Si l'on suppose m'=m, on aura

U y a donc échange de vitesse dans le choc de deux

sphères parfaitement élastiques , dont les massés sont égales; et si l'une des deux est en repos avant le choc y lautre demeurera en repos après le choc, et la première prendra la vitesse primitive de la seconde.

Il suit de là que si l'on a une série de billes égales en masse , et dont les centres soient ranges en ligne droite; que la première soit seule en mouvement, et que sa vitesse, qui sera désignée par i^, soit dirigée suivant cette droite et du côté des autres billet; cette première bille sera réduite au repos en choquant la deuxième ; celle-ci prendra la vitesse v, avec laquelle elle ira choquer la troisième , et sera ensuite réduite au repos; la troisième prendra la vitesse i^, qu'elle perdra en choquant la quatrième ; et ainsi de suite y jusqu'à la dernière, qui conservera la vitesse </• Après cette suite de chocs, toutes les billes seront doue en repos, excepté la dernière , qui se trouvera animée de la vitesse que la première avait primitivement; et comme ce résultat est indépendant de la grandeur des intervalles compris entre les billes consécutives, il est naturel d'en conclure qull aura encore lieu quand ces intervalles disparaîtront, et que les billes , choquées par la première , seront en contact.

Ainsi, lorsqu'une série d'un nombre quelconque de billes parfaitement élastiques, en repos, juxtaposées, égales en masse, et dont les centres sont en ligne droite, sera choquée par une autre bille élastique, égale à chacune d'elles, et en mouvement suivant la ligne des centres, celle-ci se réunira à la série qui

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 3S

demeurera en repos , excepté la bille placée à l'autre extrémité y laquelle se détachera seule avec la vitesse de la biUe choquante : c'est ^ en effet, ce qu'on a soufrent l'occasion de vérifier, avec des billes de biUard, par exemple.

En général , les lois du choc des corps sphériques, mous ou durs , qui sont les conséquences des h jpo-thèses du n"* 36o, ont été confirmées par de nombreuses expériences, faites sur des billes ^égales ou inégales, de même matière ou de matière différente, et dont les vitesses avaient entre elles diffé«^ rens rapports.

364 • ^ mouvement du centre de gravité d'un système de corps n'est jamais altéré par le choc ou toute autre action mutuelle des mobiles. On démontrera par la suite , dans toute sa généralité , cette importante proposition, dont on a déjà vu le cas le plus simple dans le n® 557 , et qu'on peut aussi vérifier dans le choc des corps sphériques, mous ou par^ &itement élastiques.

Pour cela, soient x et x\ au bout du temps ^, les distances des centres de m et m' à un point fixe de la droite sur laquelle ils se meuvent. Soit aussi, à cet instant , x^ la distance au même point du centre de gravité de m et rri\ nous aurons (n* 65)

(m -f- vfi)x^ = mx + nixf.

On en déduit , en différentiant ,

équation qui fera connaitre la vitesse -j-' du centre

de gravité, correspondante aux vitesses des deux sphères. Or, avant le choc , on a

dx dx f

et^ conséquemaient ,

dx^ ^^ mv '\^msf dt "^^ m + m* *

Après le choc, on a

dx dx'

Tt '^ dt — ^'

dans le cas des corps mous , et

dx dx ,

5r = ^"•~ ^' -rfr = ^«- ^»

dans le cas des corps élastiques. En substituant successivement ces valeurs dans l'équation (ô), et ayant

égard à l'équation (rt), on en déduit -^ = u dans

les deux cas; ce qui est la même valeur qu'avant le choc, en vertu de cette équation (a). Par conséquent, le choc de deux sphères ne change rien au mouvement de leur centre de gravité.

Comme la vitesse de ce point est toujoure la somme des quantités de mouvement des corps, divisée par la somme de leurs masses, cela revient à dire que dans le choc de deux corps sphériques, mous ou élastiques, la somme des quantités de mouvement

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 35

ne change pas, en ayant égard , dans cette fiorome , aux signes des vitesses.

Si la vitesse s/ de ni est nulle , et que cette niasse soit très petite par rapport à m, la quantité de mon* yement imprimée à w! et enlevée à m^ sera, à très peu près 9 ntV ou j3mV, selon que ces corps seront dénués d'élasticité ou parfaitement élastiques.

365. Jusqu'à pr^nt; on a assimilé la résistance des fluides à une suite de chocs du mobile contre les molécules du milieu qu'il traverse ; quoique , selon laoi , la théorie de la résistance fondée sur cette considération doive être abandonnée, il est bon , cependant, de l'expliquer ici en peu de mots.

Supposons que le mobile soit un cylindre droit qui se meut dans le sens de sa longueur. Soit ca Taire de sa base , perpendiculaire à cette dimension et à la direction du mouvement; soient aussi m la masse du mobile, et p la densité du fluide, liquide oo aériforme, dans lequel il se meut. Au bout du temps £, appelons v sa vitesse, et x la distance de sa base antérieure à un point fixe, pris sur la perpendiculaire à ce plan, de sorte qu^on ait dxz=:iSHit. Dans l'instant dty cette base parcourra l'espace dx\ le mobile frappera donc tous les points matériels du fluide, compris dans une tranche dont la base est 0»^^ la hauteur dx , et la masse fœdx. Or, on considère tous ces points comme isolés et n'ayant aucune action sur le flnide environnant; et, dans cette hypothèse, on (>rend pour la diminution de la quantité de mouvement éprouvée par le mobile pendant cet instant dt^ le produit de sa vitesse v et de la masse frappée

^ùùdXf oa le double de ce produit, selon que Ton compare ce choc à celui des corps dénués de toute élasticité, ou qu'on l'assimile au choc des corps parâdtement élastiques. La première valeur 9fodx est celle qui s'écarte le moins de l'expérience ; en l'adoptant donc , et observant que mdif éproujre la variation de la quantité de mouvement de la masse ntp dans l'instant dt^ nous 'aurons

md\f = — ifpcêdx;

^ et en mettant pour ^Er sa val|pr i^dt , et divisant par di , il en résulte

pour la force motrice provenant de la résistance exercée sur une surface (Jane, perpendiculaire à la direction du mouvement.

Cette r^istance est , comme on voit , proportionnelle à la densité du fluide , à la surface sur laquelle elle s'exerce, et au carré de la vitesse du mobile. En appelant h la hauteur due à cette vitesse , et g la gravité , c'est-à-dire , en faisant i^ = agk , sa va* leur devient agpû^h ; en sorte qu'elle est égale au poids d'un cylindre du fluide qui aurait pour base la surface perpendiculaire à la direction de la vitesse , et pour hauteur le double de celle dont un corps pesant devrait tomber dans le vide , pour ac* quérir cette même vitesse.

Si la direction du mouvement n'est pas perpendiculaire à la surface plane qui éprouve la r&is-

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 37

tmce y on décompose la vitesse du mobile en deux autres , Tune perpendiculaire , et l'autre parallèle à œ plan; on suppose que la vitesse parallèle ne donne lieu qu'à un frottement dont on fait abstraction , et que la résistance proprement dite est la même que si la vitesse normale existait seule : c'est pourquoi l'on substitue cette composante à la vitesse V dans la valeur précédente de la résistance ^ (jui devient alors peav^ cos' i ; i étant l'angle que Eût la normale à la surface eo^ avec la direction de la vitesse v.

366. En admettant c^ résultat , et l'étendant aux élémens infiniment petits des surfaces courbes, on en conclut , par le calcul intégral , la résistance éprouvée par un corps solide de forme quelconque. Pour plus de simplicité , supposons qu'il s agisse d'un solide de révolution , dont tous les points décrivent, avec la vitesse v , des parallèles à son axe de figure. Soient ÂB cet axe (fig. 1'''), et AMB sa courbe génératrice ; prenons cet axe pour celui des abscisses ; et appelons a: et ^ l'abscisse CP et l'ordonnée PM d'un point quelconque M de cette courbe. Supposons que la plus grande section du solide , perpendiculaire à l'axe de figure, soit celle qui répond an point C ,, origine des coordonnées, et que Q) soit , en conséquence , la plus grande ordonnée de la courbe AMB. Le mouvement ayant lieu de B vers A y la portion de la surface qui éprouvera la résistance du milieu sera celle qui répond à la partie ttM A de cette courbe. Soit ds l'élément difierentîel de cette courbe au point quelconque M ; on

aura

pour le cosînns de Tangle que la normale en ce point, fait ayec Taxe des x, c'est-à-dire, avec la direction du mouvement ; et cet angle sera le même dans toute l'étendue de la zone engendrée par ds en tournant autour de AB, dont la surface est 2'9rjrds. Chacun des élémens plans de cette zone éprouvera donc une résistance normale qui sera égale au produit de cet élément , multiplié par p v^ cos* L En •décomposant cette force en* deux autres, Tune perpendiculaire et lautre paraDèle à Faxe ÂB, il est évident que les composantes perpendiculaires à AB se détruiront deux à deux ; d'ailleurs, chaque composante parallèle k AB aura pour valeur la r&îstance nonnale à la zone, multipliée par cos i; par conséquent, la somme de ces composantes, poiir la zone entière, sera égale au produit de la surfiice

vTTjrdsj de pi^cosi, et de cosî, ou à ^'^^^J'-^tf

d'après la valeur de cmi^

Il suit de là qu'en appelant R la résistance totale éprouvée par le solide en sens contraire de son mou** vement, et faisant CAs=£X, nous aurons '

^^'^fy^' (-)

pour la valeur de cette force motrice.

Si le mobile est une sphère , le point C sera sob centre, et a son rayon. En désignant par 6 l'angle

t DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. Sg

MCA^ on aura

et il en résultera

R = aTTf i^*a* r * ' cos' 6 sin &/6 = ^ TTfa^v* ;

ce qui montre que la résistance éprouvée par une sphère est la moitié de celle qui aurait lieu sur le cylindre circonscrit, dont ica* serait la base perpendiculaire à la direction du mouvement.

567, (?est à Newton qu'est dû ce premier essai sur la résistance des fluides; et c'est lui qui a déterminé y le premier, le mouvement des corps soumis à une force dépendante de leur vitesse. En comparant le résultatide son calcul au temps observé de la cbute d'une sphehe qui tomb.e dans l'air, d'une grande hauteur, il a reconnu qu'il faudrait, pour accorder l'un avec l'autre, réduire à moitié la valeur précédente de R.

D'après d'autres expériences, faites par Borda, cette valeur doit être seulement réduite aux trois cinquièmes; ce qui donne

R = —TTca^i^*.

En appelant D la densité de la sphère, sa masse sera

^' ^ ; et si l'on divise R par cette masse, et qu'on

appelle ^ la force accélératrice qui eu proviendra, on aura

«TRAITÉ DE BfÉGANIQUE.

^ 4oDtf'

ce qui est, effectivement , Texpression de la résistance que les auteurs de Balistique ont adoptée le plus gé-^ néralement, et que nous avons citée dans le n* :2i6.

En vertu de la formule (c) , la détermination du solide de révolution qui éprouve la moindre résistance , consiste à trouver la courbe ^^nératrice de ce

stÀiàe pour laquelle Tint^rale f ^ ~ est un nti-

nbnum; problème qu'on résoudra sans difficulté par les règles du calcul des variations, et dont» Newton a donné la solution avant que d'autres géomètres se fussent occupés de ce genre de questions , mais sans indiquer la méthode qu'il a suivie pour y parvenir.

Cette théorie de la résistance repose, comme on Ta vu, sur une comparaison va^e de Faction du fluide au choc des corps, et sur la supposition inadmissible que, dans ce choc, les molécules du fluide agissent isolément sur le mobile et nullement Tune sur l'autre. Elle est démentie par l'observation , quant à la grandeur absolue que le calcul donne à peu près double de celle qui résulterait de l'expérience ; elle l'est aussi par rapport à la loi de la résistance en fonction de la vitesse, qui serait toujours proportionnelle au carré de la ^vitesse, suivant cette théorie, tandis qu'il résulte du décroissement observé des amplitudes, dans les très petites oscillations du pendule (n"* 187), que cette force est seulement proportionnelle aux très petites vitesses. La résistance qu'un fluide , liquide ou aériforme , oppose au mouvement

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 41

d*an corps solide, se compose d'un frottement contre la surface y et de la résultante des pressions que ce fluide exerce sur cette surface tout entière. Pour déterminer convenablement cette seconde' partie , qui est la résistance proprement dite , il faut considérer k la fois les mouyemens du corps et du fluide , comme je Fai fait dans le mémoire déjà cité (n* igi). Cette force peut être différente dans le mouvement oscillatoire et dans le mouvement progressif, dans les liquides et dans les gaz ; et , dans ceux-ci , elle peut dépendre de leur température , et non pas seulement de leur densité 3 ce qui serait. important à vérifier par l'expérience.