X - or' = t,?œ' + '!d^fL
pour l'allongement de la partie AM . On en déduit rallongement total en faisant x'= V et x = l; ce qui donne
en sorte que pour avoir égard au poids du fil dans le calcul de cet allongement, il faut ajouter la moitié de ce poids à celui qui est attaché à son extrémité inférieure.
3oo. Dans le cas général , j'ajoute les équations (i), après les avoir multipliées P^r^r » ^» T J ^^ ®" résultp
dT + i{Xda: 4- Y^/r + Zdz) 5= o, (3) à cause de
IF ^ ds^ ^ ^- — ^'
ds ds * ds ds * ds ds
Si l'on suppose le fil homogène et son épaisseur cons-
tante ^ et qu'on néglige la petite dilatation de ses élémens, la quantité e sera constante; de plus^ la formule Xd!r + Yd^ + Zdz est, en général, la différentielle exacte d'une fonction des trois variables ^9 y 9 ^9 considérées comme indépendantes ; en disant donc
Xdx + YdfT + Zdz = — éi. ^ ( x,^, z ) ,
nous aurons
dT = ui.(p{x,jr, s^.),
et, par conséquent,
en comprenant la constante arbitraire dans la fonc' tion ^. Cette constante disparaîtra dans la diflerence des valeurs de T relatives à deux points du fil ; il s^ensuit donc que sans avoir déterminé la figure d'équilibre, on connaîtra Taccroissement de la tension d'un point à un autre ; en sorte qu'il suf&ra que la tension soit connue en un point déterminé , pour qu'elle le sôit aussi dans toute la longueur du fil.
Quant à la courbe formée par le fil , elle sera déterminée par deux tles trois équations (i) , ou par deux combinaisons quelconques de ces trois équations, dans lesquelles on substituera la valeur précédente de T; en sorte qu'il faudra généralement intégrer le système de deux équations différentielles dn second ordre pour connaître cette courbe. Son rayon de courbure au point quelconque M s'exprimera aa moyen de la formule différentielle suivante, qui n'est
qae du premier ordre , et qui suppose seulement connue la direction de la tangente en ce point.
Les équations (i) peuvent être remplacées par celles-ci :
qui sont la même chose que
dxdy — djd^x = (Xdf/ — \dx) '«y- 9 cîzd^x — dxd^z = {Zdx — lUz) -f, [ (4) djrd^z — dzdy = {\dz — Zdy) "^ ,
en effectuant les diflerentiations et prenant l'arc s pour la variable indépendante. Or, si Ton appelle p le rayon de courbure au point M, on a (n^ 18)
d'après les équations précédentes et la valeur de T , on aura donc
(p {X , y, *) ds
[(Xrfr — ^dxy ^- g.dx — Xdzy + çïdz — Zdxyy
Dans le cas de la chaînette , on a
X = 0, Y = — g, Z=z=:0, (P=évr^
586 TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.
en prenant les axes et Torigiiie Ueii coordonnées <{Qe
supposent les équations (c) du n* !294* On aura donc
ds
ce qu'il est aisé de vérifier, d'après ces éqqatioos.
3or . Appliquons ces formules au cas d'un fil tendo sur la surface d'un corps solide , et supposons , pour plus de simplicité, qu*il ne soit soumis à aucune force donnée , de sorte que la seule force qui agisse sur ses différens points soit la résistance inconnue du solide sur lequel il s'appuiç*
Au point quelconque M du fil , soit Nds la grandeur de cette force appliquée à l'élément ids du fil, et dont les trois composantes seront ^sds , Xids, Tàids; sa direction sera normale à la surface du solide, et dirigée dedehoi^ en dedans. La pression qni aura lieu sur I9 partie du solide correspondant 1 ds ser9i égale et contraire à cette force ]>U!r, de mailière que N exprimera la mesure de la poiession rapportée à l'unité de longueur»
En appelant x, pc, i' , les angles que fait la parlie extérieure de la normale en M avec des parai* lèles aux axes des x , jr ^ z, menées par ce point, on aura
€X = NcosA, 6Y = Ncosft, €Z=Ncosr.
De plus, si L ^c o est l'équation de la sur£sice du solide, et qu'on fasse, pour abréger,
^ ~ \dx* "^ dy "^ dz^J »
on aura aussi (n^ 21)
^7. dL mj d\j -mj dJj
cos X = V -3- , cos te =V -7- , cos p = V -j- , dx' dj dz ^
en prenant convenablement le signe de V. Cela étant, nous aurons
Xdx + Ydjr + Zdz = NVrfl. = o;
ce qui rendra nulle la valeur de dT donnée par réquatîon (5). La tension sera donc la même dans toute la longueur du fil , quelle quç soit la forme du corps solide. Je supposerai sa valeur donnée, et je la représenterai p^r k* Si le fil est attaché par une de ses extrémités à un point du corps, et qu'un poids considérable , par rapport à celui du fil qu'on a négligé , soit suspendu verticalement à son autre bout, ce poids sera la tension ^ et la pression que le point fixe éprouvera. Si le fil est libre par ses deux bouts, et que des poids considérables y soient suspeqdus , ils exprimeront les tensions extrêmes ; par conséquent, ils devront être égaux, et chacun d'eux sera la tension k. Enfin , si les deux bouts do fil sont supposés fixes, sa tension Jù se déduira de sop extension, qui sera constante dans toute sa lon-t gueur*
5o2. Je désigne par X\ ju', v'^ les angles que fait la perpendiculaire au plan osculatcur au point M , avec des parallèles aux axes des iT, ^, z. Le rayon de courbure en ce point étant p , on aura (n** 19)
dxd*Y — dyd^x ,
^ = f COS }>%
dzd*x — dxd^z d?
= f COS fJtf,
drd^z — dzdW ^-
Si donc on ajoute les équations (4) après les a?oir multipliées par cos v, cos a&, ces A , et quon ait égard aux valeurs de X , Y^ Z, qui ont lieu dans le cas que nous considérons, il en résultera
cosi^cos/^ cosjt;tcosft'+cosA cosX' = o;
par conséquent y les normales à la surface du corps solide et au plan osculateur de la courbe formée par le fil , en chaque point M , sont perpendiculaires lune à l'autre; ce qui est la propriété caractéristiqnc de la ligne dont la longueur est un minimum ou un maximum sur une surface donnée (n® i6i). Il s'ensuit donc quun fil tendu sur un corps solide, trace, eo général, la plus courte distance d'un point à un autre sur la surface. A la rigueur, il est possible que celte distance soit, au contraii^, un maximum ; ainsi , par exemple, deux points donnés sur une sphère sont les extrémités communes à deux arcs de grands cercles, dont l'un est la plus courte distance entre ces points, et l'autre la courbe plane la plus longue; oft il est évident que l'équilibre du fil tendu sera rigou* reusement possible sur ces deux arcs de cercle, puisqu'en le plaçant sur l'un des deux, il n y aurait aucune raison pour qu'il s'en écartât plutôt d'un cote que
de lautre; mais sur le petit arc Féquilibre sera stable, et sur le grand il ne sera qu'instantané, de sorte qu'il ne pourra subsister, physiquement, qu'à Taide du frottement du fil contre le corps solide.
Si l'on substitue encore les valeurs de éX , éY, €Z, du numéro précédent, dans la fomiule (d), on aura
N[(s*^osA-^cosA«) + (^cosy-JcosA)' + (^cos,*-^cosy)J = -,
à cause de €^ (a:, j", 2) = A. En même temps, on a
ds^ ^^ ds"^ ^^ ds^ — V
cos' A + cos^ ft -I- cos' y = I ;
la normale à la surface du corps et la tangente à la courbe du fil, en chaque point M, étant perpendiculaires l'une à l'autre, on a aussi
^cosA + f cosf« + gcosi' = o;
or , au moyen de ces trois dernières équations, on réduit sans didiculté le coefficient de N, dans la précédente, à l'unité. On a donc simplement
ce qui montre que la pression rapportée à l'unité de longueur, exercée par un fil tendu sur la surface d'un corps solide, est égale, en chaque point M, à la tension divisée par le rayon de courbure du fil ^
Sgo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
c*est4i«dire^ par le rayon de la section Dormale a la sarfaoe et tangente à la courbe du fil.
3o3« Ces rësollats seront modifiés par le firoit^ment du fil contre la surface da corps sur lequel 3 s*appnie. Pour montrer comment on doit avoir ^rd à cette force dans l'équilibre d'un fil flexible , je Tiis considérer l'équilibre d'un cordon ABMQO (fig. 76), dont la partie BMC est appliquée sur la gorge ^ooe poulie fixe» et qui est tiré, suivant les prolongemens BÂ et CD de Cette partie , par des forces données. La poulie et la droite ÂB seront supposées verticales; la force agissant suivant BA Sera un poids ^, et je représenterai par F celle qui agit suivant CD. Les tensions qui ont lieu aux points B et C suivant les tangentes BA et CD, auront A: et F pour valeurs. Je supposerai aussi , pour simplifier la question , que la {boulie soit drcalaire; j'appellerai c son rajon, et je prendrai son centre 0 pour l'origidie des coordonnées : l'axe des z Sera perpendiculaire à la poulie, l'axe des j' vertical et dirigé de bas en haut, l'aie des X horizontal et passant par le point B« Enfin, je fixerai au point C l'origine de l'arc s aboutissant aa point quelconque M du cordon , de sorte qu'on ait
