I -<- tane* iu • a lang i u

COSI£= " 7 . smu =: 2-^ ^

^woc* i + tang»iM' ^ i + tang'itt'

à la place de tang \u ssl valeur donnée par la troisième équation (a), on a

c + co8(e — ») • l/(i — e*)8in(9— if) cos K= — J- ^7" { , sm {^ = — i-j '—r^ — —i;

au moyen de quoi Téquation précédente devient

,' .fl V — ûcos(8— •)^cH ^ (A —€£•) = o. (/)

i+ccos(fl— i») ' * j/i e*

Ce que nous disons relativement à Téquation f :=0y s'applique également au cas où la fonction f renferme les différentielles premières de r et 9. Ainsi , Ton a, dans le mouvement elliptique ,

dr" + r*ifâ»

en mettant V^^ au lieu de aVi dans la valeur de r*d8 du n^ 1220 : or, les différentielles dr et dQ, ainsi que r et 9 , restant les mêmes lorsque a, e, é, cà, deviennent variables , il s'ensuit que ces deux équations subsisteront encore dans cette hypothèse ; cela étant, en comparant leurs différentielles complètes aux éqoa* tions (3) du n^ 228 , on en conclut

d. \^a{ I -^ e») = — p \^a{i — e^jds.

Maintenant , on tirera facilement des quatre équations (e), (y), (g), les valeurs de da, de, dê^dcû; en y mettant pour r sa valeur, savoir,

1 + e cos (ô — • I») '

afin de les exprimer en fonctions de l'angle 6 seulement, on trouve

da = 3^ [i + ae cos ( ô — û> ) + e^l^ds,

de = — 2p [e + cos ( ô — « )]c&,

edcû=z — ap sin ( fl — co )ds , '^^

, a^esin(9 — 1») [v/i— •«• — c* — ecos(6 — #)]

■" "* [i+e cos (9 — •)] (,+v/rirp) •

La valeur de ds qu'on devra substituer dans ces formules, est

ds

et en y substituant celle de r, elle devient

j^ __ fl(i — e*) y/i + 2e cos ( e — <# ) + e* ,Q

[ i + e cos ( Ô — • ) ] *

On intégrera les seconds membres des équations (A), en y considérant a, e , e, (d, comme des constantes, ainsi qu'il a été dit précédemment ; et quand le coefficient p sera donné en fonction de r, et conséquemment de 9 , on en déduira , par la méthode des quadratures ou par la réduction en série, les valeurs variables de a, e, e, g? , qui devront être substituées dans les équations du mouvement elliptique.

^ — !i33. Si rexcentricitë e est une très petite fraction, les formules (h), réduites à leur partie principale, deviendront

daz= — 2p a^dd, cte = — 2pa cos ( ô — a? )d8, edcû = — 2fa sin (ô — c?)^ô, dé=2pae sîn (ô — o^fl;

et Ton y pourra considérer le coefficient p comme constant. En intégrant et désignant par eTa, J'e, cTo, J^£, • les parties variables de a, e, é, g?, on aura donc

Sa = — ^pa^èy J^e = — 2pa s\a[d — g?), ej^ro = 2p£Xcos(9 — rt?), J^£ s= — 2faecos(9— û?).

Si Ton exprime par J)n la partie correspondante de n,

ou de y-f de sorte qu'on ait

aya

/„ = ^^«Ta,

il en résultera

J^n =s 3p/zn6.

On voit donc que Feffet de la résistance d'un mi* liea très rare sur le mouvement d'une planète très pen excentrique , serait de faire décroître indéfiniment le grand axe , d'augmenter de même la vitesse anga^ laire n ^ et de produire dans chacune des trois quantités €f €û, e, une inégalité dont la période est la même que la révolution de cette planète. Non-seulement le mouvement angulaire s'accélérerait de plus en plus, mais même la vitesse absolue ; car elle est à peu près

égale a an; son accroissement est donc aj'n^ nJ^a; quantité positive et égale à fo^rA.

En négligeant tout-à-fait Texcentricité, on a

r == a, fl = /ndt + 6;

si donc on désigne par J^r et J^â , les parties du rayon vecteur et de la longitude qui proviennent de la résistance du milieu, on aura, au même degré d'approximation ,

cTr = — 2pa*fl, cTÔ = ipa6\

En vertu de cette diminution continuelle du rayon vecteur, qui s'élèverait à 4^pa* à chaque révolution de la planète, elle finirait nécessairement par atteindre la surface du soleil.

Au reste , s'il existe dans Tespace un éther qui influe sur le mouvement des astres, c'est sur les comètes que cette influence peut être sensible, à cause delà petitesse de leur masse, et parce que, toutes choses d'ailleurs égales , le coefficient p est en raison inverse de la masse du mobile. Et , en efiet , on n'a reconnu jusqu'à présent aucune trace d'une résistance de l'éther dans le mouvement des planètes et des satellites ; mais d'après les calculs de M. Enke, cette résistance parait influer d'une manière appréciable sur le mouvement de la comète récemment découverte, dont la révolution est d'environ 1:200 jours.

§ III. Mouvement dun point matériel soumis à une

force centrale.

2 54* Le problème que nous allons résoudre est rinverse de celui du paragraphe précédent : on supposait alors la trajectoire et la loi du mouvement données par Tobservation ^ et il s^agissait de déterminer en grandeur et en direction^ la force à laquelle ce mouvement était du; maintenant, on suppose qu'une force constante dirigée vers un centre fixe, et donnée en fonction de la distance du mobile à ce point , est appliquée à ce mobile , et l'on propose d'en conclure la trajectoire et la loi du mouvement.

Cette courbe DMB ( fig. 55 ) sera comprise dans le plan passant par le centre fixe C, et par la direction DA de la vitesse initiale. Je mène dans ce plan et par Iq point C, deux axes rectangulaires Gr et C;^, dont le premier passe par le point de départ D du mobile, et qui seront les axes des coordonnées. Au bout da temps ^, compté depuis ce départ, je suppose que le mobile soit en M , et je désigne par ^ et^ ses coordonnées CP et PM , par r son rayon vecteur CM, et par R sa force accélératrice , dirigée de IVf vers C et donnée en fonction de r; les équations du mouvement seront

et si la force R était dirigée suivant le prolongement de CM , il suffirait de changer les signes de leurs seconds membres.

On en déduit immédiatement les deux intégrales premières

dans lesquelles 6 et c sont les constantes arbitraires ; et si l'on appelle 6 l'angle MCr, de sorte qu'on ait

X = rcosfl, / = rsinfl,

ces intégrales deviendront

r^d& = cdt, ^!l±^ = ^2fKdr+b; (2)

d'où Ton déduira des valeurs de dû et d& , de la forme

dt =:frdr, dB = Frdr,

qu'il ne s'agira plus que d'intégrer exactement ou par approximation •

En éliminant dt entre les équations (2), on a

pour l'équation différentielle de la trajectoire. Si l'on appelle if la vitesse du mobile au point M , on aura

i^* = 6 — 2fRdr; (4)

et en représentant par J" l'angle que sa direction fait avec MC , ses composantes seront

i^ cos cT = — ^, i^ sm cT = rj,

suivant MC et suivant MH perpendiculaire à ce rayon Tecteur.

448 TRAITÉ DE MÉCArilQUE.

Les deux constantes 6 et c ^ et celles qui seront introduites par l'intégration des valeurs de dt et iJB, se détermineront d après la position et la vitesse initiales du mobile. Pour cela, je représenterai par y la distance initiale CD ^ par cl l'angle CDA qui pourra être aign ou obtus, et par h la hauteur due à la vitesse initiale,

de sorte que cette vitesse soit \/2gh , en appelant ç la gravité. Si l'on suppose que l'intégrale f^^dr^ qui entre dans les formules précédentes , soit nuUe quand r = 7, on aura d'abord

h — 2gh,

d après la valeur de (^*. En vertu de l'équation r^c^ = cdt , la valeur de (^ sin eT est la même chose

que -; par conséquent, nous aurons

c szz y \/2gh sin a.

Quant aux deux autres constantes arbitraires , on les déterminera de manière qu'on ait 6 = 0 et r = y quand ^ =: o, et le problème sera complètement rtôolu.

235. Lorsque la force R est proportionnelle à la distance r, les variables x eijr sont séparées dans les équations (i), et l'on n'a pas besoin de recourir aux coordonnées polaires et aux équations (3).

Soient , en effet , k la valeur de R qui répond a r = >, et

sa valeur générale. Les équations (1) deviendront

y au

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 44g

d^x kx d*jr kjr

'dF ^* 'dF ^T'

et leurs intégrales complètes seront

X = A cos ^ %/— + A' sîn 1 1/— ,

A, A', B^ B', étant les quatre constantes arbitraires* Pour les déterminer^ on a, diaprés les suppositions précédentes,

quand ^ = o ; d'où il résulte

A = >, A'y^— = — s/âgAcosa,

B = o, B'i^— =^ V^agAsina, et f par conséquent,

x = >(cos^ ^i - v/^ cos^^sin ^ y^i),

^=^> V ^ ^" "" ^'° ^ vices formules nous montrent que les révolutions du mobile autour du point C seront isochrones, et leur

durée commune égale à a^r i/~. On en déduit

>sinasinfv/^=7/^,

fk y sin a, cos tu- = a:sina+^ cos a ;