CM
Cela posé , si le frottement était nul , il faudrait qu'on eût A: = F dans le cas de l'équilibre ; mais , à raison du frottement , l'équilibre peut subsister tant que la différence de ces deux forces Ar et F n'a pas dépassé Que certaine limite. Concevons donc que l'équilibre soit sur le point de sel rompre dans le sens do pi^ds kf ce qui suppose qu'on ait Ar > F. A cet
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 691
instant f le frottement du cordon contre la poulie , qui a lieu au point quelconque M^ sera dirige^ suiyant la partie MH de la tangente , en ce point. Je représente par /j* son intensité , et ^ comme précédemment, par N la résistance normale qui à lieu au même point M , suivant le prolongement MO' de MO , de manière que /ids et ^ds soient les forces tangente et normale qui agissent sur Télément €ds du cordon aboutissant au point M ^ et que jtt et N représentent ces mêmes forces, rapportées à l'unité de longueur. Si l'on mène par ce point M des parallèles Mjc^ et My aux axes Ox et O/*, ou aura
cos xWi = — • f , cos/MH = - ,
de là on conclut
C C ' ce'
pour les valeurs de cX et êY qu^il faudra substituer dans les équations (i). La force éZ sera évidemment nulle; la troisième équation (1) disparaîtra, et les deux premières deviendront
as C c '
d.Tf + Mi+'^^o.
as c c
Le point M appartenant à la circonférence de la poulie , on a
x^^jr^src^, xdœ ^ jrdj 1=r: o ;
cos or'MO' = - , cosjr'MO' = ^- ;
Sqi traité de Mécanique.
au moyen de quoi les deux équations précédentes peuVeat être changées en celle&ci : .
xd.T^ +jrd.T ^ + Ncds =o ,
Mais 7 (j'da: — J^djr) est la diiTérentielle du secteur décrit par le rayon OM , à partir d^une ligne fixe (u* i56), qui sera OC, par exemple. Ce secteur étant circulaire et répondant à Tare ^, sa Taleorest ics; on a donc
j^dûc — xdjr = cds.
D'ailleurs, on a aussi
dx d?
ce qui réduit les équations (6) à
T = cN, dT = /juis;
d*où Ton tire
crfN = fjids.
La pression qui a lieu au point M, sur la gorge de la poulie , est égale et contraire à la force N ; si donc on suppose le frottement proportionnel à la pression ( n° 269 ) , on aura
/ étant un coefficient constant qui dépendra de I2
STATIQUE, SECONDE PARTIE. SgZ
nature des deux surfaces en contact. On aura donc
crfN =fSds, et , en intégrant ,
N = Ae*» ;
A désignant la constante arbitraire , et e la base des logarithmes népériens. On aura, en même temps ,
T = Acc% ,jL = Afe\
Au point C, on a ^ = o et T =: F ; on a donc
A = - ; et si l'on appelle / la longueur de l'arc CMB,
on aura s=^l et T = A:, à son autre extrémité B» Nous aurons donc finalement
N=:-^cS T = Fe% a=-^e% en un point quelconque M , et, de plus,
A = Fe%
pour l'équation d'équilibre.
En représentant par F' le frottement total qui a lieu dans toute la longueur de CMB , on aura
r= f^fids = f(c"~i) ,
et réquation d'équilibre pourra s'écrire ainsi :
Si nous faisons
594 TRAITÉ DE MÉCAHIQUË.
fl
nous aurons'
OÙ Ton voit que le frottement total F^ est égal à la plus petite des deux forces A: et F^ oaultipliée par un coefficient f'^ qui varie non-seulement avec la quantité f^ mais aussi avec Tétendue / du contact et le rayon c de la poulie. La différence des forces A: et F, à llnstant où l'équilibre se rompt, fera connaître la valeur de F, et leur rapport , diminué de Tunité, sera la valeur du coefficient /', d'où Ton pourra ensuite déduire celle de^^ Lorsque F sera un poids, ainsi que A:, on devra, pour plus d'exactitude, comprendre dans ces poids A: et F, ceux des parties verticales BÂ et CD du cordon.
5o4- D'après les trois équations (i), il est facile de vérifier que les six équations générales de l'équilibre (n* 261) ont lieu dans le cas d'un fil parfaitement flexible.
Pour cela, j'appelle K et K' les deux extrémités du fil 9 et / sa longueur; et je fixe au point K l'origine de l'arc s. En intégrant les premiers membres des équations (i), depuis le point K jusqu'au point K', on aura
(tD.-Ct|]+/>^=<>-
STATIQUE, SECONDE PARTIE. SgS
les quantités comprises entre les crochets répondant au point K, et celles qui sont renfermées entre deux parenthèses^ au point K^ Indépendamment des forces lLfY,Z, qui agissent dans toute la longueur du fil , je suppose que des forces particulières ^ données en grandeur et en direction , soient appliquées à ses deux bouts : j'appelle k celle qui agit au point K ^ et ee, €j y, les angles que fait sa direction avec des parallèles aux axes des oc^ jr, z, menées par ce point ; et je désigne par k^, af, €', y', les quantités analogues relativement au point K'. Ces forces k et Araseront les tensions extrêmes, en grandeur et en direction; et d'après les parties des tangentes en K et K', avec lesquelles leurs directions devront coïncider, nous aurons
L'^^Jr-' ~''*' [4]=-* -»^' K>-* ^--' ^^^j
(Tg)=*'cos.'. (TD=*'cosr. (Tg)=*'cosv'; '
les équations précédentes deviendront donc
kcos€ + k'cos€' + f^Yuisz:^o, \ (8)
Arcos y-\' /^cos y + / Zeds = o ;
et elles expriment, comme on voit, les conditions d'équilibre renfermées dans les trois premières équations (i) du n* 261.
En observant qu on a identiquement
5g6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
on déduira des équations (i) du n* 298
dx dz
Si donc on intégre ces quantités nulles depuis le point K jusqu'au point K'^ et que Ton désigne par a, b, c, les valeurs de x, jr, z, relatives à K^ et par a', b', c\ celles qui répondent à K'^ on aura, en ayant égard aux équations (7) ,
Jb(aco8C — 6co8«)+*'(a'co$C — ^'co8«')+ / {xï^-jlL)%dsz=. o , Jt(ccoB«-wic08y)+^'(c't08«'— a'co8y')4-/ (xX— jrZ)irfy = o A (9) k{J)t.o%c — ccosé)-f ^'(i'cosc' — c'cosr)4- 1 {jZ — zï)idsz=z o ;
ce qui exprime les conditions dequilibre relatives aux momens des forces données , qui sont renfermées dans les trois dernières équations (1) du n"* 261 . 3o5. Ces équations (8) et (9) serviront , en général, à déterminer les coordonnées a, A, c^ a\ b\ c\ des deux points extrêmes K et K' ; toutefois, il y aura
des. cas où une partie de ces quantités devra rester indéterminée. Si, par exemple, les forces doooées qui agissent sur le Hl sont la pesanteur et d'autres forces indépendantes des coordonnées de leurs points d'application , il est évident que la position absolue du fil dans l'espace ne pourra pas être déterminée : on pourra alors prendre arbitrairement les trois coordonnées de l'un des points K et K^; les équations (9) détermineront les trois coordonnées de l'autre point; et, pour que l'équilibre soit possible, il faudra que les forces données satisfassent aux équations (8).
Lorsque l'un des points K et K^ sera fixe, le premier par exemple, les équations (8) et (9) auront encore lieu^ pourvu que Ton regarde la force k comme inconnue, en grandeur et en direction, et représentant la pression que le point K aura à supporter. Dans ce cas, les valeurs de n, 6, c, seront données; les équations (9) détermineront celles de a\ h\ c\ et les équations (8) feront connaître les trois composantes de la force k. Quand les deux points K et K' seront fixes et donnés de position , on connaîtra leurs coordonnées, et les équations (8) et (9) serviront à déterminer, en grandeur et en direction , les pressions k et V exer-r cées sur K et K^
Dans tous les cas, soit que les coordonnées de K et K' aient été données , soit qu'on les ait déduites dc3 équations (8) et (9) , on assujettira la courbe formée par le fil à passer par ces deux points; ce qui servira à déterminer les quatre constantes arbitraires q^e renfermeront les intégrales complètes d^ ses deux équations différentielles du second ordre. Quant à la
SgS TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
constante arbitraire que contiendra la fonction f du n^ 3oo y on déduira sa valeur de la longueur donnée du fil y c'est-à-dire ^ de Téquation
dans laquelle on regarde ^ et z comme des fonctions de x. De cette manière ^ le problème sera complètement résolu.
§ III. Équilibre dune verge élastique.
3o6. Noos entendons par cette dénomination une verge droite ou courbe , dont on ne peat changer la courbure sans j appliquer une ou plusieurs forces^ et qui reprend sa forme naturelle dès que ces forces ont cessé d'agir^ tandis qu'au contraire un fil parfaitement flexible conserve , sans le secours d'aucune force, la courbure qu'on lui a fait prendre, et n'est élastique que dans le sens de sa longueur. Pour qu'une verge soit élastique par rapport à la flexion , il faut qu'elle soit formée d'une matière fort peu ex* tensible et contractible ; mais cela ne suffit pas : il faut encore que les dimensions de son épaisseur, quoique très petites par rapport à sa longueur, aient cependant une grandeur convenable ; car, quelle que soit la matière de la verge, on peut toujours diminuer assez son épaisseur pour qu'elle n'ait plus ancune tendance sensible à reprendre la figure dont on l'a écartée , et qu'elle soit ainsi réduite à Tétât d'un (E par£siitement flexible.
Lorsqu'une verge élastique est écartée de sa forme naturelle par des forces données^ chacun des filets longitudinaux dont elle se compose peut éprouver trois efièts difiërens : chaque partie y d'une longueur aussi petite qu'on voudra^ peut être contractée ou dilaf ée, sa courbure naturelle peut être augmentée ou diminuée, et cette partie peut avoir été tordue sur ellemême. La tendance de chaque partie à reprendre son état naturel , dépend des attractions et répulsions mutuelles qui ont lieu entre les molécules de tous les corps et ne s'étendent qu'à des distances insensibles. Le calcul des forces totales qui en résultent et doivent faire équilibre aux forces données , appartient à la Physique mathématique : je renveri'ai, pour cet objet, à mon Mémoire sur Véquilibre et le mouvement des Corps élastiques (*). Dans ce Traité , on formera les équations d'équilibre d^une verge élastique^ en partant de principes secondaires qui sont généralement admis.
On appelle y en particulier, lame élastique un parallélépipède rectangle d'une petite épaisseur ^ que Ton courbe dans le sens de sa longueur, de ma-^ nière qu'il se trouve compris entre deux surfaces cylindriques, dont les arêtes sont égales à sa largeur. Cette dimension peut avoir une grandeur quelconque; en la divisant par des plans très rapprochés et perpendiculaires à sa direction, la lame sera partagée en verges élastiques rectangulaires. Jacques Bernouilli a déterminé, le premier, la figure de la lame élas-
(*) Mémoires âc V Académie des Sciences, loiuc VIII.
6oo TRAITÉ DE MÉCANIQtJE.
tique en équilibre, d'après des considératioDs qae nous allons développer, et qui serviront ensuite à la solution complète du problème , dans le cas d'une verge élastique quelconque. .
307 • Considérons une lame élastique encastrée par une de ses extrémités, c'est-à-dire, fixée de manière que l'un des deux petits rectangles qui la terminent perpendiculairement à sa longueur, ne puisse prendre aucun mouvement. Supposons qu on la plie dans le sens de sa longueur au moyen d'une farce appliquée à son autre bout , et qui sera la seule qui agisse sur la lame. Pour que la lame prenne une figure cylindrique , comme on vient de le dire, il faudra qu'elle soit terminée, a son extrémité li^ bre , par un rectangle inflexible , au milieu duquel on appliquera la force donnée, dans un plan par* pendiculaire à la largeur de la lame. Toutes les coupes longitudinales ou perpendiculaires à cette largeur seront égales; celle qui renferme la direction de la force donnée est représentée par la fi*gure 77 ; et les courbes ÂMB et A'M'B' sont les sections des deux surfaces cylindriques de la lame, qui formaient ses deux faces planes dans son état na-* turel.
On suppose que tous les points qui appartenaient, dans cet état, à une même perpendiculaire à ces deux faces, sont encore situés, après que la lame a été pliée, sur une même normale aux deux surfaces cylindriques; ce qui est, effectivement, conforme à ce qu'on observe dans son changement de figure. Il en résulte que si MNF est une normale à
STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 6oi
la courbe ÂMB, elle sera aussi perpendiculaire à A^'B', et contiendra tous les points de la lame qui étaient situés primitivement sur une des perpendiculaires à ses deux faces ; «il s^ensuit aussi que si Ton décompose la lame, dans son état naturel^ en filets longitudinaux ^ et que la courbe CND représente un de ces filets après le changement de figure, elle coupera à angle droit en N la normale MM'.
Soit m un point de la courbe ÂMB, infiniment voi«sin de M; menons la normale mnm! aux trois lignes ÂMB, CND, A'M'B', qui les coupe en m, n, n/; les prolongemens de MNM' et mnm' se rencontreront en un point 0 , qui sera le centre de courbure commun à ces trois courbes. Appelons p le rayon de courbure du filet moyen, ou également éloigné de AMB et A'M'B'; a la partie de ce filet comprise entre ces deux normales MNM' et mnm' ; u la distance dû filet quelconque CND au filet moyen, et o*^ la longueur de N^2. En considérant cette distance u comme positive ou comme négative , selon que CND se trouve , par rapport au filet moyen , du côté de la convexité AMB de la lame, ou do côté de sa concavité A'M'B', )e rayou de courbure NO de CND sera égal à f +w, et les longueurs infiniment petites tr' et er seront entre elles comme p-^ueX p , de sorte que l'on aura
ex' = (T + — .
En se courbant , les filets longitudinaux auront éprouvé de très petites extensions ou contractions , et les longueurs cr' et s y qui étaient égales auparavant.
6oa TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
seront devenues inégales. Désignons par 7 leur grandeur primitive^ et faisons
cT et S' étant de très petites fractions, positives ou négatives, selon que le filet moyen et le filet CND se
seront allongés ou raccourcis. La fraction - est aussi
supposée très petite ; si donc on néglige le produit de
J^ et -, on aura
ce qui montre que quand le filet moyen n'aura pas changé de longueur, les filets situés du côté de la convexité se seront tous allongés , et les filets situes du côté de la concavité se seront tous raccourcis, les uns et les autes proportionnellement à leurs distances au filet moyen.
Cela posé, rendons invariable la forme de chacune des deux parties de la lame qui répondent à ÂMM ^A' et Bmm'B', et que nous appellerons H et K, pour abréger. La partie H sera immobile; la partie K sera tirée vers H , ou en sera repoussée , par la tendance de la partie intermédiaire M/ii/n'M' à reprendre son état naturel et redevenir une tranche d'une épaisseur constante y. Le filet N/i de cette tranche tendra à se contracter ou à se dilater, selon qu'il aura été allongé ou raccourci, c'est-à-dire, selon que la quantité cT'sera positive ou négative. La partie K sera donc tirée dans le premier cas, et poussée dans le second cas, par une
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6o3
force appliquée au point n ; or^ on suppose que cette force, provenant de l'action de N/i , est proportion* nelle à la quantité S"' et normale à mnm\ comme si ce filet INti était isolé.
En adoptant cette hypothèse y je représenterai par aS"' la force dont il s'agit , rapportée à Tunité de surface, et , conséquemment , par aS^'Xdu la force normale exercée sur l'élément transversal de la surface K, qui répond au point n\ a étant une constante dépendante de la matière de la lame , A sa largeur, et ?^du l'aire de cet élément. Si donc on désigne par 2î l'épaisseur de la lame, et qu'on représente par T la force totale qui tirera ou poussera K, selon qu'elle sera positive ou négative , on aura
T = axT^du,
et , en mettant pour J"' sa valeur,
T = !2aA€cr.
Soit, en outre ^ fi le moment des forces normales à la surface de K , pris par rapport à l'axe transversal également éloigné des deux faces de la lame; nous aurons aussi
et, par conséquent,
On voit par là , i*. que la force T, qui tend à contracter ou à dilater une tranche quelconque de la lame , est proportionnelle à Textension positive ou né-
6o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
gative du Glet moyen, et indépendante de sa conrbaiv; 3*. que sou moment al est, au contraire, în(lép«idant de cette extension , et eu raison inverse du rayon de courbure; 5°. que la matière çt la largeur de 1* lame restant les mêmes, la valeur de T est propor- { tionnelle à son épaisseur, et celle de f^, au cube tle celte dimension.
Quand le filet moyen n'a pas changé de longaeur, on »(/■ = (> et T = o; les forces parallèles qui tirent ou poussent K se réduisent ii deux , égales et contraires, mais non direclement opposées, dont le moment, par rapport à l'axe transversal perpendiculaire à ces forces, est toujours égal à fi. Celle quantité /j. est ce qu'on appelle le moment de (éhzsticité, lequel est proportionnel, en chaque point, à la courbuie de la lame, ou à l'angle de contingence de son filet moyen.
5o8.Ilest facile actuellementde former les équationi d'équilibre de cette lame. Dahord, si l'on appelle T ce que devient la force T au point M, on voit que U tranche inliniment petite qui répond à Mfîi/n'M', sen tirée ou poussée, d'un côté par cette force T', et de l'autre par une force égale et contraire à T; et puisque , par hypothèse , aucune force donnée n'agit sur cette tranche, il faudra donc qu'on ait T' = T. Ainsi la force T est constante dans toute la longueur de b lame, et, par conséquent, égale à la composante suivant cette longaeur, de la force donnée qui agit à son extrémité libre. La dilatation / sera aussi con^ tante, proportionnelle à cette force, et positive ou négative selon que celte force tendra à allonger otti
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6o5
contracter les filets longitudinaux. Elle n^aura aucune influence sur la figure de la lame ; mais quand on laura mesurée , elle pourra servir k déterminer la valeur de la constante a, relative à la matière de la lame. En représentant par nar un poids équivalent à la force qui tire la lame dans le sens de sa longueur » et par co Faire de chaque section transversale de la lame^ on aura
Pour déterminer la figure de la lame , menons par le point  , dans le plan du filet moyen , deux axes rectangulaires Ax et Aj^ dont le premier sera tangent à la courbe AMB , et représentera la direction de la lame dans son état naturel , et dont le second sera tourné du côté de sa concavité. Soient a: et jr les coordonnées rapportées à ces deux axes> d'un point quelconque du filet moyen ; aetb, celles de son extréxnité libre^ que nous prendrons pour le point d'application de la force donnée qui tient la lame en équilibre ; PetQ les composantes de cette force^ suivant les prolongemens de a et 6. Par le point qui répond h x e\.y^ menons Taxe perpendiculaii*e au plan de la figure , auquel répond le moment désigné par/b^^ et faisons une section perpendiculaire au filet moyen. Pour réquilibre de la partie de la lame comprise entre cette section et son exti'émité libre ^ il faudra que le mo-^ ment /t^ ajouté aux momens de P et Q^ par rapport au même axe, donne une somme égale'^à zéro, en ayant égard au sens dans lequel les forces dont fe est le mo«-
6o6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
ment, et les forces P et Q, tendent à faire tourner cette partie de la lame ; on aura de cette manière
iu + P(i— ^) — Q(a— a:) = o.
En prenant Tabscisse x pour la variable indépendante, et observant que la lame est convexe vers Taxe kx , on aura
où Ton regardera le radical comme une quantité positive. Si donc on substitue cette valeur dans celle de fjL, et celle-ci dans Téquation précédente, et quon fasse , pour abréger ,
il en résultera
pour réqualion de la courbe formée par la lame élastique en équilibre.
Son Intégrale contiendra deux constantes arUtraires que Ton déterminera par les conditions ^=c
et ^ = o, quand ^ = o, ou, si Ton veut^ = o
et -^ = o y pour cette valeur de x, k cause de la
petitesse de €• En faisant ensuite x = a et jr=:b dans cette intégrale , on aura une équation en a et b, que l'on joindra à celle qui résultera de la longueur donnée de la lame ; on aura alors les deux équations nécessaires pour déterminer ces inconnues a et b; et
la courbe élastique proprement dite ^ sera complètement déterminée.
309. Si la lame^ au lieu d'être encastrée^ est entièrement libre à son extrémité A ^ il faudra pour la maintenir en équilibre^ appliquer à cette extrémité une fohre dont les composantes soient égales et contraires à P et Q; en prenant l'extrémité correspondante du filet moyen pour son point d'application, il faudra, de plus, que la résultante de P et Q vienne passer par ce point; ce qui exigera qu'on ait
Qa=P (* — €).
Cette équation suffira, quand la lame sera retenue par un axe fixe, passant par cette extrémité du filet moyen, et dirigé dans le sens de sa largeur. Si elle est simplement posée sur un plan perpendiculaire à sa longueur, qui ne l'empêche pas de tourner autour de l'arête d'une de ses deux faces , il faudra que le frottement de cette arête contre le plan , ou une autre force^ empêche la lame de glisser
La lame n'étant point encastrée, la direction de son plan tangent en A ne sera plus connue ; si l'on place toujours en ce point l'origine des coordonnées X e\ jr j on aura encore ^ = € ou ^ = o , quand a: = o; mais on ne pourra plus prendre l'axe des x sur la tangente en A , dont la direction ne sera pas donnée à priori. Cet axe sera alors la direction donnée
dr de la force P, et l'équation ~=o, quand a:=o,
devra être remplacée , pour la détermination des constantes arbitraires , par l'équation précédente ,
6o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
relative aux momens des forces P et Q , qu'on ponm réduire à Qa = Pi.
3 lO. Supposons qu'on ait P = o; en sorte que la lame sôit pliée par une force Q perpendiculaire à sa direction primitive ; ce qui est, par exemple^ le cas d'une lame horizontale > encastrée par un bout, et à l'autre bout de laquelle on suspend un poids donné Q.
Je fais dans ce cas
c étant une ligne dont la longueur donnée sera généralement très grande , à moins que le poids Q ne soit aussi très considérable. L'équation ( i ) deviendra
et en intégrant de manière qu'on ait ^ = o quand x = o^ on aura
On en déduit
(oax — «■) dx
djr
ils
l/4c* — (aux — x»)»'
ds étant l'élément différentiel de la courbe. Ces for* mules s'intégreront exactement par le moyen des fonctions elliptiques ; mais à cause de la grandeur de c^ on a J = X , à très peu près^ et l'on peut réduire à
la valeur de djr} d'où Ton tire
pour l'équation de la courbe.
La laïue s'écartera peu de la direction horizontale; l'abscisse a pourra être prise pour sa longueur, et l'ordonnée b eicprimera son plus grand écart. A cause de
3QC»= OU576%
si l'on fait 2€A == co y comme précédemment , nous aurons
dans le cas de j: = a et ^ = &• Il en résulte donc que la nature de la lame restant la même, la quantité b dont elle fléchira sera proportionnelle au poids Q et au cube de la longueur a , et en raison inverse du carré de son épaisseur € et de l'aire C7 de sa section tranversale.
Si l'on substitue pour ao) sa valeur j du n* SoS, et
qu'on appelle h l'allongement total acT de la lame , produit par un poids ^sr, on aura
En supposant #29' = Q, on en conclura que si un même poids Q , applique à l'extrémité libre d'une lame élastique , agit successivement dans le sens de sa
6io TRAITÉ D£ UÉCANIQUE.
longueur et perpendiculairement à sa longueur, rextehsion h 6t la flexion b^ supposées très petites par rapport à la longueur a , seront entre elles comme les carres de l'épaisseur et de cette longueur.
3i 1. Quelles que soient les forces P et Q, on obtiendra toujours une intégrale première de Téquation (i) en la réduisant à la forme de l'équation (2) par la transformation des coordonnées. Nous nous bornerons à considérer le cas où la lame, appuyée contre un plan et non encastrée ^ s*écarte peu de sa forme naturelle. Ce sera, par exemple, un ressort posé sur un plan horizontal par son extrémité inférieure A , et chargé d'un poids donné à son extrémité supérieure B. On suppose qu'en se pliant sous cette charge, le ressort s'écarte très peu de la verticale AB, et que dans toute sa longueur, la tangente a la courbe qu'il forme dans son état d'équilibre , fait un très petit angle avec cette ligne droite. La figure 78 représente diflférentes formes qu'il peut prendre dans cet état.
Prenons pour axes des x et des ^ , la verticale kx dirigée en sens contraire de la pesanteur, et l'hori-
zontale kjr. La quantité —• sera très petite , par hypothèse; nous négligerons son carré dans l'équation (i); on aura aussi Q = o, puisque la force qui agit à l'extrémité B est verticale ; en vertu de l'éqnation Qa = P6 du n° Sog, il s'ensuivra è = o; et comme le poids P sera dirigé de B vers A, il faudra changer le signe de cette force dans l'équation (1 ), qui la suppose dirigée en sens contraire. De cette
STATIQUE, SECX)NDE PARTIE. 6ti
manière, cette équation deviendra simplement
en faisant, pour abréger,
€ c= -^ CUOi^ = — P.
On représente ici par 0 Taire de la section du ressort, perpendiculaire à sa longueur; par i sa demi-épaisseur, dans le sens où il est plié; et par a une quantité dépendante de la matière dont il est formé. Ces trois quantités sont supposées constantes, el par suite c est une ligne de grandeur constante et donnée.
A cause que Ton a j^=o, quand j:=o, on déduit de cette équation
, . «rjr dr wk vrx
r = A sm — , -y- == — côs — ; •^ c dx ç c '
k étant une constante arbitraire qui doit être nulle ou très petite par rapport à c.
Quand on aura ^ s= o, le ressort restera droit , et sa longueur AB sera un peu diminuée par la pression du poids P. Lorsque ce coefficient k ne sera pas nul , le ressort se pliera; au point B, on aura x z=za et ^ = 6 =: o ; en désignant par f un nombre entier, il faudra donc qu'on ait
pour la valeur de a ou de AB. Si Ton appelle / la longueur du refisori, on aura aussi
6i2 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
' =/: v/^Tl<i-=/;\/.+'-^c„-T'^^
en négligeant la quatrième puissance de - ^ et mettant pour a sa valeur^ il vient
d'où Ton tire
Ainsi le coefficient k sera nul ou exprimé par cette formule.
3 12. Voici les conséquences remarquables qui se déduisent de ce résultat.
1^. Tant que / sera moindre que c, la formule (5) sera imaginaire^ pour toutes les valeurs du nombre entier £; on ne pourra pas prendre le coefficient k différent de zéro, et le ressort ne sera pas plié parle poids P.
2"*. Soit parce qu'on aura augmenté la longueur du ressort ^ soit parce qu'on aura diminué la quantité c en faisant croiti'e le poids P , supposons que / surpasse c ; la valeur de k , différente de zéro et qui répond à î = i, sera réelle, et le ressort pourra être plié par ce poids. En désignant par J' une fractioo très petite , et faisant
on aura
i = I, a s=t c, k =ya;
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6i3
Tequation de la courbe du ressort sera donc
/jrx a sin —,
où Ton voit qu^elle ne coupera pas la verticale entre les deux points A et B.
5"". Le rapport - continuant à croître ^ s'il vient à
surpasser a, la valeur de k qui répond à / = 2 sera réelle , et le ressort pourra prendre une figure différente de la précédente. En désignant par/' une frac-* tion très petite , et faisant
nous aurons
i =i 2, a z=z 2C, k =sfa;
d'où il résultera
a sm -^ ;
ce qui montre que , dans ce cas , la courbe coupera la verticale au milieu de AB^ qui répond à a:=:ja^ 4''. En continuant ainsi , on voit que si l surpasse un peu ic, et qu'en désignant par Ç une très petite fraction^ on ait
on pourra prendre ce qui donnera
y = (pa sm — \
6i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
équation d'une courbe qui coupera la droite AB en un nombre î -(- 1 de points équidistans , y compris A et B.
Lorsque / surpasse un multiple de c d'une quantité qui nest pas très petite^ la valeur de A:^ donnée par la formule (3) , cesse d'être très petite par rap-
port à c; et celle de ^ n'étant plus alors une très
petite fraction , la figure du ressort ne peut plus être déterminée par l'analyse précédente. U faut observer que y dans tous les cas, la figure rectiligne, qui répond à A; =: o , est possible ; mais elle n'est stable et nécessaire que quand / est moindre que c.
5i3. On entend par la Jbrce d'un ressort, supposé vertical pour fixer les idées, le plus grand poids qu'il peut supporter sans fléchir. Ce poids F est déterminé par l'équation c=^l , qui donne
oii l'on voit que, toutes choses d'ailleurs égales, la force d'un ressort est en raison inverse du carré de sa longueur. Le ressort étant un parallélépipède rectangle , on voit aussi que si l'on essaie de plier successivement les faces adjacentes, sa force sera proportionnelle au carré de l'épaisseur perpendiculaire à la face qu'on voudra plier.
Quant à la grandeur absolue de P, on la calculera en mettant dans la formule précédente la valeur de a, que l'on déduit soit de l'extension ^de ce ressort» soit de sa flexion b, que produirait un poids 9 ; or.
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6i5
d'après les n*' 3o8 et 3 lo^ et à cause de aS'^^h et a^=l, ces valeurs soot
wl'
et "~"
par conséqaent, on aura
Si 4- Les résultats du n"* 5oj s'étendent aisément à une verge élastique, lorsqu'on la suppose droite ou à simple courbure dans son état naturel , et qu'en la pliant elle reste encore k simple courbure et n'éprouve aucune torsion.
On prendra, dans ce cas, pour le filet moyen, celui qui passe par les centres de gravité de toutes les sections perpendiculaires à sa longueur, lesquelles pourront être constantes ou variables, pourvu qu'en chaque point leurs dimensions soient très petites par rapport au rayon de courbure de la verge. Soit œ l'aire de Tune de ces sections, faite par un point quelconque du filet moyen ; décomposons (» en élémens perpendiculaires au plan de ce filet ; et soit sfdu l'ajre de l'élément qui répond à la distance u de ce même filet ; la variable u pouvant être positive ou négative, et i^ désignant une fonction donnée de u. Soient aussi k et — kf les valeurs extrêmes de u; nous aurons
la seconde équation résultant de ce que l'origine de la variable u est le centre de gravité de œ.
6i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Désignons par cr ^ o^, J^ , J^', f ^ les mêmes quanti* tés que dans le n^ Soy , et par y, y', r, ce qu'étaient a, (r\ f, dans letat naturel de la yei^e élastique; od aura , pour les deux états de cette verge ,
et , pour le passage de Tun à l'autre ,
(r=>(iH-<r), (r' = >'(i-f.cr').
Si donc on néglige les produits — et — , on en déduira
j^'=er + «(i-i)'
valeur qui coïncide avec celle du numéro cité, dans le cas Ide la vei^e naturellement droite , où l'on i r = 00.
Soit encore T la somme des forces perpendiculaires à cû qui tirent ou poussent l'une des deux parties de la vei^e , séparées par cette section normale. Appelons fi le moment de ces forces par rapport à Taxe passant par le centre de gravité de a^ et perpendiculaires au plan du filet moyen; d'après l'hypothèse du n® 3o7 , on aura
CL étant une quantité dépendante de la matière de la verge y qu'on suppose constante dans l'étendue de chaque section a> , mais qui pourra varier d'un poittt à un autre du filet moyen. En substituant pour J*
sa valeur précédente , et faisant , pour abréger,
il en résultera
Quand la verge élastique sera à double courbure , dans son état naturel ou après son changement de figure , la force T aura encore la même expression ; de plus, le filet moyen étant toujours celui qui passe par les centres de gravité de toutes les sections normales y et en désignant par r et f ses rayons de courbure en un même point, avant et après ce changement , on pourra prendre cette expression de fjt, pour le moment de l'élasticité par rapport à un axe passant par ce point et perpendiculaire au plan osculateur du filet moyen ; mais il faudra, en outre, avoir égard à la torsion de la verge , comme nous le ferons tout à Fheure.
Si 5. En comparant cette valeur de /le à celle du n* 307 , on voit que Téquation différentielle seconde de la courbe plane formée par le filet moyen d'une verge élastique qui n'a éprouvé aucune torsion , ne difi*érera de celle qui répond à la lame élastique proprement dite , qu'en ce qu'elle contiendra au
lieu de - , et la quantité 9 à la place de la demiépaisseur €. Si la verge est homogène , et qu'elle soit, dans son état naturel,, un prisme ou un cylindre al-
6i8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
longe, les titMS quantités a, a, q, seront consUntes, et l'on anra r = oo • On en conclut que la flexion d'une verge naturellement droite, produite par un poids Q perpendiculaire à sa direction , et la force de ce ressort , se déduiront des valeurs de 6 et P troavées dans les n*^ 3io et 3i3, en y mettant 9 à la place de £. Par cette substitution , / étant la longueur de cette vei^e , on aura
ou , ce qui est la même chose ,
Pour deux verges différentes , mais de même kmgueur^ les flexions produites par un même poids seront donc en raison inverse des forces de ressort ; en sorte qu'il suffira de comparer entre elles les grandeurs de ces forces, dans les différentes hypothèses sur le contour de la section normale.
Supposons que la section normale soit un triangle isocèle , et qu'on veuille plier la verge , de manièie que la face correspondante à la base de ce triangle d^ vienne une surface cylindrique , concave ou convexe. Soient a et c la base et la hauteur de ce triangle* Dans le cas de la convexité , vers laquelle sont dirigées les valeurs positives de u (n* Soy) , nous aurons
et il en résultera
Dans le cas de la concavité , on aura
d^où l'on conclut
ce qui montre que , dans ce second cas , la force du ressort est triple de ceUe qui a lieu dans le premier. Si la section normale est un carré représenté par y*, et qu'il s'agisse de plier le ressort, de sorte que deux de ses faces opposées deviennent des surfaces cylindriques, on aura
Si eUe est un cercle dont le rajon soit k , nous aurons
et en supposant Faire de la section normale égale dans les deux cas, de sorte qu'on ait f^^=^ 'Ttk^y on voit que la force de ressort qui a lieu dans le premier cas surpasse celle qui répond au second , dans le rap* port de ^ à 3.
Supposons encore que le ressort cylindrique soit un tuyau creux , dont les surfaces concentriques, intérieure et extérieure, aient g et ^ pour rayons. Pour avoir la force de ce ressort, il faudra mettre
6a4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
1^ cosf, fjL cos g , ft ces h.
Soient M' un point quelconqoe de l'arc MB; j/,^, z\ ses trois coordonnées ; / l'aine AM', et y\ a»', X', Y'f Z'p ce que deviennent y, a, X, Y, Z, relativement à M'. En appelant l la longueur totale du filet moyen , et faisant
ces trois quantités X^, Y^, Z^, seront les momens des forces données qui agissent sur K , par rapport aux axes menés par le point M, suivant les directions
Enfin y supposons que des forces particulières agissent à l'extrémité libre de K; représentons par Py Q, R, les sommes de leurs composantes parallèles aux axes des a: ,^, z, et par a', b\ c', les coordonnées du point d'application de leur résultante; leurs momens par rapport aux mêmes axes que Z^ ^ Y^ , X^, seront
et si l'on désigne par a, b, c, les coordonnées de l'extrémité B du filet moyen p on pourra remplacer ces momens par
STATIQUE, SECONDE PARTIE. 6a5
en faisant^ pour abréger,
Généralement^ les coordonnées c^, b\ c', seront distinctes de a, b, c , parce que les forces extrêmes F^ Q, R, ne seront pas appliquées immédiatement à la yerge élastique, et qu'elles agiront aux extrémités de bras de levier. Soit que ces forces aient ou non une résultante unique , les quantités P', Q', R', seront leurs momens par rapport à des axes menés par le point B, parallèlement à ceux des oc, jr ^ z,; si donc on suppose qu'on ait en ce point
ds
-^ = cos CL', ^ = cos C% T- = cos y.
et qu'on fasse
Fcos a' H- Q' cos €' + R' cos/ = L,
cette quantité L exprimera le moment des forces extrêmes par rapport à la tangente au point B (n* 281); d'où l'on peut déjà conclure que L sera le moment de la torsion extrême , où la valeur de r relative à ce même point.
Cela posé pour l'équilibre de la partie K de la verge I. 40
élastique , il faudra que la somme des momens par rapport à chaque axe , de toutes les forces qui agissent sur ses différentes tranches et à ses extrémités , soit égale à zéro; ce qui donne ces trois équations
^cos/-r^ + X,+F + R(ft-jr)Q(c — z) = o, /•cos^-r^ + Y,+Q' + P(c-»)-R(«-a:) = o,) (i)
Si 8. D'après les formules du n* 19, on a
y, drd^z — dzdW
COS g
Xds^
