A'E + BE < A'E' + BE

et, à cause de A'E::=5 AE et A'E'= A£\ il en r^ sidlera

AE -H BE < AE' H- BE'j

ce qu'il s'agissait de prouver.

Si Toa élève au point E la perpen4iciu)au?0 ISH sur la droite CD, AEH et BEH seront les angles d'iocâdenoe et de réflexion du rajon Inimneux qui va du point A au point B. Ces aiftgles setont égaux , piuscfci'ils sont coqfiplémens des. an^^ égaux AEC et BED) d'où il résulte la Im ooimue de la inflexion de la luiiaière ^ qtti consiste en ce que l'angle de ré*^ flexion est toujours égal à Fangle d'incidence»

i6i5* Jjorsque Ton admet la théorie de rémisdon de 'la lumière , les lois de la réflexion et de la liér fractiou se déduisent de l'expression dfu oanré à» lu vitesse d*ui| point soumis à des forces d'attcaclioii (n"* iS8), d'uœ manière plus directe qu'eu fafeant usage du principe de la moindre action. Cette que^ tion nous offrant un exemple du oiouvement d'an point niatériel, intéressant par la nature des forn^ que Ton y considère, et par son application à j^ Ph^ique , nous, allons en exposer la solution ^l^iis |a iras ordinaire, où )es deijEx milieux que tnyeiw |# iupijubre nç sont pas çristaUiiBés.

J)ux^ ^tte théorie, on suj^pK>se chaque particule

3d8 TRAITf; DE MÉCANIQUE,

lumineuse soumise à l'attraction de tous les points matériels du milieu qu'elle traverse, et l'on regarde cette force comme une fonction inconnue de la distance , dont on sait seulement qu'elle décroît avec une extrême rapidité quand la distance augmente, de sorte qu'elle devient tout-à-fait insensible dès que la distance a une grandeur sensible. Ainsi , par exemple , désignons par r la distance dii point attiré au point attirant, par a une ligne de grandeur finie, mais insensible, et par e la base des logarithmes népériens. Une force de cette nature

pourra être représentée par Ae '; A étant son intensité relative à une distance r infiniment petite. Dès que cette distance aura une grandeur sensible, et sera , conséquemraent , un très grand multiple de cLf cette fonction n'aura plus aucune valeur sensible.

Tant qu'un rayon lumineux se meut dans un milieu homogène et d'une densité constante, les attractions qu'il éprouve se détruisent , et son mouvement est rectiligne et uniforme. Mais supposons qu'il soit parvenu en un point M (fig. 42} situé à une distance insensible de la surface CD , qui sépare deux milieux différens, et que nous supposerons horizontale pour fixer les idées; de ce point M, abaissons sur CD une perpendicwlaire MP , et menons ensuite , dans le milieu supérieur , deux plans CD' et C"D'' parallèles à CD, dont la distance mutuelle soit égale à MP, et dont !e premier passe par le point M; il est évident' que tes attracttOos

«jiercées suf le rayon lumineux au point M^ par Ifis deux coudies du milieu supérieur^ qui sont compirises. Tune entre CD et C^D', l'autre entre C'D'et C^D", seront égales et contraires; elles se détruiront donc, et le mobile ne sera sollicité que par lattractibn de ht partie du milieu qu'il traverse , supérieure à CD'V^t par l'attraction totale du milieu inférieur. Ces deux forces seront perpendiculaires à CD ; elles varieront avec la distance MP suivant des lois inconnues, mais telles que chacune de ces forces sera insensible quand MP ne le sera pas y et qu'elles atteindront leurs maacima lorsque cette distance sera nulle , ou que le mobile sera parvenu à la surface de séparation des deu;ç mir lieux.

Au bout du temps t, je représente par z la dis-r tance MP, et par Z et Z' des fonctions inconnues de Zy qui expriment les forces accélératrices provenant des attractions du milieu inférieur et de la partie de l'autre milieu , supérieure à CT)'. Ls^ force accélératrice totale, tendante à diminuer z, sera la différence Z— *Z'; par conséquent, on aura, dan$ le milieu supérieur,

pour l'équation du mouvement vertical d'une particule lumineuse.

Lorsque ce mobile aura traversé la surface CD en un point £, et qu'il aura pénétré dans le milieu inférieur jusqu'en un point M", tel que la perpendicu*

Ste tRAlTÉ DE ttÉGAKtQUË.

lâire IM^P' à CD soit aussi représentée par 2> il est ftifeé de voir <|iie la force accëlëratrice cpii tendra li ditâi-* tmé^^ette variable sera alors la différence Z'^-*2; en sorte que Ton aura

pour réquation du moutement vertical dans I0 mi*» Irëu inférieur.

Quant au mouvement horizontal ou parallèle à CD^ il sera uniforme, et la vitesse horizontale ne changera pas en passant d'un milieu dans Tautre ; car les forces attractives de chaque milieu se détruisent parallèle** ment à CD, et, dans ce sens, un rayon lumineux ti'est soumis à aucune force accélératrice. Ainsi, en appelant k la vitesse de la lumière en un point A du milieu supérieur, situé à une distance sensible de€D, et a Tangle aigu que la direction de cette vitesse fitit avec la verticale, on aura, à un instant quelconque, Je sin a pour la vitesse parallèle à CD. Si le rayon lumineux pénètre, d'une quantité sensible, dans le mi^ Heu inférieur, et qu'on représente par kfelA^ce que deviennent A: et a en un point A' de ce milieu^ situé à une distance sensible de CD , on pourra également représenter la vitesse horizontale du mobile par k' sin af; en sorte que l'on devra avoir

^ sin d =zs k sin «'. (S)

On voit aussi , à priori ^ que la trajectoire du mobile sera une courbe plane et verticale ; il ne restera donc plus qu'à déterminer sa vitesse perpendiculaitv - 4 CD^ soit dans le milieu supérieur, soit dans le mi- -

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3ii

lieu inférieur I à une distance quelconque z de celte surface CD.

i66. Je désigne cette TÎtease par u^ de sorte qu'on

ait ^ = i£* pour les deux milieux. En multipliant

l'équation (i) par tidz^ intégrant et désignant par c la constante arbitraire , on aura , dans le milieu su<^ périeur ,

M* = c + rïfZ'dz — afZdz.

Je supposerai que ces deux intégrales s'évanouissent avec z, et je représenterai par h et 1i' leurs valeurs à une distance sensible de CD. Il sera permis d'étendre ces intégrales h et hf depuis zéro jusqu'à Finfini; car, au-delà d'une valeur sensible, les fonctions Z et Z^^ et par conséquent les parties correspondantes de fZdz et fZ'dz', sont nulles ou insensibles par hypothèse. On pourra donc écrire , si l'on veut,

h = f^Zdz, A' =y*Z'€fc.

D'ailleurs , pour une valeur sensible de z. On a u* = k* cos* a ; on aura donc alors

A:*cos*a = c + ^k! — 2h}

et en éliminant c de la valeur générale de u*, il w résultera

«• = A* cos* a + 3^ — 2h'+2fZ'dz — 2/Zdz ,

en un point quelconque M.

Je représente par Ai la vitesse du mobile au point fi de la surface CD, et par 01. l'angle que fait sfi

3ia TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

direction avec la verticale. On aura en ce point u*=^k]cosa^; et comme il répond à zz=zo, les deux derniers termes de la formule, précédente s eyanouiront , et elle se réduira à

k] cos* a» = A:* cos* a + 2h — 2h\ (4)

Pour que le rayon lumineux atteigne la surface de séparation des deux milieux , il faudra donc que le se* cond membre de cette équation soit une quantité positive, ou qu'on ait

h' < h + ik^cos^u.

Si cette condition n'est pas remplie, ce qui exigera que l'attraction du milieu supérieur surpasse celle du milieu inférieur, la vitesse vertical^ du mobile s'épuisera avant qu'il ait atteint le plan CD. Il y aura donc un point de la trajectoire où la tangente sera horizontale. Parvenu en ce point, le mobile rétrogradera ; les deux branches de cette courbe, aboutissantes en ce même point,, seront semblables, puisqu'elles seront décrites en vertu de forces égales pour la même valeur de z; et, pour une grandeiur sensible de cette distance z, ces deux branches se changeront, en des lignes droites qui feront des angles égaux avec la verticale, ou, autrement dit, les angles de réflexion et d'incidence seront égaux.

Si, au contraire, l'attraction du milieu inférieur surpasse celle du milieu supérieur, et que la condition précédente soit remplie , le rayon lumineux pénétrera dans le second milieu avec une vitesse perpendiculaire à CD , qui sera déterminée par l'équation (/|). Dans cette hypothèse, on aura, d'aprôs

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3i3

rëquation (a) relative à ce milieu ^

w* = k\ cos» a, + 2/Zdz — 2/Z'dz ,

en supposant toujours les intégrales nulles quand z = o. A une distance sensible de CD ^ on a w* = k^* cos* a' ; on aura donc

k'^ cos* a' = *' cos» a. + 2 A — 2 A' ;

et en éliminant k\ cos* a, au moyen de l'équation (4), il en résultera

A/* cos^ a' = *• cos» a + 4A — 4A'. (5)

Four que le rayon lumineux , après avoir traversé la surface CD^ pénètre jusqu'à une profondeur sensible dans. le milieu inférieur , il sera donc nécessaire et il suflElra qu'on ait

h' < h + ^k^cos^a.

Lors donc que h', quoique moindre que /r+fAr^cos^a, surpassera néanmoins A + ^ A:' cos* a , le mobile ne pénétrera dans le milieu inférieur que jusqu'à une distance insensible au-delà de CD; il rentrera ensuite dans le milieu supérieur; et les deux branches de sa trajectoire seront semblables de part et d'autre du point où il commencera à rétrograder. Par conséquent, la lumière sera réfléchie, comme dans le cas précédent , en faisant l'angle de réflexion égal à l'angle d'incidence'; en sorte qu'il y a deux cas distincts de réflexion dans la théorie que nous considérons. 167. Supposons maintenant que ni l'un ni l'autre de ces deux cas n'ait lieu ; de sorte que le rayon

3f4 TAÂITÉ BE MÉCANIQUE.

lumineux soit réfracté. D'après Téquatîon (3)^ m

aura

k^ sîn* af = A:* sîn' a ;

et en ajoutant meimbre à ofierobre l'équation (5) et ceïle-cî, il en résultera

k^ = if + 4A — 4A'; (6)

ce qui montre que Faugmentation du carré de la vitesse du mobile , en allant du point A du milieu supérieur au point A' du milieu inférieur, sera indépendante, comme cela devait être (n"" iSy) , du chemin qu'il aura suivi.

On tire aussi des équations (3) et (6)

sinee

sin a ^k^ -f 4 (* — K) '

formule qui renferme la loi du rapport constant du sin]^ de réfraction au sinus d'incidence, et qui donne la valeur de ce rapport en fonction de la vitesse k de la lumière dans l'un des deux milieux, et de la différence h — h de leurs pouvoirs réfiingens h et hf. Si le milieu inférieur est terminé par deux plans parallèles, et qu'il y ait au-dessous le même milieu qu'au-dessus, l'expérience prouve que la luoiîàre, après avoir subi deux réfractions et traversé les deux faces du milieu intermédiaire , reprend une direction parallèle à celle qu'elle aurait dans le milieu supérieur. C'est aussi ce qui résulte de l'équatioa (7); car si l'on désigne par a!' l'angle que le rayon lumineux fait avec la verticale, après être sorti dii

tnilies întermëdiaire , il faudra, |>our déteraimer sin û!'^ échanger entre elles, dans cette é<}iraikm, les quantités h e\ h! ^ ei y mettre h!, é!^ ii^, au Uelà de A:, a, a^ On aura donc

sin A

ou bien , en vertu des équations (6) et {7) ,

sin a' V'*' + 4C^— A') sin ce Sin tt it ' '

SUl£t'

ce qui donne , effectivement ,

A S!IS fit*

Le phénomène de la dispersion , qui provient d^une valeur différente de l'angle de réfraction it\ pour les rayons diversement colorés dont se compose un même rayon de lumière incidente, peut être attribué, d'à-*» près la formule (7) , soit à une inégalité de leur vi-*> tesse k , soit à une action différente de chaque milieu sur ces différons rayons, d'où il résulterait des valeurs inégales à&h^^hl.

i68. Toutes choses d'ailleurs égales, cette équakicm (7) montre que le rapport du sinus de réfraction att sinus d'incidence doit changer avec la vitesse de la lumière. Or, si l'on considère une étoile située dans le plan de l'écliptique , il y a une époque dans Tannée ou la vitesse de la terre s'ajoute à celle de la lumière, et une autre époque où la première vitesse se retrimche de la seconde ; ce qui rend la vitesse de ta lumière, relativement è un milieu qui se meut

3i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

avec la terre, sensiblement plus grande dans le premier cas que dans le second. Le rapport dont il s'agit devrait donc aussi être différent à ces deux époques; mais des expériences très précises de M. Arago oot prouvé qu'au contraire ce rapport ne varie pas d'une manière sensible pendant toute l'année, et, de plus, que sa grandeur est la même pour le soleil et pour les diverses étoiles d'où la lumière est partie.

Quelle que soit la théorie de la lumière que l'on adopte, c'est toujours un fait très remarquable, que la composition de la vitesse propre de la lumière avec celle de la terre, qui se manifeste dans le mouvement apparent des étoiles, connu sous le nom ôHaberraliotij n'ait cependaut aucune influence appréciable sur la réfraction de la lumière qu'elles nous envoient à différens jours de l'année.

Dans le vide, Je mouvement de la lumière directe ou réfléchie est uniforme, et sa vitesse indépendante de la source dont elle émane. La grandeur de cette vilease est telle, que la lumière parcourt en 495,34 secondes la distance mojenne du soleil à la terre ; ce qui donne SogSo rajriamètres par seconde.

Un rayon lumineux , lancé du soleil ou d'une étoile, doit éprouver dans sa vitesse, comme tout autre projectile, une diminution due à sa pesanteur vers cet astre, c'est-a-dire, à l'attraction en raison inverse du carré des distances à son centre , que Iftmasse du corps exerce sur chaque particule maté — rielle de la lumière; mais cette diminution est un^^ fraction 1res petite de la vitesse finale de la lumière^ Ainsi, par exemple, riutensîté de la pesanteur à Lv-

surface du soleil étant vingt-sept fois et demi Fintensité de la pesanteur terrestre ^ comme on le verra par la suite , et le rayon du soleil étant égal à 1 1 o rayons de la terre, on conclut de ce <}u'on a vu dans le n** j^5, que la vitesse de la lumière , pour être de SogSo myriamètres par seconde à une grande distance du soleil f a du être plus grande d'un peu moins de deux millionièmes seulement , en partant de sa surface.

3i8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.