CL """ CL

Parvenu au point A, , le mobile redescendra , et il continuera ainsi à osciller de part et d'autre du point B, jusqu'à ce qrxe les amplitudes de ses oscillations soient devenues sensiblement nulles. Si Ton appelle et. l'amplitude de la seconde demi-oscillation ascendante , il est évident qu'elle se déduira de à, , comme on a déduit ec, de et ; en sorte que Ton aura

356 TRAITÉ D£ MÉGANIQUE.

Et de même , si ^3 , «^ , etc. ^ sont les amplitudes successives des autres demi-oscillations ascendantes , on aura

«s = «. — ^ , (3^4 = «s — ^ , etc. ;

ce qui montre qu'elles ne décroîtront plus en progression géométrique , comme dans le cas de la résistance proportionnelle à la vitesse.

1 89. Pour déterminer le temps qui repond à ttn angle 0 , il faudra intégrer la valeur de dt tirée de l'équation (5) ; ce qui sera toujours possible par la méthode des quadratures , quand les valeurs numériques de a, fjL, ^, seront données. Mais dans le cas des petites oscillations, on peut obtenir, en série convergente , la valeur de â en fonction de ^ , et réciproquement.

, Je supposerai toujours la vitesse initiale du mobile égale à zéro ; la valeur de 6 à un instant quelconque, sera une fonction de ^ et a qui devra se réduire à zéro dans le cas de a = o ; je la représenterai donc par

fl = £tô, + a-fl. + a% + etc..;

^1 , .dft f O3 f etc. , étant des coeffîciens indépendaos de a. En substituant cette série dans l'équation (4) y 4éveloppaHt les deux membres suivant les puissances de a, et égalant ensuite les coefBciens des mêmes puissances , on formera une série d'équations différentielles du second ordre, qui serviront à déteruu*

ner les inconnues Ot ^ 6. > 63^^ etc. De plus , pour qu*on

ait 6 = a et 2: = o^ quand ^= o et quel que soit a ,

il faudra que les valeurs initiales de 0.^ 63^ etc.,

^ , -^ , etc. , soient toutes nulles , et que celles de

fl, et -^ soient Tunitë et zéro ; et c'est d'après ces conditions qu'on déterminera les constantes arbitraires qui seront contenues dans les intégrales complètes de cette suite d'équations. De cette manière , on calculera autant de terçies que Ton voudra de la série précédente. Nous bornerons l'approximation au carré de a y et nous négligerons le cube et les puissances supérieures de cette quantité.

Alors, on a simplement

d'^ été, , '' d'é^

— z= et -t- CL — .

dt^ dt- ^^ ///• *

sin fl = ctfl. + a% ,

dê^ . ^.

dt^ — * di^'

et en substituant ces valeurs dans l^équation (4) , et égalant les coefficiens de a et de a* dans ses deux membres, il vient

-dF + â^^— ^f^ -dF'

En intégrant la première de ces deux équations , et déterminant les deux constantes arbitraires , de sorte

qu on ait â, = o et 27 = <> f <iuand ^ = o ^ nous

aurons

fl, = cos t %/^.

U en résultera

M^--Vf=îfO-<^<>"Vf)î

la seconde équation deviendra doxic

in,

d^ et Ton aura

pour son intégrale assujettie aux conditions 6. = o et

^ = o , quand ^ s= o«

Au moyen de ces expressions de 8; et â., celle de 0 devient

9=(--?)-yî+T'+t'- ^'v/!>

a cause de 1^:=: — ^t^ ^^ dMVdi , en même temps j

et ces formules feront connaître la position et la yitesse du mobile à un instant quelconque.

190* Si nous remplaçons^ dans la dernière, sinati/^

par 2sin/ y^ cos t y-f réquatîon (^ =0, qui a lieu à la fin de chaque oscîUatiOQ ^ prendra la forme

(,-Ç + Çcos<v/f)sm<\/f = 0.

L'angle <l étant très petit, le premier factear ne peut être nul ; le second est zéro toutes les fois que

1 1/- est un multiple de ?r. 11 s ensuit donc que Tin--

tervalle. de temps qui s'écoule entre deux vitesses nulles et consécutives, ou la durée. T d'une oscillation entière, est

en sorte que la résistance de l'air, proportionnelle au carré de la vitesse, n'influe aucunement sur cette durée.

Cependant, elle augmente le temps que le mobile emploie à atteindre le point B. En eflet, en le désignant par ^, et faisant 0 =: o , on a

(.-«)«»<' vI+^+î; co. ,^ /f = ,.

La plus petite valeur de t' y- qui satisfasse à cette équation diffère très peu de -^ ^r ; soit donc

en négligeant le carré de cT et le produit aj", on aura»

36o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

et^ par conséquent^

La résistance de Fair augmente donc la durée de la première demi-oscillation descendante , dans le rapport de I + ô~ ^ l'unité; et puisqu'elle n'influe pas

sur la durée de l'oscillation entière, il faut qu elle diminue^ dar» le même rapport, la durée de la demioscillation .ascendante.

En subslijtuaBt cette valeur de i dans celle de i^|. et négligeant le cube de (ty il vient

d^où Ton conclut que la vitesse acquise au point le plus bas est diminuée par la résistance de Fair , dans

le rapport de i — y à l'unité.

Si l'on désigne par — «; la valeur de ^ qui a lieu à la fin de la première o^îUation entière y et qui ré*

pond à i i/- = ^ , on aura

comme précédemment.

Ces differens résultats sont indépendans de la grandeur du coefEcient ft de la résistance, et supposent seulement l'angle et très petit ; ils conviennent également au mouvement du pendule dans un fluide aériforme et dans un liquide, pourvu que le coefficient

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 36i

/A soit déterminé pour chaque milieu en particu-lier. Dans le cas de a très petit, il est inutile d'examiner rhjpothèse d'une résistance proportionnelle au cube ou à une puissance supérieure de la vitesse ; car il n'en pourrait résulter, dans les valeurs de ft et V, que des termes dépendans des puissances de a supérieures au carré , que l'on a regardés comme négligeables dans les calculs précédens. En rapprochant ce qu'on vient de trouver de ce qui a été dit dans le n® 187, on en conclut donc que la résistance de Taîr n'influe pas sur la durée des très petites oscillations du pendule, pour lesquelles on néglige la correction relative à la grandeur de l'amplitude (n"" 184)* Quand on tient compte de cette correction , la résistance a une petite influence, à cause qu'elle fait varier les amplitudes pendant la durée du mouvement.

191. Il ne suit pas de là que la durée des oscillations d'un corps pesant, quelque petite qu'on la suppose , soit la même dans l'air que dans le vide ; car ce fluide , par la pression qu'il exercé sur le mobile y. augmente cette durée en diminuant la pesanteur. D'abord, on sait par l'expérience, et nous démontrerons dans V Hydrostatique^ qu'un corps; eu. repoli,, plongé dans un- fl^idcj y. perd i:^ne partie de son poids, égale au poids du fluide dont il occupe la place. Ainsi, P étant lé pôîds de cé*1c6rps dans'Ié vide, P' son poids dans l'air, FI le poids d'un vbluriie d'air égal à celni ùxx corps , on a

En appelant f le rapport de la deqsité de l'air à celle

36îi TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

dtt corps, g la gravité dans le vide, g' ce que cette force

devient dans l'air, et m la masse da corps, on a aussi

on aura donc

Or, si Ton désigne par T et T' les durées des petites oscillations d'un même pendule qui répondent aux deux forces accélératrices g et g', on aura

et, par conséquent,

v^Tz:

Soit aussi a' la longueur du pendule soumis à la gravile g', qui fait ses oscillations dans le méoie temps que le pendule soumis k la gravité g et dont la loo-* gueur est n ; il faudra qu'on ait

\/l = Vh

d'ôtifon tire

a = fl(i — f).

Doqc^ par l^seul^ considération de la perte de poiib à Tétat^de repos, la durée des oscillations dans Tair se trouve augmentée dans le rapport de ruoité à

V/7"— 7 pour un même pendule, et la longueur du pendule simple se trouve diminuée dans le rapport de i — p à Tunitë pour une même durée.

De plus, M. Bessel a fait voir, par l'expérience , que la perte de poids qu'un même corps éprouve dans l'air n'est pas la méme^ quand il est en repos et lorsqu'il a un mouvement oscillatoire. Elle augmente dans le second cas; et il en résulte qu'il faut^ dans les formules précédentes^ multiplier p par un fac-r teur f plus gi*and que l'unité , et dépendant de la forme du mobile. Je suis parvenu à ce même résultat dans un Mémoire sur les Mouvemens simultanés dun pendule et de Vair environnant (*) ; et , d'après mon analyse, on ay=| quand le pendule consiste, comme celui de Borda , en une sphère suçpendue à l'extrémité d'un fil très mince, dont la longueur est très considérable par rapport au diamètre de cettç sphère; en sorte qu'alors il faut augmenter de moitié la correction relative à la densité de l'air^ que l'on faisait subir, avant l'observation de M. Bessel, à la durée des petites oscillations et à la longueur du pendule simple. Dans tous les cas, le coefficient y est toujours indépendant de la densité du pendule, ainsi que de la densité et de la nature du fluide dans le-* quel il oscille, de manière qu'on peut toujours le déterminer par l'expérience, en comparant les durées des oscillations de deux pendules de même forme et de densités différentes, dans un même fluide, ou bien d'un même pendule dans deux fluides difierenS;^ tels que l'air et leau, par exemple.

192. Maintenant, soit n le nombre des oscillations infiniment petites qu'un pendule quelconque

i*) 3Unwires d^ VAcadémip des Sciences, tome XI.

ferait dans le vide pendant un temps donné r. Pour déduire ce nombre , par la règle du n* 184» de celui des oscillations très petites qui est donné par l'observation , et afin d'avoir égard à la variation des amplitudes pendant ce temps r , on a coutume de prendre pour l'angle a la moyenne des amplitudes extrêmes qui sont aussi données par l'observation. Cela étant y la durée T d'une oscillation infiniment petite de ce pendule sera

et l'erreur que l'on pourra commettre sur la mesure du temps r aura d'autant moins d'influence sur cette valeur de T, que le nombre n sera plus considérable. D'après la forme et les dimensions du corps oscillant^ on déterminera^ par la formule qui sera donnée dans un autre chapitre^ la longueur du pendule simple , dont le mouvement est le même que celui de ce corps; on réduira cette longueur, comme on vient de l'expliquer tout à l'heure, à ce qu'elle serait dans le vide ; et si ou la désigne par a après cette réduction, et qu'on représente par g la gravité dans le vide, on aura

d'où Ton tire

C'est au moyen de cette formule que l'on détermine avec une extrême précision , en chaque lieu

DTKAMIQCE, PREMIÈRE PARTIE. 165

dehferre, la mesure delà pesanteur, ou laTitesse g que les ooqps pesaos acquièrent en tombant vertica-> lement dans le vide» pendant une unité de temps* D*après rexperioice frite par Bcnda , à lX)bsenrataire de Paris, aTec un pendule d'environ 2 mètres de longoenr, on a

en prenant la seconde pour unité; et Ton en cou-*

dut

en ce lieu de la ferre, c*est-4-direy à une latitude de 48*5o'i4".

M. Bessel ayant fait osciller successivement des corps de tontes sortes de matières , tels que des métaux, de l'ivoire, du marbre, des pierres météoriques, etc., a constamment trouvé des valeurs de g sensiblement égales; les plus grandes difiërences, de part et d autre de la valeur moyenne, s'élevant k prine à un cent-millième de cette valeur, et pouvant être attribuées aux erreurs inévitables de lobservation. U ne peut donc rester aucun doute sur la par&ite égalité de lattraction exercée par la terre sur tous les corps , quelle qu'en soit la nature , qui sont situ& en un même lieu de sa sur&ce ; car cette ^pJité résulte de celle des valeurs de la pesanteur g, puisque cette force est l'excès de Tattraction terrestre sur la composante verticale de la foree centrifuge, commune à tons ces corps.

195. En considérant la surface de la terre comme le prolongement du niveau des mers en équilibre.

368 TRAITÉ DE MÉCANIQlflE.

a Paris y sur le mouvement diurne de la terre ^ et transportée ensuite à Véquateur ^ retardera sur ce mouvement. En appelant n et V les nombres des oscillations de son pendule en un jour sidéral dans ces deux lieux de la terre ^ on aura

oa a/ I * / I — o,oo2588

w= 86164 > n'=zn\/ — ; gQQ • / « / ^ Q«x >

^ ' V I + Oy0025oo sm (7* 40 20^) '

et^ par conséquent^

en sorte que le retard sera d'environ 127 secondes en 2^ heures. C'est l'observation de ce retard qui a rois en évidence , pour la première fois , la variation de la pesanteur à la surface de la terre.

§ II. Mous^ement sur la cjcloïde.

194* Soit ABC (fig. 46) la trajectoire d'un point matériel pesant, dont le plan est vertical. Supposons que ce mobile parte du point quelconque D, sans vitesse initiale y et qu'il soit en M au bout du temps t ; des points D et M abaissons des perpendiculaires DE et MP sur la verticale passant par le point B, qui est le plus bas de la courbe; en faisant EP = 2y et désignant par i^ la vitesse acquise au point M^ et par g la gravité, nous aurons (n* 169)

si Ton suppose que la pesanteur soit la seule force qui agisse sur le mobile. Soit aussi s Tare BM; comme il décroit quand le temps augmente^ on aura

ds

et si Ton fait

EB = A, PB = a: = A — z,

il en résultera

quelle que soit la courbe donnée.

Cette courbe étante par hypothèse, une cycloïdc, on aura (n* 75)

en désignant par a le diamètre BF de son cercle générateur. On aura donc

dx

et, en intégrant,

nx — h

arc

cos = —^) :

on n'ajoute pas de constante arbitraire, afin qu'on ait i= 0 à l'origine du mouvement, ou quand x= h. Si Ton appelle t' le temps que le mobile emploie h atteindre le point B qui répond à a: = o, on aura

t' \/— = arc (cos = — i) = ^,

et, par conséquent,

V 2ff

Ce temps est, comme on voit, indépendant de la hauteur h du point de départ D du mobile, au-dessus du point le plus bas B; en sorte que cette propriété, qui a lieu par approximation dans toutes les courbes pour une hauteur h très petite , est rigoureusement vraie dans la cycloïde, quelle que soit cette hauteur, toujours moindre que a ou BF. Il en résulte que tous les mobiles , partis en même temps de différens points de la cycloïde, arriveront en même temps à son point le plus bas.

On aura Try — pour le temps d'une oscillation entière de part et d'autre du point B; or, on voit que ce temps est celui des oscillations très petites du pendule dont la longueur aa est le rayon de courbure de la cycloïde en ce point (n** 73); ce qui s'accorde avec le résultat du n* i85, relatif «H la durée des petites oscillations sur une courbe quelconque, laquelle durée est la même , dans le cas de la cycloïde , que celles des oscillations d'une amplitude quelconque.

igS. Le temps que le mobile emploie à parcourir lare DB de la cycloïde est encore indépendant de la longueur de cet arc, quand le mouvement a lieu dans un n^ilieu résistant , et que la résistance est supposée proportionnelle à la premièi*e puissance de la vitesse.

En eflet, représentons cette force par ^ , comme dans le n* 186; la composante de la pesanteur soi-

vaut la tangente MT est g-j-f en observant que ^

est le cosinus de l'angle TMN que fait cette droite

avec la verticale MN ; la force qui agit au point M , et qui tend a diminuer lare BM ou s, sera donc la

différence g^ gj; par conséquent, on aura pour

l'équation du mouvement

dt*

/dx

\x, ce qui

est la même chose ,

dt na

cause de

df dx " dï' dJ

Je suppose quà l'origine dii mouvement, ou quand ^ = 0, la vitesse V soit nulle, et qu'on ait ^=:a; en déterminant les deux constantes arbitraires d'après ces conditions , et faisant , pour abréger ,

l'intégrale de I équation précédente sera (n" i86)

Si donc on appelle t' le temps qui répond au point B ou à ^= o, on aura

équatioa d'où l'on tirera une valeur de € indépendante de a; ce qu'il s'agissait de trouver.

37a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Si la résistance est très petite , ou ]a vitesse k très grande , on aura yz=z i , a très peu près; et l'équation précédente donnera

ce qui montre que le temps t' est un peu augmenté par cette résistance.

196. Prolongeons la droite BF jusqu'en 0, d'une quantité égale à BF ; ce point 0 sera }e centre de la cycloïde au point B ; et si l'on trace les deux demicycloïdes OA et OC , tangentes aux droites OB et AC, et ayant OF pour diamètre de leur cercle générateur , OA sera la développante de AB , et OC celle de BC (n** 72); par conséquent , un fil d'une longueur constante OB ou 2a , attaché au point 0, et qui s'enveloppera successivement sur les deux courbes OA et OC , tracera par son autre extrémité la cycloïde ABC.

Cela fournit un moyen de construire un pendule cycloïdal. Pour cela^ supposons que les courbes OA et OC soient tracées en relief , et que OB soit un fil inextensible et parfaitement flexible, attaché au point fixe 0 ; attachons aussi un corps pesant à son autre extrémité B , puis écartons ce fil de la position verticale , de sorte qu'il s'enveloppe , en tout ou en partie , sur l'une des courbes OA et OC , et que sa partie non enveloppée soit une droite tangente à cette courbe : en abandonnant ensuite le mobile à lui-même, l'extrémité inférieure du fil décrira la courbe ABC; let, d'api^ le n^ 194, la durée' des

oscillations de ce pendule , dans le vide , sera rigou-reusementy et constamment indépendante de leur amplitude. Mais ce moyen ne serait susceptible d'aucune précision dans la pratique; et, d'ailleurs, Fisochronisme des grandes oscillations n'aurait plus lieu dans l'air y la résistance de ce fluide n'étant point alors proportionnelle à la srmple vitesse.

197. On appelle tautochrone toute courbe sur laquelle un point matériel pesant parvient toujours dans un même temps au point le plus bas , quel que soit le point de cette courbe d'où il est parti. Ainsi , dans le vide, la cycloide est une courbe tautochrone ; et y de plus y on va voir qu'elle est- aloips la seule courbe de cette espèce.

Si l'on appelle t'. le temps que le mobile emploie à aller , sans vitesse initiale , du point D au point le plus bas B , sur une courbe quelconque ÂDB , la

valeur de tf^^,, sera donnée par l'intégrale de la formule (1), prise depuis j:r = A jusqu'à x=o, ou , ce qui est la même chose, depuis\r=:o jusqu'à x=hf en changeant le signe de cette fbrmule; on aura donc

et pour trouver la courbe tautochrone y il s'agit de déterminer s en fonction de x^ de manière que cette

v^eur de € \/^g soit indépendante de h.

Or , je suppose cette fonction inconnue développée suivant les puissances ascendantes de ^ 1 de sor te qu'on ait

374 TRAITÉ DE MÉCANIQtJE.

s := Ax* + Rr^ -f" ^^ + €tc.;

AfB, C, etc., a, ^, 7,etc.,étaiitclescoefl[icieDsetde5 exposans indétemrincs. G)mme Tabscisse x et Tare s ont leur origine au même point B , on deyra ayôir en même temps x = o et^ = o; il faut donc que tous les exposans (t,€, y, etc., soient positifs , et qu'aucun d eux ne soit zéro. On voit aussi, à priori^ que le plus petit d entre eux devra être moindre que Tunité ; car le point B étant, par hypothèse ^ le jJos Las de la courbe demandée, la tangente y est horizontale ou perpendiculaire h. Taxe des j: ; ce qui exige

qu'on ait j- = oo , quand jrc=o«

En prenant la différentielle de cette série, et la 5ttibstituant à la place de ds dans là formule précédente , il vient

'y/-s^4o Vkt.'^^Jo Ts+'^io -jT^-Htc.

Je fais octs^hx' et dx = hdjc'; les limites des intégrales relatives à cette nouvelle variable a:' seront zéro et Tunité ; on aura, par exemple,

et rï nous faisons , pour abréger ,

r.x'^'-'djif p af^-: dx' ^,

etc. ,

il en résultera

11 est important d'observer qu'aucune de ces intégrales A', B', C, etc., ne peut être nulle; car les valeurs des différentielles dont elles sont les sommes (n^ 1 3) ne changent pas de signe entre les limites des intégrations : ces valeurs sont toutes positives, et par conséquent aussi celles des intégrales»

Maintenant, il est évident que la valeur de € ne peut être indépendante de â, à moins que tous les termes de la série précédente ne soient nuls, excepté celui dans lequel l'exposant de h est zéro, ou qui

répond à un des exposans et , ^ , ^, etc. , égal à -. Supposons que ce terme soit le premier, ou qu'on

ait a = -. Four que le second terme disparaisse , il

faudra que le produit fBB' soit nul; ce qui exige que B soit zéro , puisque f et K ne le sont pas* On verra de même que les autres coefBciens C, D , etc. , sont aussi égaux à zéro; de sorte que Téquation de la tautochrone se réduit à celle-ci :

s = Ax * , ou s* = A^x,

qui appartient à une cycloïde, doiit la base est horizontale et dont le sommet est au point B que le mobile atteint toujours dans le même temps.

En désignant par a le diamètre du cercle générateur, on aura A* = 4^ , et par conséquent

A cause de a = i, on a d'ailleurs

on aura donc

comme dans le n* 194-

198. C'est encore la cycloïde que Ton trouve quand on cherche la brachjrstochrone dans le vide, c'est-àdire, la courbe AMB (fig, 47) qu'un point matériel pesant doit suivre pour aller dans le temps le plus court, sans vitesse initiale , du point donné Â au point B aussi donné.

Pour déterminer cette courbe, soient x^jr^ z, les trois coordonnées rectangulaires du point M où se trouve le mobile au bout du temps t; soit aussi s l'arc AM qu'il a parcouru. En supposant que l'axe des X soit vertical et dirigé dans le sens de la pesanteuTi et désignant par et la valeur de x au point A, la vi-

ds

tesse -j , acquise en M , sera la vitesse due à la hauteur X — a; en représentant la gravité par g, on aura donc

et en faisant , pour abréger.

de sorte qu'on ait dss= udx, il en résultera

Donc, en appelant € la valeur de x au point B, et/'

le temps qae le mobile emploiera à aller du point A âu point B , nous aurons

Ainsi, il s'agira de déterminer la courbe pour laquelle cette intégrale est un minimum; mais, pour plus de généralité, je considérerai l'intégrale

U = / \udx ,

dans laquelle X est une fonction donnée de a:; ce qui nous servira , par la suite , a résoudre un autre problème du même genre : dans celui dont il s'agit

maintenant, on prendra Çx — a)" •" pour X.

199. D&ignons par i une quantité constante et infiniment petite, et par Jy- et J'z deux fonctions arbitraires de X, assujetties seulement à la condition d'être nulles pour a? = ee et pour x = €, et de ne pas devenir infinies pour les valeurs intermédiaires de X. Soient U' et uf ce que deviennent U et i^ lorsqu'on j met jr+ ij^jr et z-{- ij'z à la place de^ et z, de sorte qu'on ait

intégrale qui répondra à une autre courbe AM'B, passant, comme la courbe demandée AMB, par les points A et B, et s'écartant infiniment peu de celle-ci. Nous aurons aussi

U' — U = //X(fi' — u)fia:;

et, d'après la propriëtc de la courbe AMB, il faudra que cette différence U' — U soit positive, quelles que soient les valeurs de J^eié^z, et quelque signe qu on donne à i. Or, en développant la différence u^ — u suivant les puissances de if et désignant par ij'u le pi'emicr terme de son développement, le premier

terme de celui de U' — U sera 1 f TLi'udxi d'où Ton conclut qu'on devra avoir

ILJ'udx = o, (a)

sans quoi la différence U'— ^ U changerait de signe eu même temps que L «

Cette condition est commune au minimum et au maximum de 11. Quand elle sera remplie, la différence U' — U sera , en général , infiniment petite du second ordre ; elle aura le même signe que le coefficient de i* dans son développement; par conséquent, il y aura maximum ou minimum^ selon que ce coefficient sera négatif ou positif. Mais, comme il est évident que le temps t' n'est pas susceptible d'un maximum, ce coefficient sera certainement positif dans le problème de la brackjstochrone , et il suffira de satisfaire à la condition exprimée par l'équation (a).

La quantité i^u n'est autre chose que la différentielle de u , prise par rapport h jr et z, et dans kquelle leurs accroissemens sont représentés par i^f et îJ^z; En supprimant le facteur i, commun à ùh et à sa valeur, on aura donc

"^^ u dt djc '*^ u ^ dx '

en sorte qae l'équation (a) deviendra

/•ex dydiy , , r^ X dt dit .

J.Zdi-di^-^J, ûdi-d^^-''-

Mais en intégrant par partie, et observant que les quantité jy et ^z sont nulles, par hypothèse, aux deax limites x = a et x = f , on a

\u di dx

J'zdx;

ce qui change l'équation précédente en celle-ci :

dx

jy

Or, jy et J'z étant des fonctions arbitraires de x, cette intégrale ne peut être nulle, a moins que la cpiantité comprise sous le signe / ne le soit ellemême; par conséquent, on aura

\u dxj ^ , \M dxj ^ ,,.

200. Si la courbe demandée AMB et la courbe quelconque AM'fi doivent être tracées sur une surfiice donnée dont Téquation soit L :=: o , il faudra que les valeurs de j^ et z en fonctions de or, qu'il s'agit de déterminer^ et ces valeurs augmentées de iiy et iSz^ satisfassent successivement à cette équation ; d'où l'on

38o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

conclut

au moyen de quoi Ton éliminera , de Téquation (&), l'une des deu^ quantités S'y et i'z : Fautre s'en ira en même temps , et Ton aura

</L \u dx) dL \u dxj ___

dz dx dy dx """

Cette dernière équation et L = o seront , dans ce cas I les deux équations de la courbe demandée , et pourront servir, par exemple , à déterminer la courbe de la plus vite descente sur une surface donnée.

Si, au contraire, le minimum de U doit avoir lien entre toutes les courbes qui aboutissent aux points A et B , et ne sont assujetties à se trouver sur aucune surface particulière, les quantités Sjr et S'z seront arbitraires et indépendantes entre elles. Il faudra donc que leurs coefficiens soient séparément nuls dans réquation (£), qui se décomposera ainsi en deux autres , savoir :

\u dx) \u dr,

dx ^ dx '

c'est ce cas que nous nous bornerons à considérer.

En intégrant et désignant par a et af les deux constantes arbitraires, nous aurons

X dr X dz f .V

DTNàMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 38r

et y par conséquent ,

ai- — a -y z=: o.

dx dx

Intégrant de nouveau, et désignant par ^ une troisième constante arbitraire , i] vient

a' y — az = y;

ce qui montre que la courbe demandée sera plane et cmnprifle dans un plan perpendiculaire k celui des jr tt z* Pour simplifier, je prends le plan de cette courbe pour celui des jcetjr; on aura alors

et Ton aura seulement à considérer la première ëqomtion (c), qui deviendra

Xify = a \/dx^ + dy^ ; d'où Ton déduit

Il ne restera donc plus qu a intégrer cette formule, ce qui dépendra de la forme de la fonction X, et ensuite à déterminer a et la nouvelle constante arbitraire, introduite par cette intégration, d'après la condition que la courbe demandée passe par les deux points donnés A et B.

aoi. Avant d*aller plus loin, soit c une constante quelconque, et supposons qu'on mette X-f-^ à la place de X dans les formules précédentes. L'iuté-

38a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

grale U devieudra

et la valeur de y y qui la rend un mininuun, sera donnée par Téquation

Qr /celte somme d'intégrales que U représente étant uû pùnimunij en considérant toutes les courbes qui aboutissent a^x points A et B, il est évident que la première intégrale

rxv/.+g<fc

sera un minimum, en considérant seulement, paraii toutes ces courbes, celles qui répondent à une même valeur de la seconde intégrale.

Cette remarque fort simple permet d'étendre immédiatement aux problèmes de maximum ou de mi" nimum relatif, les solutions des problèmes de maxh m^an ou die minimum absolu; nous en verrons une application par la suite.

Comme ici la seiçpade intégrale contenue dan^ U est la lopgueqr de la courbe cherchée, il s ensuit que réquation (e) servira à déterminer, entre toutes les courbes 4'égale longueur, ou isopérimètres , celle qui répond au minimum ou au maximum de la première intégrale. En appelant l la longueur donnée et commune à toutes les courbes , on aura

condition à laquelle on satisfera au moyen de la constante indéterminée c, qu*on a introduite dans la formule (e).

202. Appliquons actuellement la formule (d) h, la courbe de la plus vite descente.

A cause de

on aura alors

V/a (X — tf) — (X — a)* '

en mettant — =. à la place de a. Or, cette équatipn

difiërentielle est celle d'une cycloïde (n* 72 ) dont la base est horizontale et passe par le point de départ A du mobile y et dont le cercle générateur a a pour diamètre; ce qu'il s'agissait de trouver.

En intégrant, on a

^--^'=^« arc(cos=^=^^=i^)— V'^Cx-a^ - {x—aY;

ai étant la constante arbitraire qui représente la valeur de y correspondante à or = a. Si Ton désigne par C celle qui répond à xzn&y on aura

&^^ arc(cos=?=^)-V'«C^-«) {i-df.

Les coordonnées a et ai^ € et C, des points A et B, sont données ; cette dernière équation déterminera la constante a; et la valeur précédente de jr ne renfermera plus rien d'inconnu.

Au moyen de la valeur de djr, on a

on aura donc (n^ 198)

^ ^ r^ V adx

' ^ J« V/a(a: — «) — (x — rt)*'

et ^ par conséquent ,

- /a / a — 2C4- 2a\ «' = V/5^-»'^ (cos =: ) ,

pour le temps le plus court que le mobile poisse employer à passer du jpoint A au point B.

Si ces deux points sont situes dans une même verticale , on aura Q! = a!\ condition à laquelle on satisfera en prenant a = 00 ; car on a

arc

f cos= J=arcf sin= ^ — i 1.];

et, dans le cas de a =00 , cet arc peut être remplacé par son sinus, ce qui réduit à zéro la yxdeur précédente de ÇJ -^ a'. En même temps, la valeur de /se réduit à ee' ; en sorte que le mobile ne s'écartera pas de la direction verticale* La valeur de i deviendra aussi

^/ /^ 2t/fl(C— g)— (g— «)» |/2(C-a) V 2^* a g ^

ce qui est effectivement le temps qu'il doit employer à parcourir la hauteur Q — a, du point A au-dessus du point B.

La détermination de la ligne de la plus vite des-

cente étant tm problème de pure curiosité ^ je me sois borné à en considérer le cas le plus simple , ce<* lui où le mouyement a lieu dans le vide, et où les points extrêmes sont donnés. Si ces points A et B ne sont pas fixes et donnés, mais qu'ils soient seulement assujettis à se trouver sur des courbes données DÂE et FBG, ou sur des surfaces aussi données, la bradiystochrone , dans le vide, sera encore une cjcloïde, et, d après les règles du calcul des variations, on pourra déterminer, dans tous les cas, les coordonnées de ces deux points. Dans un milieu résistant , cette ligne sera une autre courbe, dont on obtient , par les règles de ce calcul, Téquation différentielle, dépendante de la loi de la résistance par rapport à la vitesse du mobile. Pour tout ce qui concerne le calcol des variations, je renverrai au Mémoire sur ce sujet, que j'ai inséré dans le XII* volume de TAca-p demie des Sciences.

§ III. Mouwment sur une surface donnée,

ao3. Pour donner un exemple du mouvement d*un point matériel sur une surface donnée , je reprends le pendule simple du n"* 179; mais je suppose qu'après Favoir écarté de la verticale CB (fig. 45), et ravoir transporté en CA, on lui imprime une vitesse qui ne soit pas dirigée dans le plan veilical ACB. Le pendule sortira alors de ce plan , et le point matériel qui le termine se mouvra sur la surface d^une sphère décrite du point C comme centre, avec un rayon égal à la longueur a de ce pendule. La

percussion qui sera exercée sur ce mobile, à rorigioe du mouyement, se décomposera en deux forces, ]'uDe dirigée suivant AC ou suivant son prolongement, qui sera détruite par la résistance du point fixe C, lautre perpendiculaire à AC, qui produira la vitesse initiale du pendule, que je repr^nterai par k. Je supposerai que le mouvement a lien dans le vide; en sorte que la gravité soit la seule force accélératrice donnée qui agisse sur le mobile.

Cela posé, au bout du temps ^, soit CM la position du pendule ; et désignons par x^jr^z^ les coordonnées rectangulaires du point M. Soient aussi m la masse du mobile, et mN la tension inconnue da fil CM, dirigée suivant son prolongement. En prenant le point C pour l'origine des coordonnées x, /, z, les composantes de la force accélératrice N suivant leurs prolongemens seront

Or, si Ton applique au mobile une force égale et contraire à N , on pourra ensuite le considérer comme entièrement libre, et faire abstraction du fil CM; donc en supposant l'axe des z positives, vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, les troîS équations du mouvement seront

qui s'accordent avec les équations (3) du n® i5i. On les réduira à deux par réllmination de Tinconnue N; et en j joignant 1 équation de la sphère, savoir,

on aura les trois équations qui devront servir à déterminer oCfjTy z, en fonctions de t.

ao4* J'ajoute les équations (i), après les avoir multipliées par ûc, j", z; il vient

^ H- JN^ — gz s=z o.

En differentiant Téquation de la sphère, une première fois, on a

jcdjo + j'djr -f- zdz = o , (3)

et j une seconde fois,

xd^jc + jrdy + zd^z =z — dx^ — rfy* — dz^.

Si donc on représente par v la vitesse du mobile au bout du temps i, de sorte qu'on ait

dx*+ 4r*+ àz^

dl

il en résultera

de la force centrifuge — et de la composante ^^

et, en effet, la tension tisN doit être la somme

du poids du mobile suivant le prolongement du rayon CM.

J'ajoute aussi les équations (i), après les avoir multipliées par dx , djr^ dz ; Tinconnue N disparaît en vertu de 1 équation (2), et Ton a

dxd^x -f- dfd^r + dzdH .

de = fi^^-

En intégrant et désignant par h la constante arUtraire, on aura donc

— ^^— = 2gZ + b. (5)

La valeur initiale du premier membre est ^; par conséquent, si Ton désigne par y celle de z, on aura

et, à un instant quelconque ,

ce que nous savions déjà*

Enfin, je multiplie la seconde équation (i) par x, et j'en retranche la première, multipliée par jr;Ot qui donne

dW d*x

di* ^ di^ '

donc , en intégrant et désignant par c la constante arbitraire, nous aurons

xdy — ydoc = cdi. (4)

De cette manière, la solution du problème ne dé' pend plus que des trois équations différentielles (3)1 (5) , (4), qui sont du premier ordre , et dont la pre-

mière a déjà pour intégrale l'équation de la sphère. On peut séparer les Yarlables, et réduire la question aux quadratures par le calcul suiyant.

3o5* L'équation (2.) donne

xdx + jrdjr = — zdz;

en élevant au carré ses deux membres et ceux de l'équation (4)» et ajoutant ensuite les équations résultantes, il vient

Je mets a* — z* au lieu de a^ +^, et j'élimine d^ + djr* au moyen de l'équation (5) ; il en résulte

(«• — z») [(2gz 4- A) rf/* — ck*] = z»d!z* + c»i/i* ; d'où l'on tire

dt = , ^ (5)

Désignons par r le rajon vecteur de la projection du mobile sur le plan horizontal des x et jr, et par 4 Tangle que fait ce rayon avec l'axe des x; nous aurons

a: = rcos4, ^^rsin^j,, xdj — jrdx=^J^d'^} a cause de r^ = a^ — z*, l'équation (4) deviendra

(a* — z»)û?>|/ = cdûi i

et en y mettant pour dt sa valeur précédente, on

9go TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

en déduira

rf4 = , "^ (6)

Les intégrales de ces expressions de tlt et d'^ feront connaître les expressions de ^ et %]/ en fonctions de z; elles se réduiront toujours aux fonctions elliptiques^ et ne pourront s'obtenir sous forme finie que <|uand la quantité du troisième degré par rapport à z, renfermée sous le radical , aura un facteur double. La valeur de %|/ et Téquation de la sphère détermineront la trajectoire du mobile; la valeur de t en fonction de z, ou de z en fonction de ^, fera ensuite Qpnoaltre la position du mobile, à chaque instant ^ sur cette courbe.

La constante b est connue d'après les valeurs données de Ar et y. On déterminera lès constantes arbitraires qui seront introduites par les intégrations dedi et d'^ , d'après les conditions ^ = o et \[/ = o, quand z s^ y, dont la seconde suppose qu'on place l'axe des a: dans le plan vertical ACB, d'où part le pendule* U ne restera donc que la constante c à déter- '^ miner. Or, la vitesse i^ du mobile étant perpendicalaire au rayon CM de .la sphère sur laquelle il se meut y si on la décompose en deux, l'une perpendiculaire au plan vertical MCB, et l'autre comprise dans ce plan , la première composante sera la vitesse de \a projection horizontale du mobile , perpendicolàire à son rayon vecteur r; en la désignant par u, on aura donc (n* i56)

ou bien , en vertu de Féquation (4) ,

donc, si l'on appelle € Tdngle que la vitesse initiale k fait avec la perpendiculaire au plan ÂCB, de sorte qu'on ait uz=zk cos é à l'origine du mouYeraent , il en résultera

c = ^ \/û* — y^ cos 6.

Lorsque la vitesse k sera nulle, on aura c=:o, &'=— -:2g7, et, par conséquent,

^^ . odz

ce qui coïncide avec la valeur de dt du a"* i85, en observant que a — jz et ^ — y sont ce qu'on a appelé nx et aQ dans cette valeur.

2o6« Considérons spécialement le cas où le pendule a été très peu écarté de la verticale CB, et a reçu une très petite vitesse initiale. Supposons cette vitesse horizontale, et,, par conséquent, perpendiculaire au plan ACB, de sorte qu'on ait € = 0. Désignons par Cune fraction très petite, et faisons

A = è \Jgâ.

Soient aussi tf et 6 les angles ACB et MCB; en négligeant leurs quatrièmes puissances, on aura

6= — ^ga + ga (a^ + ^•) , c* ss: ga^a^S* ;

Sg2 TRAITÉ D£ MÉCANIQUE,

et les formules (5) et (6) deviendront

L'angle 4 ^^^^ connaître la position du plan ver-^ tical MCB^ dans lequel le pendule se trouve à chaque instant; il pourra croître indéfiniment. L'angle 6 déterminera, aussi à chaque instant, la position du pendule dans ce plan variable; on le regardera comme une quantité positive , et les positions dû pendule 9 également éloignées des deàx côtés de la verticale CB, répondront à un même angle 8 et à des valeurs de 4 ^^^ différeront entre elles de i8o%

D*après la valeur ^^ -jif tirée de la première équation (à), on voit que Tangle 6 sera toujours compris entre a et C* Si Ton a ^ = tf , on aura constamment 0 = £Ê ; en divisant les équations (à) Tune par l'autre, on a y dans tous les cas,

dans le cas de Ô = tf ::= ^, on aura donc

par conséquent, le pendule décrira alors uniformément un cône droit à base circulaire, et le temps

d'une révolution entière sera 27r \ - $ c est-à-dire,

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PAKTIE. 39)

le même <}ue celai d'une double oscillation dans le plan yertical ÂCB. Ainsi , deux pendules de même longueur a , qui partiraient ensemble de la même droite CA , l'un sans vitesse initiale et l'autre avec une vitesse perpendiculaire au plan ACB et égale à a \^ga p reviendraient ensemble à cette droite CA. ^107. On peut écrire la valeur dt sous la forme :

Je fais, pour simplifier.

le radical devient ± (et* — ff*) v/i — a:* ; et il en résulte

•^ \ la dx

^' = =^ â Vi 7r=P-

A cause de d = «( et a: = i , quand ^ = o, on tire de là

^=± i ^1 arc(cos = x),

et, réciproquement y

X = cos ut \/-.

On aura donc « à un instant quelconque,

ce qui montre que le pendule fera dans le plan variable MCB, des oscillations isochrones dont les ex-

trémites repondront àQ=:aet6 = ^,et dont la du*

rëesera- ^ y-f ou moitié d'une oscillation dans

le plan fixe ACB.

Je substitue cette valeur de 6* dans l'équation (6) ; en observant que

cos af y/| = cosV y^ — sîn*^ t/^ , il en résulte

rf+=\/i ^ :

a* cosH i/2 + ff* gin»/ i/?

et^ a cause de 'vlr = o quand t = o^ on en conclnt

a tang •>!.=: ff tang t r/^.

Cela étant , le mouvement du plan MCB ne sera plus uniforme comme dans le cas de a = ^ ; mais on voit que ce plan effectuera successivement les quatre quarts de sa révolution entière , dans des temps égaux entre

eux et au temps "'tfk/ - ^ pendant lequel le pendule

fait une oscillation dans ce plan variable. On tire de cette dernière équation

«•cos» i v/cos* 4 = jz -=,

ff» sin* / \ A sm» 4 s= -p ^ — ;

«• C08* / l/5 + ff' 8in> I l/^

on a aussi

a:* = ( a* — z* ) cos* 4 = «* 6* cos^ %[/ , ^ = (fl* — z*)sm*4 = û*ô*sin»4,

d'après la yalear approchée de z ; donc , à cause de

fl* = a* cos» t ^/f + f* sîa» t ^/f • nous aurons

ar* = a^et^ cos* 4 > ^* = ^*^* sin* 4 > et, par conséquent ,

ce qui fait voir que la trajectoire de la projection du mobile sur le plan horizontal passant par le point G, est une ellipse qui a son centre en ce point, et Tun de ses axes dans le plan ACB , d'où part le pendule ayec une vitesse perpendiculaire à ce plan.