POINT FIXE
S !•'. Formules préliminaires.
^o^. Considérons d'abord en loi-même^ et indépendamment des forces qui le grodaîsent, \e mouvement de rotation d'un corps solide de figure c{uelconque, autour d'un point fixe appartenant à ce corps, ou qui y $oit invariablement attaché.
Soient 0 (fig. 5) ce point; Ox^ Oy^ Oz^ trois axes fixes et rectangulaires, choisis arbitrairement; Ox^^ ^Jif Ojz^, trois autres axes rectangulaires, (îxes dans le corps, et mobiles avec lui autour du point 0. Dans la suite, nous supposerons que ces dernières droites sont les axes principaux du corps; mais maintenant leurs directions sont entièrement arbitraires. Soient aussi Xy jj z, les coordonnées d'un point quelconque M du corps, rapportées aux premier^ axes, et o:^, Jtf^if ses coordonnées rapportées aux axes Ox^ , Qj^ , Oz^. En conservant toutes les notations du n"" 377, nous
aurons
X z=:, ax^ + bjr^ + cz^ ,
jr = a'x^-\r *'j,+ c'z^,
laa l&AITÉ DE MÉGAHIQUE.
et les neuf coefficiens a, b, etc., seront U& entre eux par les équations (2), ou par les équations (4)» de ce numéro.
D est évident que ces quantités a, b, etc., sont les mêmes, à chaque instant, ppur tous les points du corps; mais elles variqnt pendant le mouvement, et l'on doit les considérer comme des fonctions du temps. Au contraire, les ooardonnées x^^jr^, z^, va^ rient d'un point à un autre du mobile; mais elles restent constamment les mêmes pour un même point, et ne varient pas avec le temps. En représentant donc le temps par t, et différentiant par rapport à cette va-« riable , on aura
dj d^ , db' d^
dî "^ ^f dî '*' ^^ di ^ ^^ di '
dz da" dV , d£^
di — ^'1Û '^^'Tt "*" ^' dl'
Ces valeurs de ^ , ^ , j- > exprimeront^ a un instant quelconque , les composantes parallèles aux axe& Ox j Qy^ Ozy de la vitesse du point M. Si donc on veut connaître les points du corps dont la vitesse est nulle à cet instant, pn les déterminera en égalant ces quantités à zéro ; ce qui donne
xjia + jjih + zflc = o , ) xjia! -h j^iW + z^dd = o , > (i) xfi(i^+ 7,^A"+ zfid'— o. î
Or, en ajoutant ces équations, après les avoir mui-
DYHiMIQUË, SECONDE PÀKTIE. ia3
tîpliées par c, c', c"; faisant, pour abréger,
cdb+c'db'^'dWznpdt, cda+c'da!+if'da";s:s^dt;
et obdervaût que rëquation c*4- 0^*+ £î"*ss i donne cdc -+• ddd ^d^dd^zst o , il vient
Si Ton ajodte ces n^mes équations (i), après les avoir multipliées par 6, h\ V*, on troiire
rx, — /?^, = 0,
en fiasuit, pour abrégteri^'
bda + Vdd + y'dd' = ïdt,
et observant que l'équation h^-^ V^-^ V'^z=si i donne bdb + Vdb'^ V'dV^=: o, et que, d'après l'équation hc 4- fi/ H- 6V= o du n* 877, on a aussi
bdc-\'b'dc'+b"dd'z=:^cdb—ddb'— d'dV'^^^-'pdt.
Enfin, les équations ( 1 ) étant multipliées par a^ a' y ti'j et ensuite ajoutées, il en résulte
car on a ada + eldd + ci^dd* = o jt a cause de a* -f- «'•-+- «''• s= i; et, de plus, les équations *a+6V + AV' = o et ca4-cVH-cV= o du numéro cité donnent
adb+a'db'+d'dV'z=^—bda—b^di^^V'da!'=-^rdu ode + ddd+d'dd'^ —càa —c'da'^d'dd'=:qdt.
Au lieu des équations (i), nous aurons, de cette
^a4 , TRAITÉ IME MÉGABlQtlE.
iMaière,
Chfciine de; celles-ci est ix>inprke dans les deux an-» très; et elles appartiennent à une droite passant par Torigine 0 des coordonnées.
Q sut donc de cette analjrse qœ tons les points du corps, dmit la vitesse «stnnlleà un instant ^judeon-* qne , sont riuigés snr.nne -droite passant par le oeotre dé rotation. Cette droite peut être regardée comme immobile pendant un instant infiniment petit; donc, pendant cet instant, le corps fonme autour de cette droite comme autour d'un axe fixe ; et Ton doit se tepràenter le mouvement de rotation d'un ^corps sdidé antonr d*un point fixe, comme ayant lien, à dbaqne instant, autour d'un axe qui reste immiofaSle pendant un intervalle de temps infiniment petit. Eif général, la position de cet axe dans Tintérieur 4n corps change, d'un instant à l'autre, ^pendant le mouvement; et, pour cette raison, on l'appelle Yaxe instantané de rotation.
4o5. Supposons que la droite lOI' soit cet axe au bout du temps t ; les équations (2) seront celles de ses projections sur les trois plans des coordon- Idées x^9 jTff z^i d'où Ton conclut £siciiement
cos lOx. =s
COS lOz, =s . -■=..
DYNAMIQUE, SECONDE PA&TIE. i^
Lors donc que les trois ^nantîtes p ^ q^ r , se*ruai oonoues, pa pourra assigner la position de Taxe instantané^ par rapport aux- axes mobiles Ox^/C^,^ OZfi et y d'après le signe qu'on donnera au radical, la partie 01 de cette droite , à laquelle ces formules appartiendront, sera complètement déterminée : doré^ navant , nous regarderons toujours ce radical comme une quantité positive.
Toutes les fois que /?, q , r, seront des constantes. Taxe de rotation restera fixe dans le corps, c'est4idire , qu'il le traversera constamment dans les mêmes points. Qr , les points du corps dont la vitesse est nulle à chaque instant, étant toujours les mêmes, ils demeureront immobiles pendant toute la durée du mouvement ; donc, dans ce cas, Taxe de rotation sera aussi une droite fixe dans Tespace.
D'après Téquation (â) du n"* 9, et les notations du n** 377. , on aura
cosIOix = a cos \Qx^ +^ cos \Qjr^ + ccos lOz^ , cos K)/- = a'cos \0x^ + ^ cos \Ojr^ + c'cos lOz, , cos lOz =^cos lOx^ +6'cos \0j^ 4-c^co$ \0z^ ;
en vertu des équations (5) , on aura donc
ir» a'p + b'q + </r \ ,,.
cosIQr=^^^^^^^=, ^ (4) cos lOz = g>+^'y+cV
pour déterminer la direction de l'axe instantané, par
m6 n inurit VB MËQUriQIlB.
ffapportJifizaves fixes Q^, 0;^, Ojs, U'enriéBalta ^e
aiittëratètifs dé ces forant in-
éëpîindfeiiB de 1 } ce qefon ▼ëfttfêni^ efRreâTemeiit ,
4è6^ fWBiii|a'à chtqM isMant le mouTenieiit a Ke« Wltttt^ là dMMte lOI' torame autènr d'iiti axe Smï
il en résulte q[oe tous les points da corps Ont , jgendknl tin fnstatat infiniment petit , nne^ mêoiè yitiesse iÉi||btÉire àtttoàr de éèt axe (h* 584). Pour en deter- ^ittâ^'la VdetJi^ cônridérons lé pointcpi se traate iMr Vftié Oz^, à une distance' dn p6int 6 ^lé à l*iinlltf ; Itan^ âiifoiiSi t^ ii ce point , x^ts^oi
j/^^Eâfô'/'it^^ ï; sa Titesie absolue sera do^
^ '■ - C. V îî.- .(. *-. \
d'après les valeurs précédentes de ^r f ^9 -jrl et Ton aura, pour sa distance à lajce de rotation ,
sinIO«,=:Vi-cos-10z= ^.yj^M=i
donc , en divisant la vitesse absolue par cette distance, nous aurons
poar la vitesse angidaire. Or, nous avons
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. la?
d'où l'on déduit, en ayant ëgard anx équationa dn n» 377,
{j^^tf)deszdc*+dc'*-{-dc?'*^{cdc^-c'dc'-{-dW'yi
quantité qui se réduit à ^ib'H- dc'^+ dc"^p à cause de cdc '\* ç'dd -^ d'dc*' r^o^ Donc, en appelant m la YÎtesae an^^ulaire au bout du temps / , et la eonsido-rtitt comme une quantité positive, on aura sim-
plenoient . ^_____
On voit que cette vitesse sera constante toutes les fois que la position de l'axe de rotation sera invariable; mais la proposition inverse n'est pas également vraie; et il est possible que l'axe instantané diange de position , sans que la vitesse angulaire ebange de valeur, ou, autrement dit, il est possiMe que les quantités/?, 9, r\ soient variables, et que la valeur de to demeure constante.
407. On appelle p^q^ r, les composantes rect&n-> gulaires dé la vitesse de rotation g) autour des axes Oar/, Ojr^ , Oz^-; et Ton dit aussi que chacune de ces trois quantités est la vitesse angulaire du mobile autour de l'axe correspondant.
Or, les équations (5) peuvent être remplacée» par
p = 69CO8l0a:^, 9 sBCicosIO/^, r = «7CO8l0z^;
et Ton peut écrire les équations (4) sous cette forme :
rocoslOx = ap -f- è^ + cr, G}CO&lOjr =2 a'p+ b'q+ dr^ d^cosIOz = a>4- 6"9+ cV;
d'ob r<m oondiit ^ue k déoompositkm des TitWKs de rotation aoit les mêmes lois qne celle des vitestes de tnnslatioo^ en remplaçant les directi<His de celles-ci par les directions des axes de rotation* .
I«a résiiltante ai étent nne quantité pokitire, et ivjrjint pris k partie déterminée 01 de la droite KM' pottr f axe àiiqnel die se rapporte, lescbiiipioaanifci ir, q,rp dont les axes sont Oar^ , Of ^ , 0«^ t seront pSntives on négatives , selon que ces droites fimnrt des enflées aigus on olitus avec Pake .01 ; et génialement, on devra regarder comme ^ales, nuôs de sfgneâ contrairea, les .composantes de ai ^rapporléei ânx deux parties d^une même droitè«^ pu duît les axes* 'seroM le prolongement Vtn de Tau^.
4^ Non<-6eidem.fnt on peut, au mojren des trois quantités /^^ q^.rp déterminer k .ritessç juignkiie dn corps et la position de son axe de rotatkm, par rapport aux aies mobiles t)x^, Oj:,, Oz^, mais ou peut aussi exprimer les vitesses et les forces accélératrices de ses différens points, décomposées suivant ces trois axes ; ce qui nous servira, comme on le verra l^entôt, à trouver de k manière k plus directe, las équations de son mouvement de rotation.
En effet, les composantes de la vitessedu point M étant •^, -^f -^9 P^r rapport aux axes fixes Ox,
0^ y Os , il s'ensuit que les composantes de la même vitesse, par rapport aux axes Oor,, O/*^, 02^, seront
DYNAMIQUE, SSœNDE PARTIE. 129
dt
dt dt '
dt
ds
dt *
dt
dz
d'après les notations du n'' 677 , et parce que la composition des vitesses suit les mêmes lois que celle des forces. Or , en substituant dans ces expressions
les valeurs de ^ , ~^, ^, du n* 4^4 f ®* effectuant des réductions qu'on a déjà faites dans ce numéro, on trouve
dx ^ I djr . „ dz dx , I dr . Il dz'
par conséquent , les trois quantités* qz^ — rjr^ , rx^-^pz, , pjr^-^qx^y qui sont nulles pour tous les points du corps situés sur l'axe instantané de rotation , expriment , pour un autre point quelconque M , les composantes de sa vitesse , parallèles aux droites Ox^ ,
Or,, Oz,.
On tire de ces dernièi*es équations , en ayant égard à celles du n" 377 ,
^ = a (qz, — rrJ + ô (rx, — pi,) + c{pr, — qx,),
f- = a'iqz, — rr;) + b'(rx, —pz) + c'{px, — qx,),
J = H'Xqz, - fj,) + b\rx, -pz,) + c"{pr, - qxy, 2. 9
i3e TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
et en difTérentiant par rapport k t,il vient .
de
+{qz,—rjr;/ùi+(rx—pzl)db-{-(pjr.--qx,)dc ,
=a!'(z,dq—jr,dr)^b'Xx/li^z,dp)+c"{r>dp - xjdq)
\jit& <]aantitës -y— ^ ~^^ ^, sont les composantes
parallèles aux axes fixes Oor, 0;^, Oz, de la force accélératrice du point M ; si donc on désigne par p,, q,f r^t les composantes de la même force , parallèles aux ates 0;r^, ^i» ^^,t <>° ^^^^
P' dt- ^ ^ di' ^ ^ dr '
Or, en substituant les valeurs précédentes de ^ ,
^> ^9 et faisant des réductions semblables à celles du n° 4^4» ^^ trouve
p,dt^z^dq—j^dr+{pr—qx)qdt+(pz^^rx)nlt , q^dtz^œ^dr—z^dp + {qz^ — rj;)rdt+{qx, —pr,)pdi ,
^A^—rAp — ^,dq'\'{r^—P^i)pdt + {rj—qz;)qdt; et en divisant par dt^ on aura les valeurs dep^,q ^ r ,
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. i3i
exprimées au moyen des variables Pf q^ r , et de leurs dîfiërentielles.
409. Si Ton considère à un instant quelconque les quantités de mouvement dont tous les points du corps sont animés , leur moment par rapport à chacun des trois axes Ox^^ Oy^^Oz^^ suivant Ja définition du n* 273, pourront encore s'exprimer au moyen des quantités/?, q^ r.
Pour le faire voir , soit dm lelément difiërentiel de la masse du corps qui répond au point M, et dont les coordonnées sont x^y jr^ z^; les composantes parallèles aux axes Ox^, Ô/^, Oz^ , de sa quantité de mouvement seront les produits des vitesses J^y — (7^, rXf — pz^, pj^ '. — qx^, multipliées par dm ; en désignant par h, M, M , les momens par rapport aux axes Qz^, Ojr^ , Ox^ , des quantités de mouvement de tous les points du corps , on aura donc , d après ce qa on a vn dans le u"* 374 1
L = /[(rx, — pz>, — (qz^ — rr,]jr,']dm,
les intégrales s étendant à la masse entière du mobile. On simplifiera ces valeurs en prenant pour Ox^ , 0;^^, Oz^ y les trois axes principaux du corps qui se coupent au point 0 ; ce qui rendra nulles les trois intégrales fxjrjdm , fzpc^tm , fyp>/im\ et en désignant par A , By C , les trots moment d^inertie principaux , de sorte qu'on ait
/(»/ H-x/)rfm = B ,
i3a TRAITÉ DE MÉGANIQUE.
on aura simplement
L = Cr, M = % , îi = Ap.
Les quantités r, q/p^ auront donc-constamment les mêmes signes que L , M , N ; par conséquent , leurs signes dépendront du sens dans lequel le corps tournera autour de chacun des trois axes principaux : selon, par exemple y que le corps tournera^ parallèlement au plan ooOj'^ , de Ox^ vers 0/^ , ou dans le sens opposé , le moment L (n® 274) et par suite la vitesse r, seront des quantités positives , ou des quantités négatives; et , réciproquement , le signe de r (eXfL connaître, a chaque instant , le sens de rotation autour de Oz^. * D après les théorèmes du u"* 281, si Ton désigne par G le moment principal des quantités de mouvement que nous considérons , on aura
G = \/kY + ^Y -f C*r* ; en regardant ce radical comme une quantité positive; si la droite Om ( fig. 8) est l'axe de ce moment, sa direction par rapport aux axes mobiles Ojo , 0^^ , OZj y sera détermiiicc par les formules
cos mOx^ = -^ , cos mOjr^ = -^ , cosmOz^= g- ; ^5)
et pour déterminer sa direction par rapport aux axes fixes Ox , O7*, Oz , on aura
G cos mOx = Apa + Bqh -|- Crç , ) G cos mOj = Apa' + ^qb' + Qrc\ [ (G) G cos mOz = kpa!'+ Bqb'' -h Oc"; ) équations dont les seconds membres sont les momens des quantités de mouvement du mobile par rapport aux axes fixes O.r, 0/, Oz.
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. i33
4 10. La position de ce mobile à chaque inskant, par rapport aux axes fixes ^ dépend des trois angkis 4 » 0 y ^ , da n* 378 ; car au moyen de ceâ angles , les trois sections du corps que Ton a prises pour les plans mobiles des coordonnées x^ , y^ , z^, sont dé« terminées de position à Fégard de ces plans fixes ; et il suffit même de connaître la position de deux sections non parallèles d'un. corps solide, pour que les. positions de tous les points de ce corps soient entière-^ ment connues. D ailleurs, quand les angles 4/» 6, ^,. seront connus , les coefficiens a, b , etc. , le seront aussi , et Ton connaîtra , par conséquent, les coordonnées, x,^, z, d'un point quelconque du mobile. Le problèmedn mouvement de rotation autour d'un point fixe se réduit donc, en dernière analyse, à déterminer en fonctions du temps , les valeurs de '^,9, ^. Or , quand les valeurs de p , q , r , sont coqnues , celles de ces trois angles dépendent de trois équations du premier ordre , que l'on obtiendra eu substituant les valeurs de a, b, etc. (n** 578), en fonctions de >{/, 6, ^, et celles de leurs difTérentielles, dans les valeurs de pdt, qdt , rdt , savoir :
pdt=:^ bdc — b'dc' — Wdd' , qdt = adc +• a' de' + al'dd' , rdt = bda -f- Vda' + b'da!'.
Les valeurs de c, c', c", ne contenant pas l'angle f , il s'ensuit que celles de pdt et qdt ne contiendront pas sa diflférentielle ; et comme les valeurs de b , b\ V , se déduisent de celles de a , a\ d' , en augmentant (p d'un angle droit, la valeur de — pdt se déduira de même de celle de qdt. Le coefficient de d^ sera:
i34 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
runité dans la valeur de rdt; car d après les formules
du n"* 578, on a
dp — ^' ékp — ^ ' dp — ^ ' d'où il résulte
pour la valeur de ce coefficient. Toutes réductions faites y la substitution des valeurs de a, b^ etc. y dans celles de pdt ^ qdt , rdt , donne
pdt =; sin <p sin Qé/4 — cos (pd^j^
qdt = cos ^ sin flrf^ + 5^° ^^f } (7)
rdt =: d^ — cos 6e/4-
On peut remarquer que 1 angle •>{/ n'entre pas dans ces formules ; et , en effet , l'angle 4 on NOo: étant compté à partir d'un axe Ox entièrement arbitraire, les valeurs de p^ q , r, ne doivent pas changer quand on augmente ou diminue cet angle d'une quantité constante.
Puisque r est la vitesse angulaire du mobile autour de Taxe Oz^ , il s'ensuit que rdt doit être l'angle décrit dans le plan des ûc^ et jr^ pendant l'instant dt , par chacun des axes Ox^ et Oj"^ ; cet angle serait dç , si la droite ON , h partir de laquelle on compte l'angle ^ dans ce même plan , était immobile ; mais dans l'instant dtf l'angle NOx augmente de d'^, dont la pro«
jection est cos 0^4 ^^^ ^^ P'^^ ^^^ ^/ ^^JKtf ^*> selon que l'angle 6 est aigu ou obtus, il est aisé de voir que la diflerentielle dç doit être diminuée ou augmentée de cette projection , pour avoir le déplace-
DTNAMIQUf;, SEœNDE PARTIE. iS5
ment de Oa:^ ou Ojr^ , par rappc^rt k une droite fixe dans le plan de ces axçs. Par conséquent on aura ^ dans tous les cas, rdt=dp — çqs ^df^f comme on vient de le trouver.
4i !• Il existe entre les cosinus a, b, etc. , et les quantités p 9 q, r, des relations qui peuvent être utiles dans beaucoup d'occasions , çt qui sont expri-^ mées par les équations différentielles
dcz{aq—bp)dl, dt'={d q—bip)dt ^ dc'=:{afq'^b''p)dl, j db={cp—ar)dt, db'^{ç'p—ar)dl, db'';=z(c'p^a''r)dt, 1(8) dar=z(br-'Cq)dl, da=ib'r^^q)dty da''=rz{b''r'^c''q)dt. J
On obtient les trois premières de ces équations, ea ajoutant les équations
ode •+• a'dc' + ^dc' =s qdt^ bdc + h' de' + h^'dc' ^^ pdU cdc 4- c'dc' -h d'dc' =;= o ,
après les avoir multipliées respectivement , soit par a^ b, Cp soit par a', b', ^, soit par a", b", ç', et eu ayant é^ard aux équations du n'^ S77. On obtient les trois suivantes , en opérant d'une manière analogue sur. les équations
cdb + c'db' + (/'db" =? pdt, adb + a'db' +d'dV' = -. rdt, bdb + Vdb' + V'dW = o;
et en opérant de même sur les équations
bda + Udci + V'dd' = fdt, cda + dda' + d'dd' = — qdt y 0jda 4- ddo! -fr d'dd' = o,
on parvient aux trois dernièrçs équations (8^.
i36 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
On a encore les ëqnatîons
, pda + qdb + cdr = o,
* pda! -^ qdV + cdi^ zsz o,.
pdà'+ qdV'+ cdf^'^ o,
qui sont une conséquence immédiate des neuf éqna-^ lions (8)t et qui servent à vérifier Tinvariabilité des numérateurs des formules (4) 9 lorsque fp q^ry sont
des quantités constantes.
§ II. Équations du mouvement de rotation autour
dun point Jixe.
412. Tout ce qui précède étant établi, supposons maintenant que des forces motrices données agissent sur tous 1^ élémens du mobile , et cherchons, en ayant égard à ces forces, les équations différentielles de son mouvement autour du point fixe 0.
Au bout du temps t quelconque , désignons par ILjdm , Y^dm, Z^dm, les trois composantes parallèles aux axes principaux Ox^ , O/*^ , Oz) , de la force motrice de l'élément dm. Si ce point matériel était libre, ces forces lui imprimeraient, dans l'instant dt f suivant leurs dii^ections, les vitesses ^/it, X/it , Ti^dt. Les accroissemens de vitesse qu'il reçoit réellemeut , suivant ces directions , sont les quantités p^dt^ qjdtf rflt y du n® 4^®> ^^^ composantes de la force perdue par lelément dm^ pendant l'instant dt , sont donc
(^— /^/) ^'^i (\ — 9i)dm , (Z, — r^) dm. Le corps sera donc en équilibre (n® 35o), en sup-
DTNiMIQDE, SECONDE PARTIE. iSj
posant tons ses él^mens sollicites par -de semblables forces. Or, les écpiatioiis d'équilibre d'un corps solide, antoor d'an pmnt fixe, sont au nombre de trois (n* a66), qoi seront, relativement à ces forces,
/Pf/ — ^/) *. — (X, — p^ J/] 'A» = o,
JV^I—P)^, — (K — Oa:,-]dmz= o, /P,- r,)jr, - (Y, - q,) zj rf/»= oj
les intégrales s'étendanl à la masse entière du ikiobile.
La considération des axes principaux simplifie les termes rÀoltant de la substitution des valeurs de p^ , ^if^sf s^^^ 1^ sigues f. En obseryant qu alors les intégrales fx^jjdnif fzflcjdm^ fjfifim^ sont nulles , et d&ignant par A ^ B , C , les trois momens d'inertie principaux du mobile ^ de sorte que A, B, C, représentent les mêmes intégrales que dans le n"" 4^ f ^^ qu'on ait, par conséquent ,
f{x- — r:)àm = B — A, /(z/ — xf)dm = A — C,
/Cr/- V)^'« = C- B,
les trois équations précédentes deviendront
G/r + (B — k)pqdt = Y<dt ,
Bdq + (A — C) rpdt =: Qdt , } (a)
Adp 4- (C — B) qrdt = Tdt ,
où l'on a fait , pour abréger,
fiziX., - a:;Z,)dm = Q ,
i38 TRAITÉ DE HÉQANIQUE.
4iS^ Les composantes X^ , Y, , Z^, éUnt œlkf dm forces données, suivant les axes Bfobiles Ox^ , C^^,^ Oz^, leurs valeurs dépendront de la direction de œa droites dans l'espace , ou des trois angles f^f^pPi les quantités P, Q^ R, seront donc des fonctions de %(/, 6j Çy données dans cha<{ue cas parti{;uUer; par . conséquent, le problème du mouvement de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe , conduit à six équations différentielles du premier ordre, ^ntre les six inconnues/], 9^ r, >|/, 6,^^ et la variable t^ savoir, les trois équations (a), jointes aux trois équations (7) du n^ 4^ o* ^ éliminant , dans les premières équations, les trois inconnues p,q, r^ au moyen des dernières équatioos, on obtiendrait trois équations différeotieUes du second ordre, relatives à «vj/, 6, f, qiii sont les inconnues définitives du problème ; mais il vaut mieux conserver les six équations du premier ordre.
Nous nous bornerons à considérer le cas où la pesanteur est la seule force qui agisse sur les points du mobile. Prenons, dans ce cas, Taxe Oz vertical et dirigé dans le sens de cette force constante , que nous représenterqns par g; ses trois composantes suivant les axes Ojc^ , Ojr^ , Oz^ , seront
X,=:ga", Y,=g6", Z,=gc",
à cause de (n* Syy)
a" = cos zOx^ , b'^ = cos zOj^ , c" ^^ cos zOz^ ;
et si Ton désigne par M la masse du mobile , et par ^f ^f y? les trois coordonnées constantes de son
DYNAMIQUE, SECQNl^g; PARTIE. iSg
centre de gravité , par rapport à ces axes mobiles^ de sorte qo on ait
fxjdm=:^a^ fjrjcbnz='!AQj fzjim=^'!Ay^ il en résultera
P = {Qd' — yb")Mg.
Les équations (a) deviendroat donc
Bdq+{\ — C)rpdt=:lya"^ac")Mgdtf Ub) Adp+(C^B)qTtlt—(Çc"—yb")Mgdt, ) .
auxquelles il Êiudra joindre les équations (7) et celles-d (n* 578) :
a'zsz'm^Anù ùnpj b =: — sin B cos ^ , c* =;i coa 9. (c)
414* On parvient facilement à intégipçi^s équa*» tions (&) , lorsque leurs seconds membiies Mut nuls ; ce qui a lieu qtiand on fait abstraction de la pesan-^ teur, ou bien , lorsque le point fixe O est le centre de gravité du mobile, et où l'on a^ conséquemment ^ a=o, C=o, >' = o.
Les équations (b) se réduiseift alors à
Cdr + (B — A)pqdt = 0,1
Bé«7 + (A — C)rpdt = 0 , [ {d)
hdp + (C — Bjçrcfe = o. J
Or^ si on lés multiplie par r, q, p, et qu'on les ajoute^
i4o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
il vient
Crdr + Bqdq + Apdp = o;.
et , en intégrant ^ on a
Cr^ + Bq^ + Ap* = h; (e)
h étant une constante arbitraire. Si Ton ajoute ces mêmes équations, après les avoir multipliées par Cr, Bq , Ap, il en résulte
Ordr + B^qdq + A.*pdp = o ;
d'où l'on tire y en intégrant,
A* étant une seconde constante arbitraire, qui ne peut être q:ii'une quantité positive, ainsi que la pre-
mière.
Ces équations (e) et (f) donnent
, j^'— B^4-(B— C)Cr* \ j^*— AA-^(A— ^CjO*
En substituant les valeurs de p etq dans la première équation (^, et la résolvant ensuite par rapport à dt, on a •
de = ^v^^^ ^
[k^—Bh + (B— C) Cr^Jï [AA — it«+(C -A)Cr»]i
On regardera le dénftminateur comme une quantité constamment positive; et Ton prendra, au numérateur, le signe + ou le signe — , selon qu^la différentielle dr sera positive ou négative, afin que le temps soit toujours croissant, et sa différentielle toujours positive.
En intégrant cette formule (g), on aura la valeur de / en fonction de r; d'où Ton conclura, réciproquement, la yaleur de r en fonction de / : les valeurs des trois quantités />, q, r, peuvent donc être censées connues en fonctions de cette variable, ou du moins elles ne dépendent plus que dWe seule intégrale , qui se réduira toujours aux fonctions elliptiques (^).
On obtiendra cette intégrale -sous forme finie , sans le secours de ces fonctions, lorsque deux des trois momens d'inertie A, B, C , seront égaux, ou lorsque la constante k" sera égale à 1 une des trois quantité; A A, BA, CA.
41 5. Si Ton examine avec attention (a forme des équations (d) , et qu'on ait égard aux formules (8) du n* 41 1 » on parvient à découvrir d'autres équations immédiatement intégrables.
En effet, j'ajoute les équations (d), après les avoir multipliées par Cfb,a;ce qui donne
lcdr + (aq — bpydt] C + [bdq -f (cp — ar)qdt] B [adp -j- {br — cq) pdt] A = o ,
ou bien, en vertu dets trois premières formules (8), Crf.cr+ Bd.bq + Aid.ap=:o.
On trouvera semblablement
Cd.c'r+Bd.b'q + hd.a'p=so, Cd.c"r+Bd.b'q-hkd.a'p=o.
(*) ^oy^^f sur ce point, le pi'cniier volume de la Théorie des Fonctions elliptiques.
i4a TRAITÉ DE BffÉGANIQDE.
En iaiégceLUif on aura donc
Crc + Bqb + Apa = l , Crc'+Bqb'+ kpd^ l\ \ (h) Crd'+ liqW+ Apa!'= V,
l| t^ r'f étant des constantes arbitraires.
Ces trois intégrales ne sont pas des équations tinctes entre elles; car si l'on ajoute leurs carr^, on trouve y en ayant égard aux équations du n» 577,
