MB = AD, CF = CE — EF
il en résultera
CAD = CMB — ^MB.EF;
mais le produit MB.EF est la surface du parallëlo-gramme MADB , ou le double du triaugle MAD ; ou aura donc
CAD = CMB— MAD,
et , par conséquent ,
CMD = CMA + CMB ;
ce qu'il s'agissait de démontrer.
La figure suppose que la droite EF soit la difiTé-* rence des perpendiculaires CE et CF; elle pourrait être leur somme , et Ton modifierait sans difficulté la démonstration précédente pour l'appliquer à cet autre cas. On prouvera aussi , de la même manière , que le triangle CMD est la différence des triangles CMA et CMB , quand le point C est placé dans l'angle AMB ou dans son opposé au sommet.
272. Par le centre des momens (fig. 67), menons un plan quelconque; projetons sur ce plan la droite AB qui représente la force P çn grandeur et en direction; soit Q la force représentée de même par la projection A'B' de AB ; le moment de la force P sera le double du triaugle CAB^ et celui de la force Q le double du triangle CA'B'; par conséquent , le centre des momens restant le même , le moment de la projection d'une force sur un plan passant par ce point^
5!i8 TRAITÉ DE MËCAIïTQUE.
est la projection, sur ce même plan , du moment de
cette force*
Si l'on appelle H le moment de la force P, et K celui de sa projection Q; que Ton élève sur les plans de ces deux raomens des perpendiculaires CD et CE , et qu'on appelle S" langle DCE , cet angle sera aussi nndinaison de H sur K, et Ton aura ( n"" lo )
K = H cos J^.
Pour une même force P, l'angle / et le moment H changeront avec la position du pointC sur la droite CE; mais cette droite restant la même, le produit H cos/ ne variera pas ; car K ou le triangle CA'fi' ne fen que se .déplacer parallèlement à lui-même, sins changer de grandeur.
^lyS. Au lieu d'une seule force, considérons un système de forces quelconques P, P', P", etc. Soient H , H', H'', etc. , leurs momens par rapport au pobt C (fig. 68). Désignons par J^, cT', J^'', etc. , les angles que les perpendiculaires CD, CD', CD'', etc., aux plans de ces momens, font avec un même ave GE; par Q, Q', Q", etc. , les projections de P, P', F', etc., sur le plan mené par le point C et perpendiculaire i cet axe; et par K, K', K'', etc., les projections de H, H', H'', etc. , sur ce même plan. Nous aurons
K = HcosJ^, K' = H'coscr', K" = H" cos c^^ etc.
Si Ion voulait seulement connaître les aires des projections d'après celles des surfaces projetées, il faudrait considérer les inclinaisons cT, S"', J^', etc. t comme des angles aigus ; mais dans les usages que
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. Sag
nous ferons des projections des momens, nous regarderons ces angles comme aigus ou obtus, ou , autrement dit, nous prendrons pour les droites CD, CDV CD'', etc. , les parties des perpendiculaires ai)x plans des momens H, H', H'', etc. , qui font des angles aigus ou obtus avec l'axe CE , selon que les projections Q, Q^ Q"> etc. , des forces P, P', P*, etc. , tendront à faire tourner autour du point C, dans un sens convenu, ou dans le sens opposé. Ainsi, dans la figure,' les angles DCE, D'CE, D"CE, étant aigus, et les angles D'^'CE , D*^CE, etc. , étant obtus, cela suppose que les forces Q, Q', Q*, tendent à faire tourner dans un même sens , et les forces Q''', Q'% etc. , dans le sens opposé. Les droites CD" et CD'" étant le prolongement Tune de l'autre, cela signifie que les forces P' et P''' sont comprises dans un même plan passant par le point C, mais qu'elles tendent, ainsi que leurs projections Q" et Q''', a faire tourner en des sens op-' posés.
En appelant S la somme des valeurs positives ou négatives de K , K', K'', etc. , nous aurons
S = Hcos J'H-H' cos J"' + ff cos J^' + eic;
abstraction faite du signe , S sera la somme des momens des forces Q , Q', Q", etc. , qui tendent à faire tourner dans un sens , moins la somme des momens de celles qui tendent à faire tourner dans le sens opposé ; d'après le théorème du n* 47 > la quantité dbS exprimera donc le moment de leur résultante qui tendra à faire tourner dans le sens des forces qui répondant aux angles aigus cT, J", ^T", ou aux angles
53o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
obtus eT™, (T", elc. , selon que la valeur précédente
de S sera positive ou négative.
Si l'on change à la fois toutes les droites CD, CD', CD", etc., dans leurs prolongemens, les angles /, J", (T', etc. , se changeront dans leurs suppIémeiK, et S deviendra — S. Il en sera de même lorsqu'on remplacera l'axe CE par son prolongement CE'.
La somme S, comme chacune de ses parties, sera indépendante de la position du point C sur l'aie CE; elle ne dépendra que du sj'stème des forces P, P', P", etc., de la position de cet axe et de sa direction perpendiculaire au plan de projection. DorénaTaut nous appellerons celte quantité S le moment des forces P, 1"', P', etc. , par rapport à l'axe CE.
274* D'après cette définition , les trois quantités I., M , N , du n' a6i , seront les momens des forces P, P', P", elc. , par rapport aux axes des coordonoee: positives de leurs points d'application.
Pour le faire voir , soit Q la pi-ojection de la force P sur le plan desx etjr, et ç la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur sa direction, de sorte que son moment par rapport à ce point ait Q^ pour valeur. Supposons que la force Q agisse de A vers B ( fig. fjg ) , et que AC et AD soient les coordonnées X et/ de son point d'application A , rappot^ tées aux axes rectangulaires Ox et 0/. Soient aussi A et ^ les angles BAC et BAD' que fait la force Q avK les prolongemens de x et ;- ; les composautes dirigées suivant AC et AD' seront Q cos X et Q cos ^t, et leurs momens par rapport au point 0, /Q cos A et a^ costi; d'après la lîgurc, elle tcndtout à faire tourner easo»
contraire Tune de l'autre ^ et la force Q^ dans le sens de Q cosfc; on aura donc
Qq = ocQ cos fji -^ jrQ cos A.
En examinant les différentes positions que peut avoir le point A, et les diverses directions qu'on peut supposer à la force Q^ il est aisé de voir que cette équation subsistera quels que soient les signes de a:, j^ cos A , cos fJL , pourvu que la force Q , transportée au point E ou F, où sa direction rencontre l'axe des x •1 ou des y, tende à faire tourner l'axe Ox des a: positives, dans l'angle des xetjr positives , et, conséquemment , l'axe Oj des j^ positives, en dehors de cet angle , comme cela est indiqué par les flèches s et s\ Si le contraire avait lieu, c'est-à-dire, si la force Q, ainsi transportée , tendait à faire tourner l'axe des jr positives, dans l'angle des x et jr positives, et, par conséquent, l'axe des x positives, en dehors de cet angle , on aurait
Qq =^^cosA — orQcbs^A,
quels que soient aussi les signes de x,^, cos A , cos /«, U suit de là que si S est le moment des forces P, P', P*, etc. , par rapport à l'axe des z positives, et que l'on regarde les angles cT, cT', J^", etc. , du numéro précédent, comme aigus ou obtus, selon que les projections Q f Q!» Q"> ^*^* 9 ^^ ^^^ forces tendent à faire tourner l'axe des x positives , dans l'angle des coordonnées x e\j positives , ou en dehors de cet angle, on aura
S = Q (x cosft — j cos A) 4- Q' (x' cos y — y cos A') Q" {x'' cos ^il' —y cos A") + etc. ;
63a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
ûd^ fy A', ffc'; od\yy A", ;t" ; etc., étant ce que deviennent X j y^ A , u , relativement aux forces (J'y Q", etc.
Soient , de plus, a, ff, > ; a', ff', 5.'; a", ^', y'; etc., les angles que font les directions des forces P, F, P', etc. y avec des parallèles aux axes des a: , jr, z; on aura
Q = Psiny, Q'=P'smy', Q' = P'8iny% etc.,
cos et = siiiy cos A, cos ctf= sin y'cosA", cosx''=sin y'cos x'f etc.| cosff=sinycos/«, cosC=8iuy'cO£^', coso'ssiny'cos/c'yetc.;
et d après ces valeurs, celle de S coïncidera avec la quantité L du n*" 261 . Ainsi L est le moment des forces P, P', P*, etc. , par rapport à l'axe des z positives; et selon qu'il est positif ou négatif, ce système de forces tend à faire tourner le plan des or et z positives autour de cet axe y dans l'angle trièdre des coordonnées positives , ou en dehors de cet angle.
Maintenant, si l'on substitue respectivement les axes des z, x, jr, positives , à ceux des jc, j^ z, positives, L se changera dans M; il s'ensuit donc que H est le moment des forces P, P', P", etc., par rapport 1 l'axe desj^ positives, et que, selon qu'il sera positif oa négatif, ce système de forces tendra à faire tourner le plan des z et j positives autour de cet axe, dans l'angle trièdre des coordonnées positives, ou en dehors de cet angle. Cela fait, si l'on remplace de même les axes des z, Xy jTj positives , par ceux des^, z, jr, positives, M se changera en N; par conséquent, N sera le momeat des forces P, P', P", etc. , par rapport à l'axe des x positives; et suivant qu'il sera positif ou négatif, ce
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. S33
système de forces tendra à faire toarner le plan des^ et X positives autour de cet axe j dans Fangle des coordonnées positives ^ ou en dehors de cet angle trièdre.
Les trois quantités L^ M, N, sont donc, comme on l'a dit, les niomens d'un même système de force par rapport aux trois axes des coordonnées positives de leurs points d'application ; et les signes de leurs valeurs, telles qu'elles sont écrites dans le n® 261 , répondent à un sens de rotation connu, autour de chaque axe supposé fixe.
2^5. La première valeur de Qç du numéro précédent, est la même chose que
Qy = xP cos ^ — P^ cos a.
En appelant H le moment de P par rapport à l'origine des coordonnées , et J^ l'angle compris entre une par-» lie de la perpendiculaire au plan de ce moment et l'axe des z positives, on aura donc ( n"" 273 )
H cos S" = P(a:cosÇ — y cos a ) ;
ce qui suppose que cette partie de la perpendiculaire au plan de H, soit celle qui fait un angle aigu ou obtus avec l'axe des z positives, selon que la quantité com-n prise entre les parenthèses est positive ou négative. Soient cTi et S^ les angles que fait la même partie de cette perpendiculaire avec les axes des^ et des x, positives ; on aura de même
HcoscT, = P(zcosot — xcosy)j H cos J^, = P (^ cos 5^ — z cos C ).
Si donc on fait , pour abréger ,
(jrcosC—j'cos «)■+(« cos et — xcosyy+(jrcosy — zcosCy
et qu'on regarde /i comme une quantité positive^ il en révoltera
à cause de
cos* «T -H cos* J^, 4- cos* /. = I ; par conséquent , on aura
cos ^ = - ( jc cos € — j" cos a ) y cos cT, = - (2 cos a — a: cos 9. ) ,
cos eT^ = - (^ cos j^ — z cos C) ,
pour déterminer sans ambiguïté les trois angles /, cT, , ^^. L'angle J^ sera aigu ou obtus » comme on Ta supposé f selon le signe de a: cos ff — ./ cos a, et les angles cTi et cT» » selon les signes de z cos a — or cos > et jr cos 7^ — z cos Ç.
On vérifiera aisément ces formules. En effet, représentons l'équation du plan qui comprend rorigine des coordonnées et la force P, par
A* + Bi' 4- Cw = 0;
u, V, w, étant les coordonnées courantes. Les coordonnées du point d'application de cette force étant X, jr, 2, il fa>udra qu'on ait
Aor 4" ^^ + Ca = o> •
de plus les équations d'une droite menée par l'origine des coordonnées et parallèle à cette force ^ seront
if cos CL z=z u cos €, w cos a =: u cos y;
et comme cette parallèle est aussi comprise dans le plan que Ton considère , il en résultera cette seconde équation de condition :
A cos a + B cos C + C cos y =z o. De ces deux équations , on tire
p A ( jr cos C — jr cos ce )
"" J" cos y — z cos C '
-j A ( ^ cos M — X cos y )
jr cos y — X cos C '
et en substituant ces valeurs dans l'équation du plan^ ellç devient
u(jrco8 Y — z cos 6) +i'(j8 cos fit— a: cos >)4"'*K^ ^^s ^— j'cos«)=xo.
Or f d'après les formules connues ( n"* 1 7 ) ^ les cosinus des angles J", J'tf^Mf ^i^e fait la normâde à €6 plan avec les axes des u, u, w, qui sont aussi ceux des oc,j^, z , auront pour valeurs les formules qu'il s'agissait de vérifier.
En vertu de l'équation H srs P/> ^ la quanti^ p est la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la direction de la force P. C'est aussi ce qui 8e vérifiera sans difficulté^ en prenant le pied dé cette perpendiculaire pour le point d'application de P; car^ si Ton appelle r le rayon vecteur de ce points qui sera alors cette perpendiculaire ,eitx,fi,f,\es angles quo
fait sa direction avec les axes des x^j^ z, on aura
a: = rcosA, jr = rcos/x, z = rcosy;
et en substituant ces valeurs dans celle de p*, et ayant égard aux équations ( u*^* 6 et 9 )
cos* et + cos* C + cos* y =z i ,
cos* A + cos*/te + cos* v = i ,
cos a cos A + cos € cos /te-t- cos y cos r =0,
on trouvera
p^ =1 r* ou p = r.
276. Les momens d'un même système de forces par rapport à différens axes, jouissent de propriétés remarquables qui sont une conséquence immédiate de celles des projections des surfaces planes sur différens plans, que nous allons maintenant exposer.
Soient Ox , O7", Oz , trois axes rectangulaires qui se coupent en un point O ( fig. 70 ). Menons par ce point trois autres axes Oaf^ Ojr^ Ozf , aussi rectangur laires. Pour déterminer les directions de ces nouveaux axes par rapport aux premiers, faisons
jcOa/ = et , jOx' = € , zOx' == y ,
aOy = a', joy = c^ zoy = y\
et considérons et, €, y, etc. , comme étant neuf angles donnés, aigus ou obtus. Leurs cosinus seront liés entre eux par six équations. En considérant successiyepieiitlçs trois droites Ojc', Oy^ Ojs', ou aura d abord
cos* CL -}- ces* € -}- cos* y =: J , ) cos* a' + cos* €' + cos* y' = i , > (i) cos* a" + cos* C + cos* y" z=z i ; )
et à cause que x'O/', x'Oz\ yO:^^ sont des angles droits y on aura aussi
cos CL cos a! + cos ^ cos Q' -}- cos y cos y = o, ) cos a cos a"+ cos & cos €'+ cos j^ cos y = o , ? (2) cos a' cos a"+ cos ^' cos Q' + cos y cos j^" = o . J
Les neuf angles «, a', a", etc. , détermineront réciproquement les directions des premiers axes Ox^ Ojr^ Oz , par rapport aux seconds Ox', Oy, Osf. De cette manière on aura d'abord
cos* et + cos* a' -f- cos* a!' =: j , ) cos* € + cos* e' + cos* C == 1, > (3) cos* y + cos* ^' + cos* y^ z= 1 , j
et , en outre ,
cos et cos S + cos a' cos C + cos a" cos é?" = o , j cos a cos ^ -f- cos a' cos y + cosa"cosy=o,C (4) cos C cos }^ + cos 6' cos >' + cos ^" cos ^'' = o ; )
équations qui seront équiyalentes aux six précédentes, et pourront leur être substituées.
Soit a Faire d'une surface plane terminée par un contour quelconque , et située dans un plan passant par le point 0 ; par ce point , élevons sur ce plan une perpendiculaire OD, et faisons
xOD = q, jOD = q\ zOD = q".
Ces trois angles aigus ou obtus , détermineront la di-
rection de OD et celle du plan de a ; s'ils se changent tous les trois dans leurs supplémens , la droite OD se changera dans son prolongement , et le plan de a restera le même.
Appelons aussi p^ p\ p'\ les projections de a sur les plans yOz , xOz , xOjr^ nous aurons ( n* lO )
pz=za cos y, p' =ia cos ç', p'z=z a cos ^.
Soit , enfin , b la projection de a sur un quatrième plan , qui sera, si Ton veut , le plan^'Ojzt', et c l'aDgle x'OD ; on aura aussi
b = acosc, ' et , d'après la formule (^2) du n"" 9, cos 0= cos q cos a+cos q' cos ^-j- ^^^ 9* cos y ; (5) d*oii Ton conclut
b:=p cos cL+p' cos S -hp^' cos y ; (6)
équation qui fera connaître la projection d'une aire a sur un plan quelconque , lorsque l'on connaîtra ses projections sur trois plans rectangulaires.
Comme l'équation (5) n'a lieu qu'en tenant compte des signes des cosinus qu'elle renferme , il s'ensuit qu'il faut de même avoir égard , dans l'équation (6)» aux signes des projections p, //, p^f et les considérer comme des quantités positives ou négatives, selon que la perpendiculaire OD au plan de a fait des angles aigus ou obtus avec les axes 0«r , 0/, Oz.
^277. Cela posé, considérons de même un nombre quelconque d'aires planes a, a! ^ d\ etc., situées dans des plans différens; projetons toutes ces aires sur les
STATIQUE, SECONDE PARTIE. S3g
trois plans xOj', xOz^ jrOz^ et ajoutons ensemble les projections faites sur un même plan , en ayant égard à leurs signes ^ ainsi qu'il vient d être dit. Soient  ^ A', A", les trois sommes qu'on obtiendra de cette manière ; soit aussi B la somme des projections de a^ a\ a', etc. ^ sur le plan yOz' ; en formant pour chacune de ces aires ^ une équation semblable à 1 équation (6), et ajoutant ensuite toutes ces équations ^ on aura
B = Acosât 4- A'cos^ + A^cos^.
Représentons encore par B' la somme des projections de a, a\ d\ etc. , sur le plan x'Q:^» Il est évident que la valeur de B' se déduira de celle de B ^ par la substitution de l'axe Oy perpendiculaire à ce plan , à l'axe Ox' perpendiculaire au plan j^Ojs', c'està dire^ en mettant dans la formule précédente et', C\ y\ au lieu de a^ é?, 7 ; ce qui donne
B' = A cos a! + Bcos f ' + C cos y' .
Si l'on représente de même par B'' la somme des projections de a^ a'^ d\ etc. , sur le plan x'Qj\ sa valeur se déduira de celle de B ^ en y substituant ai\ C, y^ au lieu de ce, 6 , y\ d'où il résultera
B"=Acosa" + Bcos^' + Ccosy'.
De ces valeurs de B, B', B% et en ayant égard aux équations (3) et (4) , on tire réciproquement
A = BcosaH-B'cosflt'-f.F'cos(x", ) A'=Bcose + B'cose'4-B''cos€", [ (7)
A':ï=:BcûS>H-B'c0S>'H^B^C08>\ )
Ces différentes équations nous montrent que les projections des sur&ces planes sur différens plans, suivent les mêmes lois que celles des lignes droites sur des droites différentes.
278. En faisant la somme des carrés des valeurs de B, B', B", il vient, d après les équations (3) et (4),
ce qui fait voir que la somme des carrés de ces trois quantités B , B', B% ne varie pas avec la direction des trois plans rectangulaires de projection auxquels elles se rapportent. Dans le cas particulier où toutes les aires a^d^ cC^ etc., sont dans un même plan, cette somme n'est autre chose que le carré de l'aire totale IX + a' + II' + etc. ; et si Ton prend ce plan pour celui des axes Oj et Oa, par exemple, on aura évidemment
A = a-H^ + a^H-etc., A' = o, A"=o.
Cherchons actuellement ce que la même somme représente dans le cas général ou les aires a, a', a', etc. , sont situées dans des plans quelconques.
L^équation (8) donne
la somme B, qui varie en passant d'un plan de projection à un autre, est donc la plus grande possible, quand on a B' = o et B' = o ; et alors elle est égale à
V/A* + A'* + A^*. Ainsi , la quantité constante dont il s'agit représente , dans le cas général ^ la plus
grande somme des projections sur un même plan , des aires planes que l'on considère dans l'espace.
279. Le plan^'Oz' qui répond à cette plus grande projection , jouit de propriétés importantes en me-» canique , que nous ferons connaître dans la suite de ce traité. Sa position est facile à déterminer , d'après les équations B' = o et B" = o , qui le caracté-* risent.
En effet 9 les équations (7) se réduisent alors à A = Bcosa, A' = Bcos€, A' = Bcos>; d*où Ton tire
cos a =
cos S =
cos y =
Lors donc que l'on connaîtra les sommes A, A', A% des projections sur trois plans rectangulaires jrOac , jrOz , xO/, choisis arbitrairement , on pourra immédiatement déterminer la direction du plan^Oz' de la plus grande projection , au moyen des trois angles a, 6 , y, qui se rapportent à la droite Ox' perpendiculaire à ce plan. Quant à sa position absolue dans l'espace , il est évident qu'elle est indéterminée ; car les projections de chacune des aires a, af, a% etc. , et^ par conséquent, la somme de ces projections, sont les mêmes sur tous les plans parallèles.
