Supposons que le projectile vienne tomber

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4i3

sur le terreîn en un point D; représentons par A rabaissement de ce point au-dessous du plan horizontal, mené par le point O, ou la perpendiculaire DQ à l'axe Ox; soient aussi / la distance OQ^ et r le. temps employé à aller du point 0 au point D* nous aurons , à la fois ,

<x: — If J = — ^f t = r;

et en remplaçant, pour plus de simplicité, cos* a par Funité dans les formules précédentes^ il en résultera

8c*h ( A + / tang a ) = e"' — 2cl

t tang et ) = e"' — acl^^t, | Tcv/âg^sse*'— I. } ^^^

Lors donc que les deux constantes A et c seront données, et qu'on aura mesuré l'angle a et Téléyation A du point 0 au*dessus du terrein , ces équations feront connaître la portée horizontale Z, et la durée t du trajet du projectile. Réciproquement, quand on connaîtra a, A , l, r, par des mesures directes, ces équations pourront servir à déterminer le coefficient c de la résistance, et la hauteur h due à la yitesse initiale. En éliminant A, on a

4(A + / tang <t) (e^' — I.)' = gT»(e*''— -acZ— i) ;

équation d'où l'on tirera la valeur de c : l'une des deux précédentes donnera ensuite immédiatement la valeur de h.

Il existe encore de l'incertitude sur les grandeurs* des portées et des vitesses initiales. D'après Lombard, pour un canon de ai/^. chargé au tiers du poids du boulet^ la vitesse initialerest de 4^5 mètrea par se-»

4i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

conde ; et pour un canon de 12, dont la charge est aussi le tiers du poids du projectile y cette ritesse s'élève à 494 mètres. Suivant le même auteur^ les portées correspondantes et relatives à X = o , sont 700 mètres dans le premier cas , en supposant 06= i* iS' 6", et 660 mètres dans le second^ cas y en supposant ot=i*5'36".

Au lieu du temps r^ on pourrait employer à la détermination de h et de c, une seconde portée do même canon à une élévation différente au-dessus dn terrein. Ainsi , en supposant que le poids du projectile, celui de la charge et l'angle a ne soient pas changéS| les quantités h et c resteront aussi les mêmes; et si A et /deviennent A' et l\ on aura

8c*A ( A'+ /' tang a) = e^^ — ac/' — i ;

d'où il résultera

(K + l tang cl) (e"'' — 2cV — i)

s=(V + /'tangrt) (e**'-.2cZ — i), (b)

en éliminant h au moyen delà premièi^ équation (a). Les auteurs de Balistique ne sont nullement d'accord sur la grandeur du nombre n qui entre dans Feipression du coefficient c , savoir (n^ 210),

^ ~ Dr

D*api^ une théorie très imparfaite de la résistance des fluideSyCe nombre n serait |; mais toutes les expé* rieneès le donnent plus petit , et Lombard le fait ^d a ^. L'é^àtion {b) fournirait le moyen le plus su^

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4ir>

ceptible de précision pour la détermination de r, en supposant bien connu et invariable y langle de projection m.

% II. Maui^ment des planètes.

ai7« Les lois du mouvement des planètes autour du soleil sont connues sous la dénomination de Lois de Kepler, parce qu'elles ont été découvertes par cet aftronoaie , qui les a déduites de Fobservation. Elles ioat ao nombre de trois , dont voici les énoncés :

!•• Les planètes se meuvent dans des courbes planes y et leurs rayons vecteurs décrivent ^ autour dn centre du soleil^ des aires proportionnelles au temps.

a*. Les orbites, cW-à-dire, les trajectoires des planètes, sont des ellipses dont le soleil occupe un des foyers.

S*. Les carrés du temps des révolutions des planètes autour du soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

Tonte leur importance n'avait pas d'abord été com-* prise; cest Newton qui en a montré l'usage ponr déterminer la force qui retient chaque planète dans son orbite, c'est-à-dire, la direction de cette force et les Tariations de son intensité , soit d'une position à une autre d'une même planète , soit d'une planète à une antre. On verra , en effet, dans ce paragraphe^ qne chacune de ces trois choses est une conséquence nécessaire des trois lois du mouvement planétaire qne Ton vient d'énoncer.

4i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Ces lois se rapportent au mouvement da centre de gravité de chaque planète; c*est le mouvement deœ point que nous allons considérer j et quand il sera question de la position ou de la vitesse d*une planète, il faudra entendre là position ou la vitesse de son centre de gravité.

218. Soient ÂMBD (fig. 5^ ) lellipse décrite par une planète, AB son grand axe, C son centre , 0 et 0' ses deux foyers, 0 celui qui est occupe par le centre du soleil , B le périhélie ou le point de Toièite le plus rapproché de 0, A V aphélie ou le point le plus éloigné du soleil.

Au bout du temps t qui sera compté à partir da passage de la planète à son périhélie, soit M sa position sur l'orbite. Désignons par r son rayon vecteur OM, et par 9 langle MOB que Ton appelle, en Astronomie , V anomalie vraie. Le secteur décrit par ce rayon pendant l'instant dt sera ^ r* rfÔ (n* i56); d'après la première loi de Kepler, on aura donc

r»cf9 = cdt; (i)

c étant une constante égale au double de Taire décrite dans l'unité de temps, et ^ct le double de l'aire BiOB décrite dans le temps quelconque ti

Soient aussi

OTVIi=r', CB = CA = û, CO = CO' = ae! D'après une propriété de l'ellipse , on aura

r + '*' = 2a; dans le triangle O'MO , on a aussi

DYNAMIQUE, PREMIÈRB PARTIE. 417

/* z=z r^ -i^ 4me cos fl 4" 4^*^î et si l'on élimine r^ entre ces deux équations , il vient

1 + ecosô'

pour réquation de la trajectoire.

Pour toutes les planètes connues avant ce siècle p V excentricité e est une fraction très petite ; celle de Forbite de la terre est

e = o^oi6853i8|

ou , à peu prèS| un soixantième. La plus grande éfait celle de Mars, qui surpasse neuf centièmes; c'était donc pour cette planète que le mouvement elliptique devait être le plus différent du mouvement circulaire excentricpie^ que Ton adoptait avant Kepler; et c'est, en effet , dans les observations de Ticho-Brahé , relatives à cette planète, que Kepler a reconnu d'abord la différence de ces deux mouvemens. Si Ton développe les valeurs de r et 8 , en séries ordonnées suivant les puissances de e , au moyen de Téquation des aires proportionnelles au temps, jointe à celle de la trajectoire elliptique ou a celle de la trajectoire circulaire excentrique , on trouve que pour un même temps tf les développemens correspondans k ces deux courbes , ne diffèrent que dans les termes qui dépendent du carré ou des puissances supérieures de e ; circonstance qui rendait , a Tépoque de Kepler, la différence des deux mouvemens très difficile à découvrir.