DE L^EQUILIBRE D'UN CORPS SOUDE

256. Il n'y a pas de corps solide, dans la nature, qui ne soit plus ou moins compressible, et qui ne change de forme lorsqu'il est soumis à des forces qui se font équilibre. Mais quand le corps solide que nous allons considérer aura pris la forme convenable, on pourra regarder les points d'application des forces qui le sollicitent comme un système de forme invariable ; et c'est à cet état que répondront les coordonnées de ces différens points, qu'on supposera connues, et qui entreront dans les équations d'équilibre.

Soient M , M', M", etc. , ce système de points matériels. Pour chaque point on aura sept quantités a considérer, savoir, ses trois coordonnées, la force qui le sollicite, et les trois angles qui en détermi-

nent la direction. Je désignerai par P la force qui est appliquée au point M , et dont la direction sera la droite MD (fig. 60); par x,^, z, les trois coordonnées OG , GH , HM , du point M , rapportées aux axes rectangulaires Oûc, 0/, Oz; et par cl, €, y , les angles aigus ou obtus que fait la draite MD, avec des parallèles à ces axes, menées par le point M. Relativement aux autres points M', M", etc., je représenterai les quantités analogues par les mêmes lettres avec des accens.

Cela posé, avant de chercher les conditions d'équilibre des forces données P, P'^ P'', etc. , nous allons transformer ce système de forces en trois autres, dont l'un sera composé de forces parallèles à Taxe Oz, un autre de forces parallèles à Taxe Ojr et dirigées dans le plan des x eijr^ et le traisième de forces dirigées suivant Taxe Ox.

257. Décomposons chacune des forces P, F, P'', etc. , sans changer son point d'application , en trois forces parallèles aux axes des x ^ j^ z; P cos«, X F cos a', P'' cos ot", etc. , seront les forces parallèles à l'axe Ox; P cos 6 , F cos €', V" cos C, etc., les forces parallèles à l'axe 0/ ; P cos y, F cos y\ P" cos y", etc., les forces parallèles à l'axe Oz ; et l'on pourra d'abord remplacer les forces données par ces trois groupes de forces parallèles.

Sans altérer le système de forces que l'on considère, il est permis d'appliquer en un même point deux forces égales et contraires. J'applique donc ao point M deux forces parallèles a l'axe Oz, égales et opposées, et que je représente par g et — g. Je corn-

pose la force g qui agit suivant MC^ avec là force Pcostt^ dirigée suivant MA parallèle à Ojc; soient ME la direction de leur résultante ^ et K le point où son prolongement vient rencontrer le plan des x et ^. Je transporte son point d'application en ce point K ^ puis je la décompose en deux forces parallèles! aux axes des j: et z ; ce qui reproduit les forces P cos'cc et g ; mais la force P cos et est maintenant dirigée suivant la projection sur le plan des a: et j", de sa première direction ; et la force g est appliquée , perpendiculairement à ce plan , au point K de cette projection, dont les coordonnées sont faciles à déterminer.

En effet , H étant la projection du point M sur le plan des a: eij', ses coordonnées seront x et y, et l'on aura jr et a: — KH pour celles du point K, puisque ces deux points appartiennent à une même parallèle k l'axe des oc. Or, en considérant le rectangle KNMH, dont la diagonale KM est la direction de la résultante des forces g et P cos a , qui agissent suivant les côtés KN et KH y on a la proportion

KH : HM :: P cos a : g; d'où Ton tire

zP cos et