IL -y

pour réquatîon de la courbe qui jouit de la propriété demandée. Au point C, ou aura

a étant la distance donnée de ce point à Taxe A^, de sorte qu'on ait à la fois x^ s= 6 et ^ = a. Cdte équation particulière et la longueur / de la courbe serviront à déterminer les deux constantes c et c^

Maintenant^ pour faire coïncider Téquation (y) avec celle de la chaînette ^ désignons par £ une constante indéterminée , et changeons les coordonnées x' etr en d'autres y telles que Ton ait

or' + c = — 7-, / = € — a:;

de manière que ces nouvelles coordonnées x et/ soient dirigées en sens contraire de jr' et x\ et rapportées à une autre origine. Par ce changement, le-

quatioQ {f) deviendra

DéterminODS la quantité € , en posant Téquation

et désignons par — h^ la valeur conunune de ces deux quantités égales, de sorte qu'on ait

Comme on a yy' = £?'•, il en résultera A = c'; et réquation précédente de la courbe deviendra

ce qui coïncide avec la seconde équation (c) que nous avons trouvée pour la chaînette.

297. Si la force verticale qui agit sur chaque élément du fil suspendu aux points A et C ( fîg. 74 ) > au lieu d'être proportionnelle à la longueur de Téléinent ds^ est proportionnelle à sa projection horizontale dx , la seconde équation (b) deviendra

p étant une constante donnée qui repr^nte le poids d'un prisme dont la hauteur est l'unité linéaire. En vertu de la première équation (b) , qui ne changera pas, on aura toujours

578 TRAITÉ DE MÉCANK^.

en désignant par h une ligne de loogneur incoiinae, et par ph un poids équivalent à la tension au point B, le plus bas de la courbe. U en résultera donc

hd. -^ = dx; d'où l'on tire

A^ âtt X, 2hjr =t ûcr,

en plaçant l'origine des coordonnées x otj^ au point B. Dans ce ca^, la courbe sent, comme on yoit^ une parabole qui aura son sommet au poiut le plus bas ; et Ton aura

T = p VA* + X*,

pour la tension en un point quelconque.

En employant les notations du n"* 2g5f ou aura, aux points A et C ,

2hfz=zk', ah{f-b)^k'%

et à cause de ^ + ^' = ^^ on en conclura

ahb = a{k— k');

ce qui fera connaître k, k',/, quand on aura déterminé h, dont la valeur se déduira de la longueur / du fil. Oo aura, en effet ,

ce qui donne , en effectuant l'intégration par les règles ordinaires ,

En supposant, poui* plus de simplicité, les deux points A et C dans une même droite horizontale, on aura

6 = 0, * = jf es ^a;

réquation précédente se réduira à

et l'on en déduira , par des essais , la valeur approchée dt h, lorsque les valeurs numériques de / et A: seront données.

Cette inconnue h se déterminera plus facilement quand la longueur l de la courbe différera très peu de sa projectiob a; ce qui rendra la valeur de h très grande par rapport à a. On aura alors, en séries très convergentes,

\/h- + A* = A + 1 -^- ^ ip + etc. ,

Au moyen de ces valeurs, Téqnation précédente de^ vient j à très peu près,

h'Q— 2/:) = iA:»; d'où Ton tire

58o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

On a choisi cet exemple , parce qu il trouve une application utile dans la construction des ponts suspendus, où il est important de calculer la tension de la chaîne de suspension et la charge de ses points d'appui.

298. Supposons actuellement que tous les points du (il soient sollicites par des forces quelconques. Il formera, en général, une courbe à double courbure; les équations d'équilibre de chacun de ses élément seront au nombre de trois ; et, en supposant toujours te fil parfaitement flexible , on obtiendra ces équations par les considérations que nous ayons exposées en détail dans le n^ 295. De cette manière , on trouve

d.T^ + Xids = o,

d.T^ + \6ds =i o, ) (1)

d.T nr -j- Z £ éstf = o;

^9 y% ^f étant les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque M de la courbe , ds l'élément différentiel de sa longueur, « le produit de la densité du fil et de la section perpendiculaire à sa longueur qui ont lieu au point M, de sorte que eds soit l'élément de la masse du fil ; T la tension en ce même point , ou la force, de grandeur inconnue, qui tire cet élément €ds suivant chacun de ses prolongemens ; X , Y, Z , les forces rapportées à l'unité de masse et parallèles aux axes des Jc^jr, 2, qui répondent au point M et seront des fonctions données de ses trois coordonnées.

En vertu de la tension T, rëlément ds aura éprouvé une extension et la quantité £ une diminution , telles que la masse ^ds n'ait pas changé; en désignant donc par ds' et k\ ce que ces quantités étaient dans l'état naturel du fil , on aura

eds = g'dly';

et en supposant l'extension proportionnelle à la force qui la produit (n* 288), nous aurons, en même tcmps^

ds = {\ + ùù'T)ds'; (2)

cû étant un coeflicient très petit, dépendant de la matière et de l'épaisseur du fil au point M. Quand le fil sera homogène et d'une épaisseur constante dans toute sa longueur, ë' et cê seront des quantités constantes; mais, en général, ces deux quantités pourront être regardées comme des fonctions données de l'arc/, compté d'un point déterminé du fil et aboutissant au point M.

299. Si le fil , de nature quelconque, est seulement soumis à la pesanteur et suspendu verticalement à un point fixe que j'appellerai A, les deux dernières équa-» lions (i) disparaîtront, et la troisième se réduira à

dT + gubc = o,

en prenant l'axe des x vertical et dirigé dans Te sens de la pesanteur, et désignant cette force par g. Je place au point A l'origine des x, et j'appelle Q la valeur de T qui répond à a? = o , c est-à-dire , la charge que ce point aura à supporter. Au point quelconque M , on aura

58a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

T = Q - gfeda:;

ri^t^rale étant pulle ea ipême tçipps que jc.

Appelons B rextrémité inférieure du fil; atlt» chons en ce point un poifls P , et désignons par / la longueur de AB. II est évident que P sera la tension au point B; on aura donc, en nnéme temps» jr = /, et T = P ; ce qui donne

Q = P +gf',dx,

et, par conséquent,

T = P + g f^ îdx—gfedjc.

Or, le second et le troisième terme de cette forraale sQQt les poids du (il entier et de sa partie AM ; il g*ensuit donc que la tension au point M est le poids de la partie BM , augmenté du poids P ; ce qui est d'ailleurs évident.

Ij4 loi de rallongement du fil dans toute son étendue , dépend de sa nature et de son épaisseur. Je soppQse , par exemple , qu'il soit homogène et partoot d'une même épaisseur, ce qui rendra constant le coefficient où. En appelant x' la longueur de la partie AM y avant que le fil soit tendu, laquelle longueur devient x par l'elTet de la tension , et mettant , en conséquence, dx' et dx au lieu de (i/ et ds, dans l'équat^pn (a) , on aur^

dx = (i + foT) dx'.

Soient aussi /' la longueur totale du fil avant son al-

longem^ut, et p son poids eatier, he poids de la par*-

tie BM sera ^-^ — j, -, et la tension au point M

aura pour valeur

En la substituant dans Téquation précédente, intégrant et observant qu'on ajt^^ro eta:scoau point A , il vient