IJ

et qui sera toujours convergente , à cause que x est constamment moindre que p. Si donc on intervertit Tordre de Fintégration , ce qui est permis en changeant en même temps le signe de dt; qu'on &sse ensuite, pour un nombre quelconque n ou zéro.

x''dx

et qu'on double la valeur de - T, il en résultera

T=Y/-(A.+-.-A.+ ^.|A.+ ^-^.gA, + etc.)

Les valeurs des intégrales définies A»» A, , A^^ A3, etc., sont liées entre elles de manière que Tune d'elles étant connue , il est j&cile d'en déduire successivement toutes les autres. En effet, on a, identiquement,

r(x—ii)x'-'dx ^ ^ .

j^ dx

i/Cr— ar* J }/Cx—x^*

d'où Ton conclut.

J i/Cx-x* ^ ^J \/Cx—x^

et , par conséquent ,

•/ l/bx —X' 'ï an 'J |/Cx— «»'

Aux deux limites x=o et x=C, on a v^6x— x*=o; en passant aux intégrales définies, on aura donc^ d'après cette dernière équation ,

Si Ton fait sQCcessiyeraeDt ns=iî, =33^ 3=::3^ içtc.^ dans cette formule , on en déduit

A — i CA

A. = ^ tf A, s» ~j tf* A^,

6te.; par conséquent, nous aurons , généralement,

a.4*o- • '^^ et quant à la Tàlf ur de A«, on aura

A. c=B / ., au ss= 5r.

En substituant les yaleurs de A. , A, , A^ , etc. ^ dansc^Ue de T, il en résulte

pour la série qu'il s'agissait d'obtepir , et qui est es* sentiellement convergente , puisque 7 ^ est toujours moindre que l'unité.

Si l'on néglige la quatrième puissance de a^ oiv aura 6 = j.a ; il faudra réduire la série à ses deox premiers termes , et la valeur de T coïncidera avec celle du numéro précédent.

i86. Considérons actuellement le mouvement da pendule simple dans un milieu résistant. En conservant toutes les notations précédentes , la composante de

la pesantear suivant la tangente MT^sera gsin6, k cause que l'angle que cette droite fait avec la verti-* cale MN est complément de Tangle MCB ou 9. Désignons par V la force accélératrice provenant de la résistance, laquelle est dirigée en sens contraire de cette composante g sin fl, et appelons s Tare AM; réquation du mouvement sera ( n"" i5:2 )

^'=g8ine-.V. (5)

On pourra faire différentes hypothèses sur la valeur de y en fonction de la vitesse du mobile ; le plus simple est de la supposer proportionnelle à cette vitesse , de sorte que Ton ait

en désignant par k une vitesse constante et donnée. On a aussi

^ = a (a — 8), sin 6 = fl — 5 -|- etc. ;

si donc 6 est , comme précédemment , un très petit angle, et que l'on néglige sa troisième puissance, l'équation ($) deviendra

Son intégrale complète est

en représentant par c et ^ les deux constantes arbi-

35o TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

traires , par e la base des logarithmes népériens , et

faisant , pour abréger ,

Je détermine c et d par les conditions 6 s= a et ^ss o, quand < = o ; ce qui donne

Par conséquent, on aura et , en difierentiant ,

pour les formules qui font connaître, à un instant quelconque , la position du pendule et sa vitesse angulaire.

A la fin de chaque oscillation , on a ^ = o; ce qai

a lieu toutes les fois que ty i^^ est un multiple de^r.

Il s'ensuit donc que les oscillations sont isochrones , comme dans le vide , et qu'on a

pour la durée d'une oscillation entière; en sorte qu'elle est augmentée , par la résistance du milieu , dans le rapport de l'unité à la fraction y.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3Si

<^ant aux amplitudes des oscillations , elles diminuent continuellement à cause de l'exponentielle

e ^. En appelant a. l'amplitude de la r^^' oscillation, c'est-4i-dire, en supposant qu'on ait 6 = ( — i)*^.» quand t = nT, il en résultera

tf, z=z ae ^^ ;

ce qui montre que les amplitudes successives forment

une progression géométrique décroissante , dont le

rapport est e ^'^ .

Toutefois, ce mouvement oscillatoire suppose que y soit une quantité réelle; et, en effet, c'est ce qui a lieu dans les expériences du pendule, qui n'a jamais une longueur extrêmement considérable, et dont la densité est toujours très grande eu égarà à celle de l'air où il se meut : la vitesse k étant proportionnelle au rapport de la première densité k la seconde , elle est

très grande par rapport à j \/ga , et , conséquem-

ment, y est une quantité réelle qui diffère peu de

l'unité. Si, au contraire, on avait 2k << V^, y serait

imaginaire et de la forme f v/ — - » , en désignant

par C une quantité réelle ; par les formules connues , les sinus et cosinus qui entrent dans l'expression de d se changeraient en exponentielles; et cette transformation faite , on verrait que l'angle 8 ne pourrait devenir nul qu'après un intervalle de temps infini ; en sorte que le pendule approcherait indéfiniment de la,

35» TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

verticale CB , 990s pouvoir la dépasser ni loéme ratfeindre rigoureusemeat»

187. A mesure que les amplitudes des oscillations diminuent y rexpérience prouve qu'elles approchent de plus en plus de décroître dans l'air en progression géométrique: elles s'en écartent peu, par exeiii|de| lorsque l'angle a est d'un tiers de degré ou au-dessous. L'expérience montre, de plus, que ce décroisscment est très lent ; ainsi , dans une expérience de Borda , où il avait lieu sensiblement en progvessioD géométrique , l'amplitude ne se réduisait qu'aux deux tiers environ , après 1800 oscillations. En appliquant l'expression de a. à cet exemple , on aura donc

et, par conséquent,

mais on a

il en résultera donc

(i8oo)»7r*(i — >•) c d'où Ton tire

ou à très peu près >^ = i ; ce qui permet de obliger

la résistance de l'air dans le calcul de la valeur de T.

Ou peut donc admettre que quand les osciUatioBS

sont très petites-^ la résistance de Tair est proportionnelle à la vitesse^ comme nous venons de le supposer ^ et qne cette r&istance n'influe pas sensiblement sur leur durée. Mais lorsque les amplitudes sont un peu considérables^ Tobservation montre qu^elles ne décroissent plus en progression géométrique ; en sorte qu'il devient nécessaire de faire une autre hypothèse sur la loi de la résistance.

i88. Supposons cette force proportionnelle au 'carré de la vitesse ^ et prenons

-k étant une vitesse constante et donnée qui ^ra toujours très grande; en sorte que si l'on fait

(i sera une très petite fraction. A cause de ds=: — ad^ , l'équation (5) deviendra

^ + f 8infl = iA*^.; (4)

^n la multipliant par 2dQ , intégrant et faisant

lacms aurons

|«Mcosfl— ^j = o;

équation linéaire du premier ordre, dont l'idtégrale complète est ..

^J^ 1 ^^( sin 9 — ;> C08 9) ^

c étant la constante arbitraire et e la base des logarithmes népériens. Je la différentîe par rapport à 0,

et je remets ^ au lieu de ^ ; il vient

ce qui est une intégrale première sous forme finie de l'équation (4).

Four déterminer c, je suppose qu'on ait, comme précédemment , ^ crsx) quand 0 =: £(; il en résultera

2/?'(cos ce 4- M sin «) — a«* (i + f^)a

Far conséquent, on aura, à un instant quelconque i

Au point le plus bas, où Ion a ô = o, on aura donc "Â^ = 7+;?l-ï— Ccos£t + /*sma)e H.

pour le carré de la vitesse acquise , laquelle est ivr demment moindre que dans le vide.

En vertu de cette vitesse , le mobile montera sur Tare BA' jusqu'en un point A, , moins élevé que A',

et pour lequel on aura ^ :=:o. Si l'on désigne par ^^

la valeur correspondante de 9 , il en résultera

DYNAMIQUE, PREBflÈRE PARTIE. 355

( 008 A, — juL sin «. )e^*' = ( cos et + ft sin £( )e""^ j

et si Ton développe les exponentielles suivant les puissances de ^t , et qu'on néglige le carré de cette fraction très petite, on aura

cosa^ — ft(sinch — flft,cosa,)=cosa-+-)tt(sintt — etcosa).

La valeur de ce. que Ton tirera de cette équation , différera très peu de a ; je fais donc a, = a — J" ,et je néglige le carré de J^ et le produit /aS" ; il vient

J'sineL == 2fJL (sin A •-* ttcostt); en sorte que Ton aura

A| = £( ?^ ( sîn a — et cos a ) ,

pour la grandeur de â , abstraction faite du signe , k la fin de la première oscillation.

Ce résultat ne suppose pas les oscillations très petites; mais si elles sont assez petites ponr qu'on puisse négliger la quatrième puissance de a dans cette Valeur de «1 f elle se réduira à