AXE FIXE

§ I*'. Mous^ement de rotation umforme.

584- Lorsqu'un système de points matériels ^ liés entre enx d'une manière invariable, tourne autour d'un axe fixe, auquel ils sont aussi inyariablement atoMcliés , ils décrivent des cercles perpendiculaires à cet axe, et qui ont leurs centres sur cette droite. Les arcs décrits dans le même temps fivr deux points diflerens, sont semblables et d'un même nombre de degrés ; leurs vitesses absolues sont entre elles comme leurs distances à cet axe ; et l'on appelle vitesse onrgidaire du système, la vitesse absolue des points dont la distance à Taxe est l'unité. En la désignant par ûi, et la distance d'un point quelconque à Taxe de rotation par r, la vitesse absolue de ce point sera rc9. Cette quantité œ, commune à tous les points, variera ^vec le temps y quand les points du système seront PTioumis à des forces motrices, qui produiront un mouvement varié ; elle demeurera constante dans le cas du mouvement uniforme, produit par des percussions exercées simultanément sur les différentes par-

ties du système , qui aura ensuite été abandonné à lui-même. C'est de ce dernier cas que nous allons d'abord nous occuper.

385. Soient m^ m! 9 m'\ etc., les masses des points ttat^els que nous considérons, et r, /, r^', etc., leurs distances à Taxe de rotation. Supposons que des percussions simultanées soient exercées sur tous ces points; chacune de ces forces se décomposera en deux autres, l'une parallèle à l'axe, l'autre dirigée dans un plan perpendiculaire à cette droite ; et l'on pourra faire abstraction de la première, dont l'effet sera évidemment détruit par la résistance de l'axe fixe. Soient donc u , (^, p", etc., les vitesses dirigées dans des plans perpendiculaires à l'axe fixe , qui seraient imprimées à m, m% wl', etc. ^ si ces points matériels éûujbnt lilnres. En désignant par ûê la vitesse angulaireau système qui en résultera, ces points prendront des vitesses rof, r^eù^ i^'a^ etc. , perpendiculaires à Taxe et aux rayons r^i^^ /', etc. ; et, d'après le principe du n° 553, il y aura équilibre entre les quantités de mouvenient na^y mV, wV, etc., prises dans leurs directions données , et les quantités de mouvement circulaire mrcù y m'rco^ ni'r^'cê y etc., prises en sens contraire du mouvement du système, qui aura réellement lieu.

Four former Téquation de cet équilibre, projetons les points m , m', m'', etc. , et les directions des vitéfôes que nous considérons , sur un plan perpendiculaire à l'axe fixe. Soit Oz cet axe (fîg. 4) > faisons passer le plan de projection par le point 0 ; sur ce plan , soient F la projection de /n ^ PA la projection

de la Yilesse i^, et PN celle de la vitesse rro, laquelle est perpendicalaire au rajon rou OP. Soit aussi p la perpendiculaire OF, abaissée de O sur la droite PA ; les momens des forces mv et mr^ , projetées suivant PA et PN, seront mi^p et 7iir*â)j et si Ton appelle aussi p', jf'f etc* , les perpendiculaires abaissées du m^e point 0 sur les projections des autres vitesses «^, ^'f etc. f on aura

nu^ûù + m'r^^i» -f" "*V'*û> + etc.

= ms^p + mVy + mVy -f- etc., *

pour l'éqtiation d'équilibre demandée (n"* 267).

Lorsque parmi les percussions simultanées, il y en aura qui tendront à faire tourner le système dans un sens, et d'autres dans le sens oppQsé, il faudra prendre , avec des signes contraires, les momens des unes et des autres dans le second membre de cette équation. Le système tournera dans le sens des forces qui donneront la plus grande somme de momens , abs«traction faite du signe. En représentant par L la somme , positive ou négative , de tous ces momens pris avec des signes convenables , on tirera de l'équation précédente

Cû =

2mr"'

Z indiquant une somme qui s'étend à tous les points du système.

Si toutes les vitesses v^ i^', i^', etc., sont égales, L sera le produit de leur valeur commune v et de la somme

mp -f- rh!p' 4- /»"/>'' + ^^^' > î^' > ^^ pl""^ ; ces vitesses sont toutes parallèles 'entre elles, et qu'on mène par

8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

l'axé Oz, un plan parallèle k leur direction ccNiiinune^

p, p\ p"f etc. y seront les distances des points m, m'y

rti'y etc. , à ce plan ; et y d'après les signes qu W don-*

sera aux termes de L , il faudra les considérer comme

positives ou comme négatives ^ selon que les points

m y vfiy ni' y etc. y seront situés d'un côté ou de Tautre

de ce plan. Far conséquent, M désignant la somme

des masses m y ni y ni' y etc. , et 9 la distance po-^

sitive ou négative de son centre de gravité à ce même

plan, nous aurons (n"" 65) «

mp + m'p'- H- ni'p^' + etc. = Mçj

il en résultera L s= M(^ , et la valeur de û» deviendra

Si la vitesse 9 est imprimée seulement à une partie des points du système, et qu'on ne communique directement aucune vitesse à l'autre partie , on aura de même

fjL étant la somme des masses qui ont reçu la vitesse Vy et y* la distance du centre de gravité de cette partie du système au plan mené par Taxe fixe, parallèlement à la direction de p.

586. Supposons actuellement que le système des points m, m'y ni' y etc., soit un corps solide; il suffira, alors de changer, dans les formules précédentes, la masse m d'un point quelconque dans l'élément différentiel de la masse du corps , que nous repré-

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 8t

ssenterons par dm, et la somme Z en une intc^ grale. La quantité Znir* deviendt^a donc l'intégrale fr^dm^ étendue à la niasse entière du corps , et elle exprimera son moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation ; par conséquent^ la dei^uière formule se changera en celle-ci :

CSstte formule se rapportera au cas d'un corps solide retenu par un are fixe, et frappé par un autre corps qui s*allache au premier, de sorte que ces deux corps n'en forment plus qu'un seul , tournant autour de l'axe fÎM arec la vitesse angulaire €9, La massé du corps cho^ quant est /iy sa vitesse avantle choc, qui était commune à tous aes jpoints et perpendiculaire à la direction de Taxe fixe , esX v, et f exprime la distance de son centre de gravité à un plan parallèle k tette vitesse et passant par Taxe de rotation. L'intégrale yr*é3&n devfa s'étendre aux deux masses réunies aprè^ le choc. Si le corps choquant .ne restait pas attaché à l'autre après le choc , la détermination de la vitesse augu^ laire de celui-ci serait un problème différent , d<yit nous nous occuperons dans un autre chapitre.

Quand le torps retenu par un axe fixe sera choqué simultanément par plusieurs masses u , /Af, fi!', etc. > animées de vitesses v, (/, s^', etc. , perpendiculairea à la direction de Taxe, qui se réuniront à ce corpfe après le choc, on aura, pour la vitesse angubirë qui sera produite,

M</+ f^'^T -4- f^'^T + etc. ,

"^ — fr^dfn ^

rintégrale s'étendant à la masse totale ^ et f^ f% f\ etc. I désignant les distanoes des centres de gravité èe fJLf fÂfy fjd'f etc., à des plans menés par Vaxè de rotation, parallèlement aux vitesses p, v% s/*^ etc. Ayant pris avec le signe -f* 1^ premier terme du numérateur de cette formule, on prendra les ao^ très termes avec le signe + ou avec le signe — , selon que les percussions correspondantes tendront à faire tourner dans le sens de celle qui repond au premier terme ^ ou dans le sens opposé; et selon que la valeur de oi se trouvera positive ou négativie* la rotation auora lien dans le-sena de 09tte ficR^ce ou en sens contraire. Quand on aura* la se o , le ayatèfine restera en -repûtit, et toutes, les percussions se iiaronl.-^uilibre. Au lieu d'être siniultanéea , si elles sont successives, la valeur de ^, après tous les chocs I sera encore donnée par la formulé précédente; car api^ un premier choc le mouvement est le même à chaque instant , que si ce choc avait lieu actuellement; par conséquent, on peut supposer qu'il ait lieu à l'instant du second choc, pour déterxx4lEier la vitesse angulaire après la seconde percussion; et ainsi dé suite.

587. Lorsque le mouvement de rotation commence autour d*un axe fixe , cette droite éprouve des percussions quil est important de déterminer; elles sont dues aux quantités de mouvement peixlues^ à cette époque, par les différens points du mobile, qui se font équilibre au moyen de Taxe fixe, et doivent, conséquemment, se réduire a des percussions dont les directions rencontrent cet axe, ou lui sont pa-

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 83

imllèies. Les percussions parallèles se déterminent immëdiatement ; ce ^ônt les composantes, suivant oetfe direction, des quàtititës de mouvement qui ont été imprimées au mobile : nous en ferons abs-^ traction > comme dans le n° 385 ; et nous supposerons que le mouvement de rotation soit celui qui a été produit par un choc perpendiculaire à la direction de Y axe fixe, et auquel répond la formule (i).

Prenons le point P pour le centre de gravité de /e^, et la droite PA pour la direction de sa vitesse avant le choc^ de manière que y soit la distance OF de cette droite à Taxe Oz. Dans le plan perpendiculaire, à cet axe fixe y et comprenant la droite PA, menons par le point 0 de cet axe deux autr^ axes rectapgulaires Ox eiOjr. Soient x, jr, z, les trois coordonnées de dm^ rapportées aux axes Ox, Oj, Oz ; la vitesse rw de ce point matériel étant perpendiculaire au rajon r et parallèle au plan des x et y , il est aisé de voir que les cosinus des angles qu'elle fait avec ces trpis

axes sont --*-*^, - et zéro , en supposant que la rotation ait lieu dans le sens indiqué par la flèche s ; par conséquent, elle se décomposera en deux vitesses

— YC0 et XC0 , parallèles aux axes Ox et 0/. Les composantes des quantités de mouvement de tous les points' du corps suivant ces directions , seront donc

— ùâjydm et cêfxdm,^ ou , ce qui est la même chose ,

— ciHiy^ et mVLx^ , en désignant toujours par M la masse entière après le choc, et représentant par x^ et y les valeurs àé x et jr qui répondent k son centre

e$l aisé de yérilSer; car en considérant lés momens p^r rapport aax plans des a: et z et des ^ et z , de toutes les quantités de mouvement parallèles k ces plans y dont les sommes sont — foMjr^ et cûMûc,, on aura

My^y = fydm , MxjX^ = fx^dm ;

et ces yaleurs^ jointes à ceUes de o, rendent identique réquatlon précédente.

rour que Taxe fixe n*éprouve aucune percussion , il est aisé de voir qu'il faut d'abord que les distances z' et z'' soient nulles ; en yertu des équations (2) I cela ne peut donc arriver que quand la dmîte Oz est un des âxes principaux qui se coupent an point 0^ ainsi que nous menons de le supposer. Cette condition remplie, il faut^ en outré, que la force R soit nulle ; ce qui exige qu'on ait

On en déduit

X COS et .

y^ cosQ ^ ^

équation qui exprime que la droite PA doit être perpendiculaire au plan passant par l'axe fixe et par le centre de gravité de M . De plus y en désignant par r^ la distance de ce point à cet axe, les équations précédentes donneront

et si l'on met pour o sa valeur fournie par la for**

DYNAMIQUE , SECOKOE PARTIE. 87

mule (i), oa ea condara

Ainsi , quand un corps solide , retenu par un axe iixe y est frappé par un second corps dont la masse demeure attachée à celle du premier, il fa9t , pour qu'il n'y ait aucune* percussion sur l'axe fixe, i*. que le choc soit dirigé dans le plan de deux droites qui font y avec Taxe fixe, un système rectangulaire d'axes principaux du corps formé des deux masses réunies; 2*. que sa direction soit perpendiculaire au plan dii centre de gravité de ce corps et de l'axe fixe; 3°. que cette direction PÂ rencontre ce plan: en un point dont la distance f à Taxe de rotation est donnée par la formule précédente. Ce point est ce qu'on, appelle le centre de percussion.,

389. Fendant qu'un corps solide tourne autour d'un axe fixe, les forces centrifuges de ses difiTérens points exercent sur cet axe des pressions que nous allons déterminer, et qui sont les seules qui aient lieu dans le mouyement uniforme où les points du mobile ne sont sollicités par aucune force motrice.

En conservant les notations précédentes , on aurn nsf^dm (n* 169} pour la force centrifuge de l'élémèfnt dlm, dont la*vitesse est reo^ et qui décrit un Cercle du cayon r ; ^ comme cette force est dirigée suivant le prolongement de r, les cosinus des angles qu'elle ïait

avec les axes dés à:,r,z, seront -, - et zéro. Si donc on la transporte au. point où. ia direfcîioa rea-f

contre l'axe Ojz ^ elle pourra être* renAplacée par deux forces comprises dans les plans xOz et jOz, parallèles aux aL%es Ox et Oj^, et égales à Xû}*dm et jro^dm. La même chase ayant lîeu pour tous les élémens du mobile, on en conclut que l'axe Oz sera tire, suiyant ces directions^ par des forces qui auront pour valeurs œ^fxdm et cal^fydm^ ou , ce qui est la même chose, cai^Vix^ et fi7*M^^, d'après les notations pré^ cedentes. On voit aussi que les di^nces z^ et li* de e,e& deux pressions totales , au plan des x et y^ seront données par les équations

Mbc^z' = fxzdm , M/^s'' = fjrzdm , (5)

inverses des équations (2) relatives aux percussions.

Lorsqu'on' aura /=sz'', les deux pressions eo^Mx^ et dû^Tfijr^ , seront appliquées en un même point de Taxe Oz; elles se réduiront à une seul^ force perpendiculaire, à cette droite, dirigée dans le plan qui comprend le centre de gravité du mobile , et dont a>^Mr^ sera la valeur } r^ étant la distance de ce centre k l'axe fixe.

Ce cas aura lieu toutes les fois que Oz sera un des trois axes principaux qui se coupent au point 0. Dans ce cas, les seconds membres des équations (3) seront nuls, et l'on aura :if s=:o et js" ss o. La pression unique, que l'axe éprouvera pendant lennouvemenl de rotation passera donc par le point 0; en sorte qu'il suffira, que ce point soit fixe , pour que cette pression soit détruite, et que Taxe demeure immobile. Quel que soit le point fixe 0 appartenant à un Vorps solide, ou lié invariablement à ce corps , il y a

dynamique; seconde partie. 89

donc tOQJoars trois droites rectangulaires, passant par ce point, autour desquelles le corps peut tourner, $ans que ces axes de rotation se déplacent, et comme 8*ils étaient entièrement fixes.

Telle est la propriété relatiye au mouvement uniforme de rotation , dont jouissent les droites que nous avons nommées axes principaux. Elle leur appartient exclusivement; car si le corps tourne autour d'une droite Oz , qui ne soit pas un des trois axes principaux relatifs au point fixe 0 , les deux pressions a^Mx^ et cj^Mjr^ seront, en général, irréducti^^ blés à une seule, ou bien , si elles se réduisent à une seule, a cause de z' =: z!', cette pression unique passera par un point diflerent de 0 ; par conséquent , il fiiudra qu'un second point, ou Taxe entier, soit supposé fixe, pour que les pressions dues aux forces oentrifuges soient détruites , et que l'axe de rotation ne soit pas déplacé pendant le mouvement.

Quand un corps retenu par un point fixe 0, et qui n'est soumis à aucune force motrice , aura commencé à tourner autour d'un des trois axes qui se coupent en ce point , le mouvement continuera indéfiniment autour de cette droite. Cela aura lien , par exemple , si le mobile est mis en mouvement par un choc dirigé dans le plan des deux autres axes principaux re« ÏÊÛk à ce point 0, puisqu'alors , d'après le numéro précédent, les percussions qu'éprouvera Taxe, dans le premier moment, se réduiront à une seule qui passera par ce point fixe , et sera détruite par sa re-' sistance. Si 0 est un des points particuliers pour lesquels tous les momens d'inertie sont égaux, l'axe au*

90 TRAITE m MÉCANIQUE,

tour duquel le corps, commencerm à tourner sera nécessairement un axe principal ; et , dé quelque manière que le corps soit mis en mouvement autour de ce point fixe , la^e de rotation demeurera immobile. Ainsi ^ un ellipsoïde de révolution , ou un paraliëlépipède^ retenu par un 4^s points dont nous avons déterminé précédemment la position (n^ 385) ^ tournera toujours autour d'un axe immobile» Il en jsera de même à l'égard d'une sphère dont le centre est fixe, ou 4'un Cube retenu par le point situé à l'intersection de ses trois diagonales; et de pluâ, datis ces deux derniers cas, le point fixe étant le centre de gravité, l'axe de rotation demeurera encore immobile, quoique le corps soit pesant. Dans le cas général ^ les forces motriœs qui agiront sur le mobile ^ produiront, comme les forces centrifuges, des pressions Mr Taxe de rotation, qui contribueront à le déplacer, quand elles ne se réduiront pas à une seule force passant par le point fixe.

Sgo. Si la droite Os est un des trois axes principaux qui se coupent au centre de gravité G du corps que l'on considère , elle sera encore un des trois axes principaux de ce même corps au point quelconque 0 de sa direction. En effet, soit y la distance OG de ce centre au point 0. Sans changer la direction précédente des coordonnées œ y / , z » transportons leur origine au point G ; celles de l'élément quelconque dm deviendront j?, ^, s — 7 ; et, d'après la définition, des axes principaux , on aura

fx {z — y)dmz=ifxzdm — y (xdm = o , Jjr \z — y)dm =fjrzdm — yfj^dfn = o.

DYNAMIQUE, SBCXaroE PARTIE. 91

De pln&y Je point G éUat mr late des z, éa m fxdm s=i o et fjrdm est o; il en réduite donc fxzdm =: o ttffzdm^ssi o; d'où Ton cooclut que Os est un des ttoh Mes principaux qui se coupent au point O. - ^

On déterminera la direction des deox antres axes principan» dans le plan des x et j^ par la tranfifor^ aution dies qoordi^nnëeâ. Soient x' et y celles de dm par rapport à cé$ deux autrss axes ; il firadra qu'on ait

/rydiw = o, fx^zdm=:Of jyzdni=zo;

mais si Ton affile 0 Tangle compris entre Taxe des â^et œlui des or^ on aura

jcr' = X CM 6 ^—y sîn ô, 7^=^ sin 9 +^ôos 9;

or^ en sufetituant ces valeurs dans les équations pré* cedentes^ les deux dernières disparaissent à cause de fxzdm = o et fjzdm = o ; la première derient

(cos*8 — sîn* S)fxj'dm + sin 6 cos fl (fx^dm — fj^dm) = o ;

et Ton en tirera la valeur de 6. Les intégrales que cette équation renferme pourront changer de valeur avec la position du . point O ] en sorte que le long de l'axe Os» les ^ux autres axes principaux ne se* ront paSjt en général, parallèles à eux-méoo^es. Lef quatre équations

fxdm=z o, /xzdm = o, //dm = o, Jjrzdm = o,

ayant lieu en même temps , il suit des deux pre<ttières que les pressions parallèles et comprises dans

le plan dés or et z , qui fMroviennent des forces oenn tnfbges 9 se réduisent à deux forces égales et direclenoent opposée ; et en vertu des deux dernières équations, la. même chose a lieu à Fégard des composantes ccmiprises dans le plan des j^ et z. Par conséquent, lorsqu^un corps tourne autour de 1*uq des trois axes principaux qui se coupent sT son centre de gravité ^ les , forces centrifoges de tous ses points ae produisent aucune pression sur Taxe de rotation; et si le mouvement a commencé autour d'un t^ axe , il continuera indéfiniment , sans que cette droite ait aucun point fixe, en supposant toujours qu'aucune force motrice n agit sur le mobile.

Ce résultat est évident dans le cas d'un ellipsoide tournant autour d'un de ses trois axes de figure; car tout étant symétrique autour de chacune de ces droites, il ny aurait pas de raison pour qu'elle éprouvât une pressiotf dans un sens plutôt que dana le sens opposé.

§ II. Mbuifcment de rotation varié.

391. Soit toujours dm un élément quelconque de la masse du mobile, tournant autour de l'axe fixe Oz ( fig. 5 ). Par un point 0 ^ nâs arbitrairement sur cette droite , menons deux autres axes fixes Oœ et 0/f perpendiculaires entre eux et à Taxe Oz; et au bout du temps quelconque t , désignons par jr, jr, Zy les trois coordonnées de dm , rapportées à ces axes Ojc , Oj , Oz. Au même instant , les compo-^ santés de la vitesse, parallèles à ces droites., seront

DTNAHIQITS, SEGOITDE PARTIE. g3

S*» 7" * jr.'^t*V^^^ *f^^ soient lès forcée appti-

qiiées à 1 elémeat dm ^ je les déoompose ' parallèleméat à ces mêmes axes; et, au bout du temps t^ je désigne par X , Y, Z , les composantes suivant \^x f jr, Zf positives, de la force accélératrice don* née qui agit sur ce point matériel. Si ce point était

libre, les composantes -£ ^ ^, ^' ^^ ^^ vitesse,

augmenteraient de X^, \dty Zdt, 'pendant Fins^ tant di (n* 147) ; niais ces fonctions du temps aug-

ûgentent réellement de leurs différentielles d. -^,

d.^ f ^'5iî P^^ conséquent , les vitesses perdues

pendant Finstant dt, suivant les directions des coordonnées, sont

XA—rf.^, \dt^d.%, TÀt^dt.^.

dt^ dt ^ di 9

En les multipliant par dm, et divi&nt par di, on aura

pour les composantes de la force perdue par l'élément dm y pendant cet instant dt^k raison de sa liaitt>n avec les autres points du corps et avec l'axe dé rotation. Donc, «n vertu du principe du n"* SSo* l'équilibre devra avoir lieu autour de cet axe fixe, entre de semblables forces impliquées à tous les points du mobile.

• Pour former l'équation de cet éf|uilibre^ il suffira

de mettre les deux premières des taois forces précédentes à la place de P cos a et P cos € , dans le premier terme de l'équation (5) du n" !i66, et d'égaler ensuite k ±évo lâ somme des valeurs de cette quantité , podr tons les ]points dû corps , laquelle somme stit^L une intégrale étendue à la masse entière. En fàfsanf passer les diffërentielles dans le premier membre et 1^ forces données dans le second , nous aurons^ de cette manière . .

pour l'équation demandée , qui sera celle du mouvement de rotation autour de l'axe des z.

59^ • Sôit 09 laf vitesse angulaire au bout du temps t} et supposons que l'on considère cette quantité comme posil^îve ou comme négative , selon que le mouvem^nt de rotation aurU lieu dans le sens indiqué par Is flèche s , ou Mans le sens opposé. Soit aussi r le rayon du cercle que décrit dm, ou la perpendiculaire abaissée de ce point sur Taxe Oz ; sa vitesse absolue sera rœ , et Yotk aura

dx dy

pour les valeurs.de ces deux composantes. £n effets si É est la projection dç din sur le plan des x eïy, et <}a'4Xi tire ie rayon OP et la perpeiidiculaire QPP' à OP, la-* Quelle coupe en Q et Q' les axes Ox et Qjr^ on aura

0P==:/, cosa:QP=r-.'J, cosjQ'P'= J;

DYNAMIQUE, SECOUDE PARTIE. dS

et çoudm/ii . la vitesse fw sera parallèle h. la droite QPFy ce sera par ces CQsiiius qu'il faudra la miil* tiplier^ pour avoir les valiçurs dcTses composantes

- et ^^

Ea observant que x^ 4^^» 5= r% çn d^dait de :es Yalear9

xdf — jrdx = i^<odt. ' (2)

le differentle par rapport à /; ii. cause qu^ele rayoi^ r est constaqt » on a

xtPjr — fd^x =r r^dù>de;

3t iÙD étant une quantité commune à tous les points 19 Gprpsî^ qui doJLétre regardée comnie eonstanle lans Tintégration fflative à dm, lequation (1) dé<ncnt

^/,*dm^f(xY -.jrX)dmi (3)

iif^ijpiî f^r^ conualfrq la Taleor de d», correspondante i mie^ pwitîofi donnée du mobile.

Si IVq décomposi^ la force accélératrice qui agrt si^r .dm 09 deux autres» Fune pavidlèle ^ Ta^e Oa^ et. retire compnse' dans un plan perpeiidîctdaire à calt|9 dcpite , oq pourra faire alstraetion de la pre-onèiie, qoi qe peut contribuer au mouyemenijt de rotation; la seconde , que j'appellerai ^^ cM^ U' résultante de X et Y. Je projette les trois, forces X , Y^ ^ , sur le plan des a: él j; je suppose que PC soit la ^iroqlioa de ^ ainsi pffojetéq ; eC j'tfpp^le A la perpeQdic!idaîre;0& abaisséedn pointO'taT'PCon sur son

çp TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

proloDgement. En considër^anl les tnoniéDs par rap-^ port au poiat 0 , on aura ( n"* 4^ )

opY — y% :=: zh h^ ,

selon que la force (p tendra à faire tourner dans lé sens de la flèche s^ ou dans le sens opposé. Tappelle aussi cT l'angle QTC que fait la droite PC avec la perpendiculaire PQ' au rayon OP, menée dans le sens indiqué par la flèche s. Cet angle sera aigu ou bbtu$y selon qu'on deyra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur dans l'équation précédente ; à cause de OFcs r, on aura donc toujours

h = rcosJ";

et, au moyen de ces valeurs ^l'équation (S) ée^

viendra

dm ^

-j-Jf^dm = fnp cos ^dm.

OVf si les forces données n'agissent sur le mobile que pendant un temps très court; qu'elles soient néan^ moins capables de produire ^ pendant cet intervalle de temps , des vitesses données qui ne soient pas très petites ; et que pendant ce même temps les directions de ces forces » non plu^ que les positions des points du mobile y ne changent pas sensiblement^ on aura, en intégrant par rapport & f les deux membres de cette équation ,

œfr^dm = /rv cos cT rfm ;

\> étant l'intégrale fpdt pendant la durée de l'action des forces, c'est-À-dire > la vitesse que la percussion

DYNAMIQUE» SEGONOB PAATIË. 97

«xercee sur dm imprimerait à ce'point matériel ^ s'il était entièrement* libre. Cette équation est celle du mouvement uniforme de rotation ^ et l'on en déduira , sans difficultés^ les formules du n* 386. .

Dans le mouvement varié » l'équation (3) se change en une équation différentielle du second ordre , de laquelle dépend la position du mobile à chaque instant, et sa viles^ en fouction du temps, ainsi qu^on le verra tout à Fheure par un exemple; mais auparavant il convient de déterminer les pressions que l'axe de rotation éprouve pendant )a durée du mouvement.

393 • Je considérerai seulement lés pressions perpendiculaires à cet axe 0^ , qui sont dues aux compo-* santés parallèles aux axes Ooc et Ojr, des forces perdues par tous les points du mobile, dont les résultantes devront couper Taxe fixe.

En appelant U et Y les sommo&de toutes ces forces, on aura, d'après le n® 391,

et si 1 on désigne par u et v les distances de^ forces totales U et y au plan des ar%t ^, on aura aussi (q* 54)

En vertu des valeurs précédentes de -^ et ■£, on a

98 TOMTÉ DE BIÉGâNIQUE.

; 'A*X __^ dÎÊ âj' •dm ,

d*Y dm , dx dm

^/* <// * dt di ^

cy

J'élimine ^ au» moyen de l'équation (3); je désigne

par x^ et y^ les valeurs de x et ^ qui répondent au centre de gravité du mobile ^ et par M sa masse , de sorte qu'on ait

fxdm = IMLr^, fydm =r M^*,;

en substituant ensuite les valeurs de j-r et -^ dans les .formules précédentes , elles deviennent

Quand la vitesse angulaire c? sera connue, ces équations feront conrraîlre les pressions U et V parallèles aux axes Ox et 0/ ^ que l'axe Oz aura à supporter, et les distances u e\ if comprises entre le point 0 et les points d'application de U et V sur cet axe. Lorsque les forces X et Y sont nulles, ces résultats coïncident avec ceux du n° SSg. Quand la droite Oz passe par le centre de gravité du mobile^ on a jc^ = o et

j^,=o, et, conséquemment,

U = p>Jm, V = pidm',

en sorte que la charge totale de l'axe fixe est la même que dans Tétat d'équilibre ;'mais elle est, en général, autrement distribuée. Sj Taxe fixe est, en outre, un des axes principaux qui se coupent au centre de gravité, on a aussi fxzdm = o et fjrzdm = o ; il en résulte

Mu = fzlUm, Vi^ = fz\dm;

et la charge de Taxe se trouve partagée, dans l'état de mouvement, comme dans l'état d'éq^^ilibre.

5p4* Appliquons actuellement l'équation (5) au cas d'nn corps pesant^ tournant autour d'un axe horizontaK

Si Ton désigne par g la pesanteur , et qu'on suppose l'axe Oy vertical et dirigé dans le sens de cette force, on aura

et, à cause de /xdm = Ma:^, l'équation (3) se réduira à

J//-rfm = glVlr,. (4)

ÂH bout du temps t, désignons par G l'angle com . pris entre le plan mobile qui passe par le centre de gravité du corps et le plan fixe desj^ et z; angle; que nous regarderons comme positif ou comme négatif, selon que le plan mobile se trouvera, relativement au plan fixe, du côté de Taxe des x positives ou du

i<M) tKAirt DE MÉCAMIQtJE.

côté opposé. Soit a la distance Cônâtaoté du centre de

gravité à l'axe Oz ; on aura

x^ = asin 9 ;

et, d'après le sens de la vitesse g?, positive ou négative f on aura aussi

ce qu'on déduit également de l'équation (a) , appli^ quée au centre de gravité , c'est4Miire , aux valeurs orsinây ^cosfl, a, de x, j, r. Soit enfin M^ le moment d'inertie du corps par rapport à un axe passant par Sbn centre de gravité et parallèle à Oz ; k sera une ligne de grandeur donnée ; et , d'après le théorème du n* Zj4 9 ^oxi& aurons

fr^dm = M (a» -f- A:») ,

pour le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation.

Au moyen de ces valeurs de x^ , co, fr^dm , Téqua*^ lion (4) devient

d^è ga sin ô

En multipliant par 2d^, et intégrant ^ on aura donc

db* ^ga cos ô

c étant la constante arbitraire. Si Ton suppose qu'on ait y à l'origine du mouvement ,

DYKàMIQUE, SECONDE PAIITIE. loi

oeUe ooDstaote aura pour valeur

et il eu résultera y à un iostaut quelçoaqiie ^

dt* a^a (co8 a — cos B) , .

dF •* ^F+T = " • '(^)

Cette équation est celle du mouvement d'un pendule de forme quelconque , tournant autour d'un axe iMHÎzontal. Dans son, état d'équilibre ^ le plan passant par Boa centre de gravité et par Taxe fixe est bon-' zonf al , et Ton aa=:o^ Aqso, Gsaso. On écarte le fx»rps de cette pQsitipn> de sorte que ces deux plans Ayunpf^WiÇkiit un angle dipnné u. Si on r^ai;idonne ensuit^ k Im-v&éme, oa aum Ct=^o; si, i^ja fiçin-* tndre , le mobile éprouve une percussion à Forigine de son mouvement, la vitesse initiale H devra être déterminée par les règles du n** 586, ou donnée d'une manière quelconque; et, dans tous les cas, Téqua-* tion (a) fera .connaître la vitesse angulaire du mobile à un instant quelconque , d'après la position de son . eeotra de jgravité. En la résolvant par rapport à dt , et intégrant, on aura la valeur de f en fonction de 6, ^m réapiroquement ; ce qui déterminera la position vaiiable de ce oentre, «t, par conséquent, ceUe du mobile à chaque instant.

596. Si ce corps pesant se réduit à un point matériel, attacfa^ à l^axe Oz par un fil inextensible ^t inflexible , dont on néglige la masse, et qui soit perpendiculaire à Os^ on aww le ois du pondule 8ijmfile,.d'afijr^ h défi-<

nition du n^ 179. Eu appelant / sa longueur , on aura a = / ; M sera la masse du point matériel ; et le moment d'inertie M (a' -f- A:*) devra se réduire au produit de cette masse et du carré de sa distance / à Taxe* fixe. On aura donc ^ = o ; par conséquent ^ l'équation (a), appliquée à ce cas particulier, deviendra

^ H- ^ (co8« - cosfl) = n«; (A)

e|t^ en effets il est aisé de vérifier .qu'elle s'aooorde avec Féquation (i) du n"* 180, relative au mouvemept du pendule simple.

En c<Hnparant leé équrations (a) et (b), un voit que ce mouvement coïncidera avec celui d'un pendule quelconque, toutes les fois que les coefficiens

T ^* T^Tî»' P*^ lesquels ces deux équations diffe-

rent l'une de Tautre, seront égaux , c'est - à - dire 1 lorsqu'on aura

Cest donc d'après cette formule que l'on calculera, ainsi que nous l'avons annoncé dans le n^ ^79 9 ^^ longueur du pendule simple, correspondait à un pendule donné; les deux quantités a et k qu'elle renferme pourront toujours se déterminer exactement , ou par approximation , au moyen des règles connues, quand on connaîtra la forme du pendule composé.

Lorsque ce pendule fera de très petites oscilla-

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. io3

tioDS, il en sera de même à Fégard du pendule simple. Si Ton .désigne par T la durée d'une osciK lation entière y on aura donc (n* 182)

En comptant , pendant un temps considérable , le nombre des oscillations du pendule composé , et divisant le temps total par ce nombre , on aura la valeur de T ; et en la substituant , dans cette der« nière formule , avec la valeur de t correspondante au pendule qu W aura employé , on en conclura , comme nous lavons déjà expliqué (n* 192)^ la mesure de la pesanteur g avec une extrême précision. Les longueurs du pendule simple étant entre elles comme les carrés des durées des petites oscillations, si Ton appelle A la longueur du pendule, à secondes, et qu'on prenne la seconde pour unité, on aura aussi

. pour calculer la valeur de A d'après celles de / e^Tw 396. Si Ton trace dans Tintérieur du pendule composé, au-dessous de son centre de gravité et dans le plan de ce centre et de Taxe de rotation , une dnnte parallèle k cet axe , dont / soit la distance à ce même axe, le mouvement des points de cette parallèle ne sera ni accéléré ni retardé par leur liaison avec les autres points du corps. Parmi tous les points de cette droite, on appelle proprement centre ctos-^ cUlation le point situé sur la même perpendiculaire à Taxe que le centre de gravité.

io4 TRAITÉ D£ MÉGAlliQUfi.

Soient ABD ((ig. 6) là sèctàon du pendule perpendiculaire à Taxe de rotation et passant par Mn centre de gravité y G ce centre > ^ C lé point ou cette section est coupée par Taxe ; prolongeons la droite CG jusqu'en 0^ de sorte qu'on ait

«ft^ oMiséqueniniènt ,

GO « rt + - 2= 7.

Le point 0 sera le centre d^Mcillation ; et après ;avoir £ut ôsoiUer jb pendule donné autaor de latt perpendiculaire « la section ABD et passant par le point Çy si tfn le reoyerse et qu'on le fiE^se tosciller dewyaveau autour de l'axe passant par le point O et peiv pendiculaire à cette menée sectioB^ le point C détiendra le centre d'oscillation; théorème que l'on énonce ordinairement en disant que les centres C et O de suspension et d'oscillation ^ sont réciproques l'un de l'autre.

En effet y dans les deux cas, le moment d'inertie Ma:* est le même, puisqu'il se rapporte toujours à l'axe perpendiculaire à ABD et passant par le point G; en sorte que la quantité k* ne changera pas. De plus^ soh 0^ le point du prolongement de OG qui sera le centre d'oscillation, quand 0 sera devenu le centre de suspension ; en appelant t la distance 00', sa valeur se déduira de la formule (c) , en y mettant OG au

lieu de CG, c'est-à-dire, — au lieu de a; on aura

DYNAMIQUE, SECOND^ PARTIE. loS

donc

r = - + a = /, 00' = CO;

et , coQséqueimieiit ,, le point O' coïncidera arec le point C.

397. La dnrée des osciDations 1res petites; autoar des deux axes perpendic«laires à ABD et passant par les points C et 0, est la iaênie et éff^e à

Tt\J -\l étant tonjoors lia distsince CO. Réciproque-

ment^ si la durée dès oscillations très petites est la même autour de deux axes parallèles , dont le plan contient lé centre de grayité G ^ et qui n'en sont pas ëquidistans, leur distance mutuelle sera la longueur l du pendule simple qui oscille aussi dans le même temps.

£a e£G3t^ soient /i et a' les distances inhales 4« oentre de gravité à ces deux droites paiaillèles, et^ consëquemmeot^ a -f- ^ l^^ur distance mutuelle; soit aussi MAf le moment d'inertie par rapport à l'axe parallèle passant par le centre de gravité. Puisque la durée des oscillations est la même autour des deux droites, il faudra qu'on ait

d'où l'on tire

a z=z a ou fl' = -^ ;

donc 9 en rejetant la première valeur de a\ nous aurons

io6 mAlTÉ DE MÉCANIQUE.

Par conséquent y si Ton mesure la distance a + a' i)es deux axes synchrones, on aura la longueur du pendule simple qui correspond à la durée commune de leurs oscillations.

Ce moyen a été employé avec s&ccès , en Angleterre f- pour déterminer la longueur du pendule simple f sans aucun i:alcul relatif à la forme du pendule composé (*).

SgS* Il y a une infinité d^axes différens autour diesquels les petites oscillations d'un même corps sont d'égale durée.

D'abord, il est évident que la valeur de / et la durée des oscillations seront les m'êmes pour tous les axes de suspension parallèles entre eux et équidistans du centre de gravité, puisque, pour tous <:es axes, les quantités k et a, comprises dans la formule (c) y ne varient pas. On peut aussi changer la direction de ces axes et leur distance au centre de gravité, sans que la valeur de / soit changée; car si l'on appelle a , € ^ y , les angles que la parallèle à Taxe de suspension, rïienée par le centre de gravité, fait avec les trois axes principaux qui se coupent en ce point , et que Ton désigne par A , B, C, les momens d'inertie relatifs à ces axes, et par Mk*, comme précédemment, celui qui répond à la parallèle, on aura, d'après l'équation (c) du n* 5j5^

(*) Transactions philosophiques, diïiïike 181$..

MAf = A cas' a + B cos' ff + C cos* y ^ et^ par conséquent^

A cos' «t 4- B cos* C + C cos* y

Ma

Or ^ on peut éyidemment donner a a , a , € , y ^ une infinité de valeurs différentes ^ pour lesquelles cette valeur de / restera la même.

Si Ton voulait que cette fonction / fiit un minimum par rapport aux variables a^ a, €,y,ïi résulte de sa forme qu'en supposant A la plus petite des' trois cons* tantes A,B, C^ il faudrait d'abprd -qu'on eût 11=:: o, € = go% y = go^, et , conséquemment , ,

^ — Ma '

d'oii Ton conclut , par la^gle ordinaire , ^ = 1/^ pour la valeur de a qui répond au minimum, et

/=:2 ^ g pour ce minimum.

Sgg. Nous savons que la résistance d'un milieu n'influe pas sur la durée des petites oscillations du pendule simple, d'une longueur donnée (n* 190); mais il faut aussi prouver que cette force ne change pas non plus la longueur du pendule simple, dont le mouvement est le même dans l'air que celui d'un pendule donné, dans ce même fluide.

Or, pour déterminer ce mouvement, il faut joindre aux forces ILdm et '^dm , que renferme le second membre de l'équation (3), et qui agissent sur tous

io8 TRAITÉ DE MÉCàNIQUE.

les points de la masse dix mobile^ les composantes de la résistance de l'air^ exercée sur les élémens de sa surface. Supposons donc que cette résistanee jscHt exprimée , généralement , par la somme de plusieurs puissances de la vitesse , et, pour une vitesse quelconque V, représeutons>la , sur l'unité de surface p par

. . Av* H- Àt^*'+ Ap*^ H- etc. j

A^ A', A!' , etc., oLj a', ti",eic., étant des constantes éoBnées. Soit f la tlistance d'un point M de la surfece du pendule , k l'axe de rotation; sa vitesse, au bout du temps t , sera feo, en désignant toujours par œ la vitesse angulaire à cet instant. Si Ton appelle £ l'angle que fait sa direction avec la partie intérieure de la norn^ale en ce point , on aura pc» cos € pour sa composante suivant cette droite; et , d'après ce qu'on a dît précédemment ( p? 565 ) , c'est cette composante normale qu'il faudra employer pour la vitesse ^ , dans l'expression de la résistance qui répond au point M. En appelant da l'élément différentiel de la surface, en ce même point, et Kdj la résistance exercée sur cet élément, on a«ra donc

R = A/>*a>*cos*é + Ay*'^*'cos*'€ -|- etc.

Je désigne par /x ^et \v les angles .^jxe fait la normale intérieure au point M , avec des parallèles aux mjuss des X et des /, menées par ce point; les composantes] de U résistance suivant ces droites seront RcosM^^ et Kcospih; et si l'on appelle a:' et jr' les valeurs de x^etjr qui répondrai au point M, on aura

X 'K cos vdr — j'R cos fidir ,

pour la partie du second membre de rëquation (5) , relative à Télémeiit dr ; par conséquent , en prenant Fiiit^rale de cette quantité dans tonte la portion de la surface du mobile qui éprouve la résistance du nûlien f on aura la quantité qu'on devra ajouter à ce second membre , pour avoir égard k èette ré^stance. Je fiiia, pour abréger ,

jr/cofif — ^cos;t=Ç,

et cette quantité aura pour expression :

Aa>yÇf*cos*€rf(r 4- A^oi*/^* cos*'«ir + etc.

D est visible que Ç est la longueur de la plus courte distance entre l'axe de suspension et la direction de la vitesse pe» du point M, comprise dans un plan perpendiculaire a cet axe ; Ç ne dépend donc pas du tenope^ noti plus que l'angle \ et le rayon p ; par con?séquent , si Fou fait

/(p^cos'^édj = y, yCp* cos'érfij = y, etc. ,

ces intégrales y, y', y'^ , etc. , seront des constantes dépendantes de la forme du corps , et dont les valeurs pourront être différentes dans deux oscillations consécutives. Pour déterminer leurs limites^ on circons* crira au mobile , dans sa position d'équilibre , un cylindre perpendiculaire au plan vertical passant par Taxe fixe; la courbe de contact de ce cylindre avec la sur£ace du corps divisera cette surface en deux partfes, dont l'une éprouvera la résistance de l'air, pendant que le mobile se mouvra dans un sens , et l'autre , pendant qu'il se -mouvra dans le sens opposé; ces intégrales devront donc s étendre à l'une

de ces deux ps^rties pour une osciUatioQ entière , et à routire partie poi^r Toscillation suivante; et quand ûès deux parties seront différentes 3^ les Valeurs de y , y\ y% etc. y le seront aussi d^ns deux oscillations consécutives. Ces valeurs ne changeront pas^ dans le cas d'un mouvement révolutif.

Cela posé 9 après avoir ajouté la quantité précédente au second membre de lequation (3), ou^ ce qui est la même chose , après avoir retranché cette quantité divisée par le moment dlnertie M(a* + ^} ^

de la valeur de g-; du n* 594 ; nous aurons

pour réquation du mouvement d'un pendule- quelconque dans un milieu résistant. On aura de m^e

^ = — f sinfl— Bû)* — B'û)- — etc. ,

pour réquation du mouvement du pendule simple dont la longueur est /; B ^ B', B", etc. , désignant des coefficiens constans.

Les vitesses et les positions initiales des deux mobiles étant supposées les mémes^ si Ton veut que leurs mouvemens le soient^ aussi , il suiEra et il sera nécessaire de prendre

g g^ 1> Ay j., AV

l — a^ + k'^' Mia^ + k^y ^ ~ M(û» + A') ' • ' ^

ce qui détermine la valeur de Z^ qui coïncidera avec la formule (c), et celles de B, B', B", etc., pour toute la durée de chaque oscillation.

DYNAHIQUE , SECONDE TARTIE. 1 1 1

d , quelles que soient la forme d'un pendule et la loi de la résistance du milieu d^ns lequel il se meut y on voit qu'il y a toujours un peùdule simple dont le mouvement est le même que celui du pendule aoniié; que la résistance du milieu dans lequel le pendule simple doit se mouvoir, se déduit de celle du milieu donné , et de la forme du pendule composé ; et que la longueur du pendule simple ne dé-^ pend que de cette forme , et nullement de la résistance.

Toutefois y il n'en résulte pas que la longueur de ce pendule correspondant a un pendule donné , soit la même dans Tair et dans le vide : la perte de poids que le pendule composé éprouve dans Tair , et qui n'est pas la même dans l'état de mouvement que dans Tétat de repos, influe sur la longueur du pendule simple, réduite au vide , ainsi que nous l'avons déjà dit (n° 191 ). .

400. Pour déterminer le mouvement d'un treuil et de deux poids suspendus, l'un à la roue et l'autre au cylindre , on formera , comme dans le n"" Sgi , la somme des momens des forces perdues à chaque instant par tous les points du treuil, puis on ajoutera à cette somme les momens des forces perdues dans le même instant par ces deux poids, et on égalera à. zéro la somme totale de tous ces momens. Or, supposons qu'une corde soit enroulée sur la roue et attachée par un bout à un point de sa circonférence , et désignons par nt\z. masse du corps suspendu verticalement à l'autre bout ; soit aussi m' la masse du corps suspendu verticalement à l'extrémité d'une

lia .,TBAIT£ DE K^GAIIIQOE. •.

seconde corde éàroiilée sar le cjfUndn el attadiée par Fautre eKtjrëmite à sa sarfica; au boni da tenoqps tf si Ton appelle u et u' 1^ distances des- centras de gntTHé de 79 et mf an plan * Iioriaofttal pesssrt par Taxe da tranily les tovçeà perdues par ces Inasses penê*

dantnnsta1cit£b^ seront m (g— ^etw^g— ^);

itars moinens par rapport à Taxe du trenil^.se dëdniront de ces forces en mi^tîplÛQt la premièie par îe rayon de la roue que j'appellerai c^ et la second^ par le rajon du. cylindre que je désignerai par e'i et parce que ces forces tendent 1 fidre tourner le treuil en sens contraire Fune de l'autre , il fiindra donner le signe -f- au moment de l'une^ et le signe — ' au momait de l'antoe. Pour axer les .idées ^ je supposerai que ce soit la première force qui tende à frire tourner te treuil dans le sens ou il tourne réellement, ou, autrement dit, je supposerai . que . ce soit la masse m qui descende et la masse m' qui s'élève. Oa en conclut que le second membre de l'équation (5) se trouyera augmenté de gmc — gmfc' , et son premier membre , de m -^ ^«— m' -^ c' ; d'ailleurri l'intégrale que contient le second membre sera aéro , parce qu'elle doit s'étendre à tous les pointe du treuil, dont le centre de gravité est sur Taxe de rotation; on aura donc

pour l'équation du mouvement du treuil et des deux masses m et m^

nTNlMIQUE , SECONDE PARTIE. 1 1 3

Pendant tonte la durée de ce n^pnyement, la vitesse

^ de m ébt égale à la yitesse et» du point de la roue

ou la corde commence à se détacher de sa circonfé-

rence , et dont le rayon est horizontal; la vitesse -^-

de n/ est de même égale et contraire à la vitesse c'cù du point de la surface du cylindre, dont le rayon est aussi horizontal , et qui est situé de l'autre côté de Taxe : on a donc coilstamment

du du! s

an moyen de quoi , l'équation précédente devient

(M^« + iru^ + mV) -J- = ^mc — mV) ,

en désignant par M la masse du treuil y et par MA:* son moment d'inertie par rapport a l'axe de rotation.

Si Ton suppose nulles^ pour plus dé simplicité, les vitesses initiales du treùif et des masses m et tu', on aura, à un instant quelconque,

{jnc — m'c')gt

et , sans aller plus loin , on voit que le mouvement du treuil sera uniformément accéléré.

Les tensions des cordes auxquelles les masses m et m' sont attachées , auront pour mesure les forces perdues par ces masses; en les désignant par T et T\ on aura donc

It4 HlÂlTÉ DE BfÉCANlQim.

^t si Ton appelle p, p^ , P^ les poids de ces corps et

du treuil^ d^ sorte qu'on ait

on conclura des équations précédentes

A cause que le poids p descend, ce qui suppose pc >> p'd , la tension T sera moindre que ce poids , qui serait sa valeur dans Tétat d'^uilibre, et la tension T* sera plus grande que p'.

Les pressions teerçées sur Taxe du trenil par les forces centrifuges de ses différens points , se détruisent évidemment deux à deux , k cause de la symétrie de ce corpis autour de cette droite. La charge totale que l'axe éprouvera pendant le mouvement, se composera donc seulement du poids du treuil et des tensions T et T' ; de sorte qu'en appelant n cette force verticale , on aura

En substituant pour T et T' leurs valeurs , il en résultera

ce qui montre que cette charge est toujours moindre que celle qui a lieu dans 1 état d'équilibre , et qui est égale kV +p'\- p'.