DÉTEBIONATION DES M0MEN8 D'INERTIE ET DES AXES
PRIIVGIPAUX.
368. Dans les chapitres suivans, nous considérerons les différens cas da mouvement d'un corps solide. Pour former les équations de son mouvement , nous le diviserons en parties insensibles^ mais de grandeur finie , comprenant néanmoins des nombres immenses de molécules. Quoique ce corps soit formé de molécules disjointes, les sommes relatives à ses parties insensibles pourront être changées , sans erreur appréciable, en intégrales définies, comme dans le n^ 98; et, dans tout ce qui va suivre, on pourra traiter les parties doïit il s'agit comme des infiniment petits.
Les intégrales définies que les équations du mouvement renfermeront seront au nombre de neuf, savoir :
fxdm , ffdm , fzdm , fxydm^ J zxdm , fjzdm , fz^dm , fj^dm , faudra ;
dm étant lelément différentiel de la masse, qui répond aux trois coordonnées rectangulaires x , y^ z, et les intégrales s'étendant à la masse entière du mobile, que nous désignerons par M.
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 43
Les trois premières dépendent de la position du centre de gravité ; et si l'on appelle ^i f ^i , z, , ses trois coordonnées^ on aura (n* gi)
en sorte que chacune de ces intégrales sera nulle , lorsqu'on prendra ce point pour Torigine des coordonnées.
Quelle que soit cette origine , on prouvera plus loin qu'on peut toujours déterminer la direction des trois axes de manière qu'on ait
fxjrdm=:Oy fzxdni:=iO, fyzdm'=LO.
Les trois axes rectangulaires des x,^ J^, z, qui font ainsi disparaître ces trois intégrales , s'appellent des axes principaux.
Quant aux trois dernières des neuf intégrales , on les exprimera au moyen de trois autres que nous re- 'fNrësenterons par A^ B, C, et qui seront
d*où Ton tire
2/z*dm = A + B — C, 2fjr'<bn^ C H- A — B, 2fx*dm:=2 B H- C — A.
On appelle , en général , moment dinertie d'un corps par rapport à une droite quelconque y la somme des ëlémens de sa masse , multipliés par les carrés de leurs distances à cette droite. Ainsi , A ^ B, C^ seront les momens d'inertie du mobile par rapport aux axes
44 TRAITÉ DE BfÉGANIQUE.
des x; jr, z} car, par exemple,^ + z* est le carré de la distance de dm k Taxe des x. Lorsque ces droites seront des axes principaux, nous appellerons A, B , C , des momens d'ineftie principaux.
Le centre de gravité et les axes principaux ont Tavantage de simplifier les équations du mouyement, en faisant disparaître une partie de leurs termes, quand on les prend pour origine et pour axes des coordonnées; ils jouissent, en outre, de propriétés très importantes dans la Dynamique , ainsi qu^on le verra par la suite.
369. La détermination des momens d'inertie est un problème de calcul intégral , que l'on résoudra toujours exactement ou par la méthode des quadratures.
L'exemple le plus simple est le calcul du moment d'inertie d'un parallélépipède rectangle et homogène^ par rapport à l'une de ses arêtes. Prenons trois de ses arêtes adjacentes pour axes des x^jr^ z, et désignons para, bf c, leurs longueurs; puis divisons chacune de ces trois droites en une infinité de parties infiniment petites. En menant par tous les points de division, des plans parallèles aux faces du parallélépipède , on aura trois séries de plans qui le partageront en élémens infiniment petits dans leurs trois dimensions. Le volume de l'élément qui répond aux trois coordonnées Xf jTf Zj sera évidemment dxdjdz; on aura donc pour sa masse
dm =s pdxdjrdz; f étant la densité du parallélépipède , que Ton sup-
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 45
p06e constaote. Par conséquent , le moment d'inertie C, par rapport a Tarète qu'on a prise pour axe des z, 3t doal la longueur est c , sera
On étendra cette intégrale triple à tous les élémeiis du parallélépipède donné , en intégrant , dans on ordre quelconque , depuis a: =: o, ^=0,2 = 0^ jusqu'à x^szUy yzzzihf zz=^c\ ce qui donne , sans aucune difficulté ,
OU; ce qui est la même chose ,
M étant la masse du corps , de sorte qu'on ait
M = fàbc.
On aura de même
pour les momens d'inertie du même corps, par rapport aux arêtes dont les longueurs sont 6 et a.
570. Pour second exemple , calculons le moment d'inertie d'un ellipsoïde homogène par rapport à Fun de ses trois axes de figure.
L'équation de sa surface sera
en désignant par !ia , 216 , nc^ les longueurs de ses
trois diamètres principaux , que Ton prend pour axes des Xj y ^ z. Son moment d'inertie, par rapport à Taxe des z , sera exprimé par la nièmt intégrale triple que dans le problème précédent ; la constante p étant toujours la densité du corps. Pour obtenir cette intégrale triple , qui doit être étendue à la masse entière de lellipsoide , j ^intégrerai d Sabord par rapport à z^ en regardant a: et j' comme des constantes ; ensuite , par rapport à ^, en continuant de regarder a: comme constante, et, enfin, par rapport à ûc. On peut suivre Tordre qu'on veut dans ces trois intégrations successives; celui que je choisis revient à concevoir l'ellipsoïde partagé en une infinité de tranches elliptiques, parallèles au plan des^ et z; chaque tranche partagée de même en une infinité de parallélépipèdes parallèles à l'axe des 2, et terminés k I^ surface; et chaque parallélépipède en élémens infiniment petits dans leurs trois dimensions. Les limites de l'intégrale relative à z seront les deux valeurs de cette variable qui sont données par Téquation (a) ; cette iBtégrale définie exprimera , en fonction de j: et ^, le moment d'inertie de l'un quelconque des parallélépipèdes. L'intégrale relative aj" aura pour limites les deux valeurs de cette variable, qui répondent à la même valeur de ûc, dans l'équation de la section de l'ellipsoïde par le plan des xetj^; elle exprimera le moment d'inertie de la tranche parallèle au plan des ^ et jz, qui se trouve à la distance x de ce plan. Enfin, l'intégrale relative à xsera prise depuis a: = — a jusqu'à ^ = a, et elle exprimera le moment d'inertie de l'ellipsoïde e«itier.
41 intégrant par rapport a z, il vient
(x' H-^) zdjodj^^ constante.
denx limites données par l'équation (a) sont
^[rale définie sera donc
i Ton fait ^ pour abréger ^
i^prale relative à ^ de la première partie de la noie précédente , deviendra
juatîon de la section de l'ellipsoïde par le plan ûc et jr , savoir :
ne jrz=dzr pour les deux limites de l'intégrale rive à ^ ; et , comme on a
1 résulte^ en remettant pour r' sa valeur.
Ea intégrant par rapport à x depuis <r s=s — a jusqu'à X =s a, on aura donc
sans nouveaux calculs, et par de simples changemens de lettres , on aura de même
par conséquent 9 le moment d'inertie C par rapport à Taxe des z , qui est la somme de ces deux dernières ' intégrales , aura pour valeur
On obtiendra de même les momens d'inertie B et A par rapport aux axes des y et des x. La masse de rellipsoide étant M, on aura, d'après son volume ( n* 89 )
|Lc 42f*f .
et les trois momens d'inertie , par rapport aux diamè^ très nay 2b, 2c, seront
A=fM(6*+c^), B==jM(c*+fl*), C=^M(aH-i^)-
Ces diamètres sont les trois axes principaux du corps, qui se coupent à son centre de gravité ; car en les prenant pour axes des x,jr^ z, les trois intégrales fxjrdm, fzxdnip fjzdm, étendues à l'ellipsoïde en-^ tier, sont zéro, puisque chacune d'elles se compose
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 49
d'élémens qui sont^ deux à deux , égaux et de signe contraire. ^
On voit que parmi les trois quantités A ^ B ^ C , la plus grande et la plus petite sont celles qui répondent au plus petit et au plus grand des trois diamètres; ce qui est d ailleurs évident ^ par la définition des momens d'inertie.
37 1 . Dans le cas d'une sphère ^ on a a = 6=: c ; les trois momens d'inertie deviennent égaux entre eux ,
et sont exprimés par -s pa^. Si le rayon a augmente
d'un infiniment petit, et se change en a-^-da , l'aC" croissement correspondant de ce moment d'inertie de
ftr
la sphère, savoir, -^pa^day exprimera le moment
d'inertie de la couche sphérique, dont les rayons intérieur et extérieur sont a et a -{- da. Maintenant, supposons que la sphè^ ne soit pas homogène , mais qu'elle soit seulement composée de couches concenty^u^ ^t liomogènes , de manière qu'en appelant r le rayon d'une couche quelconque, la densité p soit une fonction donnée de r. Pour avoir le moment d'inertie de la sphère entière , il faudra intégrer celui
de cette couche quelconque, savoir, -5- fr^dr, par
rapport à r, et étendre l'intégrale au rayon entier de la sphère; donc, en désignant ce rayon par c, on
aura
pour le moment d'inertie demandé.
5o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Si on le compare à celai d'une sphère homogène du même rayon», et dont la densité soit égale à la densité moyenne de celle que Ton considère , il est aisé de voir qu'il devra élre, par la déBnition des momens d'inertie, et qu'il sera eflFectivement , d'après son expression, plus grand ou plus petit, selon que. la densité / croîtra ou décroîtra continuellement du centre à la surface.
372. Le calcul du moment d'inertie d'un corps homogène, terminé par une surface de révolution, se réduit à une. seule intégration dépendante de la courbe génératrice, quand on le prend par rapport à Taxe de figure. On décomposera alors le solide en anneaux circulaires, d'une épaisseur et d'une largeur infiniment petites, dont chacun ait son centre dans l'axe , et soit compris» d'une part , entre deux plans perpendiculaires à l'axe, et d'une autre part, entre deux surfaces cylindriques , dont cette droite sera l'axe commun. En appelant r le rayon de la surface intérieure , r+ dr celui de la surface extérieure, et dx la distance des deux plans, le volume d'un anneau sera ^ (r -f- rfr) V/x — "^r^dxy ou 2irrdrda: , en négligeant le terme infiniment petit du troisième ordœ. Sa masse sera donc 27c frdrdx, en désignant par f la densité du corps; et comme tous les points de cet anneau sont à la même distance r de l'axe de figure, le produit tnrfr^drdx^ de cette masse et de /^, exprimera son moment d'inertie par rapport à cet axe. Donc si cet axe et la courbe génératrice sont la droite AB et la ligne AMB (fig. i»^), et qu'on fasse
AP = jr, PM =^,
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 5i
on aura le moment d'inertie de la tranche infiniment mince du solide de révolution , perpendiculaire à AB et correspondante au point P, en intégrant niFpt^drdx depuis r=o jusqu'à r^=^yy ce qui donne ^yrpjr^djc. Dofic aussi , si Ton désigne par / la longueur de Taxe ABy et par /x le moment d'inertie du solide entier^ on obtiendra la valeur de ft en intégrant cette difTérentielle j Trfjr^dûc, depuis x = o jusqu'à a:= /, et il en résultera
Si 1 on désigne par a et ^ des valeurs données de jCf telles que l'on ait a < ^ et ff < /, il suffira d'intégrer depuis X2=:cL jusqu'à a::=^€ , pour avoir le moment d'inertie de la tranche du solide comprise entre les deux plans perpendiculaires à l'axe, dont d et C sont les distances au point A. Si ce corps est un solide creux y compris entre deux surfaces de révolution qui ont le même axe AB , on aura son moment d'inertie, en régardant ce corps comme la différence de deux solides de révolution, dont on retranchera , l'un de l'autre, les momens d'inertie relatifs à Taxe commun. Enfin, si l'on demandait le moment d'inertie d'une portion du solide de révolution, comprise entre deux plans menés par l'axe de figure, il est évident que ce moment, par rapport à cet axe, serait à celui du solide entier comme l'angle des deux plans est à quatre angles droits.
SyS. En prenant la demi- circonférence d'un cercle pour la génératrice AMB, et désignant le rayon par a, on aura
y^ = 'iox — or',
pour la valeur de j^ qu'il faudra substituer dans la formule {b) ; et si Ton demande le moment d'inertie du segment sphërique. dont la flèche est (t^ pris par rapport au diamètre perpendiculaire à sa base, il faudra intégrer, dans cette formule, depuis j? = o jusqu'à ^ = a ; ce qui donne
Dans le cas de la sphère entière , on fera a = sa , et
il en résultera fjL = ^^ , comme précédemment.
Si la génératrice est une droite passant par le point A, et qui fasse, avec l'axe AB, un angle dont la tangente soit 8, on aura .
Je substitue cette valeur dans Téquation (6), et j'intègre depuis :r=:ot jusqu'à j: = C; il vient
Cette valeur sera celle du moment d'inertie d'un cône tronqué , pris par rapport à son axe de figure. En appelant a et 6 les rayons de ses deux bases, et  sa hauteur, nous aurons
ôa = a, ô^ = A, & — « = A ;
et nous pourrons écrire la valeur de ft sous la forme
Dans le cas d'un cône entier, on fera b = o; et M étant sa masse , on aura
Quand le cône tronqué se changera en un cjrlîndre^ on fera 6 = a ;] et la niasse étant toujours M , H en résultera
M = 'TTfha^ , ;t = ^ Ma*.
574* Connaissant le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe passant par le centre de gravité, on en conclut aisément le moment d'inertie du même corps , rapporté à tout autre axe parallèle au premier.
En effet, plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité, et prenons le premier axe pour celui des z. Soient a el Q les coordonnées du point où le second axe coupe le plan des x et jj auquel ce second axe est aussi perpendiculaire. Désignons par a la distance du centre de gravité au second axe ; par r la distance d'un élément quelconque dm du corps au premier axe; par r^ la distance du même point matériel au second axe. Le moment d'inertie connu sera fr^dnty et celui qu'on demande sera fr^^dm; ces intégrales s'étendant à la niasse entière du solide. Or, nous aurons
en multipliant par diriy intégrant et observant que x* + 7* = r*, a*-f-^' = rtV
on aura donc
ft^^dmzzifT^dm — 2cifxdm — r nQfjdm + a^fibn;
mais les intégrales fxdm et fjrdm sont nulles , à cause que le centre de gravité, est sur Taxe des s (n* 368); de plus,yZ//?i est la masse entière du corpSji que je repr^nterai par M; par conséquent , l'équation précédente se réduit à
Ainsi Ton aura le moment d'inertie demandé, en ajoutant à celui qui est donné la masse du corps « multipliée par le carré de la distance du centre de gravité au nouvel axe.
D après cette règle, on aura immédiatement le moment d'inertie d'une sphère homogène ou composée de couches concentriques, par rapport à un axe quelconque , puisque ce moment est connu par .rapport à tous les axes passant par le centre de figure, qui est aussi le centre de gravité.
Dans un corps quelconque, le moment d'inertie par rapport à un axe passant par son centre de gravité, sera plus petit que par rapport à tout autre axe parallèle à celui-là. Les momens d'inertie d'un même corps seront égaux , par rapport a tous les axes parallèles entre eux, et également éloignes du centre de gravité : leur valeur commune augmentera à mesure qu'ils s'éloigneront de ce point.
375. Non -seulement le moment d'inertie d'un corps varie avec la position absolue de l'axe auquel on le rapporte., mais il change aussi avec la direction
de cette droite. Pour montrer comment cette direction influe sur la grandeur du moment d'inertie d'un corps quelconque y proposons-nous de trouver celui de la masse M par rapport à un axe mené par lori* gine des coordonnées , et qui fasse avec les axes des XjjTy z, les trois angles donnés cl, C^ y.
Soient p la perpendiculaire abaissée de 1 élément dm sur le nouvel axe, D la distance de ce point matériel à Torigine des coordonnées , J^ langle compris entre la ligne D et le nouvel axe. Les coordonnées de dm étant x ^ y, z, les cosinus des angles que fait la direction de son rayon vecteur D avec les axes
de ces coordonnées ^ seront g» ^* g î P^ir conséquent y on aura (n* 9)
cos cT = g cos ût + ^ cos ^ + g cos y.
D'ailleurs, on a
p = Dsin«r, p*=D* — (DcoséT)*;
en substituant donc pour D cos «T la formule précédente, multipliée par D, et mettant a:* + ^*-f-is* au lieu de D*, il en résultera
p* = or* sin* a +^' sin' ^ -f- z' sin* y — ajy^cos CL cos C — 1XZ cos et cos 5^-— ojz cos ^ cos y ;
d'où Ton conclut
fp^dm = sm^ct.fx^dm +Sym^S./ydm'{-sin*y.fz^dm
— 2COScLCOsS . fxjrdm — 2 cos CL cosy . fxzdm
— 2 cos S cos y.fjrzdm.
' Au moyen de cette formule , on aura donc le moment d'inertie fp^dm , relatif à un axe de direction donnée, et passant par Torigine des coordonnées, quand on connaîtra les six intégrées /jo^dm^ /jr^dm, fz^dm, fxjdm^ fxzdm^ Jjzdm , étendues à la masse entière du corps, et relatives aux axes des coordonnées. Si ces trois droites sont des axes principaux, les trois dernières intégrales seront nulles (n"" 368) , et la formule précédente se réduira à
fp^dm = sin*ct .fx^dm + sin*C •fy^dm^ sîn*>^ .fz^dm.
Mais , en vertu de Téquation
cos^a + cos*C + cos*> = i^
nous avons
sîn» a, s= cos* Q + cos* y , , sin*Ç = cos*^ + cos*«t, sîn* y = cos' tt + cos' C ;
ce qui change la valeur de fp^dm en celle-ci :
ff^dm^=i{fy^dm'\-fz^dn{)QO%^aLy + {fz^dm ^fx^dm) ces* & , {fa^dm+fjr^dm) ces* y ;
donc en réunissant chaque couple d'intégrales en une seule , et désignant par A , B , C , comme dans le n* 368, les momens d'inertie par rapport aux axes des Xf jTf z, nous aurons finalement
fp^dm = A cos' a + B cos* ^ + C ces* y. (c) Ainsi, il suffira de connaître les trois momens.
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. S-j
dlnertle relatifs aux trois axes principaux qui se coupent en un point donnée pour en conclure immédiatement le moment d'inertie correspondant à un axe quelconque y passant par ce point; et^ en combinant ce résultat avec celui du .numéro précédent , on voit que le calcul de tous les momens d'inertie d'un même corps se réduira à déterminer les trois momens d'inertie principaux qui répondent à son centre de gravité. Ayant calculé, par exemple (n* Syo), les valeurs de ces trois momens d'inertie, dans le cas de l'ellipsoïde homogène , nous pouvons regarder comme connu le moment d'inertie de ce corps, par rapport à un axe quelconque.
376. Le plus grand et le plus petit des trois momens d'inertie principaux A, B, C, qui entrent dans la formule (c) , sont aussi le plus grand et le plus petit de tous les momens d'inertie du même corps, par rapport aux axes passant par l'origine des coordonnées.
Soit, en effet, A la plus grande dés trois quantités A , B, C ; en mettant i — cos' C — cos* 5/ à la place de cos* a dans l'équation (c) , on aura
/p*dm = A — (A — B) cos»g — (A— C) cos* >;
d'où l'on conclut que fp*dm est moindre que A , quels que soient les angles S et y. De même, C étant Ja plus petite des trois quantités A, B, C, si Ton met l'équation (c) sous la forme
y/>*é/m = C -f- (A — C) cos* a H- (A — B) cos* ^,
on voit qu'on a constamment fp^dm > C
Dans le cas particulier où les trois quantités A , B| C 9 sont égales, on a aussi fp^dm = A , quelle que' soit la. direction de Taxe auquel le moment d'inertie fp^dm est rapporté ; donc alors les momens d'inertie sont égaux par rapport à tous les axes passant par l'origine des coordonnées. Ce cas est celui de la sphère homogène ou composée de couches concen-triques , lorsque l'origine des coordonnées est placée à son centre ; il a également lieu pour le cube , l'oc* taèdre régulier et d'autres corps homogènes, dont les trois momens d'inertie principaux ne peuvent difiërer entre eux , en plaçant toujours Torigine des coordonnées à leur centre de figure.
Si Ton a seulement A =: B , l'équation (c) se réduira à '
fp^dm = A sîn* > -f- C cos* y;
et cette valeur àefp^dm étant indépendante des angles (X et ^ y le moment d'inertie sera le même par rapport à tous les axes menés par l'origine des coordonnées, qui font un même angle y avec l'axe des z. Ce cas est celui d'un solide de révolution homogène, quand cette droite est son axe de figure.
D'après ce qu'on a déjà vu dans le n** 874 , nous pouvons dire, maintenant, que le plus petit de tous les momens d'inertie qu'un même corps puisse avoir, répond à l'un des trois axes principaux qui se coupeut à son centre de gravité. Ainsi, par exemple, le plus petit de tous les momens d'inertie d'un eUipsoïde homogène , se rapporte au plus grand de ses trois diamètres conjugués rectangulaires.
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 5g
377. Nous allons actaellement démontrer l'existeace des axes prindpaiix que nous ayons supposée jusqu'à présent, et déterminer leur direction pour chaque point d'un corps dé forme quelconque; mais, pour cela , il est nécessaire de rappeler les formules générales de la transformation des coordonnées, dont nous aurons besoin, d'ailleurs, dans d'autres occasions.
Soient jc, jr, z, les trois coordonnées d'un point quelconque M, rapportées aux axes rectangulaires Ox, Ojr, Oz (fig. 2). Désignons par x^, jr^, z^ , les coordonnées du même point, ayant la même origine, et rapportées aux trois axes Oa:^ , 0/^ , Oz^ , qui sont aussi perpendiculaires entre eux. Du point M, abaissons des perpendiculaires MP et MK sur Taxe Oa: et sur le plan des x^ eXjr^ , et du point K, une perpendiculaire KH sur l'axe Ox^ ; en sorte qu'on ait
La projection sur l'axe Ox, de la ligne brisée MKHO, sera OP; les projections de ses parties OH, KH, MK, seront égales à ces droites, multipliées par les cosinus des angles que les axes des x^jy^^z^y font avec l'axe Oo:; en en faisant la somme, on aura donc
X == j:^ cos xQx^ 4-/, cos x^y, + 2, cos ^rOz^.
La figure suppose ces trois angles aigus, et les trois coordonnées x^ , y^ , z^ , positives ; auquel cas leurs projections tombent sur la direction même de Ojt ,. et doivent s'ajouter en grandeur absolue j mais il est facile de s'assurer que cette équation subsistera dans
6o ' TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
tous les cas^ en ayant égard aux signes des coordon-* nées x^f jr^9 z^, des cosinus, et de l'abscisse or. Par exemple , on verra aisément que si Tabscisse x^ est négative, et Fangle xOa:^ aigu , ou bien , si cette abscisse est positive, et cet angle obtus, la projectioMT de OH tombera sur le prolongement de Oor, et la valeur absolue de cette projection devra être retranchée ; et Ton verra , au* contraire , qu'elle devra être ajoutée, quand cette abscisse x^ sera négative, et igu^en même temps Fangle jcOx^ sera obtus ; ce qui s'accorde, dans les deux cas, avec le signe du produit
On verra de même que les projections de la ligne brisée MKHO sur les axes 0;^ et Oz, ou sur leurs prolongemens , sont toujours égales h jr ei z. Cela^ étant,, si nous faisons
cos jcOXf 2=5 a , cos xOj^ = è , cos xOz^ == c , cos jOx^ = a\ cosjrOjr^ = b\ cos jOz^ = & , cos zOa:^ = a", cos zOjr^ = b", cos zOz, = c^',
nous aurons
X = ax^ + br, + cz^f ) j^a'x,+ by,+ c'z,, \ (i)
z = a!'x^+ by,+ c\. )
Ces neu& cosinus a , b , etc., sont liés entre eux par six équations, savoir :
a* + a'* + a"*=i, ab + a'b' + a!'b''=zo, ) b^ + b'^ + &"■ = 1, ac+ dd + aV=o, > (a) c* + c'* + c''*=i, *c+feV + 6V=o. )
La première, gar exemple, résulte de ce que a, oi^
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 6i
(i\ sont les cosinus des aiigles que fait une même droite Ox^ avec les trois axes rectangulaires Oo: , 0^^ Oz ; et la quatrième , de ce que cette droite Oor^ et la ligne Qjf^ y à laquelle répondent les cosinus 6, b\ Wj sont perpendiculaires lune à l'autre. On obtient aussi ces six équations en substituant les valeurs de x ^ y^ Zy dans 1 équation
dont les deux membres sont le carré de OM ^ et quF doit être identique.
En ayant égard aux équations (2), les équations (i.) donnent, réciproquement,
o:^ =z= «a: + dj + d*Zy \
jr, = bx + Vjr + by, \ (3)
z^ := ex + c'jr -{- d'z ; )
et Ton peut remplacer les équations (2) par celles-ci :
^' -f- A' + c*=:i, rta' + *6' + cc'= o, ) a'*+ 6'*+c'»=i, aa"+èi"+cc"= o, > (4) a"*+ 6"*+c"*=i, flV+è'6''+cV'= o. 3
La comparaison de ces formules avec celles du n** 277 montre clairement lanalogie qui existe entre les projections des lignes droites et celles des surfaces planes , d'où résulte l'identité de la composition des forces représentées par des portions de droites, avec la composition des raomens représentés par des aires planes.
378. Dans la transformation des coordonnées, oa devra donc considérer six des neuf coeAficiens a, 6, etc.^ comme des fonctions des trois autigos^ déterminées
62 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,
soit par les équations (2) , soit par les ëc|ualions (4) t mais il vaudra mieux exprimer ces neuf coèfficiensy au moyen de trois nouvelles quantités , par des formules qui satisferont aux équations (3) ou (4)«
Pour oèla, supposons que la droite NON' (fig. S) soit rintersection du plan des x^ et j^ avec le plan des X et ^'; et faisons
NOar=:^[/, NOx^=^, ZOz,= fl:
ces trois angles %[/ , 9 , 0 , détermineront , sans ambiguitéy la position des axes des x^,^^, z^, par rapport à ceux des x^j^z^ pourvu que l'on convienne préalablement du sens dans lequel ces angles seront comptés. Pour plus de commodité, je supposerai que le plan des xçXy soit horizontal, et que , Taxe vertical des z positives soit dirigé dans le sens de la pesanteur.
L'angle 6 s'étendra depuis zéro jusqu'à i8ô^; selon qu'il sera aigu ou obtus , l'axe Oz^ sera situé au-dessous ou au-dessus du plan des x ^X, ji pour 0 ;^ o , Ôjz^ coïncidera avec Oz, et pour 6 = 180^, Oz^ tombera sur le prolongement de Oz.
Dans le mouvement d'un corps solide autour du point 0 , les axes Oa?^, Oy^, Oz^, seront des droites fixes dans sou intérieur et mobiles avec lui , et les axes Oa?, 0^, Oz, seront des droites^ fixes dans l'espace. Il pourra alors arriver que les angles 4 et f soient positifs ou négatifs, et qu'ils comprennent une ou plusieurs circonférences; mais, à un instant quelconque , on aura toujoui^
en désignant par n et / des nombres entiers, positifs ou négatifs, ou zéro, et par uei v des variables positives et moindres que vtt. Or, langle u sera compté, â partir de la droite Ox , dans le sens indiqué par la flèche j; de sorte que, par exemple, la droite ON coïncidera avec Ox pour 2i = o, avec le prolongement de Ojr pour i/ = go«, avec celui de Ox pour u = i8o*, et avec Oj pour u = 270*. I/angle \f sera compté, à partir de ON, au-dessus du plan des x et^, de manière que Taxe Ox^ se trouvera au-dessu de ce plan, quand s^ sera moindre que 180% et audessous quand cet angle surpassera 180^. Pour (^=0, Taxe Ox^ coïncidera avec la droite ON, et pour 1^= 180% avec le prolongement ON' de ON. Dans tous les cas, Tangle 0, aigu ou obtus, sera langle dièdre dont l'arête est ON , et dont les faces sont les angles NOx et NOoC^ , réduits à leurs parties u et v. La figure suppose que les trois angles 1/, i^, 9, soient aigus. Cela posé, lorsque l'angle %[/ sera donné, on portera sa partie u sur le plan horizontal , à partir de Taxe Ox, et dans le sens de la flèche s ; ce qui déterminera la position de la droite ON. Langle ^ étant aussi donné, on portera d'abord sa partie i^ sur le plan horizontal, à partir de la droite ON , et dans le sens de la flèche s\ c'est-à-dire, en sens contraire do 5; ensuite y on fera tourner le plan de l'angle <p autour de ON, de manière que la partie de ^adjacente à ON s'élève au-dessus du plan horizontal. Quand ce plan aura décrit l'angle donné d, l'autre côté de l'angle 9 sera la réritable position de l'axe'Oo:^, au-dessus ou au-dessous du plan horizontal, suivant qu'on aura
i^ <C i8o* ou i^>^ i8o^ En augmentant, dans son plan, l'angle u de go*, on aura la posîrion de Taxe 0/^; et après avoir mené une perpendiculaire à oe plan, on prendra pour Oz^ la partie de cette droite , comprise au-dessous ou au-dessus du plan horizontal, selon que Tangle S sera aigu ou obtus.
Les trois axes Ox^ , Ojr^ , Oz^ , étant ainsi complètement déterminés par rapport aux axes Ox, Ojr^ 02,
au moyen des angles 4^9) ^9 î' ^^^ fP^ 1^ ^^^^ <^* sinus a, b, etc., soient des fonctions de ces trois angles; et, en effet, en leur donnant les directions qu'on vient d'expliquer, on a
a == cos 8 sin >|/ sin(p -f- cos 4 cos ^ ,
b = cos 0 sin 4 cos ^ -* cos 4 sîi^ ^ »
c = sin 6 sin 4 »
a' = Gos 8 cos 4 siii ^ — sin 4 cos ^ ,
b' =: cos6cos4cos9 -f* sin4 sin 9, )> (5)
c' = sin 8 cos 4 p
a"= — sin 8 sin ^,
i" = — sin 8 cos 9, c" = cos 8.
On vérifie aisément que ces valeurs de a, 6 , etc. , rendent identiques les équations (3) et (4) 9 et qu'il n'en résulte aucune relation entre les angles 49^9 8*
579. Quoique ces formules (5) soient généralement connues , il ne sera pas inutile d'indiquer la manière suivante d'y parvenir.
On sait que ^, €, y^ étant les trois angles d'un triangle sphérique qu.elconque, et A l'angle opposé
an côté ^, on a
cos fit = cos A sin € sin y 4* cos € cos y.\
Qr, si nous imaginons une sphère décrite du point 0 comme centre, et d'un rayon quelconque, nous aurons d'abord sur cette surface un triangle formé par les trois arcs qui répondent aux angles NOjt, NOor^, aOx^,dans lequel l'angle opposé au dernier côté sera égal à 6; donc, à cause de NOj:=:'v[/ et N(Xr^=^, on aura
cos xOx^ = a = cosfi sin •\(/ sin ^ + cos 4 co& 9.
Cette équation ajant lieu pour des valeurs quelcon-7 ques de ^ et 4 y on peut suppos^jr que ^i devienne ç-f-go*; alors. Taxe Ox^ prendra la place de Ojr^^ Tangle acOa:^ deviendra xOjr^ , et Ton aura •
cos xOjTj = b = cos 6 sin 4 cos ç — cos 4 sin <p.
De même , en mettant 4 + 9^* ^ ^^ place de 4 # dsLUS l'équation précédente, l'axe Ooc se changera dans Taxe O^, et l'angle acOx^ deviendra yOjc^; de sorte que l'on aura
cos jOo:^ = a' = cos 9 cos 4 sin ^ — sin 4 cos ^.
Et si Ton met à la fois dans cette équation précédente ,
4 4" 90* et ^ -f* 9^** ^^^ 1^®^ de 4 et ^ , l'angle xOûc^ sera remplacé par l'angle ^^^ ,. et il en résultera
cosjOj'^:= b' = cos 6 cos 4 cos ^ + sin 4 sin ^.
Considérons de même le triangle sphérique dont les trois côtés répondent aux angles NOx , NOz^ , a. 5
jcOzy L'angle opposé au dernier côté est go^ — fl j de plus, on a N0x = 4 et NOz^ ^Q^""* ^^ Êûsant A=:90* — ô, ff = 4» > = 90% ct=xOz^, réquation générale se réduira donc à
cos ûcOz^ =s c = sin 6 sin «4/ ;
d'oà l'on conclut aussi
cos^^Oz^ = c' = sin 6 cos >[/ ,
en mettant 4 + 90^ ^ I^ place de 4 7 <^ V^^ change Taxe Ox 4lans Oj', et l'angle xOz^ dans l'angle jOz^. Enfin y dans le triangle sphérique dont les côtés répondent aux angles NOz , îiOx^ , zOx^ , l'angle opposé au derniei* côté est égal à 6 -f- 90^ 9 et l'on a NO;25 =î go»* et NOa^^sst ^. Si donc on fait A= 90**+ fl , ^=90**, y:==i(Pf asrzzOx^, dans l'équation générale y on aura
cos zOx^ = a" = — sin 6 sin ^.
En mettant ^ -{- 90* à la place de (p , dans ce résultat, l'axe Ox^ se changera en 0^,, et l'angle zOjc^ en zQt^^; par conséquent , nous aurons aussi
cos zOjr^ =:z h'^ =: — sin fl cos (p.
Quant au neuvième cosinus c'\ on a
c" =r cos zOz, = cos â.
58o. Supposons maintenant que les axes des coordonnées Xfj jr^j z^j soient les axes principaux qui se coupent au point 0; d après leur définition (n* 568), on aura
fxj^dmz=zo, fz^jdm^o, fjr;&fimz=^o^, (a)0
et il s'agira de prouver que ces trois équations donnent toujours pour les angles 9^ «4/^ 6> des vs^leurs réelles.
En faisant y pour abréger,
X= a: cos 4/ — jr sin 4 9
Y z=^jo cos 9 sin 4 •+• ^ cos 9 cos 4 — 2 sin ô,
et substituant les formules (5) dans les équations (3) , nous aurons •
x^ =s Y sin ^ -f* X cos ^ , "' ^^ = Ycos^ — -Xsîn ç , z^zszx sin 9 sin 4 -f-j^ sin 9 cos 4 + ^ cos fl.
Au moyen de ces valeurs , la première équation (a) prend la forme
sin 2^/(X» ~ Y*) ^în = 2 cos 2(pfXYdm , (b)
et les deux dernières deviennent
cos (p/Yzjdm — sin pf\zjdm = o, sïa^fYz^dm + cos ^/Xz^dm =nx o.
En ajoutant ces dernières équations après les avoir multipliées par cos (p et sin 9 , ou par — sin p et cos 9 , elles seront remplacées par celles-ci :
fYzjim = o, fTLz^dm = 0,
qui ne contiennent plus l'angle ^. J'y mets pour X, Y, z^j le^rs valeurs , et je fais
^ fx'dm=zf, fjr^dm — g, f2^dm:=sh, fjrzdm=zf\ fzxdm'=ig\ fxjrdm^ll ;
ces six intégrales s'étendant à la masse entière du corps que l'on considère. Il en résulte
(ysjn*4 + ^A' sîn \ cos 4 + ff cos*4 — ^) sîn 6 cos fl + (g' sin 4 +y' cos 4) (cos*9 — sîn*fl)=o,
' (6' (cos* 4 -^ sîn* 4) + (/^ — &) s^*^ 4 ^^^ 4] s^° ^ -f- (g^'cos 4 — f sin 4) cos 0 ssso.
Or, s» nous faisons
tang4=^^9 sîn 4= , " — t cos4=="-7==*
la seconde de ces deux équations donnera
et la prenoûère prendra la ftrnie
+ g'«4./' = (g'«+/)teng'9.
En y mettant pour tang 8 sa valeur, elle devient
son preçiier membre est la même chose que
W- 88'+ f h'- (hf-ff-h 8' h') «](!+«•); par conséquent, on aura finalement
DYNAMIQUE , SEœNDE PARTIE. 69
+ (g'u+f){f'u-gy = o. (d)
Ainsi , les ëqnations (a) sont remplacées par les équations (b), (c), (d). Or, cette dernière étant du troisième degré, elle aura au moins une racine réelle; on aura donc une valeur réelle de u ou tang â f à laquelle répondront un angl^ 4 moindre que j TT, et un autre égal au premier augmenté de tt, qui appartiendront aux deux parties ON et ON^ do nntersection du plan inconnu des x^ et /^ , avec le
plan donné des x et ^. A cause du radical v/i-j- u*, l'équation (c) donnera ensuite deux valeurs de tang 0/ égales et de signe contraire, qui appartiendront à un angle aigu et à son supplément^ et, conséquem** ment , à Taxe Oz^ et à son prolongement. Enfin , ou tirera de Téquation (b) une valeur réelle de tang 29/ à laquelle répondront deux valeurs de ^, dont l'une sera moindre que 7 ^, et l'autre égale à la première augmentée de -^tt. La première étant prise poui* la valeur de l'angle MOx^ , la seconde sera celle de l'angle NO/*^; et, en effet, tout étant semblable par rapport aux deux axes Oûc^ et Oy^, ils devaient être déterminés par une même équation.
On voit de même que les trois racines de l'équa-^ tion (d) devront être réelles, et qu'elles représenteront les tangentes des angles compris entre Taxe O^ et les trois droites suivant lesquelles les plans des coordonnées x^y y^j z^, viennent couper le plan des X et jr* car ces trois tangentes doivent être données par une même équation, puisqu'on ne saurait ex pri-^.
mer, dans le calcul , aucune différence entre les trois axes principaux dont on cherche la position.
Nous conclurons donc de cette analyse qu'il existe toujours trois axes principaux rectangulaires qui se icoupent en un point donné O , et qu'en général ce système d*axes principaux est unique. Pour qu'il teû existât plusieuirSy il faudrait ^e l'équation (éf) (ùl dHifi degré supérieur au trtiidème , tet qu'elle eût t^ois fois atftant de Mcines réelles qu'il y aurait de tts ^tèmes|j[nais , dan$ certains tas, left équations dbnt xlépendent les valeurs de 4 » ^t 9f deviennent identiques, et akM les axes principaux sont en nombre ftifim. Nous pOUirriotts déterminer ce&tas particuliers )>ar Texlmiétt des ^équations dont il s'agit ; mais on y parviendra plu ifacilement pat les cetosidérations^ Buivantes»
58t. D'apràs les formules (i) et les équations (a), qui carsctéri^nt les axes principaux Ojc^, Ojr^, Oz^, oto a évidemment
fxjrdm s= aa'/x'dm -|- hh'fy^dm + cc'fz^dm^ fzxdm =zMé'fx;dm *{- bh"fx;dm •J^cd'fz^dm^ fyzdm sacCd'fx;dm-{'h'b"fj;dm-{'c'c"fz;dm.
Or, si les trois intégrales fx^dm^ fft^^p fz^dm , sont égales, ces valeurs de fxjrdm, fzxdm^fyzdm^ se réduisent à zéro, en vertu des trois dernières -équations (4); par conséquent, dans ce cas, les droites Ox, Qt*, Ois, forment un second système d'axes principaux; et comnie leur direction reste absolument indéterminée par rapport aux axes Ox^,
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 71
OjTj f Ozj y il s'ensuit que tous les systèmes d'axes reciangolaires qu'on peut mener par le point O, «sont des axes piindpaox. Ce cas est celui où les trois momens d'inertie principaux sont égaux ; car, de ce qu'on suppose
fx^dm =: fjr^dm = fz^dm , il en résulte
/(^/+jr/) ^^ =/(^/*+ V) dm =/(//+ z^) dm.
Si deux seulement dcjs trois momens d'inertie principaux sont égaux , par exemple, ceux qui se rapportent aux axes Qx^ et {^y^ , de manière qu'on ait
/(jr; + V) dm = /(x/ + 2/) dm,
il existera encore un nombre infini de systèmes d'axes principaux , qui auront tous un axe commun y savoir, l'axe Oz^. En effet, dans ce cas, les deux intégrales yy'/c&» et fx^dm seront égales ^ et, en vertu des dernières équations (4)# les valeurs de fxjrdniy fzxdm, Jjrzdnif pourront se mettre sous la forme :
fxjrdm = c&(fz*dm — fx^^cbn), fzxdm = cd^{fz^dm — fx^dm)^ fyzdm z=s^c'd\fz^dm — fx^dai).
Or, si Ton fait coïncider l'axe Oz avec Taxe principal Oz^ , les angles aOz^ et y^z^ seront droits ; on aura donc c =0 et c'=i=o, et, par conséquent,
fxy'dm c= o , fzxdfn = o , fyzdm = o*
Donc, dans ce cas, tout système formé de Taxe Oz^ et de deux autres axes rectangulaires , menés arbitrairement par le point 0 dans le plan X,Ox^ , sera un système d'axes principaux.
Enfin ^ lorsque les trois momens d'inertie principaux sont inégaux, on peut être certain qu*il n'existe (ju'un seul système d'axes principaux ; car, soit A le plus grand de ces trois momens inégaux ; supposons, pour un moment, qu'il existe un second système d'axes principaux , et désignons par A^ le plus grand des trois momens qui s'y rapportent : il faudrait , d'après le théorème du n* 376, quon eût à la fois A>'A' et A'>>A; ce qui est impossible, et rend inadmissible la supposition d'un second système d'axes principaux.
382. Les points d'un corps, quand il en existe, pour lesquels les trois momens d'inertie principaux , et , par conséquent , tous les momens d'inertie , ^ont égaux, jouissent, comme on le verra par la suite, d'une propriété remarquable , relativement à la rotation de ce corps. Il est donc utile de les déterminer ; et voici comment on y parvient.
Supposons que l'origine des coordonnées x jjy z, soit placée au centre de gravité du mobile , et que ces coordonnées soient rapportées aux trois axes principaux qui se coupent en ce point; désignons par A, B, C, les momens d'inertie relatifs à ces axes des a: , 7", z ; nous aurons (n* 368)
fxdm = o , fjrdm = o , fzdm = o , fyzdm'siso y fza:dm:=o ^ fxydm=iO^
DYNAMIQUE , SEœNDE PARTIE. 73
toutes ces intégrales s'ëtendant à la masse entière du mobile*
Soient cl, 6p y, les coordonnées inconnues d'un des points demandés ^ rapportées aux axes des x ^jr, z, de sorte qu on ait, pour ce point particulier^ a:z=:cL, jr=rC, z^=:y. Transportons-y l'origine des coordonnées, sans changer la direction des axes ; les coordonnées de l'élément dm deviendront a: — et,jr — C, z — y. Mais si l'on veut que les momens d'inertie relati& à toutes les droites qui passent par cette nou- Yelle origine soient égaux, il faut que toutes ces droites soient des axes principaux , puisque , d'après le numéro précédent, l'une de ces conditions est une suite nécessaire de l'autre. Les axes des coordonnées X — et,jr — C, z — y, étant donc des axes principaux, on aura
f(X'^a)(j' — C)dmz=zfxjrdm — ajjrdm — Cfxdm + €tCfdms=Oy f(z — y)(x — a)dm-=ifzxdm — yfxdm — ofzdm-j-yoLfdmssOj f(jr^^Ç)(z — y)dm-=/jrzdm — Cfzdm-^y/jrdm-^-'Cyfdm^.o;
équations qui se réduisent à
a^ = o , ya=:o, €y:=zo ,
en vertu des précédentes. Or, pour satisfaire à ces équations , il est nécessaire que deux des trois quantités a,€,y, soient nulles. Si donc le point demandé existe, il ne peut se trouver que sur l'un des axes des coordonnées jr,^^ z, c'est-à^^re, sur l'un des trois axes principaux qui se coupent au centre de gravité. Je fais € = 0 et ^ = 0; ce qui revient a supposer \fi point demandé, sur l'axe des fc, à une distance cl
74 , TRAITÉ DE MÉCAMIQUË.
de ce centre. Aloi^ les momeos d'inertie relatife k ce point y seront A, par rapport à l'axe des x , et, en vertu du théorème du n'' 374 , B4- M«* et C +Ma\ par irapport aux parallèles aux axes des jr et des z ; en désignant pur M la masse du corps. D'après la condition du proUeme , on aura donc
B + Ma* «= C 4- M«* = a î
mais poar<|ue ces équàâous* soient possibles , fl faut quVm ait B^=€; et quand ces deux quantités senmt effectivement égales, on aura
Ma-= A — C;
il faudra donc encore quon ait A >> C, afin que la quantité a soit réelle. Cela étant > on aura pour a deux valeurs réelles , égales et de signe contnûrei savoir:
par conséquent , il existera deux points qui jouiront de la propriété demandée, et seront situés sur l'axe des x, à égale distance de part a d'autre du centre de gravité.
Ainsi , lorsque les trois moment d'inertie A , B , C , d'un corps , relalift aux axes principaux qui se coupent à son centre de gravité , sont égaux , il n'existe aucun autre point du corps pour lequel les momens d'inertie soient tous égaux ; mais si deux de ces trois momens sont égaux , et que le moment jnégal soit le plus grand des trois , il existe , sur Taxe du
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. ^5
plus grand moment , deux points pirar lesquels tons les momens d'inertie seront ëganx , et dont les poj^ sitions sont détemsin^ par la formule (e).
583. En applicjoant ces résultats k l'ellipsoïde homogène,^ on Y<nt qne s'il s*agit d'an ellipsoïde qnelconqoe dont les trois diamètres principaux sont inéganx , û n'y aura aucun point , en dedans ou en dehors du corps, par rapport auqneL tous les momens d'inertie soient ëganx ; mais si l'on considère un eilipfioïde de révolution engendré par une ellipse * tournant autour de son petit axe , il y aura deux points sur cet axe ou sur son prolongement , qui jouiront de la propriété dont il s'agit; car, dans ce cas, deux des trois momens relatifs aux diamètres principaux seront égaux, et le moment inégal répondant au plus petit diamètre , sera le plus gi»and des trois.
Si l'on appeUe a eib les demi-axes de l'elKpse génératrice , et qu'on suppose a •< b, de sorte que a soit le demi-axe de révolution , on aura
en faisant bz=c dans les formules du n* 5^0 : d'après la formule (è) , on aura donc
pour la distance des points demandés au centre de l'ellipsoide. Selon qu'on aura b* > 6a* ou b* < 6rt% ces points se trouveront sur le prolongement de l'axe de révolution, en dehors du corps , ou sur Taxe
même, en dedans du corps; dans le cas de b'^^Sa^i ces deux points se trouveront à la surface, et coïncideront avec les pôles de l'ellipsoïde.
Les axes principaux d'un parallélépipède rectangle, qui se coupent à son centre de gravilé, sont éviderftment parallèles à ses arêtes. En appelant donc a, b,c, les demi-longueurs de ses trois côtés adjacens , les rooniens d'inertie relatifs à ces axes se déduiront de ceux du n" 369, qui répondent à ses arêtes, en y mettant 2a, ib, ic, au lieu de a, b, c, et en en retranchant, d'après le théorème du n" 574 » les produits IVI(è'+c'), M(c*-|-a')» M(a*+i»). De cette manière, ou aura
A= iM(/;'+c'), B = 4M(c*+a'), C — ^M^a^+b');
M étant toujours la masse du parallélépipède, dont le volume est maintenant jabc. Je suppose donc qu'on ail b = c, afin de rendre égaux les momens d'inertie B et C, et, de plus, a *C b , pour que A soit plus grand que C. L'équation (e) donne alors
et selon qu'on aura b'^ 2a , b^sa, b <Cia, les deux points demandés seront situés en dehors da mobile, à sa surface, ou dans son intérieur.
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 77
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