La somme des projections des aires a, a! y

54a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

a% etc. f est égale sur tous les plans également indi-

nés sur celui de la plus grande projection.

Pour le démontrer , prenons le plan perpendicalaire à la droite OD ; désignons par C la somme des projections de a^ d^ ct^ etc. ^ sur ce plan; soient toujours q^ q\ q'f les angles que cette droite OD fiiit avec les axes Oa:, 0/, Oz, et c Tangle afOD qui mesure rinclinaison de ce plan sur celui de la plus grande projection. On aura ^ d après ce qu'on vient de trouver ( n° 277 ) ,

C = Acosç + A'cosç' + A*cos^^

En substituant B cos a^ B cos Q j B cos ^ , à la place de A y A', A% on aura donc

C = B (cos a cos ç + cos C cos 9' + cos y cos <() ,

ou bien , en vertu de la formule (5)^ C = B cos c , et, en mettant pour B sa valeur ,

C = V'A' 4- A'* + A'* cos c;

par conséquent , la valeur de C est la même pour tous les plans qui font le même angle d avec le plan yO:i de la plus grande projection.

Cette valeur diminue à mesure que l'angle c approche de go°; elle est nulle pour tous les plans perpendiculaires à yOz'.

281. Pour appliquer maintenant à la théorie des moraens ces propositions relatives aux projectioDS des surfaces planes, il suffit de supposer que les aires a, a\ a% etc. , sont les doubles des triangles qui ont pour sommet commun le point 0, et pour bases les

droites qui représentent , en grandeur et en direction , les forces P, P', P*, etc. , que l'on a considérées précédemment. Leurs momens L, M , N, par rapport aux axes Oz , O/*, Ox , des coordonnées positiyes de leurs points d'application ( n"" 274 ) seront alors les sommes des projections de a, dy a% etc.^ sur les plans xXify ocQzy y^z ; et voici les conséquences qui résultent des propositions qu'on vient de démontrer :

I*. En appelant E le moment des forces F, F', F* y etc. y par rapport à un axe passant par le point O^ qui fait avec les axes 0«r^ Oj^ Oz^ des angles € ^ ë', ^^ aigus ou obtus , on aura

E = N cos 6 4- M cos é' 4- L cos c'.

2**. Parmi toutes les directions autour du point 0, de l'axe du moment E^ il en est une pour laquelle ce moment est le plus grand possible et égal à

V^L* + M* + N*. Par rapport à tout autre axe , passant toujours par le point 0 et perpendiculaire à celui du plus grand moment^ le moment E est zéro,

et il est égal à v/L* + M* + N* cos cT, relativement à un axe qui fait l'angle cT avec celui du plus grand moment.

3"*. Enfin , si l'on appelle et , ^ , ^, les angles que fait l'axe du plus grand moment passant par le point 0^ avec les axes Qx^ OjTj Oz, des momens N, M, L , et que l'on désigne par G la grandeur de ce plus grand moment , ou aura

cos a = ^> cos b = ^, cos> = g.

et , en même temps ,

d'où il résulte qu'en prenant sur les axes Ojc, Oj^, O2; à partir du point 0 , des droites proportionnelles aux inomens N, M^ L^ et achevant le parallélépipède dont ces droites seront les trois côtés adjacens, Ii longueur de sa diagonale représentera la grandeur da plus grand moment , et cette droite sera Taxe de ce moment principal.

Ces théorèmes remarquables sont dus à Euler. Os établissent une parfaite analogie entre la compositioa des raomens et celle des forces ; analogie qui tient à ce que les forces étant représentées par des lignes droites , les momens sont exprimés par des sur&ces planes, qui se projettent sur des plans difiërens, de la même manière que les lignes sur des droites diflërentes ( n*^ 277 ).

282. Le point 0 et le système des forces P, V, P*, etc., étant donnés, j'appellerai moment principal de ces forces, leur plus grand moment G. Si Foo transporte toutes ces forces parallèlement à ellesmêmes , en ce point 0 , elles auront une résultante que je désignerai par R, et dont les composantes, suivant les axes Ojc, 0/', Oz, seront les trob quantités X , Y, Z , du n"" 26 1 • La considération de cette nfsultante et du moment principal , fournit un énoncé très simple des résultats du chapitre précédent.

Pour l'équilibre des forces P, P', P*', etc. , appliquées à un corps solide entièrement libre , il suffira que la résultante R et le moment principal G soient

égaux à zéro ; car ^ à cause de

les équations R =: o et G =5 o , entraioeront les six équations d équilibre du n* 261 •

On en peut conclure que pour quun système de forces fasse équilibre à un autre ^ il est nécessaire et il suflit : i"". que les résultantes R qui ont lieu dans ces deux systèmes soient égales et contraires ; 2«. que^ pour un même point 0, leurs raomens principaux soient égaux et répondent à des axes dirige en sens contraire^ ou dont l'un soit le prolongement de lautre. La résultante R et sa direction , le moment principal et la direction de son axe, resteront les mêmes, dans toutes les transformations qu'on peut faire subir à un même système de forces, et, généralement, pour deux systèmes de forces équiyalens.

Soient IX, b , c, les angles que la force R fait ayec les axes Ox, O/", O2, on aura

cos a = g- , cos 6 = g- , COS C =s g-.

Soient aussi ro l'angle compris entre sa direction et Taxe du moment principal ; a, C , >» étant les angles que fait cet axe ayec Ox, Ojr, Oz, nous aurons

cos C9 = cos a cos a 4- co§ b cos 6 + cos c cos y,

ou , ce qui est la même chose ,

XN 4- YM -h ZL

cos G? = ^^- .

U s'ensuit donc que la condition d'une résultante 1. 3«

unique qui est exprimée ( n** ^63 ) par Féquation

XN + YM + ZL = o ,

cimsiste en ce que l'axe du moment principal G et la direction de la résultante R doivent se couper à angle droit. C'est ce qu'on vérifie , en effet, en obsekfaot que si les forces P, P', F", etc. , dans leur vëritiUe position^ ont une résultante unique^ cette force doit être égalé et parallèle à R> et que sbn moment ptr i^pport au point 0, doit aus<^i être le moment prindjpiî O ; eh sorte que Taxe du moment priocipal est ators perpendictdaire à cette résultante transportée au point 0 parallèlement à elle-tnémè ; mais tb raisonnement ne suffirait pas pour prouver que réciproquement , quand l'équation ^précédente a lieu , ks forces données ont une résultante unique.

283. Je transporte le point Ô en tm antre point cfuëlconque que j'appelle O, ; je désigne par Jf,, ^„ z„ les coordonnées de 0. , rapportées aux axes Ojc, (fy, Oz, et par L, ^ M,, Nj^ ce que deviennent L, H, N , relativement à àe point Ù, : les valeurs de ces dernières quantités se déduiront des premières (n° 261 ), en y mettant jc — x», j- — jr^^ z — 2,, à la place de a;^ ^, z ; et il en résultera

iVI. = lÔ + Zjc, — Xz„ \ (a)

N. = N + Yz. - Zr.. 1

Ces formules montrent que quand P, P', P*', etc. , se réduisent à des forces égales , parallèles et dirigées bit setis eontranre y mais non directement oppMées,

auquel casonaX = o^ Y=so,Z=70,le$ quantités L| , M, y N, , sont indépendantes des coordonnées du point 0, ; en sorte que la grandeur du moment principal ^t la direction de son axe ne varient pas avec la position de ce point. £n effet, quelque part que soit placé le point 0. , il est évident que Taxe da moment principal des deux forces parallèles qu'on peut substituer aux forces données P, P^, P'^ etc. , est la perpendiculaire à leur plan; et bous savons d'ailleurs (n* 4^) que la somme des momens de ces deux forces qui sera le moment principal des forces données, est une quantité constantie.

Dans tout autre cas, le moment principal change avec la position du point 0, ; et l'on peut demander quel doit être ce point, on ces points, s'il y en a fin-' sieurs , pour lesquels ce moment €st un minimum» En le désignant généralement |Mir G. , c'est-à^^ire , en faisant

G/ = L/ + M,' + N.% nous aurons

Si Ton égale à zéro ses trois différences partieHès par rapport à j:, , ^«, Z| , afin de déterminer sa valeur minîma, et si Ton observe que ,1

on obtient trois équations qu'tt <st facile d'écrire sou$

cetlto forme :

548 TIUITÊ DE MÉCANIQUE.

R*^, =:X( Xx, + Yj. + Zz, ) + YL — ZM, R«7/=Y(Xr.+Yj. + Zz.) + ZN — XL, R*z, == Z ( X^. + Yj^, +Zz, ) 4-XM— YN.

Or, si Toa ajoute ces trois équations après les ayoir multipliées par X , Y , Z , ou trouve une équation identique ; il s ensuit donc que Tune d'elles est une suite des deux autres ; ^et comme les coordonnées Xtjj't , z, , ne s'y montrent qu'au premier degré, elles appartiennent à une ligne droite qui est le lieu des centres des momens, par rapport auxquels le moment principal est au minimum. Il n'est pas nécessaire d'examiner lequel a lieu du maximum ou du mini-' mum y car il est évident que la valeur de G. croit indéfiniment avec les variables x^, jr^f ^tf et n'est pas susceptible de maximum.

:i84« Eq éliminant la quantité Xx, -|- Y/*, -f- Z2, , entre les équations précédentes, prises successivement deux à deux , on trouve

équations qui appartiendront aux projections sur ks trois plans des coordonnées du lieu des centres des momens principaux minima.

On en déduit

^ NX + MY + LZ , ,

pour la valeur du moment principal minimtfm, qui est ainsi la même pour tous les centres O..

Si Ton appelle a.^ ^r» >i^ les angles que taxe du moment G, fait avec des parallèles aux axes Oar, O^'y Ozy menées par le point 0, ^ on aura

cos a, = ^ , cos b, = g-, cos 5., = g^ ,

quel que soit le centre des momens ; et , d après les équations (a) , (b) , (c) , il en résultera , en particu-» lier^ pour un point O, appartenant à la droite déterminée par les équations [b) ^

cos a, = g-, cos^, = j^, cos>. =^;

ce qui montre que les axes de tous les momens principaux minima , dont la valeur commune est donnée par la formule (c), sont parallèles entre eux et à la direction de la force R.

Quand les forces données ont une résultante unique, il est évident que la plus petite valeur de G| doit avoir lieu lorsque le point 0, est pris sur sa direction ; ce qui rend cette valeur égale à zéro. Réciproquement , si la valeur de G, est nulle par rapport à un point 0, , on en conclura que les forces données P, P, P*, etc. , ont une résultante unique f passant par ce point; car si elles se réduisaient à deux forces non comprises dans un même plan , on pourrait faire passer l'une d'elles par le point 0,, et réduire leur moment principal à celui de l'autre force, lequel ne serait pas zéro, contre l'hypothèse . On conclut de la que la condition néces-

55o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

saire et suffisante pour que les forces données aient une résultante unique , consiste en ce que leur moment principal puisse être égal à zéro. Ce moment étant alors un minimum , la condition dont il s'agit sera exprimée par l'équation

LZ + MY + NX = o ,

d'après la formule (c) ; et le point 0^ auquel il se rapporte , appartenant à cette résultante , les équations de la droite suivant laquelle elle est dirigée , seront

XjTt — Yo?, 4- L.SS1 o,

Zx^ — Xz, -f- M =r o,

Yz, Zr. 4-N = o,

en vertu des équations (b). Ces résultats coïncident avec cevLt du n* 265 qu'on a trouvés par d'autres con« sidérations.

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STATIQUE, SECONDE PARTIE. 5$i

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