CHAPITRE IV
HE ËA FORCE GflyTàlFUGE.
169. La {Pression qu'un point matériel exerce sur une courbe qu'il est fbt€e àe décrire , n'est pas h même que quand il est en équilibre sur cette courbe* L'état de mouvement donne naissance à une pression particulière qu'on appelle force centrifuge ^ parce qu'on l'a d'abord considérée dans le cercle où eUe est dirigée suivant le prolongement du rayon , et tend continuellement à éloigner du centre le mobile sur lequel elle agit. C'est cette force que nous allons considérer dans une courbe quelconque.
Soient M,M et M&f (fig. 45) deux élémens consécutifs et égaux de la courbe donnée , H et H^ leurs milieux y MT et MT' leurs prolongemens. Leur plan et Tangle TMT' seront le plan osculateur et Tangle de contingence de la courbe au point M ; et si l'on mène dans ce plan la droite MO , qui divise Tangle M^M' en deux parties égales, elle représentera la direction du rayon de courbure en ce même point M; en sorte que le centre de courbure sera le point 0 de cette droite. Appelons ds l'élément M^ de la courbe, lequel sera aussi égal à HMH'; soient, en outre, cT l'angle infiniment petit TMT', et p le rayon de courbure MO, nous aurons (n* 18)
DYNAMI<>IJK, PREMIÈRE PARTIE. dig
Cela pose, faisoDS d'abord abstraction des forces ddtfnées qvi peuvent agir sur le mobile, et supposons qu'au bout du temps t, il arrive au point M avec une vitesse (^. S'il était entièrement libre, il continuerait à se mouvoir sur MT avec la même vitesse ; mais, par hypothèse, il est forcé de décrire une courbe donnée ; ce qui change la direction de son mouvenaent , qui devient MT^ Or, si l'on élève sur MT' la perpendiculaire MK , comprise dans le plan osculateur et en dehors de la concavité de la courbe, on pourra substituer à la vitesse u, dirigée suivant MT, deux autres vitesses. Tune ^le a t^cos «T et dirigée suivant MT', l'autre égale à i^ sin / et di*^ rigée suivant MK; et alors l'effet de la courbe sera de détruire la dernière de ces deux vitesses, ponr ne laisser subsister que la première, ou, autrement dit , cet effet se réduira à imprimer au mobile «me vitesse égale et contraire à u sin J^. La courbe donnée étant donc remplacée par un polygone infinitésimal , Sfi ré»stance consiste ii imprimer au mobile, a chaque so0imet M de ce polygone , une vitesse infiniment pe^ tite (^ sin cT, dirigée eu sens contraire de MBL
Pour assimiler complètement cette néaî^tance à use force motrice / qui agit ines^samUieot sur le v/içlbilef nous pouvons supp^»ser que la vitesse (^ aîn<^ f^ produite pendant que ce point matériel va de ^ en H', et prendre dt pour la durée de cette ac^ tion. Nous pouvons aussi négtiger, dans ^t ki«er-« vaile de temps, le changement dé direction de cette force , et la supposer, par exempb , parailèie à M di^te MO. Alol« la force accélératrice corre8pon->
IW*
320 TRAITÉ DE MÉCANIQUE, i
dante aura pour mesure , comme chacune dfes fortes U, U', U", etc., du n* 147, la vitesse i^ sîn eT qu'elle produit pendant l'instant dt , divisée par dt; et en appelant m la masse du mobile, il en résultera
/• ^___ mv sin «^ J ^ Jt •
pour la valeur de J. Donc , en remplaçant sin i" par cT, mettant pour cT-sa valeur précédente , et observant que ds r= s^dt , on aura
La pression que la courbe éprouve , et qui est uniquement due à Fétat de mouvement du point matériel qui la décrit, ou la force centrifuge qui agit sur ce mobile , est égale et contraire à cette force f. Il s'ensuit donc qu'au point quelconque M, de la courbe donnée , la force centrifuge est comprise dans le plan osculateur, et dirigée en dehors de la concavité de cette courbe , suivant le prolongement MN de son rayon de courbure , et que son intensité est en raison inverse de ce rayon, et en raison directe delà masse du mobile et du carré de sa vitesse.
170. Cette vitesse étant i^ sur le côté M^M, et devenant s^ cois ^ sur le coté suivant MM', il s'ensuit que sa grandeur n'est point altérée par la courbe ; car 00 peut négliger la quantité v{i — co$(^), infiniment petite du second ordre, de laquelle il ne pearrait résulter qu'une diminution infiniment petite de vitesse , sur une partie de la courbe de grandeur finie. Le mouvement, sur une courbe quelconque est donc uniforme quand le mobile n'est sollicité par aucune
DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE. 3ai
force donnée. C'est ce qu'on a déjà vu dans le n^ i5n; mais nous voyons de plus» que ce résultat tient a ce que l'angle de contingence est infiniment petit ^ et qu'en un point où deux courbes différentes se couperaient sous un angle fini^ le mobile éprouverait une perte iSnie de vitesse, en passant d'une courbe à l'autre ; laquelle perte serait égale a sa vitesse primi«tive , multipliée par le sinus verse de cet angle*
Lorsque le mobile est sollicité par une ou plusieurs forces données , sa vitesse varie à raison des composantes de ces forces tangentes a la trajectoire , et leurs composantes normales exercent, comme dans l'état de repos, une pression sur cette courbe qu'il faut joindre à la force centrifuge.
Soit , en général , ttzR la résultante des forces données qui agissent sur le mobile , quand il est parvenu au point M. Décomposons cette force motrice en deux autres, Tune tangente et l'autre normale a \a trajectoire , que nous représenterons par mT et mQ ; la première sera la force qui fera varier la vitesse, et la seconde produira la partie de la pression ip^^endante de l'état de mouvement du mobile. En prenant , par la règle du parallélogramme des forces , la
résultante de mQ et de la force centrifugeyou — , on
aura , en grandeur et en direction , la pression totale qui aura lieu au point M de la courbe donnée. Cette force , divisée par la masse du mobile, ou Ja résul-
tante des forces accélératrices Q et — , devra coïnigi-
der avec la force P du n* iSa. C'est en eifet ee.qu6 nous allons vérifier. V
171. Je remplace les équations (5) de ce numéro par celles-ci , qui s'en déduisent immédiatement ,
dsde ds as \ds as /V
dté^x — dxd^z ^ds „dx ^dz ^,^''\\ , ^
*:Ë:iii^J?:= z $:-T ^ -pC$:cos^-- Jco5 «'Y
dsdi*^ ds ds \ds ds /
Quelle que soit la yariable indépendante , on a
dxd^j — dyd^x ^^ dx ,
IF " IF ~dr '
on a , en même temps ,
dx^ ^__ dx^ ds^ dx ^^ ' dx ds ^
dF dFd^' d~ 'HT' H'^
à cause de i^ = ^ , il en résultera
dxdy — djrd^x . dx"" * dx i'* {dxd'jr — djd^x)^
3Ï5? ^ IF'^s d? '
et Ton trouvera de même ,
dzd*x — dxd!'z y* {dz^x — dxd^z )
dsdF' 5J3 '
djd^z — dzd^j- v^ {dyd^z — dzd'y)
dsde — 5? •
En. désignant par q^ q\ ((\ les angles que la force Q fait avec des parallèles aux axes des x ^ j,%^ A observant que X, Y, Z, sont les composantes suivant ces parallèles de Q et de la force tangentielle T , on
aura aussi
X=T^+Qco8y, Y=T^+Qcosy', Z=T^+Qco«y';
et an moyen de ces valeurs et des précédentes , les équations (i) deviendront
t^(dxd'jr'-^d'x)^/d* . dj \ ^dx , dr \'
ï^£i^^)=Q(|co.,.-|co,,')-l(|w-^,eos,'>f
Or, si l'on appelle y, y', y', les angles que la direction de la force centrifuge , c'est-à-dire le prolongement MN dn rayon de courbure MO, fait avec des parallèles aux axes des x, j; z, menées par le point M, et a:^f y y z', les coordonnées du centre de courbure 0, on anra
JC-nx'=pCOS>, J'— -;''=pCOS>'', Z— a'=/)COS>",
et en combinant les équations (a) avec les formules du n* 30y on en déduira sans difficulté ,
V* ^r-dr/dx , dr \ dzfdx dx A~l
ai..
3^4 TRAITÉ DE MÉCAlflQCJE.
Mais à ORUse que les forces P et Q soot perpeodi*' cnlaires à la tangente de la trajectoire , on a
dx . dr 9 ^ àz -
cos-ir+^cos«^-h5j.coso^=o;
ce qni rédait lescoeffidens de Q, dans les trois équtions précédentes y à — cosç, — <^^9^ — «^Ç^^ «* ceux de — P à — cos ^ — cos ^r^, — cos49^; on awa donc enfin
— cos > + Q cos ^ = P cos -w,
— cos y + Q co^ î' = p cos w',
— cosy+Qcos^' = Pcos4P^,
où Ton voit, comme il s'agissait de le vérifier, que la force P est, en grandeur et en direction, la résultante des deux forces — et Q.
172. Quand le mobile sera seulement assujetti à se mouvoir sur une sur&ce donnée, il faudra que
la résultante des forces motrices mQ et — , qni est
déjà perpendiculaire à sa trajectoire, soit, de plus^ normale à cette surface. En appelant donc mN cette résultante, et désignant par a» et 4 les angles, aigo.^ ou obtus , que font ses deux composantes avec uc*^^ partie déterminée de la normale à la surface , au poi ^^^ où se trouve le mobile , on aura
N = =*= (Qcos« H cos 4 Y
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. SaS
La force N agira suivant cette partie de la normale ou suivant son prolongement , selon que la quantité comprise entre les parenthèses sera positive ou négative ; et pour que N soit toujours une quantité positive f on prendra le signe supérieur dans le premier cas , et le signe inférieur dans le second . Cette force accélératrice N devra être égale et contraire a celle qui entre dans les équations (3) du n* r5i ; et, en effet , celle&ci ne différant des équations (5) du n* 1 5a cpi'en ce qu'elles contiennent N, A, f^f Vf ^u lieu de —?,<»•, *w', im", on en déduira, par l'analyse précédente , des composantes de la force N , qui seront <^ales et contraires à celles que l'on a trouvées pour la force P.
Dans ce même cas d'une surface donnée , si l'on désigne par cù' et -^ les angles que les forces mQ et
— font avec un axe mené par le point où se trouve
le mobile, tangent à cette surface et perpendiculaire à ia trajectoire , de sorte qu'on ait
cos' » -f- cos* e»' = 1 , cos*4 + cos*4' == i »
il faudra que la somme des composantes de ces deux forces suivant cet axe tangent, soit égale à zéro, puisque leur résultante est normale au même point de la surface; on aura donc
Q cos û)' H CCS >[/' z= o ;
^nation qui pourra servir à déterminer l'inclinaison 4' ^u pl^>^ osculateur de la trajectoire sur le plan t.angent à la surface donnée.
3a6 TRAITÉ 0£ MÉCANIQUE.
Lorsque le mobile ne sera soumis à aucune donnée, ou, plus généralement, lorsqu'il ne sera soumis qu'à une force tangente à sa trajectoire, on aura Q ==: o ; il en résultera donc cos >(/'= o et %}/'s=go*; «n sorte que le plan osculateur de cette courbe sera constamment perpendiculaire à la surface donnée. Cette propriété étant, en général, celle de la ligne la plus courte entre deux points donnés sur cette surface , c'est cette ligne que le mobile décrira , ainsi qu'on l'a dit précédemment (n* i6i); mais maintenant nous voyons 9 en outre, qu'une force tangente à la trajectoire, telle qu'un frottement contre la sur£sce donnée, ou la résistance d'un milieu, ne fera pas dévier le mobile , de la ligne la plus courte entre son point de départ et son point d'arrivée.
1^5. Enfin, si le mobile est entièrement libre, il faudra que la composante normale à la trajectoire y de la force motrice mR qui le sollicite, fasse équilibre à sa force centrifuge — , puisque dans ce cas il
ny a pas de courbe ou de surface donnée qui paisse détruire la résultante normale de ces deux forces. Il faudra donc, en premier lieu, que le plan osculateur de la trajectoire soit celui qui passe par la tangente et par la direction donnée de la force mK; en appelant 8 l'angle que cette direction , en un point quelconque, fait avec le rayon de courbure MO^ il faudra, en outre, que cet angle soit aigu pour que la composante normale de la force mK agisse en sens contraire de la force centrifuge qui est dirigée suivant MN ; et cela étant , on devra avoir
R ces Ô = — . (a)
Quand la force accélératrice R, à laquelle le mobile est soumis, sera une force centrale dirigée vers un point connu, et que l'observation aura fait connaître la courbe qu'il décrit autour de ce centre fixe, on pourra déduire de l'équation de cette courbe, le rayon de courbure / et l'angle 6 qu'il fait avec la direction de la force R; on déduira aussi , de cette équation et d& la proportionnalité des aires aux temps ( n"* i55 ), l'expression de la vitesse (^ en un point quelconque de la trajectoire ; par conséquent , l'équation (a) déterminera la valeur de R, ou la loi de la force centrale qui fait décrire au mobile la courbe donnée. C'est de cette manière que Nev^ton a découvert la loi de la force dirigée vers le centre du soleil , qui fait décrire à chaque planète une ellipse dont ce point occupe un des foyers; mais on verra, dans la suite, qu'en partant des mêmes données, cette détermination peut s'effectuer par un calcul plus simple.
1 74- Huyghens , à qui Ton doit la mesure de la force centrifuge, l'a déduite de la considération du mouvement circulaire; et quoique cette méthode soit moins directe que la précédente , je crois cependant utile de l'exposer ici en peu de mots.
Soit M ( fig. ^) \xn point matériel attaché à un point fixe C par un fil inextensible CM ; supposons qu'une percussion lui imprime une vitesse a, dans une direction perpendiculaire à la longueur du fil; et, pour simplifier la question, supposons aussi qu'aucune
328 TRAITÉ ttE MÉCANIQUE.
force motrice donnée n'agisse sur le mobile. Ce point matériel va décrire un cercle AMB , dont le centre et le rayon seront le point fixe et la longueur du fil. Pendant ce mouvement, le fil qui retient le mobile éprouvera, ddns le sens de sa longueur , une certaine tension qui n'est autre chose que la force centrifuge. En aj^liquant au mobile une force égale à cette tension et constamment dirigée vers le centre fixe, on pôutra faire abstraction du fil , et considérer le mobile comtne entièrement libre. C'est donc en vertu de cette force centrale, dont la grandeur est inconnue, combinée avec la vitesse a, que le cercle sera décrit.
Il s'ensuit d'abord que les secteurs circulaires décrits par le rayon du mobile , seront proportionnels au temps ( n** 1 55 ) ; ce qui exige que les arcs de cercle parcourus le soient aussi. Le mouvement circulaire sera donc uniforme ; et si l'on désigne par s Tare décrit dans le temps t , on aura s = af .
Soient m la masse du mobile , ma la force centrale, et, conséquemment, et la force accélératrice quil s'agira de déterminer. Quelle que soit cette force, on peut la regarder comme constante en grandeur et en direction pendant un intervalle de temps infiniment petit ; ainsi , pendant que le mobile décrit Tare de cercle infiniment petit MM', la force et sera supposée constante, et parallèle au rajon CM qui aboutit à l'origine de cet slvc ; d'où nous concluons que si le mobile n'était pas animé de la vitesse a, la. force centrale lui ferait parcourir , dans un temps in-finiment petit, le sinus verse MN, ou la projection^ sur CM de Tare MM' qu'il décrit réellement. Or,^
DTNAMIQDE, PREMIÈRE PARTIE. 399
toute foroe accâénatrice a pour mesure le double de Te^aœ iofinimeut petit qu'elle est capable de faire parcourir à un mobile dans un temps irâfinimeut petit, dÎTisé par le carre de ce temps (n* 118 ) ; si donc on appelle € le sinus verse MN , et r le temps employé à décrire l'arc MM', on aura
ai
mais en désignant cet arc par (T, et le rayon CM par r, on a
ar'
en prenant Tare au lieu de la corde ; donc à cause de 0* =s aXf on aura
Cette valeur de a est donc celle de la force centrifuge rapportée à l'unité de masse, dans un cercle décrit d*un mouvement uniforme. On en conclut immédiatement que cette force , dans une courbe quelconque, aura pour mesure le carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure; caria trajectoire ayant deuxélémens consécutifs communs avec son cercle osculateur j on peut supposer que, pendant un temps infiniment petit,, le mobile se meut circulairement autour du centre de courbure, et qu'il a conséquemment la force centrifuge qui convient à ce mouvement. En multipliant par m cette force accélératrice , on aura la même valeur que pour la force désignée par f dans le n"" 169.
33o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
175. Pour comparer la force cenlrifîage dans le cercle à la pesanteur , supposons que la vitesse a soit celle qui serait due à une hauteur h , de sorte qu'on ait a* =s agh (n"^ i3o) ^ en désignant par g la gravité ; il en résultera
m. ah
ce qui montre que la force centrifuge est à la pesanteur f comme le double de la hauteur due à la vitesse du mobile est au rayon.
Si le mobile est un corps dont les dimensions soient très petites par rapport à sa distance au point C, on pourra considérer, dans toute son étendue, la valeur de CL comme à très peu près constante , et pren*
dre le rap^rt ~ pour celui de la force centrifuge
provenant du mouvement circulaire, au poids du corps sur lequel elle agit.
Quand le mouvement n'aura pas lieu dans un plan horizontal, la vitesse du mobile, la force centrifuge et la tension du fil attaché au point C , seront variables. Supposons que le mobile se meuve dans un plan vertical j désignons par ngh le carré de sa vitesse, quand il se trouve dans le plan horizontal passant par le point C ; et , à un instant quelconque , appelons z sa distance à ce {dan , regardée comme positive lorsque le mobile sera situé au-dessous, et conune négative quand il aura passé au-dessus ; nous au^rons à cet instant 2g{h -f* z) pour le carré de sa vitesse
(n** iSg), et ^^ pour la force centrifuge.
Pour avoir la tension totale du fil, il faudra ajon*
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 33t
ter à cette force la composante du poids du mobile dirigé suivant le prolongement de son rayon, laquelle composante est égale h — ^ , comme il est aisé
de le voir. Donc, en appelant 0 la tension totale du fil à un instant quelconque , nous aurons
mg ( 2 A -f- 3z)
Cette force exprimera aussi la pression que le point C éprouvera a chaque instant , suivant la direction du rayon <[ui aboutit au mobile. Elle atteindra son maximum, lorsque le mobile sera au point le plus bas du cercle, où Ton a z = r, et son minimum ^ lorsqu'il sera au point le plus élevé, où Ton a z — r>
Si h est moindre que —, la tension deviendra négative
et se changera en une contraction pendant une partie du mouvement : il faudra alors que le fil soit inflexible pour que le mouvement circulaire ait lieu. On néglige , dans ce calcul , le poids et la force centrifuge du fil; ce qui suppose sa masse très petite par rapport à celle du mobile. On verra , par la suite , comment on y devrait avoir égard si cela était nécessaire.
1 76. Revenons au mouvement circulaire et uniforme, et désignons par T le temps que le mobile emploie à parcourir la circonférence entière. On aura
et, par conséquent.
S3ii TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
ce qui montre que la force centrifuge est en raison directe du rayon du cercle, et en raison inverse du carré du temps d'une révolution entière*
Lorsqu'un corps solide tourne autour d'un axe ûxe, tous ses points décrivent , dans le même temps, des cercles dont les plans sont perpendiculaires à Taxe, qui ont leurs centres dans cet axe, et pour rayons les perpendiculaires abaissées de chaque point sur ce même axe ; par conséquent , les forces centrifiiges de ces différens points sont entre elles comme ces perpendiculaires. Ainsi , par exemple, la force centrifuge des corps placés à la surface de la terre, et qui tournent avec elle autour de l'axe des pôles, est proportionnelle aux rayons des parallèles qu'ils décrivent; et, de plus , cette force est dirigée en chaque lieu de la terre suivant le prolongement du rayon du parallèle qui aboutit en ce point.
177. La force qui précipite les corps vers la terre, et que nous appelons pesanteur^ est due principalement à l'attraction du sphéroïde terrestre sur ces corps. Mais quelle qu'en soit la cause, il est toujours certain que la force centrifuge diminue cette tendance des corps pesans ; en sorte qu'excepté au pôle , où la force centrifuge est nulle , la pesanteur est partout moindre que si la terre n'avait pas de mouvement de rotation. A l'équateur, la force centrifuge et la pesanteur sont dirigées en sens conlraire l'une de l'autre; la pesanteur y est donc égale ^
l'excès de l'attraction de la terre sur la force centrifoge; par conséquent, on a
g étant cette pesanteur, G lattraction terrestre , ou la pesanteur qui aurait lieu si la terre était immobile, r le rayon de Téquateur , et T le temps de la rotation de la terre.
Le second terme de cette formule étant très petit par rapport au premier, on a, à très peu près.
Pour convertir en nombre la fraction -^, on pourra
prendre le rayon du méridien au Ueu du rayon r de réquateur, dont il est peu différent; on aura alors
2'7tr = 4ooooooo°'.
En prenant la seconde pour unité, et négligeant, dans ce calcul , la petite variation de la pesanteur à la sur&ce de la terre , on a aussi ( n^ 1 15 )
On a d'ailleurs ( n® 1 1 1 )
T = 86i64,et de là on conclut , à très peu près ,
/\ir*r I
Ainsi f à réquateur, la pesanteur est diminuée de -^
par le mouyement de rotation de la terre autour de son axe. Si ce mouyement deyenait plus rapide, le temps T diminuerait, et la force centrifuge différerait moins de la grayité. En obseryant que 289 est le CaiTé de 17 , on yoit qu'il suffirait que la rotatioa eût lieu en un dix-septième de jour, pour que la force centrifuge à Téquateur fût égale à la grayité; alors la pesanteur y serait égale à zéro , et les corps abandonnés à eux-mêmes y demeureraient en équilibre.
Dans ce calcul, nous ayons seulement eu égard à la force centrifuge proyenant du mouyement de rotation des corps pesans autour de Taxe de la terre; et, en effet, on conçoit que le mouyement de translation autour du soleil, qui est commun à tous ces corps, à la terre et à son axe, ne saurait influer sur leur tendance à s'écarter de cette droite mobile. Eq imaginant, par exemple, un fil parallèle à l'équateor, attaché à cet axe et aboutissant à un corps situé à li surface , il est évident que sa tension ne changera aucunement par Teffet d'un mouvement qui emportera, à la fois , l'axe , le fil et le corps , sans changer leurs positions relatives.
178. La force centrifuge diminue la pesanteur en tous les points de la surface de la terre ; mais d'une quantité moindre qu'à l'équateur , soit parce qu'en allant de l'équateur au pôle la force centrifuge décroît , soit parce que l'angle qu elle fait avec la verticale augmente. £n appelant toujours r le raj^on de
DTVJJDQDE, PREMIÈRE PARTIE. 1^
réqiMleur^ et désignant par /k. U Uthode dTon lieu qnelcongne de la tene, et par «le rajon du parallèle cwrespoodant y on anra
u = rcos/ii;
en n^jligeant la non-sphéricité dn globe terrestre , Fanj^ fi, aéra eehii qne le prolongement de ir, ou la direction de la force centrifage, fait avec la verticale ; la composante yerticale de la force centrifuge s'ob-
tiendn donc en multipliant son intensité %=^ par 006 fc; ce qui donne
poar la diminution de la pesanteur due à la rotation de la terre; et, d après ce qui précède» cette quantité aura pour valeur
C08* ft
Ce serait là toute la diminution que la pesanteur éprouverait, si la terre était une sphère homogène : die serait proportionuelle au carré du cosinus de la latitude; et la diminution totale du pèle où Ion a fé = go^y k l'équateur où Ton a )x = o , s élèverait à
-^. Mais la terre est un sphéroïde aplati â ses pèles ;
Tattraction qu'elle exerce sur les corps placés à sa sur- £ice diminue, pour cette raison, en allant du pèle à Téquateur; cette diminution, en chaque point de la surface, est aussi proportionuelle au carré du cosinus de la latitude; elle s ajoute à celle qui est produite
336 TAAITÉ DE HÉGANIQUE.
par la force centrifuge , et par cette addition )e
êoefficient -g- augmente et devient — à peu près.
C'est donc cette fraction — qui exprimera , comme
nous lavons déjà dit (n* n?)^ l'accroissement total du poids d'un corps transporté de Tëquatear au pôle.
DYNAMIQUE, PREMfÈRE PARTIE. 337
**^*^**^********************»*M***v>i*v*vii'i^v>^v^r>iftv>rMV>rr>ivyr>fvtiw^a^^
