En faisant, pour abréger

PcosflC + Fcosa' + P"cosa"-hetc. = X, P cos e4-P'cose'+P"cos e"+etc. = Y, Pcos>+Fcosy + P"cosy' + etc.=:Z,

P(arcos € — ;7COsa)-+-F(a:'cos€'— ;7^'cosa')-|-elc.=L , P( z cos a — arcos5^)+F(/cos«' — ^x'cos^')-4-etc.=M, P(^cos7 — zcos6)-f-F(j^cosy — ^z'cosff')+etc.=JÎ,

ces équations d'équilibre deviendix>nt

On peut remarquer que ces quantités L, M , N, ainsi

5o6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

que Zy Y, Xy se déduisent les unes des autres par It règle du n' 22.

Ces six équations renferment des conditions d'équilibre communes à tous les systèmes de points matérielsy entièrement libres ; car^ quelle que soit la nature d'un pareil système , ou la liaisoju mutuelle des points qui le composent y il est évident qu'on ne troublera pas leur équilibre en rendant leurs distances îovariables, sans changer leurs coordonnées, ni les forces qui les sollicitent. Par conséquent, les équations d'équilibre d'un système de forme invariable, qui ont lieu entre ces quantités , doivent encore subsister pour tout autre système ; mais alors elles ne sont plus suffisantes ; et il y faut joindre d'autres conditions spéciales pour chaque système en particulier, qui serviront, comme on le verra par la suite, à déterminer les positions relatives de ses différens points dans 1 état d'équilibre.

262. Quand les forces données sont toutes parallèles entre elles , les angles qu'elles font avec chacon des axes Ox , Ojr, Oz, sont égaux ou supplémentaires, selon que ces forces agissent dans le même sens ou en sens contraire; on peut les supposer égaux, en considérant, en même temps, comme positives les forces qui agissent dans un sens, et comme négatives celles qui agissent dans le sens opposé (n* 1 1 ) ; on aura donc alors

flt=a'=a", etc., 5=^'=^", etc., y=zy=zy",eic;

fiu moyen de quoi les trois premières équations (i) se réduisent à une seule, savoir :

P + P' + J'" + etc. = o, et les trois autres deviendjront

Mais les équations d'équilibre des forces parall^es étant seulement au nombre de trois , il faut que ces trois dernières équations se réduisent a deux ; et ^ en effet, si on les ajoute après les avoir multipliées par cos y y cos £ f cos a , on trouve une équation identique; en sorte que Tune d'elles est une suite des deux autres.

Quand toutes les forces données sont comprises dans un même plan , on peut prendre ce plan pour celui des a: et j*; alors les angles y^ y\ 3.", etc., sont droits, et les coordonnées z, z\ z'^, etc., égales à zéro; ce qui fait évanouir la troisième et les deux dernières équations(i).Dans ce cas particulier, comme dans le cas des forces parallèles , il y a donc seulement trois équations d'équilibre, qui sont

363. ïiOrsque les forces données ne se font paa équilibre, on peut demander la condition qu'elles doivent remplir pour avoir une résultante unique , et quelle est cette résultante.

Pour répondre à cette question, je désigne par R cette force; par a, b, c, les angles que sa direction iaii avec des parallèles aux axes 0^, Ojr, Oz, menées

5o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

par un de ses points , qu'on prendra pour son point d'application y et dont les coordonnées , rapportées a ces mêmes axes, seront représentées par J^if jr^, z,. Cette force y prise en sens contraire de sa direction, fera équilibre aux forces données. Les équations (i) auront donc lieu en joignant à P, P', P'', etc. , une force égale et contraire à R; par conséquent , on aura

XssRcosa, Y = Rcos6, ZsRcosc, (2)

et, en outre,

L = R (jc, cos ô — j^, cos à) , M = R (z, cos a — jc, cos c) , N = R(j^.cosc — Zt cos A),

c'est-à-dire, en vertu des trois premières équations,

Xj, — Y:c. + L = o, ) Za:, — Xz, 4- M= o, > (5) Yz. — Zj, 4- N = o. )

Les coordonnées x, , ^, , z, , pouvant appartenir i un point quelconque de la droite suivant laquelle est dirigée la résultante, ces trois dernières équations seront celles de ses projections sur les trois plans des coordonnées. Pour que cette droite existe, il hnàn donc qu elles se réduisent à deux ; or, en les ajoatint après les avoir multipliées par Z , Y, X , les trois nriables x^^ jr^^z^^ disparaissent , et l'on a

ZL + YM + XN = o; (4)

par conséquent, il sera nécessaire et il suffira que

STATIQUE , SEœNDE PARTIE. 609

cette équation (4) soit satisfaite pour que les forces donuées aient une résultante unique : quand elle aura lieu , cette force sera déterminée , en gi^ndeur et en direction , par les équations (a).

Si les trois sommes X, Y, Z, des composantes parallèles aux axes des x^ y^ Zj sont nulles^ Téquation (4) sera satisfaite; mais alors la résultante sera une force infiniment petite^ située à une distance infinie des points d'application des forces données, ou , plus exactement, ces forces se réduiront à deux, égales, parallèles, agissant en sens contraire, et non réductibles à une seule (n® 44)*

Lorsque les trois sommes L, M, N, sont nulles, réquation (4) sera aussi satisfaite; et l'on voit, par les équations (3) , que la résultante passera par l'origine des coordonnées.

264- Quand la condition exprimée par Féquation (4) ne sera pas remplie , on y pourra satisfaire en joignant aux forces données une force convenable. Je supposerai , pour plus de simplicité, qu'elle passe par l'origine 0 des coordonnées; je la représenterai par Q, et par A, fe , v, les angles qu'elle fait avec les axes Oor , O7", O2. Les quantités L , M , N, ne changeront pas par l'addition de cette force , et les sommes X, Y, Z, augmenteront des termes Q cos A , Q cos \iy Q cos V. L'équation (4) deviendra donc

Q(Lcosv +McosAt+NcosX)+I^Z+MY+NZ = o;

en sorte qu on y satisfera d une infinité de manières différentes , au moyen de la force Q et des angles A , /t, y , relatifs à sa direction.

5io TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

La résultante R des forces Q, P, P', F', etc., et sa position y se détermineront au moyen des équations (a) et (3) y dans lesquelles on mettra X+QcosA, Y + Qcos/t, Z + QcosF, au lieu de X, Y, Z. Les forces données P, F, P'', etc. y pourront donc être remplacées par cette résultante R et une force égale et directement contraire à la force Q ; d'où Ton conclut que quand des forces données ne sont point en équilibre y ni réductibles à une force unique» oo peut toujours les réduire , d'une infinité de manières différentes, à deux forces seulement , qui ne seront pas comprises dans un même plan , sans quoi elles se réduiraient à une seule, contre Thypothèse. C'est d'ailleurs ce qu'on voit immédiatement par la transformation du n^ 267 ; car les forces données P, F, P", etc. , pourront être remplacées par la résultante des forces parallèles à l'axe des 2, et par celle des forces comprises dans le plan des ;r et ^ ; et l'oo pourra ensuite transformer, sans difficulté, ces deux résultantes en deux autres forces, d'une infinité^ manières différentes. En cherchant la condition pour qu'elles se rencontrent, on trouvera l'équation (4)f relative à l'existence d'une résultante unique.

265. Si l'on considère deux corps solides À et A' (fig. 62) , qui se touchent en un point K et s'appuieot l'un contre l'autre , et si Ton suppose qu'ils soient sollicités par des forces données , il sera facile de dé* duire de ce qui précède les conditions de leur éqoi* libre.

Pour cela , je suppose que les six quantités X , Y, Z, L; M, N, du n"" 24, se rapportent au corps A, et

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5ii

je désigne par X', Y', TJ, L', M', N', ce qu'elles deviennent relativement à Â'; j'appelle x^^jr^j z,, les coordonnées du point K rapportées aux mêmes axes que celles qui entrent dans ces diverses quantités; par le point K , je mène une droite HKH^ perpendiculaire au plan tangent commun aux deux corps; je représente par a,b, c, les angles que fait la partie KH de cette droite , comprise dans A , avec des parallèles aux axes des x,jryZ, menées par ce même point K : toutes ces quantités sont données , et il s'agira de for^ mer les équations d'équilibre auxquelles elles doivent satisfaire- Or, le corps A exercera sur A', dans la direction KH', une pression inconnue que je représenterai par R ; il en éprouvera , en même temps , une résistance égale et contraire à cette force normale. Si donc on joint aux forces données qui agissent sur A une force R dirigée suivant KH , on pourra ensuite faire abstraction de A'; et, de même, si Ton joint aux forces appliquées à A' une force R dirigée suivant KH', on pourra aussi considérer A' isolément. Il résulte de là et des équations (i) qu'on aura pour l'équilibre de ces deux corps les douze équations suivantes :

X +Rcosa=o, Y+RcosA=o, ZH-Rcos^=o, X' — Rcosa=o, Y' — Rcos^=o, Z'— Rcosc=o, L -f-R(a:, cosô — ^, cosa)=o, M '\'R{ZtC06a — ûc.cosc) =0, N +R(^,cosc — z, cosb) =0, L' — R(a:,cosè — jr,cosa) =0, M' — R(z, cosa — jc,cos c) =0, N' — R ( j^.oos c — z, cos h) =0,

5ia TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

qui se réduiront à onze par rélimination de R. Après

que œs onze équations d'équilibre auront été yéri-

fîées. Tune des précédentes fera connaître la yaleor

de R, qui devra être une quantité positive pour

que les deux corps s'appuient réellement l'un contre

Tautre.

Ces douze équations donnent immédiatement

ce qui résulte aussi des conditions d'équilibre communes à tous les systèmes entièrement libres, comme celui des deux corps A et A' (n^ 261).

On trouvera pareillement les équations d'équilibre d'un nombre quelconque de corps solides, dont plusieurs s'appuient l'un contre l'autre; et il est aisé de voir que le nombre de ces équations sera égal à six fois celui des corps , moins le nombre de lenrs contacts.

266. Les équations d'équilibre d'un corps sdide assujetti à des conditions données doivent être comprises parmi celles d'un corps entièrement libre; car l'équilibre de celui-ci ne serait pas troublé^ si on l'assujettissait k ces conditions particulières; en sorte qu'aucune nouvelle équation d'équilibre ne peut être introduite par ces conditions. M ais, au contraire, nne ou plusieurs des équations (i) deviendront superflues; et il s'agira de déterminer , pour les differens cas qai peuvent se présenter , celles de ces équations qui resteront nécessaires. C'est ce » que nous alloos faire successivement dans ce numéro , en supposant

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5i3

toujours qu'on ait remplacé les forces données P, F', P'', etc. p par les trois groupes de forces du n^ 25g.

i"". Si le corps solide qui doit rester en équilibre renferme un point fixe, on prendra ce point pour l'origine 0 des coordonnées. Les forces dirigées suivant Taxe Ox seront détruites par ce point; ce qui fera disparaître l'équation X s= o. Pour l'équilibre des forces parallèles à l'axe 0/* et comprises dans le plan des x et jr, il ne sera plus nécessaire qu'on ait Y = o , et il suffira que leur résultante coïncide avec Taxe Oj^, ou que la somme L de leurs momens^ par rapport au plan desj^ et z, soit égale à zéro. Enfin, pour l'équilibre des forces parallèles à l'axe des z; Féqnation Z ss o ne sera plus nécessaire ; il suffira que leur résultante coïncide avec l'axe Oz ; ce qui exigera que les sommes de leurs momens , par rapport aux plans des^ et z, et des x et z, qui sont les quantités — M et N, soient égales à zéro.

Ainsi, dans ce premier cas, les trois équations d'équilibre qui resteront nécessaires seront

Wles signifient, efiectivement , que les forces* don« nées ont une résultante unique , et que cette résultante vient passer par le point fixe 0. Cette force exprimera, en grandeur et en direction, la pré&r sîoa exercée sur ce point, et sera déterminée par les équations (3).

a"*. Supposons que le corps solide soit retenu par un axe fixe, autour duquel il est assujetti à tourner, sans pouvoir glisser dans le sens de sa lon^ I. 33

5i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

guear. Prenons cet axe pour celui des 2; les forces parallèles à cette droite Oz ne pourront produire aucun mouvement , et les trois équations Z == o , M = 09N=Oy relatives à leur équilibre, ne seront plus nécessaires. Les équations X= o et Ys=o ne le seront pas non plus pour Téquilibre des forces comprises dans le plan des x et jr; en sorte que 1 dans ce cas , il n'y aura plus qu'une seule équation d'équilibre, qui sera L = o, c'est-à-dire,

V{x C08 C — jr cos fit) + V\x cos ff — y cos a') + etc. = 0. (5)

Mais si le corps avait la liberté de glisser le long de l'axe fixe, il faudrait en outre, pour empêcher ce mouvement, que la somme Z des forces parallèles à Oz fut égale à zéro ; et il y aurait alors les deux équations d'équilibre

La pression que l'axe fixe éprouvera perpendictH lairement à sa direction sera la résultante des forces comprises dans le plan des x et jj déterminée, en grandeur et en direction , par les deux premières équations (2), et passant par le point 0, en verta de réquation (5). Les forces parallèles à cet aie tendront en même temps à le faire tourner sur loi* méme.

En comparant les quantités M et N à L, on conclut de leur composition que l'équation d'équilibre autour de l'axe Ojr sera M = o, et qu'elle sera N = o autour de l'axe Ox. Il en résulte aussi que la condition d'équilibre autour d'un point fixe con-

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5i5

sîste en ce que 1 équilibre ait lieu successivement autour de trois axes fixes et rectangulaires , menés arbitrairement par ce point. Par conséquent^ si l'équilibre existe autour de trois axes rectangulaires qui se coupent en un même point, il aura aussi lieu autour de toute autre droite passant par ce point.

3«. Je suppose que trois ou un plus grand nombre de points non en ligne droite, appartenant au corps solide , soient assujettis à demeurer sur un plan fixe dont la position est donnée ; et je prends ce plan pour celui des x et y. Les forces parallèles à Taxe des z ne pouvant produire aucun mouvement, les équations relatives à leur équilibre n'auront pas lieu ; mais les trois équations

qui répondent aux forces comprises dans le plan des X et^, seront nécessaires pour empêcher le corps de glisser ou de tourner parallèlement à ce plan fixe.

La force Z exprimera la pression totale que le plan fixe éprouvera. Si le corps est seulement posé sur ce plan, de sorte qu'il s'agisse, par exemple, d'un polyèdre dont une face soit en contact avec le plan des X et y^ il faudra que le signe de Z soit tel , que cette force appuie le corps contre ce plan. 11 faudra , en outre, que cette résultante des forces parallèles à Taxe des z vienne percer le plan des x çX j dans l'étendue de la base du corps, sans quoi elle le détacherait de ce plan, en le faisant tourner autour de l'un des côtés de cette base.jOr, si Ton appelle x^ et

5i6 TRAITE D£ MÉGA5IQUE.

y^ les coordonoëes du point où cette résultante rencontre le plan des a: et ^ ^ ses momens par rapport aux plans des a: et z et des ^ et z seront Tàj^ et Zx, ; ils devront être égaux aux sommes des momens des composantes par rapport aux mêmes plans ; et , d'après les valeurs de ces deux sommes qu'on a trouvées précédemment (n<> 260), on aura

Zx, = — M, Zj, = N.

Il faudra donc vérifier, dans chaque cas particulier, que les valeurs de x^ et^., tirées de ces équations , appartiennent à un point de la base du corps; condition d'équilibre qui ne peut être exprimée par des équations, non plus que celle qui est relative au signe de Z.

l^. Si les points du corps assujettis à rester sur le plan fixe des x t\ y sont seulement au nombre de deux, ou bien s'ils sont tous situés sur une même droite, on prendra cette ligne pour l'axe des^; la ré' sul tante Z devra alors rencontrer le plan des x et/ en un point de cet axe; et, indépendamment des trois équations du cas précédent, on aura cette quatrième équation d'équilibre M == o.

5^. Enfin , lorsque le corps solide ne touchera le plan fixe des x et ^ qu'en un seul point, où l'on placera l'origine 0 à!à^ coordonnées , on verra , sans difficulté , que les équations d'équilibre seront au nombre de cinq , savoir :

X = o, Y=ro, L = o, M = o, N = o,

La force Z exprimera toujours la pression exercée sur

le plan fixe au point 0 ^ et devra avoir un signe convenable.

Ce résultat coïncide avec celui du numéro précédent; car si l'on suppose le corps A' fixe et terminé par un plan^ que l'on prenne ce plan pour celui des x et jr^ et le point K ( fig, 62 ) pour origine des coordonnées ^ on devra faire ^ dans les équations de ce numéro y or, sz: o, j^i = o, z, = o, a = go% 6 = 90°; ce qui réduira aux cinq équations précédentes, un pareil nombre des six équations relatives à l'équilibre du corps A . La sixième de ces équations deviendra, en même temps,

en supposant qu'on ait c = o , ou que la partie KH de la normale soit l'axe des z positives ; par conséquent, la pression exercée sur A% qui est égale et contraire à la résistance R , sera la force Z en grandeur et en direction.

On peut remarquer, d'après cette énumération des différens cas d'équilibre, que les nombres d'équations relatives à un corps solide gêné par des obstacles fixes peuvent être tous ceux qui sont inférieurs au nombre six , correspondant à un corps entièrement libre.

267. L'équation (5) relative à l'équilibre autour de l'axe des z supposé fixe , ne contient ni les composantes parallèles à cet axe, des forces don« nées P, P', F^ etc., ni les coordonnées parallèles au même axe, de leurs points d application M, M', M", etc. ; en sorte que l'équilibre ne serait pas

5i8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

troublé, si l'on remplaçait ces forces et leurs points d'application par leurs projections sur le plan des X et ^ ; ce qu'on démontrerait d'ailleurs facilement à priori.

Soient donc Q , Q', Q", etc. , les forces P , F, F', etc., projetées sur le plan des x e\ jr^ c'est-àdire, décomposées parallèlement à ce plan et transportées aux projections des points M, M', M", etc., sur ce même plan. Désignons par q^ q\ q''^ etc., les perpendiculaires abaissées de l'origine des coordonnées, supposée fixe, sur les directions des forces Q, Q', Q'^ etc.; et, pour fixer les idées, supposons que Q, Q', Q'', tendent à faire tourner, dans le même sens, autour de cette origine, et que Q'", Q'% etc., tendent à faire tourner dans le sens opposé. Pour l'équilibre de toutes ces forces, il faudra, d'après le n* 4?^ ^^^ l'on ait

Qî + QY+QY— Q'T— QT— ete-=o, (6)

en considérant q, q\ </", y'", etc., comme des quantités positives, aussi bien que Q, Q', Q", Q"\ etc.; par conséquent, celte équation devra coïncider avec l'équation (5) ; ce qu'on vérifie, en efiFet, de la manière suivante.

Soient H (fig. 63) la projection du point M, OG et HG ses coordonnées x et y^ HA la direction de la force Q , A et /L6 les angles que fait cette droite avec des parallèles aux axes Qx et 0^, menées par le point H. Par le point 0 , menons deux autres axes Oo:, et 0^, , le premier suivant la direction HA, et le second perpendiculaire à cette droite et tel qne

STATIQUE, SECONDE PARTIE. Sig

l'angle J^j't soit aigu ou obtus en même temps que xOxt ; appelons or, et jr^ les coordonnées OF et FH du point H ^ rapportées à ces nouveaux axes; nous aurons , comme on sait ,

Xx =^ COS jEt + JC COS A , J^ =J^ COS A XCOSfC.

Or, la perpendiculaire OK ou qj abaissée du point 0 sur HA, devant être une quantité positive, on aura

J = =1= /, == =1= (^ COS A X COS jEt) ,

selon que l'ordonnée j^ sera positive ou négative, ou, ce qui est la même chose, d'après le sens qu'on a supposé à l'axe O/*, , selon que la force Q tendra à faire tourner , dans un sens ou dans le sens opposé ^ autour du point 0. On a d'ailleurs

et, de plus (n* 8)

COS et = sin^cosA^ cos^ =: sin^cosft;

il en résultera donc

Qçf = =1= P(^cosa — j^cosé).

Les forces Q' et Q" tendant, par hypothèse, à faire tourner dans le même sens que Q, on aura de même

Q'ç' = ± F(/cQsa' — x'cosêO, QY= db P"(y' cosa'' — ;r"cos^'0;

et les autres forces Q'", Q'^, etc., tendant à faire tourner en sens opposé^ on aura, au contraire^

Sio TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

QY" = =F P'^'C/'^cosa'" — a:'''cosff'"), Q^Y" = =F P'^(^*^cosa'^ — x^^cosCOf etc.

Oa prendra donc , en même temps , les signes supérieurs ou les signes inférieurs dans toutes ces valeois; et en les substituant dans Téquation (6) , elle deyieih dra réqnatiôn (5); ce qu'il s'agissait de Térifier.

268. Le corps en équilibre étant toujours soumis à la pesanteur, il faudra comprendre parmi les forces données P, P, F'^ etc. , son poids appliqué soiriiit la verticale a son centre de gravité. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'un corps pesant posé sur ua plan incliné et soutenu par une seule force. La figure 64 représente une section du corps passant par le centre de gravité G, et perpendiculaire au plan incliné ; la longueur de ce plan est AB, sa base BC , et sa hauteur AC. On place l'origine 0 des coordonnées sur la verticale GH passant par le centre de gravité 1 et l'on prend les axes Oz et Ox perpendiculaire et parallèle à AB : le troisième axe Oj^, qui n'est pis représenté, serait perpendiculaire au plan de la figure. La force P sera le poids du corps , la verticale GH sa direction, et HOo: l'angle a. On aura, en outre, orsso, j-=:o, ^ = 90*. En prenant donc P pour la force donnée qui soutient le corps pesant, les équations d'équilibre du troisième cas du n*" !}66 se réduiront k

D'après les deux dernières, on aura €' = go^ ei

STATIQUE, SECX)NDE PARTIE. Sai

y :=:zoi ^ ^^^ montre d'abord que la force P' devra être comprise dans le plan des a: et z ; et ^ en effet , cela est évidemment nécessaire pour que celte force et le poids du corps aient une résultante unique , perpendiculaire au jJan incliné. Je supposerai que 0 soit le point où la direction de F' rencontre la verticale GRy et je représenterai par OD cette direction. L'angle et' ou HOx devra être obtus pour satisfaire à la première des trois équations précédentes ; j'appellerai S" l'angle aigu HOx' que fait la force P' avec le prolongement de Ox^ de sorte qu'on ait

co%a! = — coscT.

L'angle a ou HOj: est le complément de l'inclinaison ABC du plan ; en désignant la hauteur AC par h , et la longueur AB par l^ on aura donc

h cos A = i;

d'où il résultera finalement

^ = FcoseT;

équation d'équilibre qui fera connaître l'une des deux quantités F et S'y quand l'autre sera donnée.

Lorsque, par exemple , la force F sera parallèle an plan incliné , on aura «^ = 01 et , conséqnemment,

ou, ce qui est la même chose ,

F = Psini,

5aa TRAITE DE MECANIQUE.

en appelant / Tinclinaison du plan. Si l'on appelle Q la pression que le plan éprouvera , et qui sera , dans ce cas , la composante du poids P suivant la perpendiculaire Oz I on aura, en même temps,

Q = Pcosi.

26g. On fait ici abstraction du frottement qui s'a-* joute à la force P^ parallèle au plan incliné, pour empêcher le corps de glisser le long de ce plan. Si cette force P' est nulle, le frottement seul peut retenir le corps tant que l'inclinaison / n'a pas atteint une certaine limite. En désignant par A cette limite, c*est4dire , l'angle / qui a lieu lorsque l'équilibre va commencer à se rompre, et supposant qu'à cet instant le frottement est une fraction y de la pression, il faudra que la force f(^ fasse exactement équilibre à la composante P sin A du poids du corps , parallèle au plaa incliné. Par conséquent , on aura , à la fois,

Q = PcosA, /Q = PsinA;

d'où l'on tire

/= tangA;

ce qui fera connaître la valeur de y, d'après l'observation de l'angle A , sous lequel le mouvement commence , et qu'on appelle Yangle iiu frottement.

Toutes choses d'ailleurs égales, l'expérience proofe qu'à l'instant qui précède la rupture de l'équilibre, ie frottement est proportionnel à la pression ; en sorte que le coefficient y et l'angle A sont indépendans de la pression Q , et par suite du poids P. Ce coefficient varie avec la nature du corps et le poli des sur-

STATIQUE , SECONDE PARTIE. 5a3

faces: on a aussi remarqué qu'il n atteint le maximum de sa valeur qu'après que le contact du corps et du plan a eu lieu pendant un certain temps^ différent pour les corps de nature diverse; et ce n'est qu'à partir de ce moûoimum que le frottement est proportionnel à la pression.

En admettant cette loi expérimentale, il en résulte que si plusieurs corps de même nature , et dont les surfaces ont le même poli , sont placés sur un plan horizontal ; et qu'après un certain temps on incline ce plan graduellement, tous ces corps commenceront à glisser sous un même angle A , quels que soient leurs poids et l'étendue de leurs surfaces en contact avec le plan.

270. Lorsqu'un corps est posé sur un plan horizontal , la pression exercée par son poids P se distribue entre les points d'appui de ce plan ; mais quand leur nombre surpasse trois, cette distribution semble d'abord indéterminée; ce qui présenterait une difficulté que nous allons examiner.

Pour fixer les idées^ supposons que ce plan horizontal soit la surface d'une table dont les pieds sont verticaux. Dans ce plan , menons deux axes rectangulaires Oor et Qt* (fîg* 65). Soient C la projection du centre de gravité du corps sur ce plan, et A, A^, A'', etc. y les points de ce même plan qui répondent aux pieds de la table. Désignons par x, et^,, x et j-, a/ ety, x" et y, etc. , les coordonnées de ces points C, A , A', A", etc. , rapportées aux atxes Oa? et Oj. Pour que la table ne soit pas renversée , il faudra que le point C soit situé dans l'intérieur du polygone

AX^A"A'" etc. Cette condition étant remplie, le poids F appliqué an point C se décomposera en forces parallèles, dirigées dans le sens de la pesanteur, et passant par les points d'appni A, A\ A'', etc. , lesquelles forces seront les charges que les pieds de la table auront à supporter. Soient Q , Q', Q", etc. , ces charges inconnues ; d'après la théorie des forces ptrall^es , nous aurons

PsrQ + Q' -t-Q^+etc, Par. = Qo: 4- QV 4- QV + etc.,

Pr- = Qt^ + QX + QV + etc.

Or# s*il n'existe que trois points d'appui A , A', A'', ces trois équations suffiront pour déterminer les charges Q, Q', Q*; mais s'il y en a trois ou un pins grand nombre, le problème sera indéterminé, et l'on pourra prendre à volonté les valeurs de toutes les inconnues, moins trois, pourvu qu'il n'en résulte, pour ces trois inconnues , que des valeurs positives. Cette indétermination aurait lieu , en effet , si la table était rigoureusement inflexible ; mais cela n'arrive jamais ; et , quelque peu flexible qu'on la suppose, elle se déformera un tant soit peu et se comprimera inégalement dans ses différentes parties. Qr, la figure qu'elle prendra et la quantité dont elle sert comprimée en diaque point dépendront non-^seulement du poids P, mais aussi du nombre et de la disposition des points d'appui A , A', A', etc. ; et roue et l'autre, ainsi que la pression qui aura lieu en chacim de ces points , seront complètement déterminées dans chaque cas particulier. Toutefois, cette déter*

STATIQUE, SEœHDE PARTIE. 5a5

mination est un problème très difiicile, dont la solution générale n'a pas encore été donnée , et qui appartient a la Physique mathématique. Nous nous bornerons ici à remarquer que tout est nécessairement déterminé dans la nature, et que quand quelque chose nous semble indéterminé , c'est que nous avons fait abstraction de quelque donnée du problème , c'est-à-dire , de quelque propriété de la ma-* tière , comme le degré de flexibilité de la table, dans la question présente.