B/wpT 4- B'myr + B"myV + etc. = o

en désignant par A, A% A", etc., B, B', B", etc., des coefficiens dépendans des positions des mobiles; et cette équation subsistera pendant toute la durée e des percussions. La somme des valeurs de son premier membre qui répondent à tous les instans de cette durée , sera donc égale à zéro ; mais , dans cette sommation, on pourra regarder les coefficiens comme invariables, puisque, par hypothèse, les positions des points m, m', ni\ etc., ne changent pas sensiblement pendant toute la durée des percussions ; de plus , les sommes des valeurs de m-xr , ml^'r^ rrl*ftafWy etc. , seront les quantités de mouvement mP , w!Y , m"P", etc. ; celles de mpr, m'pV, n/'p^Wy etc., pourront être négligées par rapport aux premières, parce ' que les effets des forces motrices, telles que des poids et des attractions dirigés vei^s des centres fixes ou mobiles, pendant les durées des percussions, sont généralement insensibles par rapport aux effets de ces autres forces ; par conséquent , nous aurons

AmP + A'm'P' + AWT" + etc. = o.

Il en sera de même à legard de toutes les équations d^équilibre du système, qift subsisteront toutes entre

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 9

les quantités de mouvement pei^uës mP, rnlV^ mVy etc. ; ce qu'il s agissait de faire Toir.

A cause de rinvarîàbilité des coefliciens A ^ èi\ M^f etc., pendant la durée des percussions » ces équatioBS se rapportent indifféremment au comnience ment ou à la fin du temps e. Pour plus de commodité, on a supposé cette dui^e la même pour toutes ks percussions ; ce qui est permis évidemment , pourvu que € soit la durée la plus longue des percussions que Ton considère en même temps.

Ces percussions proviendront, en général, des chocs des mobifes entre eux ou contre des obstacles fibces. n pourra arriver que pendant le temps e, ces corps glissent un tant soit peu l'un contre l'autre ou contre ces obstacles ; ils éprouveront alors des frottemens qui leur enlèveront de certaines quantités de mouvement : or, on ne peut pas négliger ces quantités comme celles qui proviennent de la pesanteur et des attractions ; car le frottement est une force proportionnelle à la pression, c'est-à-dire, une force qui enlève aux mobiles, dans chaque instant, des quantités de mouvement infiniment petites , proportionnelles à celle que la pression pourrait leur imprimer dans le même instant ; d'où il résulte que les effets des frottemenSy pendant le temps e, peuvent être comparables à ceux des percussions. Ainsi , quand il y aura un glissement des mobiles pendant la durée des peraissions, il faudra établir l'équilibre entre les quantités de mouvement perdues par les frottemens et celles que nous avons représentées par mP , m'P', irtT^, etc. On pourra, si l'on veut, remplacer les vi^

ia TRAITÉ DE MÉCANIQUE. *

Je substitue cette valeur de d\f dans Féquation (i);

d*où je déduis ensuite

(mr — m'I) h ,

et, en intégrant ,

^ "^ {m+m')ir fi^^ "•" ^ '

c étant la constante arbitraire.

Si l'on multiplie par dt et qu*on intègre de nouveau , on aura l'espace parcouru par m sur son plan incliné ; mais cette valeur de i^ suffit pour montrer que son mouvement est uniformément accéléré ou retardé , selon qu'on a mF > m'I ou mF < n»'/. En vertu de l'équation </' = — v, le contraire a lieu à l'égard de m\

J appelle T la tension du fil auquel les deux mobiles sont attachés , laquelle est due à la force perdue à chaque instant par chacun de ces deux corps* Cette force motrice a pour valeur Tune des quantités de mouvement qui forment les deux membres de 1 équation (i), divisée par dt; par conséquent ^ on a

et , en mettant pour d\^ sa valeur précédente , il

vient

^ (/ + / ) mm'hg ^

{m + m) IV '

valeur qui se réduit à — .--, comme cela devait élre,

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. i3

dans le cas de mV z=z m'I^ qui est celui de Tequilibre. Quant à la pression exercée sur chaque plan incliné , elle est due à la composante perpendiculaire à ce plan, du poids du corps qu'il supporte i^ el là même que dans 1 état d'équilibre.

355. La constante c est la vitesse initiale de m; û les deux corps sont partis de Tétat de repos, on a c=o; mais si Fun d'eux, ou tons les deux f ont éprouvé une pei*cussion à Toriginé du mouvement, il faudra en déduire leurs yitessès initiales.

Supposons donc qu'à Torigioe du mouvement le^ mobiles m et mf ont éprouvé simtiltanément des per^ CQBsions qui auraient imprimé, suivant les proloil*^ gemens du fil auquel ils sont attachés , une vitesse a à tous les points de m , et une vitesse a* à tous les points de m'y si ces deux corps eussent été libres. Comme leurs vitesses initiales sont c et — é?, il s^snit qu'à cette origine les quantités de mouvement perdues ont été, en grandeur et en directicfnV iii(a— -c) et m'(a'-f-c); pour qu'elle» se &4ftit équilibre > d'après le n* 353^ il faudra qu'elles soient ^ales; on aura dobc

d'oii Ton tire

ma — m'a

C ss • - ■•

La percussion que ]fe fil a subie à cet instant , suivait chacun de ses prolongemens , est du^ à l'une, où Tautre de ces quantités de mouvement perdues, dont

i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

la valeur commune est

mm' (a -4- ^) .

eo sorte que la percossion initiale du fil est la même que s'il était sospènda verticalement à un point fixei et qu'un corpe attacbé à son exirëmitë inférieure fût firappéy dans le sens de la pesanteur^ par un second corp# animé de Mtte quantité de mouvement et qui $e réunit an premier.

356. Au Heu de deuit corps pesans^ on en pour^ r^t aonsidérer trdis oui un plus grand nombre > posés sur une suite de plana indinés, et dont chacun se-* raitlié-au suivant par un fil inextensible : le nKWh Yemeiit de qe systàne de oorps serait de la mêm;? Mture et se déterminerait de la même manière, que pcéfcédemnent. •

On petit aussi remplacer ks deux corps que Ton VMEt de considérer ^ par une chaîne pesante ^ posée sur tes d0ux plans inclinés. En la supposant homo^ g^lb et d'une épaisseur qonsti(nte , et désignant, au boiit du temps t ^ par a? e\:a^ les longueurs de ses deux parties, leurs masses seront entre elles comme ces quantités, de sorte qu'il faudra d abord remplacer, dans l'équation (i~), m et m! par x et x\ De plus, pendant l'instant ^, la première de ces deux parties augmente de l'élément dx ^ qui prend la vitesse (^ commune à tous ses points; pour cette raison, la quantité de mouvement perdue par cette partie sera diminuée d'une quantité positive ou négative, et égale à w£r. Par une raison semblable, la qnan^^ tité de mouvement perdue par la seconde partie

DYNAMIQUE « SEœNDE PARTIE. i5

de la cbatoe pendant le même instant ^ deyra être di« mîooée d'une quantité égale à s/dx^ : il faudra donc , en outre ^ retrenclier pdbr et i^(£r^ du premier et du «eond meral>re de cette équation (i% qui deviendra, 00 cette maiii^fe, '

x{^dt^â^^vdx^3if(^dt^ds/^^f/daf.

Si Ton appelle X la longueur constante de la chaîne entière, on aura

X '^ ai tsz Xf dx + dx'sco;

les vitesses i^ et (/ de ses deux parties seront d'ailleurs

^ dx , d^

^ ~ di' ^ — di *'

d*oèi il fésuhe dx'sss'^dx et wh: = i^'dx^; et, en élinmumt y'et dv^ de Téquation du mouvement, il vient

on Ton a fait, pour abréger.

L'intégrale complète de cette équation linéaire est

en désignant par e la base des logarithmes népériens, et par a et b les deux constantes arbitraires, dont on déterminera les valeurs d'après celles de x et

i6 TRAITÉ D£ MÉGANIQUE.

2? 9 qui répondent à ^ = o. Lorsque toute la chaîne se

trouvera sur un même plan , c est-à-dire , lorsque la différence a:— x' sera devenue égale à d= A , ^e mouvement changera de nature, et deviendra yniformeT ment accéléré.

Pour que la chaîne demeurât en repos , il faudrait qu'on eût a=zoetb=io; d'où Ton conclut

ce qui fait voir que dans l'état d'équilibre les deux parties x et x' de la chaîne sont entre elles comme les longueurs l et F des plans inclinés sur lesquels elles sont posées; en sorte que ses deux extrémités se trouvent dans une même droite horizontale. Réciproquement, si cette condition est remplie k un insftant déterminé, et qu a cet instant les points de la chaîne ne reçoivent aucune vitesse, l'équilibre aura lieu ; car la proportion

donnant fTTf P^^^ ^^ valeur de x, on aura, à l'instant dont il s'agit,

ae + oe z= o;^

et la vitesse étant supposée nulle, on aura, en même temps,

j- = acte — bae = o ; d'où il résulte a = o et 6 =: o*

357. Pour second exemple de lapplicatioD da principe général de la Dynamique ^ considérons le mouvement de deux points matériels soumis à leur repulsion mutuelle ; et , pour réduire la question au cas le plus simple, supposons qu'on ne leur imprime aucune vitesse initiale, perpendiculaire à la droite qui va de l'un à Tautre; en sorte que leurs mouveraens aient lieu sur une même ligne droite , donnée de position.

Soient m et m' leurs masses ; au bout du temps t , désignons par x et x' leurs distances à un point fixe , pris sur cette ligne , et par p et / leurs vitesses , de sorte qu'on ait, à cet instant,

dx , djf

En même temps, soit R la force répulsive agissant en sens opposés sur m et m', et qui tendra , pour fixer les idées , à augmenter la distance x' et à diminuer la distance x. Pendant l'instant dt, cette force mo-*

trice imprimera une vitesse — - ^ la masse m'; et,

comme l'augmentation de vitesse de m! est réellement é/p'y il s'ensuit que sa vitesse et sa quantité de mouvement perdues pendant cet instant seront

—; dif' et l^t — m'dif'. La quantité de mou va-

fis

ment perdue par m, dans le même sens et dans le même instant, sera aussi — Kdt — md^'. Or, ces deux points matériels étant d'ailleurs entièrement libres, il faudra, pour Féquilibre de ces quantités de raoutei&ent > qu'elles soient séparément nulles ; 2. a

î8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

par coDsécjuent , on aura

mdi^ + ïidt = o , m'dv^ — Kdt = o.

Soit r la distance comprise entre les deux points matériels m et m\ de sorte qu'oui ait

ûc' — a: =z r, dx' — . ^x =i dr.

A cause de dx = i^dt et dx' = i^'dt , on tirera des équations précédentes

jBn intégrant et désignant par c et c' les deux constantes arbitraires y on aura donc

La force R sera une fonction donnée de r; on pourra donc obtenir l'intégrale fKdr exactement ou par approximation ; et si l'on désigne par a la valeur de r a l'origine du mouvement ^ et qu'on suppose cette intégrale nulle quand r= a, sa valeur, à un instant quelconque y sera une fonction de r et a que je représenterai par y(r, a). Soient aussi a et a' les vitesses initiales de m et m^; on aura, à la fois,

r=zùL, y(r, a) = o, (^ = a, if's=zaf,

et, conséquemment 9

c = ma -|- m'a', c' z=^ma* + m'a'* j d'où il résultera, à un ingtant quelconque,

mif + mV = ma -|- m'a\

mv* 4- mV* = 2/'(r, a) -|- ma* -f- m

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 19

Ces dernières équations feront connaître, à chaque instant, les vitesses des deux mobiles en fonctions de leur distance mutuelle : on en conclut que toutes les fois que cette distance redeviendra la même , les carrés v* et t>'' reprendront aussi lés mêmes valeurs, et que chaque mobile reprendra une ^ale vitesse, dans le même sens ou en sens con-* traire.

Connaissant ^ et v' en fonctions de r, on aura

dt z=z -jt — ,

pour déterminer, par une nouvelle intégi^ation , la valeur de t en fonction de r/ ou réciproquement. D'ailleurs, en multipliant la première des équations ( i) par dif intégrant et désignant par b la constante ar* bltraire, il vient

ma: + nixf=^{ma'\-' m'a') t-{^b.

On connaîtra h d'après les positions initiales des deux mobiles; et cette équation, jointe à x^ — a: = r, fera connaître leurs positions à un instant quelconque , c'est-à-dire , les valeurs de a: et j/ en fonctions de r ou de /; ce qui sera la solution complète du problème.

Si l'action mutuelle des deux mobiles était attractive, il faudrait changer le signe de R, et par suite celui de f{r, à), dans les formules précédentes. Si cette force était une répulsion à certaines distances , et une attraction à d'autres distances, on prendrait pour R une fonction de r qui changerait de signe

ao TRAiTÉ DE MÉCANIQUE,

dans retendue des valeurs de la Tafiablei Dans fbus les cas ; il résulte de rëquation précédente que 1 ac<r lion mutuelle xles deux mobiles n'altèi^ pas le mou-^ vement de leur centre de gravité; car son premier membre , divisé par m + '^^ exprime la distance de ce centre à l'origine fixe des x el x' 'y en sorte que le mouvement du centre de gravité est uniforme et indépendant de la force R.

358. Les équations (i) conviennent aussi au mouvement de deux corps solides ^ de grandeur quelconque y soumis à la fofce 1^ , et dont les masses sont m et ni 9 pourvu qu^ les vitesses de tous les points de ces deux corps soient constamment parallèles à une droite donnée. Cette force R.^ répulsive ou attractive, Igexki alors provenir d'un ressort qui ^se dilate ou se contracte entre les deux mobiles contre lesquels il est appuyé par ses extrémités ; ou bien encore , on peut supposer que la force R provient d'un fluide élastique qui se développe entre ces deux corps ^ et les repousse en sens contraire l'un de Tautre.

Ce dernier cas est celui du mouvement du boulet et du canon , pendant que le premier parcourt Vdme de la pièce. On prendra alors pour m la masse du boulet, et pour wt celle du canon. Il faudra, pour faire usage des formules précédentes , supposer que la totalité de la poudre se réduit en gaz à l'origine du mouvement. La longueur de la charge sera la distance initiale a des deux mobiles; et quand cette distance sera devenue r, la force R exprimera la pression que le gaz, ainsi dilaté, exercera sur chacun de ces deux corps. Il faudra, en outre, faire une suppo-

DYNAMIQUE^ SECONDE PARTIE. ai

«lion sur la valeur de R en fonction de P. Or , si la température du gaz deioâeHrait constante pendant sa dilatation , la force R , d'après la loi de Mariotte, serait en raison iiivers^e des espaces qu'il occuperait dans rintériepr du canon. Soit donc k la pressiop rapportée à Tunité de surface p exercée par le gaz à llnstant où la poudre vient de s enflammer et où il occupe encore le même espace que la charge. Désignons par cû la section de la charge perpendiculaire à sa longueur, qui est aussi la section intérieure de la pièce; ic? sera la valeur de R à Torigine du mouve-* jnent; et, dans le cas de la température constant!^ on aurait

à, rinstant qui répond à la distance r des deux mobiles; car, à ces deux époques, les espaces occupés par le gaz sont entre eux comme les longueurs a et r.

Cette expression de R est celle qu'on a générale* ment adoptée , quoiqu'elle soit fondée sur deux hypothèses inexactes : la totalité de la charge ne se réduit pas en gaz ayant le départ du boulet; et pendant sa dilatation dans Tàme de la pièce , le gaz formé doit .éprouver de très grandes diminutions de température, liais ces deux causes influent en sens contraire sur le décroissement de la valeur de R : la seconde tend évidemment à rendre ce décroissement plus rapide , tandis que Tefiet de la première doit être de le ralentir, à raison des nouvelles quantités de gaz qui vîent^ nent successivement s'ajouter à la quantité initiale.

aa TRAITÉ D£ MSËGAlflQUE.

On suppose qae ces deux causes contraires se corn*» pensent à peu ppes , et Ton £iit abstraction de Icgar influence, sur l'expression dç R en fonction de r.

Cela étant 9 d'après la valeur de R qu'on vient d'écrire, on aura

en observant que l'intégrale fi^T^ ^\ est supposée nulle pour r = et. On regarde comme nulles les vitesses initiales du boulet et du canon (^) ; en faisant donc a=:o et a'=: o dans les équations (i)^ et y substituant cette valeur àe f(r^ a), nous aurons

mv + 1» V = o , mv^ + /Il V* = a A-oia log -;.

Soient / la longueur de l'âme, Y la vitesse du boulet à la bouche du canon , V la vitesse corres^ pondante du recul; on aura, à la fois,

et l'on déduira des équations précédentes

m{m'^' m') ^ et '

ce qui fera connaître la vitesse de projection V^ Abstraction faite du signe, celle du recul sera égale

à cette vitesse V multipliée par le rapport —,.

(^ Voyez IVxamen de ce point de la question dans le ai* cahier du Journal de V École Polytedlmique, page 191.

DYNAMIQUE, SECONDE PABXp. aS

En égalant à zéro la différentielle de Y* par rapport k et, on déterminera la longaeor de la charge qui répond , toutes choses d'ailleurs égales , au maxir mwn de la vitesse de projection. On a, de cette manière,

»og^ = i;

et comme ce logarithme est népérien, il s'ensuit qu'en désignant^ à l'ordinaire, par e la base de ces logarithmes , on aura lz=: eet; de sorte que la valeur de a dont il s'agit surpassera un peu le tiers de la longueur / de la pièce.

359. La masse mf comprenant celle de la pièce et de l'affût, est toujours très grande par rapport à celle du boulet; en réduisant donc à m' le diviseur m -{- m' de la valeur de V% on aura sim-i plement

Pour foire usage de cette formule, il sera néces-f saire de connaître la constante kj qui représente la force élastique de la poudre réduite en gaz ^ à l'instant de sa plus grande intensité. Soit , pour cela , D la densité de la poudre dans son état naturel ; la masse de la charge sera Dcocl ; en supposant son poids égal au tiers du poids du boulet , on aunii, donc

m = SDû^a ;

et l'on tirera de Téquation (2)

s4 tRAITÉ DE MÉCANIQUE.

j 3DV

a log -^

^ et

Cette quantité k sera la pression maxima du gaz de la poudre, rapportée à Tunité de surface; pour la comparer à la pression atmosphérique, soient «29* cette autre pression , ^ la hauteur barométrique , jK la demité du mercure , et g la gravité ; on aura

épient aussi M le module des tables de logarithmes ordinaires, et A le logarithme de - pris dans ce» tables, de sorte qu\>n ait

il résultera de ces yaleurs

k 3MDV»

A la température ordinaire d'environ i8', je prend» pour les densités de la poudre et du mercure

D = 6,8335, )x= 13,548; pu a aussi

g = g^SoSgô, h = o-",76;

çX à cause de

la formule précédente deviendra

Dans le cas d^ la pièce de 24 , chargée au tiers du poids du boulet y on a

et il en résulte

k = ii42.<w. .

Relativement à la pièce de 1 2 , on a de même

oe qui donne

Al = 1187. «Zy.

En prenant la moyenne de ces deux valeurs de X:^ qui devraient être égales si la théorie était rigoureuse et que les données fussent exactes, nous aurons donc

k = ii65.czr.

• Telle serait la valeur de k qu'il faudrait employer dans la formule (2); mais cette expression de V^ ne peut être regardée que comme une formule empirique , d abord li raison des hypothèses sur lesquelles elle est fondée 9 et, en outre, parce que dans le calcul direct, du mouvemÎE^ du boulet dans l'âme de la pièce , il aurait fallu avoir égard k la masse de la poudre réduite en gas. En même temps que ce fluide pousse en sens opposés le' boulet et le canon , une partie de la force qu'il développe est employée à transporter sa propre masse, qui n'est pas négligeable par rap- {>ort à celle du projectile; et l'on conçoit qu'il en doit résulter une vitesse de projection moindre que si , la force élastique de la poudre restant la même ,

sa masse était insensible, comme le suppose l'analysé, précédente. Cette remarque , due à Lagrange, prouye la nécessité de considérer à la fois les mouvemens de la poudre et des deux masses m et m'y pendant que le boulet est dans la pièce; mais alors la question se complique y et la difficulté du calcul ne permet guère d'arriver à aucun résultat utile pour la pratique. C'est donc à l'expérience qu'il vaudra mieu^it recourir pour déterminer les vitesses de projection des corps lancés par les bouches à feu. Indépendamment de la considération des portées, que nous avons déjà indiquée (n* 216), il existe un autre moyen d'obtenir ces vitesses, dont il sera question dans un des chapitres suivans.

36o. Appliquons encore le principe de D'Alerabert au cas le plus simple du choc des corps , et supposons qu'il s'agisse de deux sphères homogènes , dont les centi^s se meuvent sur une même ligne droite , et dont tous les points décrivent des parallèles à cette droite.

Soient m et m! les masses de ces deux corps; désignons par (^ et (^Meurs vitesses, lorsqu'ils commencent à se toucher, c'est-à-dire , au premier instant da choc : (^ et t^' seront de même signe ou de signes contraires, selon que les deux mobiles iront à la suite ou au-devant l'un de l'autre. Dans les deux cas , nous regarderons la vitesse (^ comme positive; et, après le choc, la vitesse de chacun des deux mobiles sera po-* sitive ou négative , suivant qu'elle sera dirigée dans le sens de cette vitesse de m avant le choc ou en sen^ contraire.

Quelque dors que soient les deux mobiles, ils sont toujours plus ou moins compressibles; à raison de la différence de leurs vitesses if et i^', ils vont donc se comprimer, en s'appuyant l'un contre lautre; et^ pendant cette compression , la vitesse de Fun des deux corps, de m^ par exemple, diminuera par degrés infiniment petits , et celle de m' augmentera de méme^ jusqu'à ce que ces deux vitesses soient devenues égaleSé Or, à partir de cet instant , il y aura deux cas distincts à considérer.

I *• Si les deux sphères sont entièrement dénuées d'élasticité, elles cesseront d'agir l'une sur l'autre à Hnstant où leurs vitesses se seront ainsi nivelées, et continueront de se mouvoir avec une vitesse commune , en restant juxtaposées et conservant les formes que la compression leur aura données.

• tT. Si , au contraire , les deux sphères sont élastiques, elles tendront à reprendre leur«€orme natu<^ reile; en y revenant, et s appuyant toujours Yanfà contre l'autre , la vitesse de m continuera de décroître graduellement, et celle de m^ continuera d'augmenter : il y aura enfin un instant où ces deux corps se sépareront, et ce sera la fin du choc. Or, dans le cas d'une parfaite élasticité, on suppose que la seconde partie du choc est tout-à-fait semblable à la première; qu'à la fin du choc , les deux corps ont repris exactement leur forme sphérique, et une vitesse commune à tous les points de chacun d'eux ; et que , pendant sa seconde partie, ils perdent ou gagnent des quantités de mouvement égales à celles qu'ils ont déjà perdues pu gagnées pendant la première.

a8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Le problërne du choc de deux sphères né présenterait aucune difficulté nouvelle, et rentrerait dans celui du n° 55j, si leurs rayons étaient infiniment petits. Pour le résoudre complètement, lorsque leurs rayons ont une grandeur finie , il faudrait avoir égard à la propagation du mouvement*dans leurs masses , ^(.déterminer l'état des deux corps à un instant quelconque de la dufée du phénomène; ce qu'on peut regarderjicomme impossible , dans Tétat actuel de la science. Nous admettrons donc les suppositions qu'on .vient d'expliquer comme étant les données de la question dont nous allons nous occuper ; et en combinant ces données avec le principe de D'AIembert, appliqué aux quantités de mouvement dé grandeur finie, il ne s'agira plus que de déterminer les vitesses des. deux sphères à la fin du choc, d'après leurs masses et leurs vitesses pnmitives, soit quand ces deux corps tont entièrement dénués d'élasticité, soit ..quand ils sont parfaitement élastiques. Il n'y a que les corps mous qui n'aient pas d'élasticité sensible; la plupart des corps €&nr ' reviennent à leur forme primitive , lorsqu'ils ne sont pas brisés par lé choc. 56 1. Dans le cas des corps mous, soit u la vitesse après le choc, laquelle est commune aux deux sphères; la vitesse perdue par m sera i^ — w, et la vitesse gagnée par m' sera w— p'. Si donc ces deux corps allaient au-devant lun de l'autre avec ces vitesses v—^u et M — i/, il faudrait , d'après le principe du n*' 555 , qu'ils se fissent équilibre ; ce qui ^xige(n' 127) que les quantités de mouvement correspondantes à ces vitesses soient égales. Nous au-

rons donc

d où l'on tire

pour la valeur de u qu'il s'agissait d'obtenir. *

Si m' est en repos ayant le choc , et qu'à raison de isa densité , cette masse soit extrénienient grande et conune infinie^ par rapport à m, on aura sensiblement a = o. La masse m! représentera aloi*s uû obstacle fixe ; et le corps , dénué d'élasticité > sera réd^t au repos par le choc contre cet obstacle.

On appelle f^rce vwe d'un point matériel , ou f plus généralen^t^ d'un corps dont tous les points ont la naênie vitesse , le produit de sa masse par le carré de cette vitesse. La somme des fonres vives de m éL ni est donc ms/ + wls/^ avant le choc , et mu^ + wlu^ après le choc. Or, il résulte de la îom mule (a) que la seconde somme est toujours moin-^ dre que la première ; car, sad^ altérer leur diflférencî^

on peut en retrancher la quantité

2w(mp + /nV — mu — m!u) ^

qui est nulle, en vertu de l'équation (a)} et cette différence devient alors

m {y ~ uY + m' (u — iO% qui est une quantité positive.

3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

II y a donc toujours perte de force vive dans le choc de deux sphères dont la matière est dénuée de toute élasticité ; et cette perte est égale y comme on voit, à la somme des forces vives dues aux vitesses Sf — u et u — s^', perdue et • gagnée par ces deux corps. Ce résultat est un cas particulier d'un théorème général qui est dû à Camot, et que nous démontrerons par la suite.

56^. Dans W première partie du choc, c'est-à-dire, jusqu a l'instant de la plus grande compression , les deux sphères se comportent toujoui^ de même, quel que soit leur degré d'élasticit<? ; en sorte que la vitesse u qu'on vient de déterminer, est toujours ^le qui leur est commune à cet instant. Pendant cette première* partie , la diminution de la vitesse de m et l'augmentation de celle de m' sont donc s^ — u et u — t^. Or, si ces deux sphères sont parfaitement élastiques, m éprouvera , dans la secondie partie du ^oc, une seconde diminution de vitesse égale à la première, et, conséquerament, sa vitesse à la fin du choc sera \f — 2 (y — m) ou 3W — sf. En même temps, m! éprouvera une seconde augmentation de vitesse égale à « — i^', et sa vitesse finale sera i^' + 2 (w — s/) ou 2W — /. Si donc on appelle V et V les vitesses de m et m', après le choc , on aura

V= 2W — t^ , V = Qtt — p' ;

la valeur de u étant toujours donnée par la formule {a).

En retranchant ces vitesses l'une de l'autre, on a

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 3i

€6 qui montre que dans ce choc la vitesse relative des deux mobiles change de signe et conserve la même grandeur.

Si la masse m^ est regardée comme infinie, à raison de sa densité , par rapport à la masse m, et qu'on ait p' :?= o y on aura u t=: o , et , par conséquent, V = — p; d'où il résulte que quand une sphère, donée d'une élasticité parfaite, vient frapper un obstacle fixe, elle est réfléchie avec une vitesse égale etvcontraire à celle qu'elle avait avant le choc. S'il s'agit, par exemple, d'une sphère pesante, qui tombe dans le vide, sur un plan horizontal et inébranlable, elle devra remonter à sa hauteur primitive.

La somme des forces vives sera la même avant et après le choc, ou , autrement dit, on aura

niif^ -f- iwV* = m {2U — vy -H m\2U — v^')* ;

équation qui se réduit à

^(mu + m'w — mu — mV) = o , .^.

et qui est identique, en vertu de la formule (a).

Il n'y a donc aucune perte de force vive dans le choc de d^ux sphères parfaitement élastiques; et ce. résultat , comme celui que présente le choc de deux sphères non élastiques, est compris dans im théorème général , qu'on démontrera aussi dans un autre chapitre.