I. àg
45o TRAITÉ DE MÉCANIQDE.
d'où il résulte
^ J* + (xsîna + jr coscty ^ y^sin^a,
pour réquation de la trajectoire , qui est , comme od yoit^ une ellipse dont le centre est au point C. Pour que celte ellipse soit un cercle, il faut qu'on ait a=go* et k}^ = 2gk. Dans ce cas, le mouvement est uniforme; car, d'après les valeurs de j: et^ , ou a
^ = - V?^sint/^.^=v/5^cost^;
ce qui donne \^yk pour la vitesse if, La force centraie R et la force centrifuge — sont constantes ti
toutes deux égales à A*.
Si la force R est répulsive au lieu d'être attractive, comme on l'a supposé, il faudra changer ^ en — k dans les formules précédentes. La trajectoire sera alors une hyperbole , et le mouvement cessera d être révolulif.
256. Prenons actuellement la force R en raison inverse du cube des distances , et représentons-la par
k étant toujours sa valeur au poiut D. Nous aurons, dans cette hypothèse ,
à cause que l'intégrale doit s'évanouir quand r^y*
DYNAMIQUE , PRJËIflÈRE PARTIE. 45i
En ayaat égard aux valeurs de & et r ^ et faisant .. .
y ' r de
l'équation (3) deviendra
2^ sih* « / 8ÎQ* M ^gh sin' m
Le coefficient de.j^* poprra être positif ou négatif ^uj^ fais, donc
. iy ^- ^
d^où il résulte
dz* , '
-jr- ± /i*z? = col* et zt /!•,
eif par conséquent,
i*-V*.«a est
y^.,^^.,.. .J.J l.^^,i^^i^,!LJ. ^«>^-, • ■ •
Dans le cas des sigiM^*supérieurSy on aura
nz
(nz \ • n K
et, dans le cas des signes inférieurs,
/iâ = log ; ; ,
en observant qu'on ar = 3^et2=i quand 6 = o. De la première valeur de lA , on tire
71S :^ cot a sin nâ + 0 <^<^ ^^»
.4Spt TRAITA ODE iMÉCANlQUE.^
Le maximum da ^ ou le minimum de r répond à la valeur de 0 , tirée de l'équation dz=iO, ou
lang wd = - cot ay pour laquelle on aura
cot^ia.
Aurdèlk de cette raietir de 6 , le ftiofcile s^<^ignén indéfiniment du point C , et son rayon vecteFfir Ysén infini , pour la plus petite valeur de â tirée de Téquation z=iO, ou
tang/i8 = — ntanga;
valeur que 9 ne "pourra atteindre qu après un temps infini. En mettant à la place de r, la 'v^étlt' de - dans
la première équation Qi^ on en déduira sans diflSculté, t en fonction dé 9.
Dans le cas de 1& valeur loga H tbtivîqtie de rA, on aura , en passant aux nombres et désignant par e la base des logarithmes = «lépériens ,
nz H- \/cot* a — • fi' -f- «*«* s=i (« -H- cot k)e j d'où Ton tire
z = - = —; (w + cot a)e -j (n — cot a)e ;
ce qui montre que r diminuera indéfiniment; en | sorte que k mobile décrira une spirale autour du 1
DYNAyiQX]£, PREBUÈEE PAKTIE. 453
point C , et atteindra ce point après un nombre infini de révolutions.
Si Ton (aft et = 90.^, pour simplifier , on aura
fi=- ^
pour l'équation de cette apirale. ha^ première équa-^ tion (2) devient
et, en mtegrant, on a
257. Pour dernier exemple, supposons, comme dans la nature , la force R en raison inverse du carré des distances ; de sorte qu'on ait
k étant Fintensité de cette force au point D^ pour lequel llntégrale est si^poeëe nulle.
Si l'on fait
l'équation (3) de la trajectoire deviendra c«^ = 2A>*p -, c-p»-; — Ç; d'où Ton tire
cdf
dB
En intégrant et désignant par fi> la constante arbitraire, on aura donc
0 =z= a> + arc ( cos = — ;^^=- ):
ce qui donne
ky^r = c» — r \/hy^— c*€ cos(fl — r,?), (a)
en mettant 6? -f- tt à la place de co , afin que ûi soit la valeur de â qui répond à la plus petite yalear de r, c'est-à-dire^ au point de la trajectoire où le mobile est le plus rapproché de C.
Pour en déduire Téquation de cette courbe en coor^lonnées rectangulaires, je fais
oc' =: r cos (9 — cd), f :£!s, rsin(fl — af)\
x' et y seront les coordonnée^ du mobile apportées
à des axes Cr' et Çt^', tels que l'on ait x'Cx =i9; on aura
et en élevant au carré les deux membres de l'éqnation (a) de la trajectoire, elle deviendra
Or, sous cette forme, on voit qu'elle appartient à une section conique, qui sera une ellipse, une para" bole ou une hyperbole , selon que la constante 6 sen positive, nulle ou négative. Oo voit aussi que, dans
tous les cas, le point C sera un foyer de cette courbe ; car, d'après 1 équation (a), le rayon vecteur r est une fonction linéaire de Fabscisse x; ce qui n'a lieu, dans les trois sections coniques, que quand l'origine des coordonnées est un de leurs foyers.
A cause de 6 = 2ghf on aura
il s'ensuit donc que le signe de €, el, par conséquent, la nature de la section conique qui sera décrite par le mobile , ne dépendra que de sa distance et de sa vitesse initiales, et nullement de la direction de cette vitesse ; en sorte que différens points matériels partant d'un même point D, avec des vitesses égales , décriront tous des sections coniques de même nature, quelles que soient leurs directions initiales. Si l'on a, par exemple, A: = g, la courbe décrite sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole , selon que la hauteur due à la vitesse initiale sera moindre que CD , égale à cette distance , ou plus grande.
338. Dans le cas de l'ellipse , l'équation (a) montre que la plus grande et la plus petite valeur de r, répondent à 9=6?+'^ et 6=«?; en les désignant par a(i + e) et a(i — e), de sorte que a soit le demi'-grand axe et e l'excentricité , on aura donc
{ky^ — \/A: V — ^•^) ^( ' +^) = c\
ou, ce qui est la même chose ^
Qa{i + é) = *>• + V/^V— ^^^ Qa{i—e) = ky — \/k^y^ — c't.
ri^j f'
Eq ajoutant ces équations et les multipliant membre à membre , il vient
Sa = ky% SaXi — e*) = c\
Si l'on y met pour ^ et c leurs valeurs
€ s= 2(ky — gh), c = y\/2ghsiaA, on en déduit
2{ky ^gh)a = hy\ |
ce qui £ait connaître le demi-grand axe et rexcentricité. On déterminera Tangle q en faisant, à la foiS| 6 ses o et rs=: 7 dans l'équation (a). Ainsi, les dimensions de l'ellipse et la position de son grand axe seront comfdètement déterminées , d'après la position , la yitesse et la direction initiales du mobile. Quant à son mouvement sur cette courbe , il est connu par les formules (a), {Jb\ {c)f du n* 220.
Le carré de la vitesse à un instant quelconque est, d'après la formule (4) du n* ^34 j
ou , ce qui est la même chose ,
à cause de la valeur qu'on vient de trouver pour a y et en faisant ky^ z=z /t, de sorte que jjl soit ici comme dans la formule du n* 225, Tintensité de la force centrale à l'unité de distance*
239. Il ne sera pas inutile de considérer en particulier le mouvement parabolique que Ton prend , par approximation ^ pour celui des comètes pendant la durée de leur apparition.
A cause que Ton a ^ dans ce cas ^ f =0 ou kyzzzgh , les équations (b) donnent a=oo et e=:i;ce qui a effectivement lieu dans la parabole. La formule (c) se réduit à
en appelant u la vitesse dans un cercle du rayon r^ on aurait , en vertu de la même formule ,
par conséquent , à distance égale du soleil y la vitesse d'une comète est à celle d'une planète qui décrirait un
cercle y comme y/n est à i •
En général , les équations {b) donnent
kya{i — e) (i + c) = %ghyûvL^<tj
en élevant au carré les deux membres de la dernière f et les multipliant ensuite par ceux de la première. Si donc on appelle p la plus courte distance de la comète au soleil , de sorte qu'on ait
p — a(i — e)y et qu'on fasse A^ = gA et e = i , on aura
p T=: y sin* a ;
ce qui détermine la distance périhélie , au moyen de
la distance et de la direction initiales du mobile, que Ton suppose connues.
Je fais ^ = o et A^^ = g[^ àans l'équation (a) , et j'y mets pour e* sa valeur 2gA;^*sin* a ; elle devient
r z=z 2y sin* a — r cos ( fl -*- fi>) ; d'on il résulte
I + cos ( 0 — • ; ' ^^
pour réquation de la trajectoire. Si Ton y fait fl = o et r = 5^, ou en déduit
y(i + cos fi?) = 2p, cosjâ? = sina;
ce qui détermine Tangle g? que fait le rayon vecteor du périhélie avec celui qui aboutit au point de départ du mobile.
Je substitue les valeurs de c et de r , dans la première équation {2) du n° 234, et je fais, pour abréger,
il en résulte
^^^ - = n \/\dt.
[l -f- COS (6 — m)'\
En observant que
I + cos ( 6 — rt> ) = 2 cos* i ( fl — û7 ) , et faisant
oa aura donc
d^ ndt
cos^4^ ^
d'où Ton tire , en intégrant et désignant par £ la constante arbitraire ,
( 5 + tang- 4 ) tang 4 + « = ^. ^^^^^ ^^^ ^
Va
Pour déterminer cette constante, on a, en même temps,
^ = O; 6 = 0, 4 = — ^^i et à cause de cos 7 ^ = sin a , il en résulte
É = (3 + cot* ^ cot *•
En appelant ^ le temps écoulé depuis le départ du mobile jusqu'à son passage au périhélie, on aura à la fois
^ = /', fl =: a?, 4 = ^^
et, par conséquent,
Su*
Cela étant , désignons par r le temps compté à partir de l'instant de ce passage, de sorte qu'on ait ^=/'4-t, nous aurons
[5 + tang*;(fl-û7)]tangi(fl — û>):== ^; (e)
en résolvant cette équation du troisième degré, on aura donc tang ~ ( 6 — a? ) en fonction de r, et , par
^6o TRAITÉ DE MÉCANIQtJE.
suite , r et 6 à un instant quelconque : le temps r sera positif après le passage au périhélie, et négatif ayant ce passage.
A capse 4e
ghy =: ky' = fA, »/> sin a = \/p, la valeur précédente de n est la même que
elle est donc , d après l'équation a^n* == /x du n* 228^ la vitesse nooyepne ^gulaii^ d^Qc planète dppi k demi^;rand axe serait égal kpi et si Ton appelle / celle de la terre et / son demi-grand axe, de sorte qu QU ^t
on en concli^ra
py/p
pour la valeur de n.
nlfi. Cette analyse montre qu'en considérant la détermination du mouvement d'une comète» oonHiie un prcAlème de dynamique , et supposant , en cobséquence , que sa position , sa direction et sa vitew initiales soient connues, on peut déduire de ces données, U distance/' du sommet de la parabole ï son foyer , l'instant du passage du mobile par ce sonn met ou la valeur de t'y et la position de Taxe dépendante de l'angle o ; les équations (c) , (d) , (c) , font
ensuite ;ÇpnQaUr€ la vitesse de la oomète et. sa posi^ tion sur sa trajectoire à ua instant qaelconi|tie ; >ei comme le plan de eett^ courbe est celm qui passe pvr le oeûtre da soleil et par la direction de la vitesse initiale, il s'ensuit que le mouvement est complète^ ment déterminé. Mus le problème astronomique est différent. Lorsqu'on découvre une coitièle, les obset^ vations ne donnent pas immédiatement le plan de son orbite, sa distance au soleil , sa vitesse et sa direction, a rinstant où elle apparaît; en sorte qu'en prenant sa position à cet instant , pour son point de départ , les constantes y, h, a, ne sont pas données comme dans le problème précédent. La question consiste alors à déduire des observations, les valeurs de cinq quantités , savoir : l'inclinaison de Torbite et la longitude de son nœud ascendant sur le plan de Técliptique, ce qui déterminera le plan de l'orbite ; la longitude du périhélie et sa distance au soleil , d'où il résultera la position de l'orbite dans son plan ; et , enfin , le temps correspondant au passage de la comète par son périhélie. Lorsque ces cinq inconnues sont déterminées , les équations (c), (rf), (e), représentent , comme précédemment, le mouvement de la comète dans son plan. Or, chaque observation de la comète donne son ascension droite et sa déclinaison; trois observations fournissent donc six données, et, par conséquent , six équations qui sont plus que suffisantes pour déterminer les cinq inconnues ; et cela permet de remplacer deux de ces équations par leur combinaison la plus propre à diminuer l'influence des er« reurs des observations. Les valeurs approchées des
46a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
cinq élémens qu'on vient d'énamérer étant ainsi conclues de trois observations faites à l'époque de l'apparition y les observations subséquentes servent ensuite à corriger ces premières valeurs et à vérifier les formules {d) et {e).
Nous ne pouvons qu'indiquer ici ce problème d'astronomie f dont il existe différentes solutions.
