KH

à cause de HM = z. Les coordonnées du' point d'application K de la force g, dans lé plan des xeijr^

sont donc

zV cos fit Y et X — .

5oo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Ea opérant de la même manière sur les forces P cos C et — g y la première sera transportée dans le plan des xetjr suivant la projection de sa première direction , et les coordonnées du nouveau point d*applicatio4 de la force — g, dans ce même plaiii seront

, xP cos Ç

Y + et X.

On transportera par le même moyen toutes les forces P'cosct', P"cos a!'\ etc., Fcos €', P" cos C, etc., dans le plan des a: et ^ ; chacune de ces forces agira suivant la projection sur ce plan , de sa direction primitive, qui pouvait être au-dessus ou au-dessous de ce même plan ; et Ton aura de plus autant de couples de forces g' et — g\ g" et — g", etc. , qu'il j a de points M', M'', etc. Les coordonnées des points d'application de ces dernières forces, dans le plan desx etjTy se déduiront de celles qui répondent aux forces g et — g, en accentuant les lettres ^f J'p z, g^ff

^58. Maintenant , par une semblable opération , faite sur les forces P cos et , P' cos a', T" cos et", etc. , parallèles à Taxe des 30, et comprises dans le plan des a: et j', on les transformera en deux groupes de forces, dont l'un se composera de forces parallèles à l'axe Qt^, et l'autre de forces dirigées suivant l'axe ftr.

Ainsi , au point H (iig. 61), où agit la force Pcos<t suivant la direction HF, j'applique des forces parai* lèles à Ojr et représentées par h et — h; je compose la force A, dirigée suivant HB, avec la force Pcos^t; je transporte le point d'application de leur résaltante

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. Soi

«u point Q y où le prolongement de sa direction HK vient rencontrer Taxe Oa:; pais je la décompose sniyant les directions rectangulaires Qx et Q^, ce qui reproduit en ce point Q les forces P cos a et h. D'ailleurs, on aura

GQ : GH :: P cos a : h;

et , ht cause de OG = a: et GH =^, on en conclura

pour Tabscisse du point Q.

La force P cos a, dont la direction ëtait H F , sera donc remplacée par une force P cos a, qui agira suivant Taxe Oa: , et deux forces h et — h, perpen* diculaires à cet axe , et appliquées à des points Q et G dont les positions sont connues. II en sera de même à regard des autres forces P' cosa', P^' cos a", etc. , parallèles k Taxe des x, et comprises dans le plan des X et j^f qui seront aussi remplacées par des forces P' cos a\ V" cos a!'^ etc. , dirigées suivant la droite (Xr , et par des couples de forces K et — h\ W et — A", etc*^ parallèles à l'axe Ojr.

âSg. Nous voyons donc que par ces deux opéra-tions successives, les forces données seront transformées, comme on l'avait dit, en trois groupes de forces, dirigées suivant l'axe des or, perpendiculaires à cet axe et comprises dans le plan des xetjr^ et per^ pendiculaires à ce plan.

Dans cette transformation, la force quelconque P se trouvera remplacée par six autres forces, qui seront :

i*. Les trois forces Pcos^, g, — g, parallèles a

5oa TAAITÉ DE MÉGAliK^Ë.

Faxe des z^ et dont les points d'application sur le plan des a: et ^ ont pour coordonnées raf^rfees aux axes Ox et Oj^ savoir : celui de la première, x

et ^'; celui de la deuxième, x et^; ceJai

, ^ . • . » ^ . «P C08 fit

de la troisième , or et ^•

ê 3*. Les deux forces P cos € — A et A, parallèles à

l'axe des^y comprises dans le plan des x etjTy et qu'on

peut supposer appliquées à Taxe des jr ; la première

à la distance x du point 0 , et la seconde à la distance

jrV C08 tt X ^— .

S*. La force P cos ai, dirigée suivant Taxe des x, et dont on pourra transporter le point d'application en 0.

a6o. Il est facile actuellement de former les équa* ûons d'équilibre des forces données P, P', F', etc. , ou des trois groupes de forces qu'on vient de lear substituer*

On doit d abord remarquer que cet équilibre ne peut exister, à moins qu'il n'ait lieu séparément dans chacun de ces trois groupes de forces. En effet, si les forces parallèles è Taxe des zne se détruisaient pas entre elles, et que cependant l'équilibre de toutes les forces données f&t possible, on pourrait, sans troubler cet équilibre, rendre fixe une droite tracée dans le plan des a: et ^; mais alors les forces comprises dans ce plan seraient détruites, soit parce qu'elles rencontreraient cet axe fixe, soit à cause qu'elles lui seraient parallèles. On pourrait donc les supprimer; et, cela fait, l'équilibre serait rompo, contre Thypothèse, puisque rien n'empêcherait plos

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5o3

les forces perpendiculaires au plan des a: et j^ de faire tourner le corps solide autour de l'axe fixe ; par conséquent, réquilibre est impossible tant que ces dernières forces ne se détruisent pas séparément. Cela étant, on verra de même que l'équilibre ne peut exister entre les forces comprises dans le plan des x et j' , sans que les forces parallèles à Taxe des 7 ne se détruisent entre elles; car s'il avait lieu, et que cette condition ne fût pas remplie , on fixerait un point de Taxe des x, qui détruirait toutes les forces dirigées suivant cette droite : rien n'empêcherait plus les forces perpendiculaires à cette droite, de faire tourner le système autour de ce point ; en sorte que l'équilibre se trouverait détruit par l'addition d'un point fixe , ce qui serait absurde.

Cela posé, si le corps solide que nous considérons est entièrement libre, il faudra d'abord (n* 67), pour l'équilibre des forces parallèles P cos y, P'cos y', T' cos y'', etc. , g et — g , g' et — g', g'' et — g'', etc. , que leur somme soit nulle ; ce qui donne

P cos y '+' V cos y + F' cos y'^ + etc. = o.

Il faudra, en outre, que les sommes de leurs momens par rapport au plan des x et z et k celui des ^ et z, qui sont parallèles à ces forces, soient au^i nulles. Or, par rapport au premier plan, on a

jP cos > + yP' cos y' + yT'cos y" + etc. ,

pour la somme des momens des forces P co^ y , P' cos >', P" cos 3.", etc. j celle des momens des forces

5o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

gf g'f ^'y etc., est

gy + «>' + ^y + «te. ;

et la somme des momens des forces — g- , — g^, — g", etc., a pour valeur

- ï (r + ^) -«-(/ + --ï^) - etc. ,

d'après les coordonnées des points d'application de ces diverses forces. On a donc , en ajoutant ces trois sommes et réduisant,

P( jxos 5— z cos 5) 4-P'(7"cos'>'' — ^z'cos C') -|- etc.= 0;

et Ton trouvera de même y en formant la somme des momens des mêmes forces , par rapport au plan des ^ et z , et régalant à zéro ,

P(xcos7— zcosa)+ P'(a:'cosy — jg'cos a')+ etc.=a.

Quant aux forces Pcos ff — A, P'cos Ç^ — A', P"cos^' — A", etc., et h, h\ h", etc., parallèles à Taxe des jr^ et toutes comprises dans le plan des x e\.jr^ il n'y aura que deux équations d'équilibre (n^57}: il suffira que leur somme soit égale à zéro, ce qoi donne

Pcos C4-Fcose' + F'cos^' + etc. = 0^

et que la somme de leurs momens , par rapport aa plan des j^ et z, soit aussi égale à zéro. Or, par rapport à ce plan , la somme des momens des pre* mières forces est

a: (Pcos e — A) + a:'(P'cos S'— Â') + «te =û>

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 5o5

celle des momens des forces h , h', h", etc. , est , en même temps,

d'après leurs distances à l'axe des jr ; par conséquent^ en égalant la somme totale à zéro, on aura

P(jcrcos^— ^cosflt)+P'(ar'cosff' — •y'cosa')-j-etc.= o.

Enfin, pour Féquilibre des forces dirigées sui-* vant Taxe des ^, il suffira que leur somme soit nulle; d'où il résulte

P cos a 4" P' cos a- -f- P" cos a" + etc. = o.

Telles sont les six équations nécessaires et suffisantes pour Téquilibre d'un corps solide entièrement libre et sollicité par des forces quelconques , qu'il s'agissait d'obtenir.