CHAPITRE m

EXEMPLES DE L'ÉQUILIBRE D'UN GOEPS FLEXIBUU

§ P'. Équilibre du poljrgone funiculaire.

:285. Od appelle, en général , machine Jimiculaire, tout assemblage de cordes liées entre elles par des nœuds fixe$ , ou simplement passées dans des anneaux qui peuvent couler le long de ces cordes. Le nombre des cordons qui viennent aboutir à un même nœud peut être quelconque ; mais pour simplifier la question , nous supposerons que chaque nœud n'as« semble jamais que trois cordons; et , en premier lieu^ nous exclurons les anneaux mobiles.

Prenons donc une corde parfaitement flexible et d*une longueur quelconque , dont A et B (fig. 71 ) soient les deux extrémités. Soient M, M', IVf'^ etc. , difTérens points de cette corde ; attachons à ces points des cordons MC ^ M'C, M'C% etc. , suivant lesquels agiront des forces données P, P^, fg etc. ; appliqiKMii^ aussi au point M une force donnée H » agissant dans la direction du cordon MA , ^%sm 4emiçr des pointe M^ M', M", etc., upe autre force donnée K, dirigée vers 1^, point B. Dans Fétat d'éqqilibre, cette cord^ flexible fonnera un polygQi^ demi les saonniets seront

55a TRAITÉ DE MÊCAMIQUE.

les points A , M , M', M% . . . B , et que nous appelle* rons spécialement un polygone funiculaire. U s*agit de trouver les conditions que les forces données H, P, P', P, . . . K , doivent remplir pour que cet équilibre soit possible , et de déterminer la figure du polygone qui convient à cet état.

Pour trouver ces conditions , je pars de ce principe évident que si l'équilibre existe , chacun des cordons MM^, M^M', etc., doit être tiré, à ses deux extrémités, par des forces égales , dirigééls suivant ses prolongemens ; car si ces deux forces n'avaient pas la même direction que le cordon , rien ne les empêcherait de le faire tourner; et si elles n'étaient pas égales et contraires^ elles feraient avancer le cordon suivant sai direction.

U s'ensuit d'abord que la résultante des deux forces H et P^ appliquées au point M , doit coïncider avec le prolongement MD du cordon M'M. On peut donc transporter le point d'application de cette force an point M' situé sur sa direction ( n"" 4^ ) » en la composant ensuite avec la force P, appliquée à ce point, il faudra que cette seconde résultante , qui sera celle des trois forces H , P, F, coïncide avec le prolongement M'D' du cordon M'M' ; et, par conséquent, il sera permis de la transporter au point M'. Je prends encore la résultante de cette force et de V qui i^'t en ce même point W ; j ai , de cette manière , la force qui tire le cordon M'TVf "' à son extrémité M", et qni doit être dirigée suivant son prolongement M"D^. Cette force est, comme on voit, la résultante des forces H, P, F, F'; un raisonnement seraMaÛe prou*

verait que la force qui tire le même cordon à son extrémité M'", et qui doit coïncider avec son autre prolongement M'^'D''', est la résultante des forces P''', P'% . . . y K ; ces deux résultantes sont donc égales et directement opposées; et^ conséquemment , la résultante de toutes les forces données H, P, F, P*. . . . K , doit être égale à zéro. On parviendrait évidemment au même résultat , en considérant les forces qui agissent aux deux extrémités de tout autre côté du polygone. Ainsi y les forces appliquées au polygone funiculaire doivent être telles qu'en les transportant en un même point parallèlement à elles-mêmes^ elles s'y fassent équilibre; ce qui donne, comme on sait, trois équations entre les grandeurs de ces forces et les angles que font leurs directions avec trois axes rectangulaires menés par ce point. Ces équations sont ( n^ 55 )

Hcosa-hKcose+Pcosa-|-P'cosa'+etc.=o, ) HcosJ-|-Kcos/+PcosS+P'cos^'-|-etc.=o, > (a) H cosc-|-Kcosg+I*cos5^P'cosy+etc.=o; 3

a, e, a, af, etc. , désignant les angles relatifs à l'un des axes ; b , f^ €, €% etc. , les angles relatifs à un autre axe; et c, g, y^y\ etc., ceux qui répondent au troisième.

^86. Lorsque les forces H , P, F, F', ... K , et les directions des cordons par lesquels elles agissent, ne satisferont pas à ces équations, il sera impossible qu'elles se fassent équilibre par le moyen du polygone funiculaire, quelque figure qu'on lui donne; mais toutes les fois que ces équations seront satis-

faites, on pourra donner au polygone une iîg«re telle qae l'équilibre ait lieu. Les grandeurs et les directions des forces H, P, F, P",. . • K., ^tant données, cette figure est déterminée^ et sa constructioi résulte de la suite de compositions de forces que nous venons d'indiqué.

En effet , connaissant les directions des oordoss MA et MCy par lesquels agissent les forces H et P| on déterminera la grandeur et la direction de le» résultante. Sur le prolongement de cette direction, à partir du point M , je porte la longueur donnée da côté MM^; cela fait, j'applique au point Mf la résultante de H et P suivant la ligne M^M , et la force V suivant la direction donnée du cordon M'C Je praids la résultante de ces deux forces, et sur le prolongement de sa direction , à partir du point M% je porte la longueur donnée du côté M'M'^ Maintenant , je fais au point M'^ une construction semblable à celle que je viens d'indiquer pour le point M ; j'applique en M'' la dernière résultante sur le côté M^^^ et la force P'' suivant la direction donnée du cordon M"C'; je compose ensuite ces deux forces en npe seule, et, sur le prolongeipent de celle-ci, je porte la longueur donnée du côté M'^M'*

Je continue ainsi jusqu'à ce que je sois parveim «o dernier dqs nœuds M, M^, M"^ etc.» qui sera ^ je suppose, le point M'% de sorte que M'^B soit le denûer côté du polygone. Sa direction est connue , pois* qu'elle représente celle de la force extrême K, qui est donnée par bypothès^^ U faudra donc que la direction prolongée de la résultante des deux forces a|qilh

qoëes tu point. M'% suivant le c6tc M^'IM'^et suivant le cordon M*^C'% coïncide avec la direction donnée du côté M'^B. C'est y effectivement , ce qui arrivera toujours; car^ d après notre construction , la force dirigée suivant M'^M^^ n'est autre chose que la résultante des cinq forces H , P, F, P'', P''', transportées ao point M'^ parallèlement à leurs directions; en la composant avec la force P'% dirigée suivant M'^C'% on aura la résultante de toutes les forces données , moins la force K ; or ^ en vertu des équations (a) , qu'on suppose satisfaites, cette résultante est égale et directement opposée- li la force K (n"" 35).

Si l'on mène par le point A, les trois axes auxquels 86 rapportent les angles a, e^ m,, aJ^ etc., h, f^ C, C^p etc. f Cf gfy,y'^ etc., les coordonnées de chacun des sommets du polygone, rapportées à ces axes, seront les projections sur ces mêmes axes de la partie du polygone comprise depuis le point A jusqu'à ce sommet. On pourrait les calculer, en fonctions de ces «D^es, des longueurs des côtés du polygone et des forces données ; les formules générales que Ton obtiendrait de cette manière serviraient, dans chaque cas y à construire directement tous les sommets du polygone, ou seulement un ou plusieurs de ces points ; mais il est plus simple de déterminer succès* sivement, et les uns an moyen des antres, les diflëreos côtés du polygone, ainsi qu'on vient de rindiquer.

aS'j* Quand les forces données remplissent les conditions exprimées par les équations (a), et qu'on a fah prendre an polygone la figure propre i l'éqni*

556 TRAITÉ DE MÉGAHIQUE.

libre, l'intensité coniniune des deux forces égales et contraires qui tirent chacun des côtés suivant son prolongement, est la tension que ce cordon éprouve; il est donc important , dans la pratique , de calcoler cette tension , et de s'assurer, par Texpérience, qu'elle ne dépasse pas celle qu'un cordon du même dit*mètre et de la même matière peut supporter sans se rompre.

Or, d'après ce qu'on vient de voir^ cette tension variera d'un côté à l'autre du polygone ; la tensioa du côté MM' sera égale à la résultante des forces H et P, ou à celle des forces F, P", P''', ... K ; la tension du côté M'M'' sera égale à la résultante des forces H , P, P', ou à celle des forces P'^ P'", ... K; et ainsi de suite* Il sera donc aisé, dans chaque cas particalier, de déterminer les tensions qu'éprouvent tons les côtés du polygone en équilibre , lorsque les grandeurs et les directions des forces H, P, P', F",. .* K, seront toutes données.

Si les points extrêmes A et B du polygone sont fixes , les forces H et K représenteront k la fois Us tensions des cordons qui aboutissent à ces points et les pressions que ces points éprouvent. Dans ce cas, les valeurs de H et K, et des angles a, bj c, e^f, gf qui déterminent les directions des deux côtés extrêmes du polygone, ne seront plus données; maison aura huit équations pour déterminer ces huit inooiH nues, savoir, les équations (n), les équations (n*6) cos*a+ cos*6 + cosV= I , cos^e + cos'y-f- cos*gf =1 , et trois équations rfôultant de ce que la. position des deux points fixes A et B est donnée. On formera

celles-ci en calculant les valears des trois coordonnées de l'un de ces points , rapportées à des axes passant par l'autre points c'est-à-dire, les projections du polygone entier sur ces trois axes, et les égalant aux valears données de ces mêmes coordonnées.

La détermination de ces huit inconnues sera généralement très compliquée; mais après que le polygone funiculaire aura pris de lui-même la figure propre à l'équilibre des forces appliquées à ses sommets , on obtiendra sans difficulté les tensions de ses différens côtés ; ce qui suffira pour la pratique. Ainsi , en décomposant la force P appliquée au point M en deux autres forces dirigées suivant les prolongemens des côtés AM et MM', les composantes, données immédiatement par la règle du parallélogramme des forces, seront les tensions de ces deux côtés. Celle qui agira suivant le prolongement de AM devra être égale à la force agissant suivant ce premier côté, lorsque le point A sera libre; et quand il sera fixe, elle exprimera la pression exercée sur ce point. Pareillement, les composantes de la force P' suivant les prolongemens de MM^ et M'M'^, exprimeront la tension de BfM^, déjà connue par la décomposition de P, et celle dn côté adjacent M'M''; et ainsi de suite.

288. Les cordons qui forment les différens côtés d'nn polygone funiculaire sont toujours un peu extensibles; chacun d'eux s'allonge d'une petite quan*> tité , en raison de la tension qu*il éprouve dans l'état d'équilibre; et lorsque cette tension est connue, on peut calculer l'allongement correspondant.

En effet, l'expérience prouve que tant que la

558 TEAITÉ DE MÊGAf^IQUE.

tensioa d'un fil homogène et d'une «^Miisseur constante n'aj^roche pas de la force nécessaire pour le rompre y son allongement est proportionnel à sa Iongœur et à la tension qu'il éprouve ; il varie d'ailleurs, d'un fil à un autre , avec l'épaisseur et la omtière du (il. Gela étant , je suppose que Ton attache à an point fixe un fil de la même épaisseur et de la mèaie matière que le cordon AM , et que l'on suspende k son extrémité inférieure un poids donné IT, très giaod par rapport à celui du fiL Soient./ et /(i -4-9)86$ longueurs avant et après la suspension da poids fl ; cette quantité ^ sera une fraction très petite , indépendante de / et proportionnelle an, en négligeant le poids du fil^ en sorte que â, dans une autre expérience, les trois quantités l, ^,n, sont t, m^^ Tt^ 00 aura

I mit

quels que soient Z et /'. Or, il est évident qu'un fil at« taché à un point fixe et tiré à son autre extrémité par une force dirigée suivant son prolongement , est dans le même état que s'il était tiré par cette même force suivant ses deux prolongemens. Si donc on appelle T la tension du cordon AM^ et si Ton suppose qu'il se soit allongé dans le rapport de 1+ r ^ l'uniiéy on aura

«T '^ ff '

pour déterminer cet allongement; et il en sert de même pour tous les autres côtés du polygone.

289. Soit que les points extrêmes A et B da polygone soient fixes , ou qu'ils soient libres , si Tun ou plusieurs des nœuds M, M', M'^, etc., sont remplacés par des anneaux , cette circonstance donnera lieu à <le nouvelles conditions d'équilibre. Supposons, par exemple ^ qu^ M'^ soit un anneau mobile qui puisse glisser le long du cordon M'M'IVl^' ; il est clair que dans ce mouvement la somme des distances i/lM^ et M"M'", du point M" aux points M' et M''', restera constante. Or, si Téquilibre existe, cet état ne sera pas trouMé en rendant fixes ces deux derniers points; mais alor ; le point M'^ sera dans le môme Cas qtte s'il était astreint à demeurer sur la surface d un ellipsoïde de révolution , dont M' et M^'' sont les deux foyers, et dont le grand âxe est égal à la longueur donnée du cordon M'IM^'iM'''; donc ce point ne peut rester en équilibre (n* 36), à moins que la force P'' qui lui est appliquée ne soit perpendiculaire k cette surface ; ^ak ii suit , d'après une propriété connue db lelKpse, que la direction de cette force doit couper en deux parties égales langle des deux rayons vecteurs M"W et M"M'".

hotÈ donc qu'en exécutant la construction du n^ a86, on sera parvenu k un anneau mobile tel que iSH" , et que l'on aura pris la résultante des deux forces dirigées suivant M"M' et M"C", dont le prolongement sera le côfé M'TVI'"; si l'on trouve qufe les angles C'M'M' et C'M"M'" ne sont pas égatïx entre eux, il en (andi^ Conclure que l'équilibre n'exige pas. En général , il faudra lyiie la direction du cordon M''C', attaché à un anneau mobile^ no

56o TAAITÉ DE MÉGANIQUE.

soit pas donnée d avance , afin qu'on poisse , en U déterminant d'une manière convenable , remplir h condition de 1 égalité des deux angles M'M'^C et

Observons que dans 1 état d équilibre, les tensions des deux côtés adjacens à un anneau mobile serait égales entre elles; cela résulte de ce que ces deux côtés font des angles égaux avec la direction de la force appliquée à cet jinneau, et que leurs tensiooi sont les composantes de cette force suivant lean propres directions; mais cette égalité de tension peut aussi être considérée comme évidente en eUe-mémey puisque les deux côtés le long desquels 1 anneau peut glisser ne forment qu'un cordon, qui doit nécessairement éprouver U même tension dans toute soa étendue.

290. Ce que nous disons à Tégard d'un anneia obligé de glisser le long d'un fil considéré comme inextensible et parfaitement flexible, peut s étendre à tous les points d'un système de points niatéridk en équilibre. Quelle que soit la liaison de ces points entre eux , on ne troublera pas cet équilibre ea fixant tous les points du système , excepté un seul. Or, si la liaison de ce point avec les autres est teUe qu'il puisse encore décrire une surface ou seulement une ligne courbe autour de ces points fixes, il est évident que le point mobile sera dans le même cas que si la surface ou la ligne courbe existait réellement; par conséquent, la direction de la force qui lui est appliquée doit être normale à cette surface ou à cette ligne.

STATIQUE, SECONDE PARTIE. 56i

Concluons donc que dans tout système de points matériels en équilibre , la force appliquée à chacun de ces points est perpendiculaire à la surface ou à la ligne sur laquelle ce point serait obligé de rester^ si tous les autres points auxquels il est lié étaient regardés^ pour un moment, comme des points fixes.

Quand cette condition , relative à la direction des forces et à la liaison des parties du système, n'est pas remplie, on peut ôtre certain que l'équilibre n*existe pas; mais elle ne sufEt pas à elle seule pour assurer l'équilibre du système,

291. Si toutes les forces qui agissent sur un polygone funiculaire suspendu aux deux points fixes A et B, sont des poids donnés, il résulte de la construction du n* 286, que ce polygone tout entier sera contenu dans le plan vertical passant par ces deux points; et cela est d'ailleurs évident en soi-même, puisqu'il n'y aurait aucune raison pour qu'il s'écartât de ce plan plutôt d'un côté que de l'autre. En prenant alors la perpendiculaire à ce plan pour l'axe auquel répondent c, g, >, 7'^ etc. , tous ces angles seront droits, et la troisième équation (a) disparaîtra ; les deux autres se réduiront à

H cos a + K cos e = o , \ (b)

Hcos^^ + Kcos/+ n = o, J ^^

en supposant que les angles a, e^ ol, a, etc., répondent à un axe horizontal, et les angles 6, J) C, C\ etc., à un axe dirigé dans le sens de la pesan- I. 36

leur, et en représentant par El la somme des poids F,

V, V\ etc. , appliqués an poljf^one.

L'équilibre de ce polygone ne sera pas tronUë ai Ton rend sa forme invariable; par conséquent, la force n devra être égale et directement opposée à la résultante des forces H et K* En yertu des équations (6), elle est déjà égale et contraire à cette lé* sultante ; il faudra donc encore qu'elle passe par le point 0 ( fig. 72 ), où les prolongemens des oordooi extrêmes AM et BN viennent se couper, et qo'oo peut prendre pour le point d'application commun aux deux forces H et K. Ainsi, dans l'état d^équilibre, la résultante El des forces verticales P, P, P', etc., sera dirigée suivant la verticale OD; et, cela étant , on aura les proportions (n* 29)

H : n :: sin BOD : sin AOB , K : n :: sin AOD : sin AOB,

qui feront connaître les tensions des cordons extrêmes, ou les pressions H et K exercées* sur les deux points fixes A et B, quand on aura mesuré les angles AOD et BOD.

292. On peut faire sur les tensions des cordons qui supportent un poids donné , la même remarque qœ l'on a déjà faite à Tét^ard des pressions éprouvées par les points d'appui d'un plan horizontal sur lequel ao poids est placé (n* 270).

Supposons que les trois cordons attachés aux points fixes A, By C (fig. 73), se réunissent au point M , et qu'en ce point un poids F soit suspendu et agisse suivant la verticale MD. Prenons un point D' sur le pro-

longement de cette droite , et construisons le parallélépipède dont MD' est la diagonale, et qai a ses trois côtés adjacens MA', MB", MC, sur les directions des trois cordons. Si Ton représente la force P par la droite MD', ses composantes suivant ces directions seront représentées par les droites MA', MB', MC, et elles exprimeront les tensions des trois cordons MA , MB, MC, ou les charges des trois points fixes A , B, C, lesquelles se trouveront, dans ce cas, complètement déterminées. Mais , lorsque les cordons aboutissant au point M seront au nombre de quatre , ou en plus grand nombre, on pourra décomposer la force P d'une infinité de manières différentes, suivant leurs directions; en sorte que leurs tensions et les charges des points fixes ne seront plus déterminées , et nne ou plusieurs d'entre elles pourront être nulles ou prises arbitrairement. Or, cette indétermination aurait réellement lieu dans la question abstraite , où Ton n'a tenu aucun compte de Texteusibilité des cordons; mais elle n'existe plus dès qu'on a égard à cette propriété de la matière : alors tous les cordons s'allongent un tant soit peu ; leurs extensions dépendent de leur nombre et de leurs positions relatives; et si Ton mesurait ces petits allongemens, on en pourrait conclure la tension de chaque cordon, ou la charge de chaque point fixe qui a réellement

lieu.

Ainsi, en supposant que le cordon AM, par exemple, se soit allongé dans le rapport de i+<^^ l'unité, et sachant, d'ailleurs, qu'un cordon de même matière et de même diamètre s'allonge dans le rapport de

I ^. ^ à TaDÎté, quand on le suspend verticalement à un point Bxe , et qu'on attache le poids P à son extrémité inférieure, on en conclura (n* a88) que la tension éprouvée par ce cordon , ou la charge que

supporte le point A , est égale au produit - P.

Si l'on désigne par ^sr' et J"', taf' et J^", etc., ceqae deviennent les fractions ^etj^ relativement aux cor* dons MB, MC, etc., et par 7, y', y", etc., les angles aigus que font les cordons MA, MB, MC, etc. , avec la verticale MD', il faudra qu'on ait

- cos y + -/ cos y' H 7, cos y*' + etc. = i,

afin que la somme des composantes verticales de toutes les tensions soit égale au poids P. En projetant les mêmes cordons sur un plan horizontal mené par le point M, et désignant par co, œ', (J\ etc. , les angles que les projections de MA,. MB, MC, etc., font avec une droite MO tracée arbitrairement dans ce plan, on aura aussi

- sin 5^ sin « -f- -7 sin y^ sin û>' -|- etc. = o ,

- sin y cos » H , sin y* cos »' + etc. = o ,

pour exprimer que la résultante de toutes les tensions est une force verticale.

Quand il xiy a que trois cordons , ces trois «piations suffisent pour déterminer les rapports de leurs

tensions au poids P, ou les valeurs de - , -> , -*, au

moyea des angles que ces trois cordons font avec la verticale MD', et des angles compris entre les plans de cette droite et de leurs directions. Quand il n'y en a que deux, leurs directions et cette verticale sont comprises dans un même plan; ce qui réduit à une seule les deux dernières équations.

§ II. Équilibre ctiin Jil Jlexible.

nQJi. Considérons d'abord un fil pesant^ homogène et d'un diamètre constant; supposons-le parfaitement flexible et attaché par ses extrémités A et C (fig. 74) à deux points fixes ; et proposons-nous de déterminer la courbe ABC quil forme dans son état d'équilibre. On nomme cette courbe la chaînette; elle est évidemment comprise dans le plan vertical passant par les deux points fixes A et C ; car il n'y aurait aucune raison pour qu'elle s'en écartât plutôt d'un côté que de l'autre.

Par un point 0, menons dans ce plan deux axes rectangulaires Ox et Ojr , qui seront ceux des coordonnées positives ; prenons Ox horizontal et dirigé du côté du point A, et 0^ vertical, dirigé en sens contraire de la pesanteur, et passant par le point B, le plus bas de la courbe. Soient x et jr les coordonnées OP et PM, rapportées à ces deux axes, d'un point quelconque M de la chaînette, et s l'arc BM aboutissant en ce point el compté du point B; et dé-* signons par x\j\ s\ ce que deviendront x, j , s , relativement à un autre point de cette courbe , tel que l'on ait s > .y.

Si l'on appelle p le poids de l'unitë de longneor du fil, lorsqu'il est couché sur un fdau borizontil, p (s' — s) sera y dans cet état, le poids d'une longuevr s' — ^ du même fil , puisqu'on le suppose homogène et d'une épaisseur constante. Quand il sera suspendu aux deux points fixes A et B, ses différentes parties s'allongeront inégalement , à raison de leurs tensions respectives; et, en même temps, leurs densités on leurs épaisseurs diminueront de manière que leurs masses ne changent pas; par conséquent, le poids de cette longueur y — s ne sera plus exactement le même qu'auparavant ; mais si la matière du fil est très peo extensible, et qu'on néglige les petites dilatations de ses parties, on pourra encore prendre p{s^ — s) ponr le poids correspondant à l'arc MM' de la chaînette.

Soient, en outre, T et T' les forces inconnues qui agissent à ses extrémités M et M', et proviennent de ce que ces points sont liés aux parties CM et AM' de celte courbe. En joignant ces forces au poids /> (y— ni), on pourra considérer MM^ comme entièrement libre; par conséquent, si l'on représente par et et ^ les angles que fait la direction de la force T avec les proloogemens des coordonnées jc eljr de son point d'application, et parot' et Q' les angles analogues relativement à la force T', nous aurons

T cos «t + T' C08 «t' = o, )

Tcos^-+.T'cosC=/7(/— j), \{a) T(ar cos C — j-cos «) +T (^cos ^— y cos a') = /?(5'— j)x„ )

pour l'équilibre de ces trois forces comprises dans un même plan ( n" 262 ) ; x, étant l'abscisse hori-

sontale du œntre de gravité de 1 arc MM'. ESles auront lieu , quelle que soit la longueur de cet arc : si on la suppose infiniment petite, on pourra né-* gliger, dans ces équations , les quantité infiniment petites du second ordre; mais il £siudra conserver les quantités du premier ordre; ce qui n'empêchera pas qu'on ne doive considérer la force T comme étant dirigée suivant la partie MH de la tangente , à l'extrémité M , et la force T', suivant la partie ' MU' de la tangente , a l'autre extrémité M^

Pour le faire voir, prenons sur MM' un point m tel que l'arc Mm soit infiniment petit du second ordre; ce qui permettra de négliger le poids de cette partie de la chaînette. Si l'on fixe le point m^ réquilibre ne sera pas troublé ; or, le fil étant supposé parfaitement flexible , il n'y aurait rien qui empêchât la force T de faire tourner l'arc Mm autour de m, si elle n'était pas dirigée suivant son prolongement MH. On verra de même que la force T' doit être dirigée suivant MU'.

D'après cela, nous aurons

, dx' /•/ 4r'

et en négligeant les infiniment petits du second ordre , ces dernières valeurs seront

On peut aussi prouver qu'on a T'= T-f- ^fT. En

effet, la quantité T est une fonction des coordonnées du point quelconque M auquel elle répond , qui devient, conséquemment, T + ^ a^i point tff; en ce point, elle exprime la force qui agit sur la partie supérieure AM^ de la chaînette, suivant la direction MH^ , prolongement de HIVf '. Or , si mf est un point de la courbe dont la distance à M' est infiniment petite du second ordre , la force qui agit en m' sur la partie Am!, sera la même , en grandeur et en direction , que celle qui agit en M' sur AM^ ; par conséquent , la partie M W de la chatnette est tirée en sens contraire, suivant M ^^ et mH^^ par des forces T' et T -f- dT , qui doivent être ^ales pour que M W demeure en équilibre.

Cela posé, je substitue ces différentes valeurs dans les deux premières équations (a), et j'y fais s' — s — rf'; elles deviennent

rf.T^ = o, d,T^ = pds. (b) Quant à la troisième, elle prendra la forme

en y négligeant les infiniment petits du second ordre, ce qui permet de remplacer sc^ par jo dans son second membre. Or , cette équation est la même chose que

xd.T^ -jd.T^^pxds; et, comme on voit, elle est une suite des deux ao-

très. Effectivement, le problème ne peut dépendre que de deux équations , puisqu'il n'y a que deux inconnues ^ et T à déterminer en fonctions de x ; la première , pour connaître Téquation de la courbe , et la seconde, pour savoir quelle est ]a tension en un point quelconque M , c'est-à-dire , la grandeur des forces égales qui tirent l'élément Mm suivant ses deux prolongemens.

294 • L'intégrale de la première équation (b) est

^ ds '^ ^'

en d^gnant par c la constante arbitraire. Au point B, on a —z=si et T = c ; si donc on représente la tension en ce point le plus bas, par le poids d une longueur h du fil^ on aura cz=zph, et, en un point quelconque ,

La seconde équation (b) deviendra donc

d'où l'on tire

dx '

en observant qu'on a , en même temps , ^ = o et

^=z=o au point B. Ces équations feront connaître

immédiatement l'arc s et la tension T , lorsque l'ordonnée j* aura été déterminée en fonction de x.

En mettant dans Tëquation précédente , à la place de dSf SSL yalenr

on en déduit

f dx

En intégrant et observant qu'on a;r = oet ~z=lo au point B, on en déduit

, = *iog(|+v/-+£).

et, par conséquent,

e étant, à l'ordinaire, le base des logarithmes népériens. Je multiplie cette équation par

il en résulte

V ' ^ dx» dx*

on aura donc

STATIQUE, SEœNDE PARTIE, 571

d'où l'on tire

en observant que ^ = o et x=:o, au point B , et

prenant lorigine 0 des coordonnées k la distance h

au-dessous de ce point, de sorte qu'on ait^ = A

quand a:=zo,

dr Ces équations (c) donnent s^zh-j- , comme plus

haut. La seconde est l'équation de la chaînette , sous la forme la plus simple; elle montre que cette courbe est symétrique de part et d'autre de son point le plus bas.

La valeur précédente de T deviendra

en sorte que la tension en un point quelconque M est exprimée par le poids d'une longueur du fil , égale à la perpendiculaire MF abaissée de ce point sur la droite horizontale , passant par le point 0. C'est au point B que cette tension est la plus petite ; et sa valeur en ce point est ph^ comme on l'a supposé.

:295. Il ne reste plus qu'à déterminer la constante h qui entre dans ces formules. L'expression de^ fera ensuite connaître la figure de la chaînette ; mais pour que sa position soit connue dans le plan vertical passant par les points A et C , il faudra aussi déter-

miner la distance de Taxe Of à 1 un de ces points

fixes.

Pour cela , je mène par le point A une horizontale qui coupe Taxe Ojr en un point Q , et par le point C, une verticale qui rencontre cette horizontale au point D. La position du point C, par rapport au point A, étant connue^ les distances AD et DC seront données. Je les représente par a et 6 ; je désigne aussi par il la distance AQ; en sorte qu'on ait

AD = a, DC = i, AQ = *, OB = h;

a et b étant des quantités données, et A: et A les deux inconnues qu'il s'agira de déterminer.

J'appellerai kf la distance QD , / la longueur don« née de la courbe ABC f g et g' ses parties AB et BC , f la flèche BQ ; on aura

en regardant k* et g' comme des quantités positives ou négatives, selon que le point C appartiendra au prolongement de AB ou à AB même. Les ordonnées des points A et C seront h ^f et h +y — b, en considérant aussi la quantité b comme positive on comme négative, selon que C sera au-dessous on au-dessus de la droite horizontale , menée par le point A.

Si l'on fait dans les équations (c) , d'abord

a: z=z k, ^ = g, y = h +f, et ensuite

X = — k', s es ^ g', j- = h +f^ b,

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 5^3

il en résultera

Ke^-e"*), A+/=K/-f-eO.

d'où Ton tire

De là et de A: + ^' = <^ > on conclut

Z* — i* = A* (e^ + e~^ — 3), et , par conséquent ,

-L(/ e'O = 71, (rf)

2flt

en faisant , pour abréger ,

Cette quantité n étant composée de quantités données, réquation (^d) fera connaître la valeur de a, et par suite celle de h. En général , cette équation se résoudra par des essais ; et Ton en déduira la valeur numérique de a d'après celle de ii , aussi exactement qu'on voudra. Si ri diflere très peu de Tunité , la valeur de a sera très petite ; eu développant alors

574 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

les exponentielles ^ et négligeant la quatrième puissance de tf , on aura simplement a* = 6 (/i — i). Si nous faisons aussi

nous aurons

A = ia + ^^, k' — \a — h€; et la valeur précédente de b deviendra

è=Ke'^-r>^)(/-rO;

ce qui fera connaître la valeur de C , d'après celk de A y et ^ conséquemment , les quantités A: et A:'. Le signe de k' décidera de quel côté de Oj^, le point C sera placé.

Le cas le plus simple aura lieu quand les points fixes A et C seront situés sur une même droite horizontale. On aura alors 6 =: o ; Téquation (e) donnera é = o, et, par suite, k::=k' = ja, comme cela doit être. On aura, en même temps,

h +f= hKe^+ e~V;

ce qui fera connaître les tensions aux points A etC, ou les charges que ces points fixes auront à supporter, après que la valeur de h aura été calculée. Dans le cas général, ces tensions extrêmes se déduiront des valeurs de j , correspondantes à or = A et X = — A'.

2g6. Parmi toutes les courbes de même longueuri

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 5^S

qui aboutissent aux points donnés A et C , la chaînette est celle dont le centre de gravite est le plus bas.

En effets menons par le point A ( fîg. j5 ) un axe horizontal Ay, et un axe Ax' vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur. Soient x^ et y les coordonnées d'un point quelconque M, rapportées à ces axes. En appelant ^, la distance du centre de gravité d^une courbe quelconque AMC , à l'axe Ay, nous aurons

b étant la valeur de x' qui répond au point C , et / désignant la longueur donnée de cette courbe , de sorte qu'on ait

Or, d'après la formule (e) du n? 201 ^ la courbe dans laquelle la première intégrale est un maximum entre toutes les courbes de même longueur, a pour équation différentielle

c et d étant des constantes arbitraires. En intégrant et observant que les variables x^ et y sont nulles en même temps , il vient

y = c' log ^l+.^-±-»^^^^,