COS A = — ^ — TT

>A^ étant la racine carrée de la somme des carrés des trois numérateurs. Il en résulte

d.ii, cosg = dzd.'!^—dxd.^,

et, par conséquent ,

^d./jLtsosf -{- J d.ftcosg •+■ Jld.f* COS h=o.

On a d'ailleurs

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 627

^ "*" ^ "•" df« ~ ^'

dx ^ dx djr j djr ^^ dz m dz

ds * ds "" ds * ds "•" ds * ds "^

Si donc on ajoute les différentielles des équations (6), après les avoir multipliées par ^, -j-f j-, on aura, en réduisant,

mais à cause que les quantités soumises à l'intégration dans les expressions de X^, Y^, Z^, s'évanouissent à la limite / = s, il suffit (n** 14) de différentier sous les signes /par rapport à x,^, z, pour obtenir les valeurs de cDij, dY^, dZ^; on a donc simplement

dS.^ = dz J^^X'y^où'ds' — djr f^^Zya>W, dï^ = dx f^^Z'yWds' — dz f^lLya>'ds\ dZ^ = dy f^^X'yWd/ — dxJ^'yWd/ ;

et en substituant ces valeurs dans Féquation précédente , elle se réduit à rfr = o.

Ainsi le moment de la torsion est constant dans toute la longueur d une verge élastique en équilibre, quelles que soient les forces qui y sont appliquées.

Sa valeur sera donc partout la même qu a chacun des deux bouts de la verge; et il est facile de vérifier qu'au point B, onaT = L, comme on l'a dit plus haut. En effet, en ce point, on a, x = a, j = b,

6a8 TRAITÉ 0£ MÉCANIQUE.

jss= c; les intégrales X^^ Y^, Z^, s'évanouissent^ et les équations (Jb) deviennent

T cos a' = At cos y* + P', T cos €' =: fl cos g + Q!f

r cos 5.' = ft cos A + ïl'-

A cause que la normale au plan osculateur du fUet moyen et la tangente à cette courbe , sont perpendi culaires Tune à l'autre, on a ^ en ce même point B,

cos fit' cosy 4- cos €' cos g + cos y cos A = G ;

en ajoutant donc les équations précédentes , après les avoir multipliées par cos a\ cos €', cos y', la quantité fc disparaîtra p et , d'après la valeur de L , on aura T = L.

Le moment de la torsion peut seul se déduire des équations d'équilibre ; quanta la torsion elle-même, sa grandeur est variable le long de la verge, lorsque la matière ou la section normale varie d'un pointa un autre. Si la verge est homogène, et que la section normale soit constante, la différence des angles de torsion est la même aux extrémités de deux parties de la verge, d'égales longueurs, et proportionnelle aux longueurs, quand elles sont différentes. Supposons, pour fixer les idées, qu'une verge homogène, prismatique ou cylindrique, soit encastrée par un bout, et qu'on applique à son autre extrémité deux forces égales , parallèles et contraires , agissant à distances égales et de deux côtés différens ; cette verge restera droite ; mais elle se tordra sur elle-même, proportionnelle^ ment a sa longueur et au moment de ces deux forces

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 629

par rapport à son filet moyen, lequel nnonient sera ]a valeur de la quantité L. J'ai trouvé, en outre, dans le Mémoire déjà cité (n* 3o6), que si la section normale de cette verge est un cercle , la quantité de la torsion sera proportionnelle, toutes choses d'ailleurs égales, à la quatrième puissance de son diamètre; ce qui est conforme à Texpérience.

3 19. Deux des équations (b), ou deux combinai^ sons quelconques de ces équations, après qu'on y aura substitué la valeur de jea et mis L à la place de r, serviront à déterminer la figure de la verge en équilibre. Si elle est droite dan^ son état naturel , et que toutes les forces qui y sont appliquées soient comprises dans un même plan , les trois équations (h) se réduiront à une seule qui sera celle de la courbe plane formée par le filet moyen.

Prenons le plan de ces forces pour celui des x et^; nous aurons

2 = 0, cosy=o, cosg = o,

c = o, c' = o, R = o, co8>' = o;

d'où il résultera

et les deux premières équations (6) s'évanouiront»

A cause de r = 00 , la valeur de /a se réduira à - ;

on aura aussi cos A s= db 1 ; mais en ayant égard au sens de l'action de T Sur la partie K de la verge

(n** 5i4)> î^ ^^ ^^ ^^ ^^^^ T^'^1 faudra prendre cos A == — 1 dans la troisième équation (6), qui

63o TRAITÉ DE MÉCANICTUE.

deviendra , de cette manière ,

et Ton remarquera qu en conservant les notations du n"* 3 1 4 y le coefficient £ aura poor valeur

Lorsque les forces X et Y seront nulles , cette ëqoa* tion (c) coïncidera avec l'équation (i) da n* 5o8, en observant que dans celle-ci^ les forces P et Q agissent à l'extrémité même de la verge , ce qui rend nul lenr moment R'. Dans tous les cas, on fera disparaître pir des différentiations y les intégrales contenues dans cette équation (c), qui se changera par là en une équation différentielle du quatrième ordre.

La figure de la verge étant déterminée par l'équation (c) , il faudra en outre que les forces données qui y sont appliquées^ satisfassent aux conditions d équilibre du n^ 261 , qui se réduisent à trois ^ à cause que ces forces sont toutes comprises dans un même plan. Désignons donc par D et E les sommes des forces particulières qui agissent à l'extrémité A de la verge y parallèlement aux axes des x et /, et par F' leur moment par rapport à ce point A, de manière que D , E , F'^ soient à l'égard de ce points ce que P^ Q, R', sont relativement à l'autre extrémité B; les trois équations dont il s'agit seront

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 63 1

OÙ Ton mettra pour a: et jr les coordonnées do point A.

Lorsque les deux bouts de la verge seront entière* ment libres , les forces extrêmes et leurs momens se-» ront donnés. Si la verge est encastrée à son extré^ mité A , les forces D et E, ainsi que leur moment F% seront indéterminés; mais on connaîtra les valeurs

de or,^, ^, relatives à ce point A. Si la verge est

seulement retenue par le point fixe A , les forces D et E seront encore indéterminées ; leur résultante sera égale et contraire à la charge de ce point d'appui , dont elle exprimera la résistance , et Ion aura F'= a pour leur moment : on connaîtra alors les valeurs

de a: et^, mais non plus celle de -j-. Les mêmes remarques s'appliquent au point B.

5:io. Supposons , par exemple , que la vei^e soit homogène et naturellement prismatique ou cjlin«^ drique; ce qui rendra constantes les trois quantités y, a, S. Supposons^ en outre, qu'elle ne soit sou^ mise qu'à des forces perpendiculaires à sa longueur, qui l'écartent très peu de sa position primitive; et prenons pour l'axe des x , le filet moyen dans cette

63a TRAITÉ DE IfËCANIQUE.

position; on aura alors

ce qui Êiit disparaître la première équation (d). En négligeant le carré de x ^ ^^ ^^^ aussi

ds = dxm - = -T^ i et l'équation (c) se réduira à

Cg=ïR'-|-Q(«-x)+><»//Y'(^'— Jc)di'. W Ea la difiëreatiant une preniière fois, on a

« g = Q - >»//ïA.

On a aussi (n® i4)

d.f^^YW = — Y^^;

en difTérentiant une seconde fois^ et mettant dx m lieu de ^^ on aura donc

Les quatre constantes arbitraires que contiendra rintégrale complète de cette dernière équation , se détermineront d'après les conditions relatives aux deux bouts de la verge , et en observant que la valeur de^ tirée de cette équation devra satis&ire aux deux précédentes pour toutes les valeurs de jt. Or, Téquation (/) résultant des deux autres par la difie-

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 633

rentiation^ il suffira^ pour cela, que cette yaleur de^ satisfasse à celles-ci pour une valeur particulière de oc; il suffira donc qu'on ait

«j-|=R', «g=-<}, fe)

pour x^s=^a; conditions qui résultent de l'équation (e) et de sa différentielle première, en y donnant & x cette valeur particulière. Si l'on y donne à or la valeur relative au point A, et qu'on ait égard aux équations (d) , on aura

mais ces équations n'expriment pas de nouvelles conditions distinctes de celles que renferment les équations (d) et (g) , que Ton pourra , si l'on veut , remplacer par le système des équations (g) et (h).

3a I. Ces formules comprennent le cas de la verge pesante. Alors, je suppose le point A fixe, et j'y place l'origine des coordonnées or et ^; je suppose aussi que Taxe des x, qui représente la direction naturelle de la verge, soit horizontal; je prends l'axe des jr positives dans le sens de la pesanteur, et je représente cette force par g. On aura Y = g, et l'intégrale de l'équation (f) sera

g/ = ^o^-l-Car^-l-C'jc^-f-Cxî (i)

C, C, C, désignant trois constantes arbitraires, et la quatrième étant nulle , k cause qu'on a or s= o et j^ = G au point A.

634 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

Supposons la verge encastrée à cette extrémité; 3

faudra qu'on ait aussi ^ = o quand a? =2 o ; d où il

résulte C'= o. Supposons, en outre, que le poids Q soit attaché immédiatement à lautre extrémité B, de sorte que son moment R' soit zéro; en yerhi des équations {g) , qui répondent à ce point , ou à a: z=z o , on aura

igyœa* 4- 6Ca + 2C' =i o,

gye^a -f- 6C = — Q.

Je tire de là les valeurs de C et Cj je les substitue dans l'équation (i), dont je supprime le terme Cx; j'appelle q le poids de la verge , de sorte qu'on ait (l:=gye»a'j il vient

équation qui coïncide avec celle du n* 5 10, quand on néglige le poids de la verge , et qu'on y met Qc* à la place de C.

Dans les deux cas de Q = o et ç = o, on a

pour l'ordonnée du point B , qui exprime la flexion totale de la verge. En supposant Q == g, on voit donc que les flexions produites par un poids Q suspendo à l'extrémité libre d'une verge horizontale encastrée par son autre bout , et , par ce même poids , réparti uniformément sur toute la longueur de cette verge f sont entre elles comme 8 est à 5.

522. Si le point B est fixe comme le point A, et situé sur la même horizontale , il faudra qu'on ait ^=o quand a: = a; ce qui change Téquation (i) en celle-ci :

Cr = ^^(a:^—a^)+Cx(x^—a')+ax{x^ay, (2)

q étant toujours le poids de la verge. La détermination des deux constantes C et C présentera les cas suivans.

10. Quand la verge est encastrée à ses deux bouts^ il faut qu'on ait ^ "= o pour x = o et pour xs=za; on tire de là

et l'équation (2) devient

qx^ {x — a)*

En appelant f la flèche de la courbe formée par cette verge, c'est-à-dire, la valeur de^ qui répond à son milieu, ousLX=^in,on aura

:2*. Si la verge est simplement retenue par les points fixes A et B, les charges de ces points d'appui seront les forces E et Q, prises en sens contraire de leurs directions, et leurs momens F' et R' seront nuls (n® Sig). En vertu dés premières équations (g) et (/*), on aura

Sqd^

~ s= o pour X = o et pour jc = £i ; d*oii Foo conclut

Ou aura alors

^^ gx {a — x) (g* + gj: — jc^)

et la flèche / sera

c'est-à-dîre , cpiintuple de celle qui ayait lieu dans k premier cas. D'après les dernières équations (g) et (h), on aura aussi

valeurs qui ont aussi lieu dans le premier cas , et qui sont évidentes en elles-mêmes.

3^. Enfin ^ lorsque la verge est encastrée à soq extrémité A, et seulement retenue à son autre boat,

dr dW

on a ^==o pour x = o, et ^ = o pour jrstf ;

ce qui donne

r ^^ cf ^^ .

au moyen de quoi l'équation (2) devient

Les secondes équations {g) et (A) donnent ^ en même temps y

STATIQUE , SEœNDE PARTIE. 687

ce qui montre que le poids de la yerge se partage inégalement entre les deux points d'appui , et que la charge de l'extrémité encastrée est plus grande que celle de l'autre , dans le rapport de 5 à 5.

5^3. En supposant toujours les points A et B fixes et situés sur une même horizontale, et la vei^e homogène et prismatique, considérons le cas où les autres points sont chargés de poids inégalement distribués dans toute la longueur.

Soit donc

ymY = ^(pjci

<px étant une fonction donnée qui s'évanouit quand a:==o et quand ar = cz, et q désignant le poids total , ce qui suppose

/ ^xdx

Cette fonction ^x pourra être continue ou discontinue, c'est-à-dire que son expression analeptique pourra changer une ou plusieurs fois entre les valeurs extrêmes ar = oetar=:a;ou, autrement dît , si on la représente par l'ordonnée d'une ligne dont x soit l'abscisse, cette ligne pourra se composer de plusieurs portions de courbes différentes. Si l'on désigne par ^ une ligne d'une longueur aussi petite qu'on voudra, nous pourrons supposer, par exemple, que (px soit zéro depuis x=2 0 jusqu'à ar = ia — J^, et depuis x = 7a 4" ^ jusqu'à j:=a, de sorte que cette fonction n'ait de valeurs différentes de zéro que dans / une très petite étendue cT de part et d'autre de xz=z\a.

638 TRAITÉ DE MÉCAIilQnE.

Ce cas sera celui d'an poids q agissant an milieu de la verge élastique , que nous examinerons tout ï l'heure en particulier.

Quelle que soit la fonction (px , continue ou discontinue^ pourvu qu'elle soit nulle pour x:=o et pour a::=a, on aura^ depuis a: = o jusqu'à x=û inclusivement ,

^a:=-2f / sm (pccdx jsia — ; (a)

n étant un nombre entier et positif ^ et la caractéristique 2 indiquant une somme qui s'étend à toutes les valeurs de n^ depuis 77=1 jusqu'à 71 = oo . Cette formule est due à Lagrange, qui l'a donnée dans les anciens Mémoires de F Académie de Turin (*) ; nous la démontrerons plus bas. En en faisant usage , l'équation {f) devient

et en intégrant et observant que ^ = o pour jc = 0 et pour x:=a, on aura

^•r=-S-2-,(y^ sm— (pa:^)sin— ;

+ a:(a — a:)[Ga:-hC(a — x)]; (b)

C et C étant des constantes arbitraires que Ion déterminera comme dans les trois cas du numéro précédent.

3a4« Examinons en détail le cas où le poids q est

{*) Tome III y page 261.

suspendu au milieu de la verge, c'est-à-dire, le cas où, comme on vient de le dire, la fonction <px' est nulle pour toutes les valeurs de x* qui diffèrent un tant soit peu de -a.

On pourra aloi*$ faire x' = ^ a dans le facteur

sîn que renferme l'intégrale relative à a:'; ce

qui donnera

sm (ùxdx = sm — / ^xdxz=a%ia — ,

et fera disparaître tous les termes de la somme Z qui répondent à des nombres pairs n. Je désigne par i un nombre pair ou impair; je fais n=2« — i, et j'étends la somme Z à toutes les valeurs de £, depuis /= i

jusqu a 1= 00 . A cause de sm ^ — = — ( — i)' ,

l'équation (b) devient

Çj-zzzxÇa — x) [Cx + C (/ï — x)]

a^fl% (— 0! •„ (2i— ï)irx 7n {m — i)* a

Mais d'après une formule connue , on a , comme on le verra plus bas ,

pour toutes les valeurs de», depuis 01 = 0 jusqu'à a>=f7r. Si donc on a a:< - a, on fera o) =s — et l'on aura

<«» ( — «y ' (2* — ï)*"^ *•*//< ly . X

64o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

si, au contraire, on a x > - a. on fera ce :=: ^i^Z^;

et comme on a

(ai — i)jr(a — x) • (a£ — \\wx sin ^ ' — ^ '-■ r= sm ^ ^—

on en conclura

De cette manière, nous aurons l'une on l'autre de ces deux équations :

Çr = x(a-x)[Cj:+C(a-x)]- ^ (4*S-3««x)

U ne restera donc plus qu'à déterminer les constantes C et C/ dans les trois cas suiyans :

I*. La condition ^ =o pour a:=o et pour a:=a,

qui a lieu quand la verge est encastrée à ses deux extrémités^ donne

Les équations (i) deviendront

au milieu de la verge, on aura ^ = o , comme aox extrémités; et la flèche/*, ou l'ordonnée correspon-

daate k x s=z ^a, sera

c*est-à-dire , double de celle qui avait lieu dans le premier cas du n"* 322. En vertu des secondes équations {g) et (K), on aura aussi

comme cela devait être

2*. Dans le cas de la verge simplement retenue par

ses deux bouts, où l'on doit avoir ^^=0 pour

•r = o et pour a: = a , il en résulte

et, par conséquent,

La tangente au milieu de la courbe est horizontale, et les valeurs de Q et E sont — -Jç, comme dans le premier cas; mais la flèche y a pour valeur

en sorte qu'elle est quadruple de la précédente, et plus grande dans le rapport de 8 à 5, que celle du second cas du n"" 322. Si l'on mène une tangente à la courbe élastique, par Tun ou l'autre des points A ctB; que Ton appelle ft son inclinaison, et qu'on

64a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

désigne par f l'ordonnée verticale du point de cette droite qui répond à Tabscisse égale à ^ ^^ on aura

tanga = -^|l, / = ^atanga; d'où l'on conclut

Dans le second cas du n* 522, le rapport de y ày scrait ^.

5*. Enfin , si la verge est encastrée à rextrémité A et seulement appuyée à l'autre bout B ^ on aura

^ = o pour j: = o,et^=o pour or = a; on eu

déduira

et les équations (i) deviendront

Ç.j = ^(5x* — i5/M:*-f-i2a'x — 2rt').

Elles donnent pour x z=.\ a^ la même valeur de y ^ savoir

mais ce n'est pas la plus grande ordonnée. On aura aussi

F ili O — — êf.

STATIQUE, SEœNDE PARTIE. 643

en sorte que le poids q se partagera dans le rapport de 1 1 à 5 entre les points d'appui A et B.

325. Nous allons maintenant démontrer la formule de Lagrange ^ citée précédemment.

Four cela , considérons la quantité

1 — aA cos ô 4- ^* '

qui est une fraction rationnelle par rapport & A ^ et dans laquelle 6 désigne un angle réel. Son développe^ ment suivant les puissances de h sera

I 4- ^^ cos 9 + aA* C08 aS -f- ^^^ cos 3â -fr aM cos 4^ -f- «te ;

ce qu'on peut aisément vérifier; car si Ton multiplie cette série infinie par le dénominateur i — aA cos G-hV de la fraction, on retrouve son numérateur, en observant qu'on a

a cosnflcos9 = cos(n-}-i)fl-f-cos(n — i)fl, ,

quelque soit le nombre n. Si h est moindre que l'unité^ abstraction faite du signe, cette série sera convergente , et la fraction sera rigoureusement égale à son développement prolongé à l'infini ; à cause de

I— aAcosfl + A* = (i — À)»H- 4Asin4fl, nous aurons donc, dans cette hypothèse.