette en évidence la propriété de la ligne la plus courte sur une surface quelconque , laquelle consiste en ce que son plan osculateur en chaque point est normal à cettQ surface.

Les forces X, Yy Z, étant supposées nulles, les équations (3) du n® 1 5 1 se réduisent à

^=NcosA, ^=Ncos;a, ^ = Ncosf.

A cause que s^ est une constante , et que vtzi^s ^ on a

dF~^ ds^ '

en prenant l'arc s pour la variable indépendante ; et cela étant, on pourra remplacer les équations précédentes par celles-ci :

dxd^" — drd^x V/dx dr ^ \.

de"

de d^'

du^x — dxd'z Ji /dz ^ dx \

d? — =Ats'^'^^--^'''^')>

djrd'z — dzd'jr N /dy dz

ds^ v*\ds

qui s en déduisent aisément. Je les ajoute après les avoir multipliées par cos r, cos ju, cos A; la quantité N 4lisparalt, et l'on a simplement

dxd'r—drd'x , dzd'x — dxd'z

D'après les valeurs de cos A , cos /jl , cos v , citées dans le n^ i5i y on aura donc

ds^

dxd*jr — djd^x dL j. dzd^x — dxd'^z dL ^

dx^ d? d} \

pour réquation différentielle seconde de la trajecloire. On y substituera la valeur de l'une des trois coordonnées a:, jr^ z, en fonction des deux autres , tirée de 1 équation L = o de la surface donnée, sur laquelle cette courbe doit être tracée; on intégrera ensuite l'équation à deux variables qui en ré-* sultera; puis on déterminera les deux constantes arbitraires que l'intégrale renfermera , en assujettissant la courbe à passer par les deux points A et B de la surface donnée. L'équation qu'on obtiendra de cette manière, et qui sera, comme on voit, indépendante de la grandeur et de la direction de la vitesse initiale A:, devra être celle de la ligne la plus courte entre ces deux points.

Or, si l'on appelle a, ^, 5^ , les angles que la normale au plan osculateur d'une courbe quelconque , au point dont les coordonnées sont :x:, jr, z, fait avec leurs prolongemens dans le sens positif, et qu'on

fesse, pour abréger,

[{dxd'j'-^djd'xy+ {dzd'x-^dxd'zy+idjrd'z^dzdyyy — h.

3oo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

nous aurons

cos a = ^(djrd*z — dzdy), cos 6 = ^ (dzd^x — dxd^z) , cos 7 = T {dxd^jr — djrd^x) ,

d'après les formules (5) du n^ ig, où ces mêmes angles sont représentés par X, /jl, v. En vertu de réquation (e), on aura donc - *

cosAcosct + cos^cos/x-f-cos7COsy = o;

ce qui montre que la normale au plan osculateor de la trajectoire y et la normale à la surface donnée, sont perpendiculaires Tune à Tautre ; d'où Ton conclut que l'équation {f)f qui appartient à la ligne la plus courte , est aussi celle de la courbe qui a partout son plan osculateur normal à la surface donnée ; en sorte que ces deux lignes sont une seule et même courbe tracée sur cette surface, quand on les assujettit Tune et l'autre à passer par les mêmes points extrêmes A et B.

Il suit de là que , quand ces deux points appartiennent à une des lignes de courbure de la surface donnée , cette ligne est la plus courte d'un point à l'autre ; car son plan osculateur en un point quelconque renferme deux normales consécutives à la surface donnée^ et est^ par conséquent, normal à cette surface.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3ei

§ III. Digression sur le mouvement de la lumière.

162. Le théorème du n"" 160 est connu sous la dénomination de principe de la moindre action ^ qui lui vient du point de vue métaphysique sous lequel on Ta d'abord envisagé, et qu'oYi a depuis justement abandonné. Mais il peut encore être utile de donner ici une des premières applications qu'on a faites de ce principe y celle qui est relative à la réflexion et k la réfraction de la lumière dans le système de rémission.

Tant qu'un rayon lumineux se meut dans un mi*lieu d'une égale densité, sa vitesse et sa direction restent les mêmes; mais quand il passe d'un milieu dans un autre, sa direction s'infléchit et sa vitesse change. Dans l'instant du passage, la lumière décrit une courbe d'une étendue inappréciable, dont on peut fiiire abstraction sans erreur sensible. La tra«jectoire de chaque particule lumineuse est donc alors l'assemblage de deux droites , dont chacune est décrite d'un mouvement uniforme. Ainsi, en appelant j' et y les longueurs de ces droites, n la vitesse de la lumière dans le premier milieu, n' sa vitesse dans le second, on aura njr pour la valeur de Fin*tégrale fvds , prise depuis le point de départ de la particule jusqu'à son entrée dans le second milieu, et n'y pour la partie de cette intégrale relative au second milieu ; par conséquent cette intégrale, prise dans toute l'étendue de la trajectoire, sera exprimée par njr^ny; et c'est cette somme qui doit

3o2 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

être un minimum^ d'après le principe de la moindre action*

Ayant d'aller plus loin , observons que^ si le second milieu est une substance diaphane et cristallisée, la vitesse de la lumière , dans cette substance, dépendra^ en général y de la direction du rayon lumineux; en sorte quelle sera constante pour un même rayon, mais variable d'un rayon à un autre. Le phénomène de la double réfraction que présentent le spath (fls" lande et la plupart des cristaux transparens , tient à la différence de vitesse des différens rayons lumineux qui les traversent. On doit alors regarder la vitesse /i' comme une fonction des angles qui déterminent la direction de chaque rayon ; et la loi de la réfraction dépend de la forme que l'on suppose à cette fonction. En faisant une hypothèse convenable sur cette forme, Laplace est parvenu à déduire du principe de la moindre action (^) , la loi de la double réfraction , découverte par Huyghens et confirmée par Malus; mais ce n'est point ici le lieu d'exposer cette théorie : nous nous bornerons à considérer le cas où tous les rayons se meuvent avec la même vitesse, quelles que soient leurs directions. Dans le calcul suivant, les vitesses n et n' seront donc regardées comme des quantités données pour chaque milieu en particulier, et indépendantes de la direction des rayons lumi' neux.

i63. Soient maintenant A et B (fîg. 40) les deux

(*) Mémoire de la première classe de l* Institut , pour Tancée 1809.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3o3

points extrêmes de la trajectoire. Supposons que la surface de séparation des deux milieux soit plane, et menons par ces deux points un plan qui la coupe suivant la droite CD. Soit encore AEB une ligne brisée au point £, qui représente la projection de la trajectoire sur ce plan. Menons par les points A, B, E, les perpendiculaires AF, BG, HEK, à la droite CD. Puisque la position des points A et B est donnée, les trois droites AF, BG, FG, sont connues; mais la position du point E, et les angles AEH et BEK sont inconnus, et doivent être déterminés par la condition du minimum. Nous supposerons donc

AF=a, BG = *, FG=c, AEH=a:, BEK = a:';

les triangles rectangles AFE et BGE donneront

EE = a tang x , EG = b tang x' ;

par conséquent , on aura

a tang x + b tang x' = c. (a)

Le rayon lumineux traverse la surface de sépara-» tion des deux milieux en un point dont E est la projection sur le plan de la figure. Si nous appelons z la distance de ce point inconnu au point E,^ sera l'bypoténuse d'un triangle rectangle dont z et AE seront les deux petits côtés, et y l'hypoténuse d'un autre triangle qui aura z et BE pour ses deux petits côtés ; mais en considérant les triangles AEF et B{)G, on a