Je fais
r=Ao-|-A,cosnif+A.GOS37ï^-h* • .+A|COsm^+etc., fl — nt=^BtSinnt^B^sm2nt~\'. . •-|-B|Sinin^+etc,;
Ao, A, , A.j etc., B,, B», etc., et généralement A^ et B| , étant les coefficiens qu'il s agit de déterminer. Si / et i' sont deux nombres entiers positifs et différens , on aura , en effectuant les intégrations ,
f cos int cos i'nt rf. nf = o ,
/ sin int sin i^nt d.nt z=zo;
et dans le cas de iz=zi\ on trouvera
/cos* int d .nt z=z -TT.
sin* intd . nt = - ^.
Ces dernières formules ne s'appliquent point à i = o; dans ce cas , la première intégrale est égale à it^ et la seconde à zéro.
Cela étante je multiplie le développement de r par cos intd.nt, et celui de Q'^nt par sin intd.nt; puis j'intègre depuis nt z=z o jusqua nt =7r. Tous les termes s'évanouissent , excepté ceux qui ont A| ou B| pour coefficient , et l'on en conclut
A| = - / r cos int d.ntf
B| = / (fl ■ — ^0 ^^"^ ''^^ ^- ^^' Dans le cas de i = o, on aura^ en particulier,
Ao = - / rd.nt y
c'est-à-dire qu'il faudra réduire à moitié la valeur générale de A|* En intégrant par partie, et observant que 9 — nt est zéro aux deux limites 72^ = 0 et nt=:7rf l'expression de B| pourra être remplacée par celle 'Ci :
Bi =: — COS int d(p — nt).
Je substitue à la place de r, z;^, G, leurs valeurs
en fonctions de u , tirées des équations (a), (6), (c); à cause de
^3 %/ 1 — é" d.nt
-Y- = f -j— = X — e cos u ,
du I — e cos u' du
et parce que 2^ = 0 et u:=^'7C répondent a ni = o et 121=1^, il en résultera
A|= ~ / ( I — ecos u)* cos (/m — ie sfn ?/) <iè^ , Bi=T- / Ivi— e* — (i — ecosw)* — ^^ ^du;
iTjo*- ^ '-'i — e cos u '
formules qui feront connaître les valeurs numériques des coefficiens A| et B|, soit par la méthode des quadratures y soit par la réduction en séries. Pour cette réduction, oo aura, par le théorème de Taylor^
I sin'w4— ô/SÎn^w^-ctc. Vx)sitt
(le . \ .
lesini^ 5 sîn^w + etc. jsini>^;
et il en résultera pour Aj et B4 des séries d'intégrales relatives au, dont les valeurs exactes s'obtiendront toutes, soit immédiatement, soit par des formules connues; en sorte que Ton pourra prolonger ces développemens de A| et Bj aussi loin qu^on voudra. On pourra même obtenir leurs termes généraux en fonctions de / et de e ; mais ce n'est point ici le lieu d'insister davantage sur ce sujet, qui ap part ient spécialement à l'Astronomie.
Relativement à 1 = o , on a
4a4 tRAITÉ DE liÉCANIQUE.
Ao = - / (i — ecosuydu==:a{i +je^),
en ne prenant que la moitié de la yaleur de A^, qui répond à / ^ o : c'est le seul des coefficiens Ao» Al y A.y etc. y B, ^ B., etc., dont on puisse obtenir la yaleur exacte.
222. Si Ton appelle v la vitesse de la planète au bout du temps t, et J" Tangle que fait sa directioD avec le prolongement de son rayon vecteur r ou OM, on aura (n^ i56)
i^= — -— , i;eo«€r= r-j-.
En éliminant dt au moyen de l'équation (i), on a
En" vertu de l'équation (2) , on a aussi
I I + e CO8 é 'r __ e sin 6
d'où il résulte
a*(i — ^•)»i^ = (i + 26 cos fl -f- e') c*,
et , par conséquent ,
i;»3= -f 1), COScTrz:^ — .: (d)
ce qui montre comment, dans le mouvement ell^ tique, la vitesse et la direction du mobile en chaque
point se déterminent au moyen de son rayon yecteur. D'après la valeur de c du n"* imo^ celle de p* peut aussi être écrite ainsi :
Ces formules y jointes à celles des numéros précé* dens, font connaître complètement le mouvement d'une planète dans le plan de son orbite ; maïs quand on veut considérer à la fois les mouvemens de deux ou de plusieurs planètes ^ il est nécessaire de rapporter la position de chacune d'elles à un autre plan^ qui est ordinairement le plan de Vécliptique ou de l'orbite de la terre.
iq!^. Soient NON' (fig. 55) l'intersection du plan de l'orbite d'une planète avec un plan passant par le centre 0 du soleil , OE une droite menée dans ce second plan , OM' la projection du rayon vecteur OM de la planète sur ce même plan. Désignons par y l'inclinaison des deux plans, par ce l'angle NOE, par de l'angle BON que fait le rayon vecteur OB aboutissant au périhélie avec la droite ON. Ces trois angles ^7 y 9 ^9 devront être donnés , et ils détermineront le plan de l'orbite et la position de l'ellipse dans ce plan. Soient aussi ^ et 4 1^ angles variables MOM' et IVTOE , que fait le rayon recteur OM avec sa projection OM', et cette projection avec la droite OE , lesquels angles détermineront, à chaque instant, la direction du rayon OM aboutissant à la planète.
Cela posé, considérons l'angle trièdre qui a son sommet au point 0 ,. et dont les trois arêtes sont OM, OM', ON. L'anomalie vraie, ou l'angle MOB, étant
4a6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
toujours 8, les trois faces de cet angle .trièdre seront
MON = MOB + BON = 9 + a, M'ON= M'OE — NOE = 4 — a, MOM'= <p;
la première sera opposée à un angle droit ^ et k troisième à l'angle y. D'après les premières règles de la Trigonométrie sphérique , on aura donc
^^^/. , sin^ = sin^r sin(9 + û>),
tang (%{/ — «) = cos y tang {B + co) ;
et l'angle 9 étant connu en fonction de i^ , par ce qui précède y chacun des angles ^ et 4 le sera aussi , au moyen de ces formules.
Lorsque le plan donné sur lequel on compte Tangie 4/ est l'écliptique , et que la droite OE , à partir de laquelle on compte cet angle, dans le sens da mouvement de la terre , est celle qui va du soleil a Véqninoxe du printemps, les angles '^ et (p s'appellent la longitude et la latitude de la planète que l'on considère. La droite NON' est la ligne des nœiuis de son orbite; si elle entre dans l'hémisphère boréal quand elle traverse le plan de l'écliptique au point N, ce point est le nœud ascendant j et N' le nœud descendant. Selon que la planète se trouve dans cet hémisphère ou dans l'hémisphère austral^ la latitude (p est positive ou né- ^ gatîve, et l'angle MON, ou 6 + «, est plus grand ou moindre que i8o**. L'angle ^ s'étend depuis — 90* jusqu'à 90*, et l'angle MON, ainsi que la longitude M'OE, depuis zéro jusqu'à 56o'.
Si Ton remplace le point 0 par le centre de la terre , que l'on prenne l'équateur pour le plan donne sur lequel on compte l'angle -vP» ^t pour origine de cet angle la droite OE qui va de ce centre au premier point du signe aries^ les angles %[/ et ^ seront alors Yascension droite et la déclinaison de la planète. En appliquant les formules précédentes au mouvement apparent du soleil autour de la terre , on aura a:= o, y exprimera Vobliquité de l'écliptîque , et l'on devra prendre pour 9 + û) la longitude de cet astre ; d'où il résulte qu'en la désignant par A ^ on aura
sin (p = sin ^ sin A , tang %|/ = cos y tang A ^ et, en même temps,
. ^ sin y tans -J/ sm ^ = ^ ^
V^cos' y + tang* \J/
Les plus grandes déclinaisons boréale et australe répondent à A = 90^ et A = ayo*, et sont zt: y. Cet angle y est aussi celui que fait l'axe de rotation de la terre avec la perpendiculaire au plan de Técliptique; il est soumis à une petite inégalité qu'on appelle la nutation^ dont la période est d'environ 18 ans, et le maximum de 9^,4 seulement. Sa valeur moyenne, au commencement de 1800, était
elle diminue de o",4^%^ P^^ année.
224* Dans tout ce qui précède, on n'a point eu égard à la force qui agit sur chaque planète, dont le mouvement a été déterminé d'après les données de
l'observallon, et sans recourir aux principes de Is Dynamique; il s'agit maintenant de déterminer 1^ lois de cette force , ainsi qu'il a été dit précédenimeut (n° 217).
Il suit de la première loi de Kepler qae la force qoi retient chaque planète dans son orbite est constamment dirigée vers le centre du soleil ; quoiqoe celte conséquence nécessaire de la proportionnalité des aires au temps ait été déduite des équations du mouvement dans le n' i55, il ne sera pas superflu d'en donner ici une démonstration synthétique.
Soit M,M (fig. 54) le côté de la trajectoire que le mobile décrit pendant un temps r infiniment petit. Arrivé au point M, si aucune force n'agissait sur ce mobile, il décrirait, dans un autre temps t, une partie M/n du prolongement MT de M, M, égaJe 's M, M ; mais , à cause de la force à laquelle il est soumis, il se transporte, dans ce second instant, en un autre point M'. Soit MK la direction de cette force au point M; pendant le temps t, on pourra supposer qu'elle reste parallèle à elle-même, et alors si l'on lire la droite mM', elle sera parallèle à MK (n" i^jS)- Oi*, si C est le centre fixe autour duquel le rayon vecteur CM décrit des aires proportionnelles au temps, les triangles M,CM et MCM', qni sont les aires décrites dans deux instans égaux, seront équivalons; mais les triangles M,CM et MCm le sont aussi , puisqu'ils ont leurs sommets au même points C , et leurs hases M,M et Mm égales et sur une même droite ; les triangles MCm et MCM' sont donc équivalens; et comme ils ont une même bsse
MC, il faut que la droite mW qui joint leurs sommets soit parallèle à cette base; par conséquent, la droite MK , parallèle à mM', coïncide avec MC. Donc , en chaque point M de la trajectoire , la di-* rection MK de la force sera celle du ra^on vecteur MC; ce qu'il s'agissait de démontrer.
Réciproquement y si la force qui agit sur le mobile, au point quelconque M, est dirigée suivant MC f la droite mM' sera parallèle à ce rayon vecteur, les deux triangles M'CM et MCm seront équivalens, et , par conséquent aussi , les deux triangles M'CM et MjCM. Les aires décrites par le rayon vecteur autour du point C, en deux instans consécutifs et égaux, étant égales, et cela ayant lieu dans toute rétendue de la trajectoire , si la force qui agit sur le mobile est constamment dirigée vers ce point, il s'ensuit que les aires décrites en temps égaux seront égales, et, en des temps quelconques, proportionnelles à ces temps.
a2S. Soit, comme dans le n^ Ji8, M la position de la planète au bout du temps t ( fig. 5a ). Coiw servons toutes les notations de ce numéro ^ de sorte que r et 6 soient le rayon vecteur OM et l'angle MOB; désignons, en outre, par je: et 7- les deux coordonnées rectangulaires OP et PM , rapportées à des axes Ox et O^*, dont le premier passe par le périhélie B; nous aurons
jr = rcosfl, ^=:rsinô, x*+^* = r*.
Soit aussi R la force accélératrice, inconnue en grandeur, qui agit sur la planète. Cette force est diri-
43o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
gée , comme on vient de le voir^ suivant le rayon vecteur , et elle agit du point M vers le point 0 , à cause que la trajectoire tourne sa concavité da côté du soleil ; les cosinus des angles qu'elle fait avec
mm
les prolongemens de a: et x sont donc — - et
— - -; par conséquent, les équations du mouvement seront
En appelant toujours i^ la vitesse au point M, nous aurons
et, en différentiant ,
par conséquent y si l'on ajoute les équations (i) après les avoir multipliées par dx et dj-, et si l'on observe que xdx '\^ jrdjr z=i rdr ^ il en résultera
Mais y dans le mouvement elliptique , on a (n* 22^)
en faisant
4îr»a'
on aura donc
ce qui montre que la force qui agit sur chaque planète suit la raison inverse du carré de la distance au centre du soleil.
La grandeur de cette force est fJL à l'unité de distance ; soit ft' ce qu'elle devient pour une autre planète , dont le demi-grand axe et le temps de la révolution seront représentés par a' et T'; on aura de même
Or, d'après la troisième loi de Kepler, on a d'où il résulte
"râ ""^ T'î* ' ^ ""^ r^ >
par conséquent, à l'unité de distance, et, généralement , à la même distance du soleil , la force accélératrice R est la même pour deux planètes différentes.
La force motrice de cliaque planète est donc indé« pendante de sa nature particulière, et proportionnelle à sa masse, comme les poids à la surface de la terre. Elle varie d'une planète à une autre suivant la même loi que d'une position à une autre de la même planète ; et si deux planètes étaient situées à la même distance du soleil et abandonnées à elles-mêmes , sans vitesse initiale, elles tomberaient d'un même mouvement vers cet astre, et l'atteindraient dans le même intervalle de temps.
432 TRAITÉ DE BfÉGANIQUE.
Ainsi , les trois lois de Kepler nous font connaître complètement la force qui retient les planètes dans leurs orbites : la loi des aires proportionnelles ta temps nous fait voir que cette force est constamment dirigée yers le centre du soleil ; celle du monvemeot elliptique , ou Texpression de la vitesse qui se déduit de cette loi et de la précédente , nous montre que son intensité varie, pour une même planète^ en rtkoa inverse dq carré des distances au soleil ; enfin , nous concluons de la loi des carrés des temps des révolutions proportionnels aux cubes des grands axes , qui ég|ilité de distance au centre de cet astre, Tintensité de la force motrice est proportionnelle aux niasses de chaque planète , et indépendante de sa nature particulière*
226. New^ton a étendu aux comètes , dans leur mouvement autour du soleil , et aux satellites autoor de leurs planètes respectives , les lois de Kepler et les conséquences qui s en déduisent relativement à b force qui agit sur ces mobiles.
Les comètes 9 dans leur mouvement , ne différent des planètes qu'en ce qu'elles ne sont pas constamment visibles, à raison de leloignement de leurs apliélies ; ce qui rend très difficile la détermination de leurs orbites. Néanmoins , il y a maintenant tm comètes dont on connaît les orbites et les temps de leurs révolutions, presque aussi exactement que poor les planètes* A Tégard des autres comètes, on caknk leur mouvement par approximation» en prenant pour la trajectoire, dans la petite étendue où chaque comète est visible , une parabole dont le fojer est la l|
centre du soleil , et supposant toujours les aires décrites par le rayon yecteur autour de ce points proportionnelles au temps pour chaque comète. Ce cas . est compris dans les formules précédentes du mouvement elliptique , en y faisant
b désignant la distance périhélie OB, qui est une quantité finie.
Les masses des comètes sont très petites par rapport à celles des planètes et paraissent d'une tout autre nature. En vertu de la troisième loi de Kepler, les forces motrices de deux comètes, ou d une comète et d'une planète , à la même distance du soleil , sont entre elles comme leurs masses respectives , et leurs forces accélératrices sont égales; il en est de même à regard de plusieurs satellites d'une même planète , mais non pas relativement aux satellites de deux planètes difierentes, ou à un satellite et une planète; car la loi des carrés du temps des révolutions proportionnels aux cubes des grands axes n'a lieu que pour les corps qui tournent autour d'un même centre : nous ferons connaître par la suite le rapport qui existe entre les forces motrices de deux satellites appartenant à des planètes différentes, et entre celles d'une planète et d'un satellite.
Ajoutons encore que dans ces derniers temps on a étendu les lois du mouvement elliptique aux étoiles doubles, dans lesquelles un mouvement révolutif de l'une des étoiles autour de l'autre a été reconnu, et que leurs positions relatives, calculées d'après ces I. 28
loîs^ se sont accordées aussi bien qu'on pouvait Tes*
pérer avec leurs positions observées.
227. Examinons actuellement les altérations que la résistance d'un éther très rare répandu autour du soleil , produirait dans le mouvement elliptique des planètes. Leur non-sphéricité parfaite et le frottement du fluide contre leur surface, pourraient faire sortir le centre de gravité du plan de son orbite : on fera abstraction de ces deux circonstances; et il ne s'agira ijue de former les équations du roouvemcot de ce point , en ayant égard , à la fois , à la force centrale en raison invei'se du caiTé de la distance, et à une force tangentielle provenant de la résistance da milieu.
Je supposerai , comme dans le mouvement des projectiles dans 1 air, cette résistance proportionnelle au carré de la vitesse , h la densité du milieu et à la surface de chaque planète ; la force accélératrice qui en résultera sera , en outre, en raison inverse de la
masse du mobile; je la représenterai par p -1^ , en désignant par ds l'élément de la trajectoire, et par p un coefficient très petit et proportionnel, pour upe même planète, à la densité du milieu* En observant que cette force agit en sens contraire de la vitesse du jpobile, et représentant toujours la force principale dirigée vers le centre du soleil , par /f, à l'unité de dis-
I tance et par -^ à la distance r, les équations (i) devront être remplacées par celles-ci :
ds dx
ds dx ^
— ^dtdi* [
ds dr l
-^dtif ]
£q employant les coordonnées polaires^ on en dé** duit f sans difficulté , ces autres équations
di- "^f^'r — de 7(3)
qui en sont une transformation.
228* Lorsqu'on néglige leurs seconds membres, les équations (2) se réduisent à
et les équations (5) à celles-ci :
-^ — ^5 ^ — 2;cta,- = o, rf.r*rfB = o. (5)
On satisfait à ces équations (5) au moyen des formules (a), (i), (c), du n' 220; ces formules n'en sont pas les intégrales complètes, parce qu'elles ne contiennent que deux constantes arbitraires £X et e; mais si Ton fait attention que les équations (5) ne renfer-* ment pas explicitement les variables â et ^, et qu'elles contiennent seulement leurs différentielles {^ eidt , on en conclut que les formules du numéro cité devront encore satisfaire k ces équations, en ajoutant des constantes quelconques à ^ et fi. De cette manière, les intégrales complètes des équations (5) , et , par
conséquent, des équations (4)^ seront exprimées par
ce système de formules :
r = fl(i — ecosu),
tang^(6 — «) = v/rz-;*^"gi"î
a, e, e, a>, étant les quatre constantes arbitraires, et 71 une constante liée à a par l'équation
qui résulte de y = w, ^^ = ft, par TéliminatioD
de T.
Le zéro de la variable u répondra toujours à li plus petite valeur de r, ou au périhélie B (fig. 53). Pour M = o, on aura â = 6p ; de sorte que 8 représentera maintenant Tangle MOE, compté à partir d'une droite OE , qui fait un angle BOE = c» , avec OB. La valeur de fi en série sera de la forme
en désignant par 9| sa partie périodique, ordonnée suivant les sinus des multiples crpissans de yi< | c ■ <»« Cet angle 8 sera la longitude vraie de la planète dans le plan de son orbite, au bout du temps t quelconque; /i^-f-6 exprimera sa longitude moyenne au même instant, € sa longitude moyenne à l'époque d'où l'on compte le temps t, et cola longitude de son périhélie. 22g. Cela posé, quand on connaît les intégrales complètes d'un système d'équations différentielles comme les équations (4) , on en déduit les int^prales d*ttn autre système d'équations différentielles, telles
que les équations (2)^ qui ne différent des premières que par de très petits termes^ au moyen d'une méthode dont les géomètres ont fait les plus heureuses applications à la Mécanique céleste^ et que je vais exposer à l'occasion du problème qui nous occupe.
Les valeurs de x ely^ qui satisfont aux équations (4), sont de la forme :
y* et F indiquant des fonctions données. Pour que ces valeurs satisfassent encore aux équations (4) » j y <^onsidère^, e, i, œ, comme de nouvelles variables qu'il s'agira de déterminer. Mais ces inconnues étant au nombre de quatre , et les équations (2) seulement au nombre de deux , je peux prendre à volonté deux équations auxiliaires ; et je fais, en conséquence ,
dF dF dF dF ' ^^
-T-da+'j-de'i^ jrde + —dû? = o,
da ' de * at do '
OU, autrement dit, j égale à zéro les parties de dx et dj', provenant des variations de a, e^ €, C7 De cette
manière , les valeurs complètes de ^ ^* ^ ^^^^
dx ^ 4r ^
simplement
di '^ Ir ^ "^ dî' En différentiant de nouveau , on a
^x à^f d^f da d^f de éff di d^f dm
dt^ — de ^'dtda dt '^dtde dt "** dtdi dt'^ dtdm dt '
^j- ^, j^^ 1^^^ . d^f dî . d^F dit
dF dë'^dldâdi '^didêH
dtdt dt^^dtdmdr
Or, par hypothèse, les valeurs précédenles de x et y satisfont aux équations (4) , en y regardant a, e, ^jdPf comme des constantes arbitraires, on a donc
d^f , ftx d'Y ^ fir
par conséquent, si l'on substitue les valeurs com"»
plètes de ^ et j^ dans les équatioos (2), on aura dtda ' dtde dldt ' didm ' dt dl ! , >
et ce système des quatre équations {b) et (c) servira à déterminer a^ e^ ê, c?, en fonctions de t.
25o. Cette substitution de quatre équations différentielles du premier ordre , aux deux équations (2), qui sont du second ordre, n'aurait, en général, au" cun avantage. Mais les valeurs de da, de, de, do^ qu'on tire des équations (b) et (c) , auront pour facteur le coefficient p de la résistance , qui est une très petite quantité; les parties variables de a, e, €, û?, seront donc aussi très petites ; et si Ton néglige le carré de p, on pourra considérer a, e, €, c?> comme des constantes, dans les expressions de ^r de, de, dcû ; ce qui réduira aux quadratures le calcul des parties variables de a, e, s, œ. Par la méthode des approximations successives, on obtiendra ainsi des valeurs de ces quantités , ordonnées suivant les puissances de p et aussi exactes que l'on voudn; nous nous arrêterons h la première puissance de f .
Les équations {à)^ après qu'on y aura substitué les valeurs variables de a^ e, i, g?, feront connaître^ comme dans le cas du mouvement elliptique, les valeurs de r et 6 en fonctions du temps. La trajectoire sera encore une ellipse, mais dont les élémens varieront continuellement. Si Ton suppose que Ton construise à chaque instant rellipsé constante qui répond aux valeurs des élémens à ce même instant, les ordonnées X eijr ^ et leurs différentielles dx et dj-, seront communes, en vertu des équations (b), à cette ellipse et à la trajectoire, qui sera, par conséquent, la courbe de contact de toutes les ellipses constantes. Far la même raison, la vitesse du mobile et ses composantes auront les mêmes expressions, et seront déterminées par les formules (d) du n^ 222, dans le mouvement elliptique et dans le mouvement altéré par la résistance du milieu.
23t. Observons qu'on a identiquement
nt = fndt -f- ftdn;
en comprenant /2^^/i dans l'inconnue €, ou pourra donc écrire ainsi :
fruit + € — G) :=: u — e sinu, (d)
la seconde équation (a). Alors, en même temps qu'on changera, dans les équations du mouvement ellip* tique, les constantes a, e, e, co, dans leurs valeurs variables, il y faudra remplacer nt par l'intégrale fndt, que nous supposerons nulle quand ^ = o« La quantité /^ qu'elle renferme se déduira de a, au
44o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
moyen de la formule
domiée par réquation a^n^ = /t du n® 338. Cette intégrale fndt exprimera le moyen mouvement de la planète (n"" 219), altéré par la résistance du milieo; et, de cette manière, la différentielle du moyen mouyement sera ndty dans le mouvement troublé comme dans le mouvement elliptique.
Au périhélie^ l'angle 6 — (o est égal à zéro ou à un multiple de 560"*; en vertu de la première équation {a\ il en sera de même à 1 égard de l'angle u; donc , pendant l'intervalle de temps compris entre deux passages consécutifs de la planète à son périhélie, la quantité fndt + é — a augmentera de 36o*; ce qui servira à déterminer cet intervalle , quand on connaîtra /i, £, » en fonctions de t. Le temps de la révolution , ou l'intervalle compris entre deux retours consécutifs de la planète au même point fixe, sera celui qui répondra à un pareil accroissement de sa longitude vraie 0.
232, Nous pouvons remplacer les équations [h] et (c) par d'autres équations équivalentes, desquelles il sera plus facile de déduire les valeurs de ^, de, de, d(o.
Pour cela, observons que si une équation quelconque
(p (nt, r, ^f a, e, ê, r*>) = o ,
a lieu dans le mouvement elliptique , elle subsistera encore dans le mouvement altéré par la résistance da
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 44i
milieu ^ en y regardant a^ e, ê, œ^ comme des variables déterminées par les équations {b) et (c) , et y mettant fndt à la place de ni. La diflTérentîelle de la fonction f sera donc nulle , soit qu'on la prenne, dans le premier cas, par rapport à /i^, r, 9; soit qu'on la prenne, dans le second cas, par rapport à fndtj r, fi, a, e, é, C7; or, r et 6 étant des fonctions de or et^, leurs différentielles sont les mêmes dans les deux cas , en vertu des équations (i) ; par conséquent, en supprimant^ dans la différentielle complète de ^, la partie j^ rf.w^ + ^rfr+^rfô, qui est séparément nulle , on aura
^a^4. ^^de +^di + ^da, =o.
aa * de * dt dm
Cela posé, après avoir mis dans Téquation (2) du n® 218, 9 — G) à la place de 9» on en déduit
r + recos(9 — co) = a(i — e*);
en différentiant, comme il vient d'être dit, on aura donc
rcos9rf.ecosfi7-f- rsinô^/.esinc7 = rf.a(i — «•)• (c)
Je différentie de même la première équation {a) et l'équation {d); ce qui donne
(i — ecosu)da — a cos ude + ne sm udu = o, de — dco 4- sinise — (i — ecos u)du = o,
en considérant u comme une fonction de a, e, 6, co. J'élimine du entre ces deux équations; il vient
(i-^-^cosuyda'^a[e — cos w)rfe+fle sinu (di — db)=o. Mais, en mettant dans les formules
