Si l'on appelle T le temps de la révolution
4i8 TRAITÉ DE MÉCAISIQDEL
d'une planète^ et qu'on fasse
cette coostante n sera la vitesse moyenne angulaire, et nt le moyen mouvement de la planète.
Imaginons un astre fictif dont le mouvement soit uniforme, et qui parte du périhélie et achève sa révolution en même temps que cette planète; son rayon vecteur décrira l'angle nt , pendant que celui de la planète décrit l'angle 0; l'angle 0 — nt, compris à une époque quelconque entre ces deux rayons, est ce que les astronomes appellent \ équation du centre : il est positif, et la planète précède l'astre fictif, en allant du périhélie à l'aphélie ; le contraire a lieu en revenant du second point au premier. Le maximum de l'équation du centre dépend de la grandeur de l'excentricité.
En prenant le jour moyen pour unité de temps, et mettant Sôo"* au lieu de 27r, on a, relativement à la terre,
T = 365>, 256374, n = o^Sg'S^.
Cette valeur de T est la durée de l'année sidérale , ou l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux retours consécutif du soleil à une même étoile , cfiins son mouvement apparent autour de la terre. L'intervalle compris entre deux retours consécutif à un même équinoxe, est plus court, à cause que les points ëquinoxiaux ont sur Yécliptique un mouvement rétrograde, ou en sens contraire de celui du soleil.
En prenant 50^22427 pour la précession annuelle en 1800, et observant que le rayon vecteur du soleil emploie 0^,01 41 58, à décrire ce petit angle ^ il en résulte
pour la longueur de Tannée équinoxiale au commencement de ce siècle. L'année sidérale est constante ; mais la précession des équinoxes varie un peu, et, par conséquent aussi , Tannée équinoxiale : sa longueur diminue d a peu près une demi-seconde par siècle.
220. La constante c aura pour valeur le double de la surface de Tellipse divisé par T ; en observant que
le demi-petit axe est a V^' — ^% et la surface 7ra*v/7^--ë*, on aura donc
25ra* \/ 1 — e*
Au moyen de cette valeur et de celle de /i, l'équation (i) devient
r*cfi = na^i — e^dt.
L'équation (2) donne
9 = arc(cos = ''^'~^^^~'^,
dB — , ==;
par conséquent , on aura
- rdr
nadt s=
|/a*e» — {r — ay
4ao TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Pour intégrer ces formules , faisons
r = a(i — e cos u); {à)
nous aurons
dr ^=s aesinu, ndt = (i — e cos u) du;
à cause der = a(i — *6) au point B^ il faudra que l'angle u soit nul en ce point oii l'on a aussi le = o ^ en intégrant y on aura donc
nt =z u — esin«« (6)
En mettant pour r sa valeur dans celle de £2B , et observant que cos u s=s cos* 7 u — sin* ~ u, il en résulte
et si l'on fait
tangi«=ra, ^-^ = a^/z, cette valeur devient
En intégrant et observant que 0 et 2^ sont aséco en même temps , c'est-à-dire, au point fi, on aura
H=arc(tang = z \/\^i d'où l'on conclut
tengifl= y/j-±-f tangi«, (c)
en remettant pour z sa valeur.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4s i
Ces trois équations (a) , (b) , (c) , expriment , sods forme finie, les valeurs de r, nt, 9, au moyen de la variable auxiliaire Uf qu'on appelle Yanomalie excentrique. En éliminant u entre elles , on aura les deux coordonnées polaires r et 8 de la planète en fonctions du temps, sous forme de séries ordonnées suivant les puissances de Texcentricité , qui seront, parcohsé* quent, très^ convei^tttes dans le cas des anciennes planètes. Après qu'on aura formé ces séries, on y pourra remplacer les puissances de cos nt qui se trouveront dans le développement de r, et celles de sin ti^ que renfermera le développement de 9 — nt, par des cosinns et des sinus des multiples de nt. Si Ton conçoit qu'on ait ensuite ordonné ces dévelo{)pemens dti rayon vecteur et de l'équation du centre suivant les cosinus ou sinus des multiples croissans de nt, on pourra déterminer directement, par l'analyse suivante, les valeurs des coefficiens de ces deux séries en fonctions de l'excentricité.
