AE = -^ , BE
ODS X ' C08 X '
3o4 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,
on anra donc
cos'
Si l'on substitue ces valeurs dans la quantité nj-^- vlf^ il en résultera une fonction àn^ Zj x ^ x\ qui deyra être un minimum par rapport à ces trois variables , dont les deux dernières sont liées entre elles par l'équation (a). 11 faudra donc d'abord que la différentielle de cette fonction , prise par rappoi^ a z, sent égale à zéro ; d'où l'on conclut
dz ^ dz jr y
Or, on ne peut satisfaire à cette condition qu'en prenant JB = o ; ce qui nous apprend que le rayon lumineux traverse au point £ la surface de séparation des deux milieux, et, par conséquent, qu*il ne sort pas du plan perpendiculaire à cette surface , mené par les points A et B.
En faisant donc iz = o, on aura simplement
» j na , n!b
COSX • C08 X' '
et en égalant à zéro la différentielle complète de cette quantité, il vient
na siii xdx , nb sîn x^dx'
cos'j: ■ C09* X '
mais en'diflerentiant aussi l'équation (a), on a, en même temps,
adx , bdx'
cos* X ' cos* x'
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3j
et si Ton élimine -r— entre ces deux équations , on
trouve
n sîn X -=• ri sîn x\ (6)
Celle-ci et l'équation {a) détermineront les valeurs de X et or' qui répondent au minimum àe njr -^ ny. Après avoir calculé la valeur de Xy on construira le point E y en prenant EF = a tango:; ensuite on tirera les droites ÂE et BE y et la ligne brisée ÂEB sera la route que suit le rayon lumineux pour aller du point  au point B.
L angle AEH compris entre la normale EH à la surface de séparation des deux milieux , et le rayon incident ÂE, est ce qu'on appelle X angle d'incidence; l'angle BEK, compris entre le prolongement EK de cette normale et le rayon réfracté BE, se nomme Yangle de réfraction. Ces deux angles ont été désignés par X et x'. Ainsi l'équation {b) fera connaître l'angle de réfraction quand l'angle d'incidence sera donné; et l'on voit, d'après cette équation , que le sinus de l'angle de rétraction est au sinus de l'angle d'incidence dans un rapport constant.
Cest, en effet, la loi connue de la réfraction ordinaire, dont la découverte est due à Descartes. Le rapport des deux sinus dépend de celui des vitesses n et 7i' relatives aux milieux que l'on considère , et y pour cette raison , il varie avec les différentes sortes de milieux transparens. ^
i64- Si le rayon lumineux, au lieu de pénétrer dans le second milieu, est réfléchi h la surface de se-.
3o6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
paratloD , sa vitesse sera constante dans toute l'étendue de la trajectoire y qui est alors comprise en entier dans un même milieu. L'inlégrale fi^ds sera donc égale à la longueur totale de la trajectoire , multipliée par cette vitesse constante ; par conséquent, cette longueur devra être un minimum^ en vertu du principe de la moindre action.
Supposons donc , comme dans le numéro précédent , que la surface de séparation soit plane. Soient A et B ( fig. 40 ^^^ deux points extrêmes de la trajectoire; menons par ces points un plan perpendiculaire à cette surface , qui la coupe suivant Q) : chaque particule de lumière ira du point A au point B, en suivant une Kgne brisée AEB^ la plus courte de foutes celles qui se réfléchissent sur la surface de séparatïoti. Or y il est d'abord évident que cette ligne sera comprise dans le plan perpendiculaire h cette surface ; car toute autre trajectoire serait plus longue que sa projection sur ce plan. De plus^ il est aisé de prouver, sans aucun calcul, que la plus courte ligne brisée est celle qui fait deux angks égaux avec la droite CD , c^est-à-dire que si Ton a
AEC = BED,
la ligne AEB sera plus courte que toute antre Kgne brisée AE1B, dont le point E' appartient, ainsi tjpe E, à la droite CD.
En effet , abaissons de A la perpendiculaire AP sur cette droite ; prolongeons-la d'une quantité AT êgsie a AF, et tirons ensuite les droites A'E et A'E^. Les deux angles AEC et A^EC seront égaux; donc les
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE, 3o)
deux aog^es ^TC et BED le seront aussi , à cmm de râjuation précédente ; par conséquent , la lîgM A1EB sera droite ; on aura donc
