Four que le pendule ne fasse que de petites

oscillations de part et d'autre de la verticale CB , il fandra que l'angle at et la vitesse k soient peu considérables; on pourra toujours rendre cette vitesse tout-à--fait nulle, en faisant partir le mobile d'un point un peu plus élevé que A, c'est-a-^re, en aug^ mentant convenablement f angle «t; On ne nuira donc pas à ia gàaérdité de la question en supposant k==o; ce qui réduit Téquation (i) à

^ ff l/acosi — 2C08ce

Par les formules connues , on a

006 9 s=: 1 •*• r-7 — rtc. .

cos « = I — 1 5-^ — etc.

Les angles a et û étant très petjts , p^ bjrpothèse ^ je néglige leurs quatnèmes puissances ; il en résulte simplement

En intégrant et observant que 9 = a quand < =;= o , on en déduit

««|/f »re(c06=x:i);

(Toù Ton tire

Ces formules montrent, conformément à ce qu'on a déjà vu (n"* iSg), que le pendule fera une suite in-

34i TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

définie d'oscillations égales et isochrones de part et d'autre de la verticale CB ; U reviendra , avec une vitesse nulle, au point A où l'on a &=a, toutes les

fois que t W- sera un multiple de 2ir, et au point

A^, situé i la même hauteur que A et où Ton a 0 = — 01, toutes les fois que 9 sera un multiple impair de ^. En appelant T le temps qu'il emploiera à aller de l'un de ces^ points extrêmes à l'autre , c'est-àdire, le temps d'une oscillation entière, on a

Les durées des deux demi-oscillations, l'une descendante et l'autre ascendante , seront égales entre elles età^T.

En général , à deux instans séparés par un temps égal à T, le pendule occupera , des deux c6tés de h verticale CB , des positions également éloi^ées de cette droite , et sera animé de vitesses égales et contraires ; car si l'on met / -f- T à la place de /, dans les

valeurs de G et ^ , on voit qu^elles ne font que changer de signe.

Le pendule coïncide avec la verticale quand op a 6 = o , ou ^ égal à un multiple impair de j T ; il en résulte

^ = =fc * lA

et, par conséquent,

p = ± et \/ga ,

pour la vitesse du mobile au point B. En appelant b la hauteur DB de son point de départ au-dessus de B, on aura

fi = a(i — cos et) =a= J«a*,

à cause que l'on néglige la quatrième puissance de «• Abstraction faite du signe y la vitesse acquise au point le plus bas sera donc

ce qui est, comme cela devait être, la vitesse due à la hauteur b.

i83. La valeur de T est, comme on voit, indépendante de l'angle a ; elle subsistera encore , et sera rigoureusement exacte, quand cette amplitude a sera infiniment petite. Si donc on écartait le pendule \trfiniment peu de la verticale, il emploierait pour y

revenir un temps fini et égal à - tt 1/ -• Dans ce

mouvement, le mobile décrirait un espace infiniment petit dans un temps fini ; ce qui vient de ce que l'intensité de sa force accélératrice serait infiniment petite. En effet, cette force est la pesanteur décomposée suivant la tangente à la trajectoire; or, dans l'étendue de l'arc infiniment petit qui aboutit au point le plus bas de cette courbe , la tangente fait avec la verticale un angle qui diffère d'un droit d'une quantité infiniment petite ; le cosinus de cet angle , par lequel il faut multiplier la pesanteur pour obtenir s^ composante, est donc infiniment petit; par conséquent, cette composante est aqssi infiniment petite.

On peut étendra ce résultat aux oscillations d'aii point matériel pesant sur une courbe ifiiekXMiqiie , dont le plan osculateur au point le plus bas B est vertical ; car dans une étendue infiniment petite la courbe coïncide avec son cercle osculateur, et, dans une étendue seulement très petite , elle s'en écarte très peu ; d'où il suit que C étant le centre de ce cercle, la durée des oscillations très petites sot la courbe , de part et d^autre de son point B , est la même que pour un pendule simple dont C serait le point de suispension, et qui aurait poutr loognénr le rayon de courbure CB correspondant à ce porôt B. Les oscillations très petites ont donc une même dallée indépendante de leur amplitude , sur toutes les courbes verticales qui ont la même <x>urbiire à leur point 1^ plus bas. Lorsque le plan osculateur en ce point n'est pas vertical, il faut remplacer dans la valeur de T la gravité g par sa composante dans ce plan, laquelle est égale à gsini, en appelant i ^inclinaison du plan donné sur un plan horizontal.

i84« Quand l'angle at a une grandeur finie et seulement très petite, la valeur précédente de T n'est qu'approchée.

En efi*et , si l'on conserve les quatrièmes puissances de a et de â dans les valeurs de cos a et cos 6, et qu'on les substitue dans la formule (2), on aura

Â ce degré d'approximation, il faudra prendre [î—- r? («' + ô")]' ^ = » + Tî (*• -f- «•) J

on aara donc

formule qui s'intègre par les règles ccmnaes. En infëgrant depuis 9 = a jusqu'à 6= — a, pour ayoir la durée T d'une osciUation entière, on trouve

ce qui montre que cette durée est un peu augmentée par la grandeur dé l'amplitude.

U en résulte que si l'oa appdW iè le nombra des osdlktions in^nimeat j^tites d'un pendule q«eIooaque dans un temps donné , et n^ le nombre des oscillations du même pendule et dans le même temps , quand leur amplitude a est seulement. très petite, on aura

car le nombre n' doit diminuer dans le même rap* port que la durée de chaque oscillation est augmentée par la grandeur de cette amplitude.

i85. Quoiqu'on ait soin, dans les différens usages du pendule, de fair^ en sorte que l'amplitude des oscillations soit très petite, ce qui rend toujours suf-* Osante la correction relative à la grandeur de a qu^pu vient de déterminer, il est bon , xLéajpimQips^ de cpn -. naître la série convergente par laquelle on peut exprimer la durée d'une oscillation , quelle que soit son amplitude.

346 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

Pour cela^ soient a; et € les sinus verses des angles 0 et « , de sorte qu'on ait

1 — cos 6 = X , I — cos a = C ; on aura, en même temps,

l/ax —

La formule (2) deviendra

et, pour en déduire la durée ^T d'une demi-oscSlation , il fendra intégrer depuis x=:€ , qui répond h 6z=z€L, jusqu'à x^i=zo, qui répond à d = o.

Or, en développant par la formule du binôme, on a

série dont le terme général est