CHAPITRE VI
EXEMPLES DU MOUVEHENT D'UN MOBILE ENTlèBEHElIT
USEE*
§ I*". Mouvement des projectiles,
2o8. Dans ce paragraphe, nous nous occaperons particulièrement des projectiles de rartillerie, qui sont lancés avec de grandes vitesses , et soamis à la pesanteur et à la résistance de lair.
Faisons d'abord abstraction de cette résistance , et considérons un point matériel pesant qui part da point 0 (. fig. /fi ), avec une vitesse a dirigée suivant la droite OÂ. Il est évident que le mobile ne sortira pas du plan vertical passant par cette droite. Soit OMD sa trajectoire dans ce plan ^ laquelle sera tangente à OA. Dans ce même plan , menons deux axes Ox et Ojr f le premier horisontal , et le second vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur. Prenons ces axes pour ceux des coordonnées; au bout du temps quelconque t^ soit M la position du mobile, X son abscisse OP, et jr son ordonnée PM • Désignons par g la gravité. Enfin , appelons alangle aigu AOx que fait la vitesse initiale a avec Taxe 0:r , de sorte que ses composantes soient a cos a suivant cet axe;
et a sîu et suivant Taxe Oj" : Fangle et serait négatif, si la droite OÂ était située au-dessous de Ox.
D après ce qu'on a vu dans le n^ 148 ^ les tnouvemens des projections du mobile sur les deux axes Oûc et O/ seront indépendans Tun de l'autre; le mouvement de sa projection horizontale sera donc uniforme et dû à la vitesse a cos et, et celui de sa projection verticale sera dû à la vitesse initiale a sin a et à la force constante g agissant en sens contraire de cette vitesse; par conséquent , on aura
a: = t a cos CL j / = ^asinot — -jg/*;
et si l'on élimine ^ , et qu'on suppose la vitesse a due à
une hauteur h, de sorte qu'on ait a = \/2gh, il en résultera
jr z=: jo tang a —
4^ cos'
pour l'équation de la trajectoire.
Cette courbe est donc une parabole qui a son grand axe vertical ; son sommet , déterminé par l'équation
^ = o, répond à
X = aA cos £t sin tf , jr czz h sin* cl ;
et elle rencontre l'axe Ox en un second point B , tel qu'en appelant b la distance OB^ on a
b = 4^ sin fit cos a z=: 2h sin 2cl.
Cette distance b est ce qu'on appelle V amplitude du jet. Dans le vide^ son maximum repond, comme on
398 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.
yoît, à <x = 4^^, et il est ëgal à 2h, c'est-à-dire, double de la hauteur due à la vitesse initiale.
En appelant i^ la vitesse du mobile au bout du temps ^ , et substituant les différentielles des valeurs précédentes de X etj" dans Téquation
^ — di* ^ il en résulte
<;• = «• — nagtsinet -|- gV,
Le temps que le mobile emploie à arriver au point B en décrivant la courbe OCB , est le même que s'il décrivait la droite OB avec la vitesse a cos €(; il est donc
à Ahsinm
a cos et a '
et h cause de ^ = — , il en résulte gt = aa sina;.
ce qui donne i^ = a*. La vitesse en ce point B est donc la même qu'au point 0 j elle est dirigée suivant la tangente BE, et l'angle de chute EBr est aussi le même que l'angle de projection AOx.
Si le mobile, au lieu d'être un point matériel, est un corps solide, de forme et de dimensions quelconques, on verra par la suite que ces équations du mouvement parabolique devront être rapportées it son centre de gravité.
20g. La vitesse a étant donnée , si Ton demande quel doit être l'angle a pour que le mobile atteigne an point déterminé, dont les coordonnées sei*ont x = £ et ^ = >, on mettra ces valeurs dans l'équation de la trajectoire, et l'on aura
pour déterminer a. En faisant
tang£t = z, cos'flt = — — — ;,
cette équation devient
d'où l'on tire
Cette double valeur de z ou de tang a nous montre qu'on peut atteindre un but donné , en tirant sous deux directions différentes, tant que 4^* surpasse ^hy + €*; que ces deux directions se réduisent à une seule, lorsque ces deux quantités sont égales; et qu'on ne peut atteindre le but, sous aucune direction, quand 4^* est moindre que /^Jiy -|- 6*.
Ainsi, en traçant dans le plan vertical qui passe par la direction initiale du mobile, la parabole dont l'équation est
4hy + ff' = 4h%
cette courbe divisera le plan en deux parties , telles que tous les points de la partie extérieure seront garantis de toute atteinte , que ceux de la partie intérieure pourront être atteints de deux manières différentes, et ceux de la ligne de séparation, d'une manière seulement.
:2f0. La théorie du mouvement des projectiles
4oo taâité de mécanique.
serait donc très simple , si l'on pouvait négliger la résistance que l'air oppose a leur mouvement; mais dans le cas des grandes vitesses dont nous nous occupons spécialement, cette force est beaucoup trop considérable pour qu'on en puisse faire abstraction : elle change entièrement la forme de la trajectoire et les lois du mouvement sur cette courbe , ainsi qu'on va le voir.
Quelles que soient la forme et les diroenisions du projectile, on fera voir, dans un autre chapitre, que son centre de gravité aura le môme mouvement qu un point matériel pesant, dont la masse serait celle du mobile, qui aurait une vitesse initiale donnée en grandeur et en direction , et auquel on appliquerait en outre , parallèlement a elles-mêmes , les forces provenant de la résistance et du frottement de l'air, qui s*exercen t à la surface de ce corps solide. On verra aussi que la force motrice qui résultera de ces résistances transportées au centre de gravité , pourra quelquefois faire sortir ce point du plan vertical mené par Ja direction de la vitesse initiale; mais ici nous supposerons que ce cas n'ait pas lieu , et que la force motrice dont il s'agit soit constamment tangente à la trajectoire du centre de gravité.
Cela posé , pour former les équations de son monvement, conservons toutes les notations précédentes, et supposons qu'elles se rapportent maintenant à la fi^ gure 49 f où la trajectoire OMD n'est plus une parabole. Soit, en outre, s l'arc OM décrit par le mobile au bout du temps t, et R la force motrice provenant de la résistance de l'air, qui sera dirigée suivant b
partie MT de la tangente en M. Les cosinus des angles que fera cette droite MT avec des axes menés par le point M suivant les directions des x et des^ positives^ seront — ^ ^* "^ "^ ' ^^ appelant m la masse du projectile et g la gravite^ nous aurons donc
df" m ds* dl'' ^ m ds^
pour les équations du mouvement de son centre de gravité.
Je prendrai pour ce projectile une sphère homogène ou composée de couches concentriques dont chacune sera homogène ; en appelant D sa densité moyenne et r son rayon ^ on aura alors
Je supposerai aussi ^ conformément aux hypothèses généralement admises^ la force R proportionnelle au carré de la vitesse du centre de gravité , à la sur^ face du projectile^ et à la densité de l'air; il enrér sultera
m Dr £//•'
p étant cette densité^ et n un facteur nuinéiciqlie ^[ui devra être déterminé par l'expérience. Celte expression satisfait à la condition de l'homogénéité des
quantités; car— et le rapport de ^. à r sontt|i)j^i|:i; quantités de la même naturf^,quej|a^grayîié.gy f^flk facteurs n ei ^ sont des-.iwyiji^r^jj ,al^itfv, i?-ftJ«f. I. 26
4oa TRAITE DE MÉCANIQUE.
plus dé commodité, je ferai
Dr — *'»
de sorte que 7 soit une ligne dont la longueur sera
donnée , et que je regarderai comme constante ^ en faisant abstraction du changement de densité de la masse d*air que traverse le projectile.
ai I. En mettant à la place de — , sa valeur c -^i^ les deux équations du mouvement deviennent
d^x . ds dx \
Âî + '^ Â Â = **' I , .
L'intégrale de la première est
dx
2" = ^ cos et e-*%
en observant qu on a — = a cos a , au point 0 ùk
5=0, et désignant par e la base des logarithmes né* périens. La forme de la seconde ne différant de celle de la pi^mière quQ par son dernier terme , je &iS|
iKmrl intégrer,
djr dx
dt '^ P di*
^ ëïaht une nouvelle inconnue. En substituant cettt ^ellr de ^ dans la seconde équation ( 1 ) , et ayant ^rd à iar première / ii vient
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE, 4o3
dx dp
dt dt S*
Je divise cette valeur par le carré de j- on de sa valeur précédente; il en résulte
^r . ^fl — , o gUt
dt * dt a^cos^A
En considérant^ et p comme des fonctions de or, on aura
^^^ djr ^ dx djr dp ^ dx dp
P dt * di dx' dt ' dt ~ dx*^
si donc on fait toujours a* =i 2gh , l'équation précédente deviendra
dx 2A cos** A ^ ^ y
et ce sera Féquation différentielle de la trajectoire. On a identiquement
\/i ^ p^dx = ds;
en multipliant membre à membre ces deux dernières Àjuations^ on aura donc
ds
d'où il suit y en intégrant et désignant par y la constante arbitraire^
Pour déterminer >, on fera, à la fois, siss^o eX
4o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
p = tang et ; ce qui donne
mais^ pour abréger^ je conserverai 7 à la place de cette valeur.
D après les équations précédentes, on a
éZr= — 2Acos'a6"**'dJp, djr:=p(Lx:, gdt*=: — dxdp;
en éliminant l'exponentielle au moyen de Téquadon (3) f nous aurons donc
cdx =
dp
i^V^i+/>*+log(/i+y i-l^')— y '
^ ol/i-4-zï*4-lofTriJ-H/i^»M— ^' f^^
formules qui ne sont point intcgrables sous forme fi-nie : dans la dernière, on regardera le radical comme une quantité positive, parce que l'angle dont p est la tangente diminue quand le temps augmente.
21a. Si l'on appelle on cet angle, c'est-à-dire^ rindinaison MT^ de la tangente à la trajectoire, sur l'axe horizontal Ojc, on aura
/. = tang«, dp^^^.
Les valeurs de jc,^, ^, déduites des équations (4); seront de la forme fCideê; l'intégrale étant prise de manière qu'elle s'évanouisse au point 0 où Ton a ^ sa, et A désignant uneibpçtion donnée de«r.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4o5
On calculera ces trois râleurs , pour clraque ]10int M, par la méthode des quadratures (n® i5). De cette manière, on pourra construire la trajectoire par points, et Ton connaîtra le temps t que le mobile emploiera à décrire chaque arc OM , dont la longueur s sera donnée par l'équation (5). Quant a la yitesse du mobile au point M, on aura
et, par conséquent^
y—^lV I + /?• — log(/;+ t/t + /^0
En étendant ces intégrales jusqu'à û)=:o, on déterminera l'abscisse et l'ordonnée du point C, le plus élevé de la trajectoire. Si l'on donne ensuite a « des râleurs négatives, on déterminera lés- points de la branche descendante CBD de la trajectoire. Quand on sera parvenu à une valeur — aJ de û) , pour laquelle l'ordonnée jr de la trajectoire sera nulle , la, valeur correspondante de x exprimera l'amplitude du jet OB, qui ne sera plus double de Fabscisse du point C, comme dans le cas du :vîde>, et dont lei maximum y par rapport à a, répondra à un angle moindre que 4^"" et dépendant devla grandeur de la vitesse initiale. L'angle a! ou EBor et la vitesse au point B différeront aussi de ci- et a.
Ainsi, toutes les circonstances du mouvement seront connues, et la solution du problème est complète, sauf la longueur des calculs numériques qu'il' fuidi^a exécuter dans chaque cas, lorsque les valeurs^
4o6 TRAITÉ D£ MÉCANIQUE.
dies trois constantes A , et ^ c^ conteoues dans les formples précédentes, seront données.
^i3. Le mouvement du projectile sur la branche descendante de la trajectoire , approche de plus en plus d*ètre vertical et uniforme.
En effet ^ soient ar^ jr^y ^,, les valeurs dex,/, t , qui répondent au sommet C ; transportons l'origine des coordonnées en ce point, et faisons
en sorte que œ' et y soient l'abscisse et Tordonnée du point quelconque M' (fig. 5o) de la branche descendante, rapportées à Taxe horizontal Cr' et à Taxe Cy qui est dirigé dans le sens de la pesanteur, et que t représente le temps employé à parcourir Tare CM'. Soit aussi p' la tangente de Fangle M'TV que fait la tangente à la courbe en M' avec Taxe Cx\ Nous aurons
et à cause de
logcvr+r;^--/^') = - iogCA>'+v/r+7Ô»
la première équation (4) deviendra
cdx' = -& , en faisant, pour abréger,
L'angle aigu MT'x' pouvant approcher contiaueUement d'un angle droit , la variable p^ croîtra indéfini-
ment; mais il n'en sera pas de même à l'égard de XfWour de très grandes valeurs de p\ on pourra mettre p^ à U
place de S/i+p^^i et en négligeant >" 4" ^^S ^ P*^ rapport à p'^, on aura
F =/>'* + llogp'%
ou simplement F = p^*, en observant que le logarithme d'une quantité très grande />'% et, à plus fortq raison, i^ogp'*, est très petit relativement à ortie quantité : on aura donc, pour ces valeurs de //, .
cp^
en intégrant et désignant par C une quotité cou^ tante, et il en résultera
Jc' = C — -^;
ce qui montre que les valeurs de x\ ne croîtront pas indéfiniment avec celles de p'. Cela étant, soit
Cj o
q sera une ligne de grandeur finie, qu'on pouirra calculer par la méthode des quadratures; et si l'on prend sur Cr' une partie CÂ égale à cette ligne, la verticale AB menée par ce point sera une asymptote de la partie CD de la trajectoire ; en sorte que le mouvement du projectile sur cette branche descendante, approchera indéfiniment de la direction verticale, Olwenrons, de plus, que pour les très grandes
4o8 • TRAITÉ MS MÉCANIQUE. ^
valeurs de p'y les deux dernières équations (4) se réduiront à
d'où il résultera
par conséquent^ le mouvement final et vertical du projectile sera uniforme; ce qu'il s'agissait de dé^ montrer. La vitesse de ce mouvement sera celle qu'on corps pesant acquiert en tombant dans le vide^ d'une'
hauteur égale à — ; et c'est aussi ce que Ton coudât
de la formule (5) , en mettant — >p' au lieu de p, et considérant ensuite p' comme une très grande quantité.
En faisant, dans la première équation (4),
p = tang(., dp = ^^, et, pour abréger,
[y — tang» |/i+tang'« — log(tang« + l/i -J- tang»«)]cos*#=-,
on en déduira
x,^\f*adco,
pour l'abscisse du point C. Si donc on prend sur Ox (fig. 49)^ ^n point F, tel que l'on ait
OF = a:. + 9,
la verticale FG , menée par ce point F , sera l'asjmp* tote de la branche descendante de la trajectoire.*
3 14* Soit ON le prolongement de la trajectoire OCO; le point de départ du mobile étant 0, le mouvement naura pas lieu sur cette partie de la courbe; mais on peut, néanmoins, désirer d'en connaître la forme. Or^ on la construit par points, au moyen des deux premières formules (4), en y donnant à p des valeurs positives et plus grandes que tang a ; et il est aisé de s'assurer qu'elle a aussi une asymptote , mais qui n'est pas verticale , comme celle de la branche descendante, . Pour cela, j'observe que, d'après la valeur de j^ du n* 2\\y il y a toujours un angle f aigu, et > a, qui est tel que p = tangf rend nul le dénominateur commun de ces deux formules, c'est-à-dire, un angle Q qui satisfait à l'équation
y— taDgb v/i + tang»ff— log(tangff+v/i-f-tang'C) = o. (6)
Cela étant , on voit par la valeur de dp , tirée de l'une ou l'autre des deux premières équations (4) , que Tabscisse x et l'ordonnée jr croissant indéfiniment, abstraction faite du signe, dans cette partie ON de la courbe , la quantité p cesse de croître, \oy^ qu'elle diffère infiniment peu de tang^; en sorte que p ne peut jamais dépasser ni même atteindre rigoureusement cette valeur /i = tangf; ce qui signifie que la branche de courbe ON a une asymptote qui coupe le prolongement de l'axe Ox sous l'angle Q. On déterminera sa distance au point 0 de la manière suivante.
Je mène par le point 0 un axe qui fasse, avec le pro^ longemeot de Oxy un angle égal au complément de €, et qui soit, par conséquent, perpendiculaire à
4io TRAITÉ D£ MÉCANIQUE.
l'asymptote de ON. J'appelle u l'abscisse d'un point quelconque de la courbe , comptée sur cet axe à par^ tir du point 0; les coordonnées de ce point, par rapport aux axesOor et 0/-, étant toujours x eljr^ on aura
u =:z jr cos Q — or sin Q.
En différentiant et mettant pour dx et djr leurs valeurs données par les deux premières équations (4)» il vient
Cdu — {tBXi%S-p)dp
formule dans laquelle on donnera à p des valeurs plus grandes ou plus petites que tanga, selon qo*il s'agira d'un point de la partie ON ou de la partie OH de la courbe. On peut retrancher de son dénominateur le premier membre de l'équation (6) , multiplié par cos^; et si l'on fait, en outre,
et, pour abréger,
tang^ V/ 1 +tang'€+log(tang^+ v/ 1 -f-tang?) — tangû) v/ 1 +*2i°g*û» — log(tang»-f-v/i+tang*»)=rU,
il en résultera
cU cos C cos* m
Or, en faisant
CCOSCJ a
^ ( tang € — tang «) dm U ces* m '
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PAJITIE. 4ii
r sera nne ligne de grandeur finie ^ que Ton calcu-lera par la méthode des quadratures, et qui exprimera la valeur de u relative à 1 asymptote de ON, c'està-dire, la longueur de la perpendiculaire abaissée du point 0 sur celte droite , qu'il s'agissait de déterminer.
Cette droite asjmpto tique aura pour équation
j-cos^ -^ orsin^ = rj
en sorte que si l'on prend sur le prolongement de Oj? un point H tel que l'on ait
OH =.r,
l'asymptote de la branche ON sera la droite HK,menée par le point H, et faisant avec le prolongement de Oo? un angle KHO suppléaient de C. Les deux asymptotes FGetHK, prolongées au-dessus de l'axe Oj:, se rencon-* treront eu un point L , de manière que la courbe en-* tière sera comprise dans l'angle KLG, dont le complément est l'angle ^ déterminé par l'équation (6).
:2i5. Lorsque l'angle de projection AOo: ou et est très petit (fig. 5i), le projectile ne s'élève qu'à une petite hauteur au-dessus de l'axe horizontal Ox , mené par son point de dçpart. Or, dans ce cas, on peut obtenir, avec une approximation suffisante , l'équation en x ^X. jf de la partie OCB de la trajectoire, située au-dessus de Qx\ et même on peut étendre cette équation jusqu'à un point D, dont la distance à cet axe n'est pas très considérable.
En effet, dans toute cette partie OCB, ou même OCD de la trajectoire, la tangente à cette courbe sera presque horizontale^ et la quantité p très petite ;
4 m TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
en négligeant le carré ôep, on aura donc
Js = djo , s z= oc ,
et J'ëquation (2) deviendra
è ^ L ^tc*
d!r dx* 2^cos*et
En intégrant deux fois de suite , et déterminant les constantes arbitraires de manière qu'on ait — =• langer et^ = o, quand jc = o, iJ vient
r = X teng « - ë^Tj^ («"•- 2C*r - i),
pour Féquation approchée de la trajectoire , qu'il s'agissait d'obtenir. En développant lexponentieHe qu'elle renferme, réduisant et faisant ensuite c = o, elle devient Téquation exacte de cette courbe dans le vide.
D'après l'équation gdt* = — djcdp du n** 21 2, et la valeur précédente de ^ , on aura
dt = —r=J: e^'djc,
y 2gh cos «
et, par conséquent,
<= —J= (tf - ,);
C y 2gh cos et
ce qui fait connaître le temps t que le mobile ent" ploiera à parcourir une portion quelconque OM de la courbe OCD.
