PRINCIPE GENERAL DE LA DYNAMIQUE

55o. Lorsqae des points matériels, soumis à des forces données, sont liés entre eux d'une manière quelconque, ils prennent, à chaque instant, des vitesses infiniment petites > différentes de celles que ces forces leur imprimeraient s'ils étaient libres. Ces forces étant connues, ces dernières vite&ses le sont aussi; et le problème général de la Dynamique consiste à en déduire, eu grandeur et en direction,

2 THAITÉ DE MÉCANIQUE,

les accroissemens de vitesse qni ont réellement lieu Sa solution dépend d'un principe très simple que Toc doit à D'Alembert ^ et d'après lequel od ramène to«1i|f let questions relatives a« monvemeiH^ à desimpbi questions d'équilibre ^ toujoui^ résolubles par les règles exposées dans le livre précédent.

Pour énoncer ce principe d'une manière précise j soient m la masse d'un des points matériels que l'on considère ^ et «r la vitesse que la force qui k sollicite lui imprimerait, s'il était libre, dans un temps t infiniment petit. Appelons qr l'accroissement de vitesse qui aura également lieu pendant ce même instant , et dont la direction différera , en général , de celle de la vitesse donnée ur. Fàr la règle du parallélogramme des forces, qui s'applique également aux vitesses (n* i^5), décomposons ur en deux autres vitesses , dont l'une soit qr , et l'autre sera représentée par pr. La force motrice appliquée au mobile aura le produit mu pour mesure ; celles qui seraient capables des vitesses qr et /r , auront pour valeurs mq et mpi et nous pourrons regarder la force donnée mu comme la résultante de la force mq. Il laquelle est dû l'accroissement de vitesse qui a réellement lieu , et de la force mp, dont l'effet est détroit parla liaison des points du sjrstème. Nous appellerons cette deiv nière la frrcè perdue.

Désignons par les mêmes lettres avec des accens , savoir, m', m', q\ />'; m", a", ^'r p"f etc., les quantités analogues vl m, u, q, p, qui répoodent aux autres p(Mnts du système. Quels que soient leur nombre et leur liaison mutuelle, il est évident que les forces

DYNAMIQUE, SEGOKDe PARTIE. )

perdue nq^^ m!p\ Hfi'ff^ otc«, devront se faire ëqui-* lîbfV*) car si cet équilibre nWait pas lieu , ces forces {Mt^ailraient de oerlaines vitesses iafioiaient petitef peadant rinslâat r^ et» par conséquent^ qx y q'r'^ f'V^ elc*y ne seraient plus^ contre l'hypothèse, les accroissemens de vitesse qui ont réellement lieu.

Cest eo cda que consiste le principe de I>'Alembert. Au- lieu des forces mp , m'p', V^'fl'f etc. y oo peut mettre I daiàs les équations d'équilibre du système <{ue l'oa considère , us quautités de mouvement mpr^ wfpW^ vnP^W ^ qui leur sont . pi^porfiocmelles , él alors on dit qu'il y a équilibre entré les quantités de mouvemeat infiniment petites^ peidues dans chaqM instant par tous les points du système , en verte de leur liaison mutuelle.

53i. On peut changer cet énoncé général en un i^tre qui sera souvent plus commode.

. Obserlfons^ pour cela; que mu étant la résultante de Pfiq et m/>, chacune de ces composantes^ la s^ conde par exemple , est aussi lia résultante de tnu ert de laulire composante mq ^ prise en sens contraire dé sa direction; en remplaçant ainsi chacune des forcvs perdues fièp ^ valpl^ ^V^ ^^'^ P^** ^^ àsiVCL forces dont elle est la résultante y iious voyons que le prindpe4e D'AIemberf revient à dire qu'il y aconstamment équilibre entre les forces- données j qui agissent sur tous les potttifS d'un système de points matériels en motH vemefilf et les forces auxquelles sont dus les accrois^ semeos iiifinimeni petits de vitesse qui ont Ken d chaque instant^ ces dernières forces étant prise» en sens contraire de leurs directions. On remplacera ^ si

4 TRAITÉ D£ MÉCAI91QUE.

l'oQ veut j les premières forces par les quantités dé mouvemeat mur, m'u'r, ni'vl'Ty etc^ et les dernières par mqr , mfq'r, m"^'T, etc. , en donnant à chacone des vitesses q , q', q", etc. , une direction contraire à la sienne , et laissant k u, u', u''^ etc. , leurs propre» directions.

Ce second énoncé a l'avantage de conduire immédiatement k des équations entre les inconnues q , q', q", etc.^ et les données du problème , qui sont tes vi^tesses Uf u% u'\ etc. Ces équations résulteront , soit des conditions d'éfJuUibre, soit des liaisons qui au^ ront lieu , dans chaque cas , entre les points du sys-tème; elles seront toujours en même nombre que les coordonnées de tous ces points (n"" 34a) , et , conséquemment, en même nombre que les composantes des vitesses q, q', ^V ^te., parallèles aux axes de ces coordonnées ; en sorte qu'elles feront connaître , en grandeur et en direction , les accroissemens de vitesse de tous les mobiles à chaque instant; ce qui est, comme nous Favons dit, la solution générale du problème de la Dynamique. Remonter ensuite de ces accroissemens infiniment petits aux vitesses et aux coordonnées du mobile en fonctions du temps , est une question de calcul intégral. /

553. Lorsque les forces mq , infq\ m"^', etc. , auront été déterminées , si on les prend en sens contraire de leuis directions, et qu'on les compose avec les forces données niu , m'u\ mV, etc. , on aura les forces perdues mp , m'p, ml'p^'y etc. C'est à ces dernières forces que sont dues les tensions des fils , des verges élastiques et de tous les liens physiques qui

pényent exister entre les diffisrens points du système, ainsi que les pressions exercées sur les surfaces et les courbes données qu'ils peuvent être obligés de parcourir; et, d'après le premier énoncé du principe de D'Âlembert, ces pressions ou tensions se délermineront., dans l'état de mouvement de système y par les règles de la Statique appliquées aux forces perdues (n® 543).

• Pendant le mouvement,; une 'partie de la force donnée, qui agit sur chaque mobile, est donc employée à faire varier sa vitesse, et n'a aucune influence sur les pressions ou tensions dont il s'agit; et l'autre partie, qu'on regarde comme détruite ou perdue, produit ces tensions ou pressions, et n'influe nullement sur la vitesse. Lorsque le système est parvenu h, un état permanent dans lequel tous les points qui le composent se meuvent uniformément, la première partie de chaque force est nulle , et la force entière est détruite , c'est-à-dire , employée à produire les pressions contre les obstacles fixes, et les ten-^ sions des liens physiques , comme si ce système était en équilibre.

Supposons, d'après cela, qu'une corde soit en mouvement suivant sa longueur, et que des forces données agissent à ses deux bouts suivant ses prolongemens. Si ce mouvement demeure uniforme , les deux forces seront égales, et leur valeur commuiie exprimera la tension de la corde ; si , au contraire , les deux forces sont inégales, l'excès de la plus grande sur la plus petite sera employé à accélérer ou à retarder le mouvement de la corde , et sa tension aura

6 TÀAITÉ DE HÉCANIQUE.

pour mesure la partie de la plus grande force âi^ Iruite par la plus petite, oa égalé et contraire à celles ci. Par exemple, lorsqnW cfaeral tralne-un fardean atir ube route » et que le mouvement du système demeure uniforme, Teffort du cheval, parallèlement à la route, est égal au poids du &rdeau décomposé avivant cette direction , plus le frottement du fardeau contre la route; il est constant quand l'état de la route et son inclinaison ne varient pas; si%>n le suppose transmis au fardeau partie moyen de plusieurs cordons parallèles entre eux et à la route, Teffort total sera égal à la somme des tensions de fous ces cordons; et, dans la pratique, on mesure l'effort exercé suivant chaque cordon par l'extension d'un nessort interposé suivant sa longueur. L'inclinaison et l'état de la route ne changeant pas, si les efforts de l'animal augmentent ou diminuent, le mouvement du système s'acxrélère ou se ralentit, sans que les tensions éprouvent aucune variation. Lorsque la route est horizontale, le frottement insensible ^ et le mouvement uniforme , le cheval n'a d'autre force à développer que celle qui est nécessaire pour sa propre marche; il n'exerce aucun effort suivant les cordons attachés au fardeau, et leurs tensions sont constamment nulles.

553. Le principe de D'AIembert a aussi lieu rela-* tivement aux quantités de mouvement finies, perdues par des corps liés entre eux d'une manière quelconque, et sur lesquels on exerce des percussions simultanées , qui ne sont autre chose que des forces motrices agissant sur les mobiles avec de très

DTKlinQDB , SECONDE PARTIE. 7

{[Fttides intensitës et pendant de très courts intervalles de temps (n'' ia6).

Ainsi, snpposons qu'une force de cette nature agisse sar le point dont la masse est m, pendant un tenips fini, mais assez petit pour que le point m et tous les autres points du système ne changent pas sensiblement de position dans cet intervalle de temps. Représentons-le par i, et par U la vitesse de grandeur finie que cette force* impHmérait au point tn^ s'il était libre; et soit ausisi Q la vitesse qu'elle lui imprime réellement , de sorte qu'au bout dix tenips 6 il ae trouve animé de la vitesse qu'il avait auparavant , de la vitesse Q^ et de celle qui lui est communiquée, pendant le même temps, par des forces motrices qni peuvent agir sur le sytème, indépendamment des percussions. Décomposons la vitesse U en deur autres, l'une égale à Q^ et l'autre que je représenterai par F. Faisons des suppositions semblables à l'égard des autres points m', m", etc. , du système , et désignons , par rapport à ces points, par U', Q', F; U", Q", P?, etc.» les quantités analogues à U, Q » P* L'équilibre existera dans le système, soit au comnienceoàent , soit à la fin du temps e , entre les quantités de mouvement perdues /»?, m'P", m'T", etc.

En effet » décomposons la durée € des percussions en un nombre infini d'instans infiniment petits. Soient rTun de ces.instans, m^r, m'vV, m'Wr", etc., les parties infiniment petites de niP, wiT', in'T", etc., perdues pendant cet instant, et, comme précédemment, mpr, rnfp'r'f ?»"/?V', etc., les quantités infiniment petites de mouvement, provenant des forces

motrices, et perdues dans ce même instant. D'après renoncé du n^ 35o , ily aura équilibre, dans le système , entre ces deux groupes de quantités de mouyement ; chacune des équations relatives à cet équi* libre sera de la foriue :

AmtwT + k'm'^'r -|- AW^'V + etc.