TT

En la multipliant membre à membre par Téquation (i) du n® 3i(5, appliquée au mouvement de la terre autour du soleil , on en conclut

formule qui va servir à déterminer le rapport de la masse de la terre h celle du soleil.

Si Ton conçoit un triangle rectangle qui art pour base le rayon de* la terre , et pour hauteur sa distance au soleil^ le petit angle opposé à la base est la parais laxe du soleil , que Ton détermine directement par des observations astronomiques, et que Ton peut aussi déduire d'une certaine inégalité produite dans le mouvement de la lune par l'action du soleil , que l'on appelle l'inégalité parallactique. La grandeur de la parallaxe varie avec le rayon de la terre et son éloignement du soleil auxquels elle répond ; pour la distance moyenne a et pour le rayon r qui aboutit

au parallèle dont le sinus de la latitude est \/j , sa valeur est 8'',6o. On a, par conséquent,

^ = tang 8",6o, a = (23984)r.

Sous ce même parallèle, et en prenant -^ pour l'aplatissement de la terre , on a

pour son rayon. Le temps de sa rëirolution aatour

du soleil j exprimé en secondes , est

Au moyen de ces valeurs et de celle de g , qui suppose aussi qu'on a pris la seconde pour uoite de

temps, on trouve

25o. Le soleil est une sphère d'un rayon ^al a 110 fois celui de la terre; on connaît donc le rapport des volumes de ces deux corps et celui de leurs masses; d'où l'on conclut immédiatement le rapport de leurs densités moyennes : celle du soleil est , à peu près , le quart de la densité de la terre.

A la surface de cet astre, l'attraction est exprimée par

en appelant R son rayon. A cause de

R = iior, g = ~, cette quantité est la même chose que

(iio)*m'

et elle a pour valeur (2g,5)gr, d'après celle de

— . La durée de la rotation du soleil autour de son

axe étant de 25', 5, la force centrifuge à son équateur n'est que le sixième de cette force à Féquateur de la

terre. En négligeant donc la diminution qu'elle produit dans la pesanteur à la surface du soleil , on voit que le poids d'un corps à cette surface est 2g fois et demie le poids du même corps à la surface de la terre ^ et que les corps y parcourent à peu près 145 mètres dans la première seconde de leur chute. En appliquant successirement Fëquatioa (i) du n*" 243 à la terre et à une autre planète, et supposai»! que les quanti^ m, a, T^ relatives à la terre, de-r Tiennent m, , ^« , T, , par rapport h la planète, on eu conclura

a^ M+^m, IV

par rélimination de y*. Connaissant la valeur de a par l'observation de la parallaxe solaire, ou autre-* ment , ainsi que la masse m de la terre et la durée T de l'année sydérale, cette équation servira à déterminer la valeur du demi-grand axe a, d'une planète quelconque, lorsque sa masse m. et le temps T, de sa révolution seront donnés. Le procédé du n° ^45 pour déterminer cette masse, suppose seulement qu'on connaisse une valeur approchée du demi-grand axe. 25i. L'attraction exercée à la surface de la terre par une masse considérable, telle qu'une haute montagne, fera dévier les corps pesans de la direction verticale, et le prolongement du Jïl à plomb n'ira plus rencontrer le ciel au zénith. Il s'en écartera en sens contraire des deux côtés opposés de la montagne; en sorte que si tout est semblable de part et d'autre , pour la forme de la montagne et pour 1 eloignement du (il à plomb, la distance angulaire des

48o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

dettx étoiks par lesquelles son prolon^metit ira passer, sera double de sa déviation. Cet effet a été obseriré, par les astronomes, au Péroti et en Ecosse ; mais y à cause que les masses des plus hautes montagnes sont eilcok*e très petites, eu égard à la masse de la terre, les déviations dont il s'agit sont aussi tràs peu cbhsidérables , et ne s élèvent qu'à de petits nombres dé secondes. Voici un exemple du calcul de la déviation du fil à plomb, due à 1 attraction d'une masse donnée. ^ •

Soit A (fig. 57) le centre d'une sphère homogène, suspendue à l'extrémité d'un fil inextensible et iaflexible, dont l'autre bout est attaché au point fixeC; sôit aussi 0 le centre fixe d'une autre sphère homogène qui agit sur la première. Le Bl CA s'écartera de là verticale CB sans Sortir du plan passant par celte àtoift et la ligné CO; et, dans sa position d'équilibl^, il fetidra que la résultante du poids de la première sphère et de l'attraction de la seconde vienne passer par le point fixe C. Or, ces deux forces seront appliquées au point A , l'une suivant la verticale AD, l'autre suivant la droite AO ; et elles tendront a faire tourner le fil CA en sens opposés autour àû point C. Pour que leur résultante passe par le point 0, il fisiudra donc que leurs momens , par rapport à ce même point, soient égaux (n"* 46) ; par consé- <^ent , si l'on appelle P et Q le poids de la première sphère et l'attraction totale de la seconde , et que l'on désigné par p et q les perpendiculaires CE et CF, abaissées du point C sur les prolongemens de DA et de OA , on aura

pour l'équatioa d'équilibre qui devra servir à déterminer la déviation inconnue BCA.

J'appelle x cet angle , y Tangle donné BCO , a et c les distances aussi données CA et CO ^ et j- la distance inconnue ÂO ; nous aurons

J-* = rt* + ^* 2«CCOs(^ x),

et, en outre,

sinCOA= — '9 9= ^ 'y p=:asmx.

Appelons aussi m la masse de la terre, m, celle de la sphère mobile , m! celle de la sphère attirante. En désignant toujours par y* le coefficient de lattraction universelle, et représentant par r le rayon de la terre , les forces motrices P et Q auront pour valeurs

p fntmt ^ fin'm, ^

et si p est la densité moyenne de la terre, f' celle de la sphère attirante, et / son rayon, on aura aussi

Au moyen de ces différentes valeurs, l'équation Pp = Qff se changera en celle-ci :

frjr^ sinx = f'r^^csm(y — x),

où il ne restera plus qu'à mettre la valeur de^ pour en déduire ensuite celle de x»

48a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Je supposerai , ce qui a lieu généralement ^ la longueur CÂ du fil à plomb très petite par rapport à la distance CO. En négligeant a par rapport à c dans les valeurs de j- , on aura simplement jr;=ic; d'où il résultera

siii {y — x) prc

La densité p' et le rayon r' de la sphère attirante restant les mêmes, la valeur de a: que Toq tirera de cette équation sera d'autant plus grande que la distance c sera plus petite , et que l'angle y approchera davantage d'être un angle droit ; et comme c ne peut pas être moindre que le rayon r', il s'ensuit qu'on aura le maximum de déviation du fil à plomb que puisse produire Tattraction d'une sphère donnée , eo prenant c = / et 7/ = 90^5 ce qui réduit l'équation précédente à

tang X = î— .

Si l'on suppose , par exemple , p' = p , et qu'on demande quel doit être le rayon r' pour que la dévia* tion X s'élève à une seconde , on aura r's r tang i"; et , à cause que la circonférence a^rr de la terre est de 40 millions de mètres, il en résultera /=:3o",856.... Ainsi, une sphère homogène d'environ 3i mètres de rayon , et d'une densité égale à la densité moyenne de la terre , ne produit qu'une déviation d'une se^ conde au plus dans la direction du fil à plomb; et pour qu'elle la produise , il faut qu'elle touche l'extrémité inférieure de ce fil, et que son centre soit

dynamique;, première partie. 433

situé dans le plan horizontal passant par cette extrémité.

25:2. Cette moyenne densité de la terre, conclue de la déviation du fil à plomb que produit l'attraction des montagnes , a été évaluée à quatre ou cinq fois la densité de Teau. Cavendish la trouvée égale à cinq fois et demie cette densité , en la déduisant de Tattraction exercée par deux globes de plomb de hait pouces anglais de diamètre, qu'il a su rendre sensible par le moyen de la balance de torsiofi. Sans entrer ici dans tous les détails de cette belle expérience^ des diverses précautions qu'elle exige , et des calculs qu'il faut faire pour en déduire un résultat exact , je Tais seulement indiquer les points principaux de ces calculs (^).

La balance de torsion est l'instrument le plus exact que nous ayons pour servir à la mesure des forces très petites. Coulomb , à qui Tinvention en est due , l'a surtout employée à mesurer les forces d'attraction et de répulsion des corps électrisés; et, pour cette raison, elle est aussi connue, en Physique , sous le nom de balance électrique. Elle consiste principalement en un fil métallique très délié , vertical , attaché k un point fixe , et à l'extrémité duquel est suspendu on levier horizontal. Supposons ce levier formé d'une tige très mince ACÂ' ( fig. 58 ) , partagée en deux parties égales à son point d'attache C, et terminée

(*) On trouve dans le 17* cahier du Journal de l'École Pcijiechniquc une traduction exacte du mémoire de Ca- ▼endîtb.

par deux sphères d'un petit diamètre^ dont les centres sont A et A'. Du point C comme centre, et d'un rayon égal à CA, décrivons le cercle horizontal BAB'A', dont nous diviserons la circonférence en on grand nombre de parties égales. Lorsque le levier tournera autour du point C , ses extrémités A et A' parcourront cette circonférence, et les points de division auxquels ils répondront à chaque instant feront connaître les arcs qu'ils auront décrits. Tant que le fil de suspension qui aboutit an point C n'est pas tordu p le levier reste en repos dans une certaine position. Je suppose qu'il réponde alors à la ligne BCB'; si l'on vient à Técarter de cette ligne, pour le mettre dans une autre position quelconque ACA', le fil de suspension sera tordu sur lui-même, et cette torsion tendra à ramener ce levier vers la ligne BCB'. Pour le retenir dans la direction ACA', supposons que l'on applique à ses deux extrémités des forces égales et contraires , dirigées dans le plan horizontal , et perpendiculaires à sa longueur; la valeur commune de ces deux forces sera la mesure de la force de torsion qui leur fait équilibre. Or, les expériences de Coolomb ont prouvé que le fil de suspension restant le même, cette force de torsion est proportionnelle à l'angle BCA ; en prenant donc l'angle droit pour unité, appelant h la force de torsion qui répond à cet angle , et désignant par 0 l'angle BCA , cette force, dans la position ACA' du levier, sera égale à AO : ainsi , dans cette position , la torsion du (il de suspension équivaudra à deux forces égales à A9» horizontales, perpendiculaires à ACA% appliquées

aux points A et A', et tendantes à ramener le levier à la ligne de repos BGB^

Cela posé, approchons du levier deux sphères homogènes d'une même matière , d'un même diamètre, et symétriquement placées de part et d'autre de la ligne BCB\ Soient 0 et 0' leurs centres situés dans le plan horizontal qui contient le levier^ à égale distance de C , et sur une droite OCCK menée par ce point. L'attraction de ces deux corps va écarter le levier de la ligne BCB"; et, ù cause que tout est semblable autour du centre C, la droite ACA' tournera autour de ce point, qui restera immobile. A mesure que le levier s'écartera de la ligne de repos >. la force de torsion augmentera. Il existe une position dans laquelle cette force ferait équilibre à l'attractioa des deux sphères; mais comme le levier atteint cette position avec une vitesse acquise, il la dépasse , ' et il oscille , de part et d'autre , à la manière d'un pendule horizontal. L'observation fait connaître la durée d'une oscillation entière. En comparant la longueur de ce pendule à celle d'un pendule ordinaire qui oscillerait .dans le même temps, on eu conclut le rapport de la force d^attraction de chaque sphère à la pesanteur ; et , par suite , on a le rapport de la masse de cette sphère à celle de la terre. L'équation qui sert ù déterminer ce rapport est facile à former, ainsi qu'on va le voir.

255. Les deux sphères mobiles dont les centres sont en A et A', étant sollicitées par les mêmes forces , et ayaut le même mouvement autour du point fixe C , il suffira d^ considérer le mouvement du. centre de

l'une d'elles, du point A, par exemple; soient donc

comme dans le problème précédent^

CA = a, CO = c, BCO = >;

appelons w! la masse de la sphère attirante dont le centre est en O, ety le coefficient de l'attraction universelle ; au bout d'un temps quelconque t , désignons par d l'angle ACB , et par z la distance AO , nous aurons

a* = a* + £:• — 2ac cos {y — fl ) ;

et la force accélératrice provenant de Taitraction di-

rigée suivant AO sera ^^. Je la décompose en deux

autres forces , Tune dirigée suivant le prolongement de CA , et l'autre perpendiculaire à CA. Cette dernière

composante sera égale à "^ sin CAO , c'est-à-dire,

à '^--Y- sin ( T' — fl ), en y mettant pour sin CAO sa

valeur déduite du triangle COA. Si l'on retranche de cette composante tangente à la trajectoire , la force de torsion /2O qui lui est directement opposée , et si l'on observe que l'arc BA décrit par le mobile est égal à oO , on aura

éf*fl fnic . , ^ , ,fl

pour réquation du mouvement ( n** i52 ).

L'attraction de la masse ni étant une très petite force, l'angle ô dont elle écarte le levier ACA' de sa

ligne de repos sera très petit. En appelant b la dis* tance BO y ou la yalear de z qai repond à fi =: o , de sorte qu'on ait

6' = a' + c' — • :jtac co^ y f

et développant suiA^ant les puissance de 9 , il vient

sin (y — 9) sin > ., , , ,. . • n ô , ^^3 — ' z=z -p^ — [(^ + ^) ^^* > — ^^ — flcsinV] 75 +etc.

Si donc f on fait , pour abréger ,

[(a*H- c*) cos > — !^ac — ac sïn^y] ^^^ + h ==§:',

^'c sin y ^ ,

et qu'on néglige les puissances de 0 supérieures à la première , l'équation du mouvement deviendra

d'où l'on tire , en intégrant ,

e = f + A cos (^ y/? + *0 î

A et A:' étant les deux constantes arbitraires.

D'après cette valeur de 8, le plus petit et le plus grand écart du levier ACA', à partir de la ligne BCB', seront ff + A: et f — k; et , si l'on tire la ligne DCD', telle que l'angle BCD soit égal à ^ , le levier fera , de part et d'autre de cette droite y des oscillations égales et isochrones dont l'amplitude sera la constante k :

on déterminera l'angle € par rexpérience ^ en mesa* rant le plus petit et le plus grand écart du levier , et prenant , pour cet angle , la demi-somme de ces Yâleurs extrêmes de 0. La droite DCD' qui répond à d==£ est la position du levier dans laquelle il demeurerait en équilibre , s'il y parvenait sans vitesse acquise. Lai durée de chaque oscillation entière du levier, de part et d'autre de cette ligne , sera le temps pendant lequel l'angle t W^ +k' augmentera de 1 8o* ; en le désignant par T, on aura donc

et cette durée T sera aussi donnée par l'observatico.

Maintenant, si Ton appelle g la gravité, et / la longueur du pendule simple qui fait ses osdllatioos infiniment petites dans le temps T, on a (n"* 182)9

on aura donc

ga = g^l;

par conséquent , a cause de nous aurons, finalement,

m Cab^

m clr* sin y '

m étant la masse de la terre et rson rayon.

Toutes les quantités contenues dans cette formule ;ont connues dans chaque expérience; elle servira ionc à calculer le rapport de la masse m' à celle de la terre ; et connaissant, en outre , les volumes de ces Jeux corps et la densité de w!^ on en conclura la denûté moyenne de la terre.

254* On démontre, dans la Mécanique céleste , G[ue pour la stabilité de l'équilibre de la mer, il est nécessaire et il suffit que la densité moyenne de la terre surpasse celle de Teau. C'est parce que cette (condition est remplie , que les forces provenant des actions simultanées du soleil et de la lune ne produisent que de petites oscillations : si elle ne Tétait pas, et que la terre , par exemple, en conservant sa densité moyenne , fut recouverte par une mer de mercure , l'action des moindres forces étrangères au sphéroïde terrestre, produirait, dans ce fluide, un mouvement progressif, de sorte que la mer, au lieu d'osciller, parcoun*ait la surface entière de la terre.

On prouve aussi , par diverses considérations , que la densité des couches concentriques du sphéroïde terrestre doit croître en allant de la surface au centre ; d'où il résulte que sa densité moyenne doit surpasser celle de la couche superficielle; condition qui se trouve effectivement remplie ; car si l'on excepte les métaux, qui sont en petite quantité dans cette couche. les densités des autres matières dont elle est formée , sont toutes beaucoup moindres que cinq fois et demie la densité de l'eau. Mais il importe d'observer que cet accroissement de densité ne suppose pas l'exis-

teace de matières entièrement différentes de celles que nous voyons à la surface , et dont la densité propre serait excessivement grande : on peut admettre que toutes les couches de la terre sont formées d une même matière , un peu compressible , ou d'an mélange de différentes matières, comme à sa snr&ce; et dans cette hypothèse , qui parait la plus naturelle » leur accroissement de densité serait dû à la condeosation produite , dans chaque couche, par la pression des couches supérieures , qui va en augmentant de la surface au centre.

Dans rintérieur de la terre , la loi de Fattraction dépend de la loi inconnue des densités; en dehors, elle varie sur le prolongement de chaque rayon , à peu près en raison inverse du carré de la distance au centre; et d'un rayon à un autre, elle éprouve en même temps une variation proportionnelle an carré du cosinus de l'angle que chaque rayon fait avec Taxe de figure du sphéroïde terrestre. Il résulte de cette dernière variation qu'à égale distance du centre deb terre , la force appliquée au centre de la lune et provenant de l'attraction de ce sphéroïde , n'est pas h même dans toutes les directions du rayon vecteur; en sorte qu'on peut considérer cette force comme étant composée de deux autres , l'une provenant de la partie sphérique de la terre et qui est constante os ne varie qu'à raison de la distance à son centre, l'autit due au renflement de la terre à l'équateur et qui varîe avec la direction du rayon par rapport à l'axe des pôles. liaplace a déterminé la petite inégalité eo longitude et en latitude, que cette seconde force

produit dans le mouvement de la lune ; on conçoit que sa grandeur doit dépendre de lapplatissement de la terre; et en la comparant à celle que Tobsenratjoa a donnée , ou en conclut un applatissement y^ 9 peu différent de celui qui résulte de Tensemble des mesures du pendule et des degrés du méridien.

A la surface de la terre , la variation de la pesanteur provenant de celle de l'attraction et de la force centrifuge , suit la même loi qu'à une distance quelconque du centre » c'est-à-dire qu'elle est proportionnelle , comme nous l'avons déjà dit ( n"" 178 }^ au carré du cosinus de la latitude. Mais pour vérifier cette loi par les mesures du pendule à secondes, il faut que les oscillations ne soient pas observées près d'une mon-tagne ; car, en même temps que la composante horisontale de son attraction écarle le pendule de la verticale, dans sa position d'équilibre , la composante verticale de cette force diminue la pesanteur, et, conséquemment , la longueur du pendule simple. En évitant cette cause d'anomalie, on trouve encore qu'en certains lieux la longueur du pendule à se-* coudes s'écarte de la loi de variation donnée par la théorie ; ce qu'on doit attribuer à ce qu'en ces lieux , la densité du terrein , dans une étendue et une profondeur considérables , est plus grande ou plus petite que la densité générale de la couche superficielle; d'où il résulte une augmentation ou une diminution de la pesanteur totale, et, par conséquent, de la longueur du pendule simple, qui est proportionnelle k son intensité. Le pendule est donc aussi un instru-

49a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

ment de Géologie, qui annooce, par ses anomalies,; des variations d'une grande étendue dans la nature* du sol.

Au reste, il faut observer que la loi du décroissement de la pesanteur, proportionnel au carre du co* sinus de la latitude , en allant du pôle à l'équatear, suppose qu'on prend pour la surface de la terre le prolongement du niveau des mers; et comme les lieux des continens où se font les observations s'élèvent à des hauteurs différentes au-dessus de ce niveau, il est nécessaire de réduire les longueurs observées, a celles qui auraient lieu à ce niveau-même sur chaque verticale. Cette réduction se fait ordinairement en augmentant la pesanteur et la longueur dl^ pendule à secondes , dans le rapport du carre de la distance du lieu de l'observation au centre de la terre, au carré de cette même distance diminuée de la hauteur de ce lieu au-dessus du niveau des mei^; cequi revient à négliger l'attraction de la couche de terre comprise entre la surface du continent et le prolongement de la surface des mers. On va voir, dans ie numéro suivant , que cette correction est trop grande de près de moitié.

a55. Soient ÂM 'B ( fig. 5g ) la surface d'un continent, DÂMBE le niveau des mers et son prolongement, et C le centre de la terre ; soient aussi M' le lieu de l'observation , et M le point où le rayon CM' rencontre ce prolongement; M'M sera la hauteur do point M au-dessus de la surface des mers , que je représenterai par h, et qui sera donnée par un nivel' lement ou par des mesures barométriques. Si M'était

très voisin de la mer, la pesanteur pourrait être un peu diminuée et sa direction un peu dérangée , à cause que la densité de Teau est moindre que celle du terrein; mais je supposerai que cela n'ait pas lieu, et je supposerai aussi qu'autour do point M' la surface du terrein soit horizontale ou sensiblement perpendiculaire au rayon CM', et que sa densité soit uniforme. Il s'agira de calculer l'attraction exercée au point M', par la couche ÂM'BM, élevée au-dessus du niveau ^es mers. Dans ce calcul , on poura faire abstraction ^e la courbure de cette couche et de la variation de son épaisseur, ou, autrement dit, on pourra considérer l'épaisseur de cette couche comme constante et égale à A, dans toute l'étendue ou son attraction peut être sensible. Je représenterai par c le rayon de cette étendue , et par p' la densité de la couche.

Cela posé, soit K un point quelconque de la couche attirante ; déf>jgnous par z et j^ ses distances à la surface du terrein et au rayon CM'; et décrivons deux surfaces cylindriques qui aient MM' pour axe commun, et dont les rayons soient^ et ^-|-c^. Le volume compris entre ces deux surfaces aura nwjrdjr pour Lase et dz pour hauteur; et si on le décompose en anneaux horizontaux d'une épaisseur infiniment petite , le volume de l'anneau qui répondra au point K sera ^'TCjdjdzj et sa masse 'xir^ydydz. L'attraction de cet anneau sur un point matériel situé en M' se réduira à une force dirigée suivant MM', qui sera ^gale à la somme des composantes verticales des attractions de tous ses points; et comme ^ pour le

point quelconque K, on a

KM' = v<r* + z\ cos KM'M

I^ force accélératrice provenant de l'attraction de Tanneau entier , aura pour valeur

f étant toujours le coefficient de l'attraction universelle. Par conséquent, pour avoir Tattraction de la couche que nous considérons , il faudra intégrer cette formule depuis 2 = 0 jusqu'à z -=• h ^ et depuis J^ = o jusqu'à j'- = c ; ce qui donne

A:' = ^^Sf\c + A — \/c' H- A*) ,

en désignant cette force par k. Mais, en général, l'épaisseur verticale de la couche attirante est petite, eu égard à son rayon horizontal ; si donc od néglige A* par rapport à c*, on aura simplement

Soit A: l'attraction exercée au point M par la partie de la terre qui se termine au niveau des mers, et r le rayon CM ; cette attraction au point M' deviendra

(r + hY

En désignant la pesanteur et la composante verticale de la force centrifuge par g et y au point M, et

DTSAMIQUE, PREIHÈRE PARTIE. 49$

par ^ et y* an point M', oa aura donc

Je développe le premier terme de ^ suivant les puissances de A , pnis je retranche g' de g , et je néglige le carré de h et la petite différence >' — > ; il vient

A cause de la petitesse du facteur -, on peut faire

A: = g^ dans le premier terme de cette formule ; dans la petite quantité V^ on peut aussi supposer

^{L — or'

3 — o J en désignant par p la densité moyenne de la terre, et prenant ^^ pour son volume ; il en résultera alors

et, par conséquent ,

C'est donc par le facteur compris entre les paren-

thèses, et non par le facteur 1 -^ , comme on a

coutume de le faire , qu'on devra multiplier la pesanteur ^ qui a lieu sur un continent, à une hauteur h ao-dessus du niveau des mers , pour la réduire à ce

niveau. On peut^ en général, évaluer f' à la moitié

de p y et prendre, en conséquence, i + 7- pour ce

facteur. A Paris , Télévatîon h du point de TObservatoire où se trouve le baromètre, est de 63 mètres; d'où il résulte que la gravité et la longueur du pendule à secondes y sont moindres qu'au niveau des mers, dans le rapport de l'unité à 1,00001 aS.

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