CHAPITRE V

EXEMPLES DU MOUVEMENT D'UN POINT MATEBIEL MTM VUE GOUEBE OU SUE UBIE SURFACE DONNEE.

§ I*'. Oscillation du pendule simple.

179. Un pendule est, en général, un corps solide pesant, qui oscille autour d'un axe fixe et horizontal. Mais pour comparer plus facilement entre elles les durées des oscillations de diiférens pendules et les intensités correspondantes de la pesanteur, les géomètres ont imaginé un pendule idéal qu'on appelle pendule simple, et qui consiste en un point matériel pesant, suspendu à un point fixe par l'intermédiaire d'an fil inextensible et inflexible, dénué de pesanteur et même de densité , et dont la longueur est celle de ce pendule.

On verra, dans un autre chapitre, qu'il y a toujours un pendule simple dont les oscillations coïncident, et pour leurs durées et pour leurs amplitudes, avec celles d'un pendule quelconque; et nous montrerons comment la longueur du premier peut se déterminer d'après la forme et les dimensions du second. Nous ferons voir aussi que cet accord ayant lieu entre les mouvemcns de deux pendnles dans le vide, il subsistera également dans un milieu résistant,

quelle que soit la fonction de la vitesse qui exprime la résistance. Ainsi, il suffira de considérer le mouyement du pendule simple, soit dans le yide , soit dans un milieu résistant ; et c'est ce qu'on ya faire dans ce premier paragraphe.

i8o. Soient C (fig. 4^) le point de suspension , CB la verticale passant par ce point fixe , et CA la position initiale du pendule. Supposons que le point matériel qui le termine parte du point A avec udc vitesse k perpendiculaire à CA , et dirigée dans le plan des droites CA et CB; il est évident qu'il ne sortira pas de ce plan vertical, et qu'il y décrira des arcs de cercle dont C est le centre et CA le rayon.

Au bout du temps quelconque t, soit M la position du mobile ; des points M et A , abaissons sur la verticale CB , des perpendiculaires MF et AD , et faisons

CP = z, CD = c.

En désignant par g la gravité et par u la vitesse du mobile au point M , nous aurons , dans le cas du yide (n«i59),

et si Ton appelle s l'arc AM décrit par le mobile , de sorte qu'on ait ^^ = (^ , on en déduira

Désignons par G l'angle MCB, qui sera positif qoand Je pendule se trouvera à gauche de CB, comme k droite CA , et négatif lorsque le pendule sera à droite

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 33g

de la yerticale. Soit aussi a Tangle AC6 , ou la valeur initiale de 8* On aura

en représentant par a la longueur CM ou CA du pen^ dule. On aura , en même temps,

z = a cos 6, c = a cos a;

et au moyen de ces valeurs , celle de dt deviendra

dt = -"'* (0

yk* -4- uga (cos I — cos a)

Telle est donc la formule qu'il s'agira d'intégrer exactement ou par approximation.

i8i. Il n'y a qu'un cas dans lequel l'intégration sons forme finie soit possible, c'est lorsqu'on a

A* = 2ga{i •+- cos cl);

ce qui a lieu quand le mobile part du point A avec la vitesse qu'il aurait acquise en tombant d'une bail* teur égale à ED; E étant le point le plus élevé du cercle qu'il décrit. En faisant G = a^f ^t observant que