CHAPITRE VII

DIGRESSION SDR L9ATTRACTIOJV CNIVERSiXXJS.

24 1 • Les points matériels de tous les corps s'attirent mutuellement^ en raison directe des masses, et inverse du carré des distances.

Cette grande loi de la nature , que Newton a découverte, est une conséquence nécessaire de Tobservation et du calcul. On peut voir, en effet, dans V Exposition du Système du Monde , comment, en partant de l'expérience, on est conduit, sans aucune hypothèse et par une suite de raisonnemens rigoureux , au principe de ^attraction universelle. Les développemens de ce principe sont l'objet spécial de la Méca^ nique céleste. Dans ce chapitre , nous nous bornerons à en exposer succinctement les principales consé^ quences.

2^2. La force qui retient les planètes dans leurs orbites, est la résultante de l'attraction exercée pai* tous les points matériels du soleil sur tous ceux de chaque planète. Vu la petitesse des dimensions du soleil et des planètes par rapport aux distances qui les séparent, on conçoit que ces attractions peuvent être regardées, avec une approximation suffisante, comme des forces parallèles et égales dans toute l'étendue d'une même planète ; leur résultante est aloi^ égale à leur somme, et la distance restant la même, la

force motrice de chaque planète est proportionnelle au produit de sa masse et de celle du soleil ; ce qui devient encore plus exact , à cause de la forme à peu près sphérique de œs deux corps , lorsqu'on prend pour leur distance celle de leurs centres de gravité

(ti^99)-

Supposons donc , pour exprimer numériquement

riutensité de cette force, que Ton premoie une certaine distance, par exemple., celle du soleil à la tarie, pour unité linéaire ; choisissons une masse et un intervalle de temps déterminés pour unités de ces deux sortes de quantités ; et prenons enfin pour nnilé de force , comme dans le n"" 1 1 8 , la force accélératrice constante qui produit dans l'unité de temps nnevitesse égale à l'unité de longueur. G>noevons mainteniot ^ux corps dont les masses soient égales à celle qu'on a prise pour unité , et qui soient placés à une distanee l'un de l'autre égale à l'unité linéaire ; soit y la force atipactive de l'un des deux corps sur l'autre, certà-dire , le rapport numérique de son intensité à ceOe de la force choisie pour unité ; soient aussi M et ai b masse du soleil et celle de la planète : la force motrice de la planète sera /Mm, a l'unité de distance^^t

deviendra ^ J^, à la distance quelconque r.

lia grandeur de la quantité que nous désignons par^^ dépend du pouvoir attractif dont la matière est douée ; ce pouvoir est le même , à égalité de masse et de distance, pour tous les corps de la nature; rtea^ jusqu'à présent, ne fait soupçonner qu'il augmtfiie ou diminue avec le temps ; et nous avons lieu de

penser qu'il à e'të et qu^l restera coostamniéiit le même.

n^^. La force motrice de la masse M, due à Tat^

traction de m , est aussi représentée par-^^— , de manière que la réaction de chaque planète sur le soleil est égale et contraire à 1 action de cet astre sur la planète; mais la force motrice •~;^ , agissant sur les

deux masses M et m^ leur imprimera à chaque instant des vitesses infiniment petites qui sont réciproijuement proportionnelles a ces masses, ou , autl^e-

ment dit , leurs forces accélératrices sont ^ et '^ — .

11 en résulte que si ces deux corps sont abandonnés, sans aucune vitesse initiale, à leur attraction mutuelle , ils s'avanceront l'un vers l'autre en parcourant, dans le même temps , des espaces qui seront en raison inverse de leurs masses; ils se joindront au centre de gravité de M et m, qui partage leur distance primitive en deux parties réciproquement propor^ tiounelles au)c masses.

En général, si la planète est projetée dans l'espace suivant une direction quelconque , et qu'on propose de déterminer son mouvement apparent autour du centre du soleil , regardé comme un point fixe , il faudra concevoir que l'on imprime à chaque instant à cet astre, une vitesse infinimetit petite > égale et contraire à celle qu'il reçoit de l'attraction de la planète ; itmis, afin de ne point altérer le mouvement relatif de ces demt corpÈ ^ il faudra ^ en mènie temps , imprimer cette vitesse à la planète; ce qui revient à

lui appliquer une force accélératrice égale et contraire à celle du soleil; donc, dans le mouvement dont il est question , la force accélératrice de la planète m sera constamment dirigée vers le soleil M , et

égale à la somme des deux forces *^ et '^ ; si donc

on firent l'exprimer par ^ , comme dans le n* 3^5, il faudra prendra

fjL = f{M + m).

Ainsi , Ton devra substituer cette valeur dans les différentes équations du mouvement elliptique qu^on a données précédemment; par conséquent, réquation

du n^ cité donnera

T étant toujours le temps de la révolution de la nbnète , et a le demi-grand axe de son orbite .

Le rapport -^ qui dépend , comme on voit , de la

quantité m , différera donc, pour deux planètes doot les masses sont inégales; en sorte qu'on ne peut passup poser qu'il soit rigoureusement le même pour tontes les planètes. Cependant les observations qui conduisent à la troisième loi de Kepler, prouvent que œ np port est sinon exactement , du moins à très peu près constant ; il en faut donc conclure que les masses des planètes sont très petites par rapport à celle du soleil;

T* ce qui fait que le rapport ~j du carré du temps au

cube de la distance moyenne varie très peu en passant d'une planète à une autre. La masse de Jupiter^ la plus considérable de toutes, est effectivement moindre qu'un millième tle la masse du soleil.

244* C^'est pour cette raison que l'attraction mutuelle des planètes ne produit que des perturbations^ ou très lentes, ou très peu considérables, dans le mou* vement elliptique dû à l'attraction du soleil. En effet, les masses de deux planètes étant m et m^, la force motrice dirigée de l'une vers l'autre , est exprimée

par ^^^-^ , à la distance p ; la force accélératrice de m

provenant de l'attraction de m^, sera donc *^'; et

comme la distance p ne devient jamais très petite par rapport à la distance r de m au soleil , il s'ensuit que si m^ est une très petite fraction de M, le mouvement de m produit par l'attraction solaire devra être fort peu modifié par l'attraction de m^.

Les perturbations planétaires peuvent doûc être déterminées par la méthode de la variation des constantes arbitraires, que nous avons expliquée précédemment ( n*" 229). Elles sont de deux espèces. Les unes consistent en des inégalités périodiques généralement très petites , dont les périodes comprennent des multiples peu considérables, en général, des révolutions de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Cependant, lorsque leurs moyens mouvemens approchent d'être conimensurables , ces périodes peuvent devenir beaucoup plus longues, et

les inégalités beaucoup plus sensibles. Ainsi ^ les moyens mouvemens de Saturne et de Jupiter étant à peu près entre eux comme 2et5 , Laplace a trouye qu'il résulte de l'attraction mutuelle de ces deuic planètes^ une inégalité dont la période est de gag ans, et dont le maximum est d'environ ^8' dans la longitude de Saturne , et d'à peu près ^o' dans celle de Jupiter.

Les auti*es perturbations des planètes sont : i*. les mouvemens pr(^^ressi(s du périhélie et des nœuds de leurs orbites, dans lesquels ces points parcourent la circonférence entière, en des temps extrêmement longs qui peuvent surpasser un millier de siècles ; a*, les variations séculaires qui affectent les excentricités et les inclinaisons de ces orbites , ainsi que les longitudes moyennes des planètes , dont les périodes scot SiQmblables aux précédentes , et dont les amplitudes , p€;u considérables , ne sont pas encore bien coniiues.

Mais tandis que ces divers élémens du mouvement elliptique varient simultanément en vertu de l'attraction planétaire , il est très remarquable que cette force n'altère aucunement les grands axes des orbites et les moyens mouvemens 46s planètes, qui seront ks mêmes à toutes les époques, ainsi que les temps des révolutions, liés aux grands axes par l'équation (i). Toutefois, les variations séculaires des longitnsdes moyennes en produisent de semblables dans les ifttervalles entre deux retours consécutifs à un même point fixe; elles sont insensibles dans le mouvement des planètes 9 mais non pas dans celui des satelliles, et particulièrement dans le mouvement de la lune, qui s'accélère, pour cette raison, de siècle en sic

La force accélératrice qui provient de l^attraction d'une planète m^ sur une autre planète m, étant indépendante de la masse m et proportionnelle à là massé m^y on conçoit que les perturbations dues à cette forte et observées dans le mouvement de m autour du sa* leil, peuvent servir à déterminer le rappoii de la masse m^ à celle de cet astre. Ainsi, par exemple , d'après la grande inégalité de Saturne, produite par l'action de Jupiter , on a trouvé la masse de cette dernière planète égale à 73^^ de celle du soleil. Nous indiquerons tout à l'heure un autre moyen che cal^ culer la masse des planètes, quand elles sont aocbm^ pagnées d'un ou plusieurs satellites.

Les comètes, à cause de la petitesse de leurs massée, ne fNToduisent aucun effet appréciable sur les planètes; mais leurs mouvement sont f tx>t4>lés par le& attractions planétaires, et l'on détermine «aussi par la méthode du n"" laiag, leurs perinrbations, qui kifluetit considérablement sur les époques de k réapparition de chaque comète, c-est-^dirô| sui^l'ioterVàlle de tempB compris entre deux passages consécutif à son périhélie.

245. Soient m' et mies masses d\in satellite et de sa planète, et / la. distance de leurs centres; la force motrice da Satellite, dirigée vers le centre dé la fdtt-

nète , sera aussi eiqprimée par*^^ à cette diàtancfe

r'; le'coefl5cienty*étant le même que précédemment. Bans son mouvement apparent autour de la planète, la forcé accélératrice du satellite aura pour eispression

^ , en faisant

Je représenterai par a' le demi-grand axe de lor^ bite da satellite, et par T' le temps de sa révolution; en . appliquant Téquation (i) à son mouvement, on aura

L! — Jî!

et si l'on divise ces deux équations membre à mcmbrei afin d'éliminer le cœtBcienty*, il en résultera

Or y si l'on excepte la lune , les masses des satellites sont très petites par rapport a celles de leurs planètes respectives : la masse d'un satellite de Jupiter, pr exemple , n'est pas un dix-millième de celle de cette planète ; on peut donc metti^ ma la place de m + m' dans cette dernière équation; et comme a^ a\ T, T, sont'des données de «l'observation , elle pourra servira déterminer le rapport do m à .M. Cest de cette manièi'e que Newton a trouvé pour la masse de Jupiter, Y^y de celle du soleil ; ce qui diûere peu de la fraction ^hro qu'on a obtenue depuis par un autre moyen. 346* L'attraction mutuelle des satellites d'une même planète, quand elle ena.pluîsîeurs, etrin^* lité d'Action du soleil sur chaque satellite et sur sa planète , produisent dans les mouvemens elliptiques des satellites , des perturbations analogues â celles que nous venons d'indiquer pour les planètes. Les perturbations provenant de l'action réciproque des satellites, font connaître les rapports de leurs masses à celle de la planète , dont l'attraction prodoit leur mouvement elliptique. Mais ce moyen n^anqnant

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4^t

pour la lune , on y supplée par d'autres considéra-* tions , pai^mi lesquelles je vais indiquer raction de ce satellite sur les eaux de la mer.

Soient C ( fig. 56) le centre de la terre, A celui de la lune, M un point quelconque du sphéroïde terrestre;, faisons

CA = a, AM = p, CM = r,

et appelons A l'angle ACM ; nous aurons

et si nous abaissons du point M la perpendiculaii*e MB sur la droite AC , nous aurons aussi

MB = rsinA, AB = et — rcosX.

Au point M, la force accélératrice provenant de Tattraction de la lune et dirigée suivant MA, aura

pour valeur -r^ , en désignant par m! la niasse du

satellite , et pary"le même coefficient que précédemment. Les composantes de cette force suivant la perpendiculaire MB et la parallèle MD à la droite AC, seront donc

fm'r sin A Jvt' a . fm'r cosx

Je substitue la valeur de p dans ces quantités ; et la plus grande valeur de r, c. est-a-dire, le rayon du globe terrestre, étant, à peu près, un soijcantième de CL, je néglige le carré de r; en faisant alors

finr 8În A ^ afin'r cos A »

les deux composantes de l-attraction lunaire seront

47a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

(p et*^ + <p'. Tous les points de la terre sont donc sollicités parallèlement à CA par une force constante et égale à*^ , et , en outre , par des forces Ç et ^'

dont la résultante varie en grandeur et en direction, d'un point M à un autre, et est nulle au centre €.

frn

Or, il est évident qu en vertu de la force*^-^, la masse

entière de la terre se portera vers la lune , d'un mouvement commun à toutes ses parties, sans que les points de la partie fluide changent de position-relative; c'est donc aux forces ^ et (p^ appliquées aux diffërens points de la mer, que seront dus le Jluoc et le rg/2kr produits par l'action de la lune.

La masse du soleil étant M , et a sa distance à la terre, si Ton d&igne, en outre, par ft, >{/, «>].', ce que deviennent A, ^, ^', relativement à cet astre, on aura de même

/Mr sin a* . , ^^^ 7,fHr cos ^

pour les composantes de la force provenant de l'action du soleil, qui concourent au phénomène des marées. En les comparant aux forces ^ et (p\ on voit que pour un point de la mer, dont le rayon vecteor r fait le même angle X ou /b6 avec le rayon vecteur de la lune ou du soleil, les actions de ces deux astres, qui produisent les oscillations de la mer, sont entre elles comme leurs masses, divisées par le cube de leurs distances au centre de la terre. Or, on conçoit que, toutes choses d'ailleurs égales, les grandeurs de

ces oscillations doivent être entre elles comme les forces correspondantes ; si donc on désigne par m- le rapport de la marée lunaire à la marée solaire , dans un même lieu de la terre et pour des positions semblables des deux ai^tres, on aura

équation dans laquelle on prendra pour a et a les distances moyennes de la lune et du soleil à la terre, et d*où Ton tire

m' tf3 M

en appelant m la masse de la terre.

D'après les lois différentes que suivent les marées lunaire et solaire , on peut, effectivement, distinguer les unes des autres, et déterminer leur rapport en chaque lieu de la terre. La moyenne d'un grand nombre d'observations , faites dans le port de Brest , donne (*)

pour la valeur de ce rapport. La distance a est, à très pea près y 400 fois la distance ce , et la masse M ^ comine-on le verra tout à l'heure, aussi à très peu près , 555ooo fois la masse m. Au moyen de ces valeurs, on trouve, d'après la formule précédente, la. masse de la lune égale à ^ de celle de la terre. Indépendanunent des oscillations de la partie fluide

(^ Mécanique céleste, tome Y, page ao6.

de la terre, les actions du soleil et de la lune prodot* sent encore, dans le mouvement du sphéroïde terrestre autour de son centre de gravité , à raison de sa non-sphéricité, des perturbations que nous ferons connaître lorsqu'il sera question du mouvement de rotation d'un corps solide.

2^7' On peut remarquer que la composante des forces <p et ^', suivant le prolongement ME du rayon CM , est ^' cosA — (p sîn A ; en sorte que sa valeur est

(2 cos* A — sin* A) "^§—3.

C'est la diminution de la pesanteur au point M, produite par l'action de la lune. Or, en supposant que M appartienne a la surface de la terre , et désignant par g la gravité en ce point ^ on a aussi fm = gr*, à très peu jprès; d'ailleurs, le mnximum de 2COs*A — sîn'A répond a Aso, et est égal à s. La plus grande valeur de cette diminution de pesanteur sera donc

-^; quantité à peu près égale à un huit-millionième

de g, en prenant 60 pour le rapport -. Pour que l'influence de l'action lunaire sur la longueur du pendule à secondes fût appréciable , il faudrait donc pouvoir porter l'exactitude jusqu'à la seconde décimale au-delà des cent-millièmes, où Ton s'arrête ordinairement dans la mesure de sa longueur. Cette influence produirait, dans la mesure du temps, une inégalité ré* glée sur le mouvement de la lune , dont le maximum ne s'élèverait qu'à un demi-centième de seconde en un jour.

343* Abstraction faite de la force centrifuge due à la rotation de la terre , la pesanteur que nous observons à sa surface est la résultante des attractions exercées par tous les points du sphéroïde sur chaque point matériel, laquelle résultante ne dépend que de la position et de la masse de ce point, et nullement de la nature du corps auquel il appartient ; c'est , en effet, ce que Texpérience a pleinement confirmé. L'intensité de cette force doit diminuer à mesure qu'on s'élève au-dessus de la surface de la terre; et c'est aussi ce qui résulte des observations du pendule, faites à différentes hauteurs. De plus, la pesanteur terrestre , diminuée dans le rapport du carré du rajon de la terre au carré du rayon de Torbile lunaire, doit être la force accélératrice qui retient la lune dans son orbite. Or, la distance du satellite étant, à peu près, 60 fois le rayon de la terre, il s'ensuit que la lune, si elle n'avait aucune vitesse , devrait tomber vers la terre, de la même quantité en une minute qu'un corps quelconque , dans le vide, en une seconde à la surface de la terre* Cette quan* tité n'est autre chose que le sinus verse de l'arc que la lune décrit sur son orbite en une minute, ou, à très peu près, le carré de cet arc divisé par le diamètre de cette courbe; et oondinë la circon^ férence de l'orbite est 60 fois celle de la terre , on en conclut que la quantité dont il s'agit est ^gale à

40 millions de mètres, multipliés par — ^^ en désignant par n le nombre de minutes que contient une révolution lunaire. Il faut donc, d'après la va-

476 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

leur de la gravité g qu'on a trauvëe par l'expértence du pendule , que ce produit soit à très peu près ëgal à 4%9^; ^^ trouve, effectivement, 4*,88 pour sa valeur, en observant que 13=: 39343. La différence serait encore moindre , en ayant ^avd à diverses circonstances dont nous avons fait abstraction pour simplifier la démonstration*

La pesanteur terrestre est donc un cas partieuKer de l'attraction universelle ; et, pour cette raison , l'on appelle aussi cette force générale la pesarUmr ou la gravitation unis^rseUe.

ri49* A^ cause que la terre s'écarte peu de la fbrme spbérique, l'attraction qu'elle exerce sur un point

de sa surface est à peu près ^9 comme celle d'une

Bpbère, en désignant par m sâa masse, par r son rayon, et par y le coefficient de l'attraction universelle. Cette valeur approchée doiît être tout -à* fait exacte pour les points appartenant à un certain ^ rallèle; et , d'après la théorie de l'attraction des spliéroïdes peu différens d'une sphère, œ parallèle est celui dont le carré du sinus de la latitude est |. S&r ce parallèle, la pesanteur a pour mesure g^,'fg^ (n^ 193); mais, pour l'égaler à l'attraction terrestre, il: faut préalablémeût FaugmentefT de la cooaposanie verticale de la force centrifuge , laquelle composante

est égale , sous ce parallèle, à la fraction 5 — ^ de U

gravité (n"" 178). Donc, en faisant

on pourra regarder cette valeur de la gravilé^ ainsi

modifiée 9 comme égale à l'attraction de la terre, et

poser réquatioD

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