CV + B*9* + AY

r^ultat qui retitre dans l'équation (f) , et d^où l'on conclut^ entre les constantes k, l, P, t\ la relation

Si l'on substitue dans ces équations (A), à la place de a, bj etc., leurs valeurs en fonctions de 4^^ 0, 9 (n"" 578) y on obtiendra trois équations entre les six variables ^^^ ^f <p y p ^ q^ r ^ et \es constantes arbitraires Z, /', Z", qui devront être des intégrales des équations (7) du n' 4>o > et c'est, en effet, ce qu'il est aisé de vérifier. Comme ces trois intégrales n'équivalent qu'à deux, équations réellement distinctes, il s'ensuit qu'il doit exister une troisième intégrale des équations (7); mais avant de la chercher, il est nécessaire de voir ce que signifient les équations {h).

416. D'après ce qu'on a vu dans le n' 4^9» ^^^es* montrent que les momens des quantités de mouvement de tous les points du mobile, par rapport aux axes fixes Ox, 0;^, Oz, sont constans et égaux à /, ïy r, pendant toute la durée du mouvement. En les

DYNAMIQUE, SSœNDE PARTIE. i43

comparant aux formules (6) de ce Daméro> et obser« vant qu en vertu de Tëquatlon (f^), le moment principal G est égal à la constante k, regardée comme positive , on aura

C05 iTtOo: =z: T » cosiiiO;^= T> cosmOz = T

pour déterminer la direction de l'axe Om de ce moment y qui* demeurera immobile, ainsi que le plan perpendiculaire à cette droite. La position de Taxe Ont changera par rapport aux axes mobiles Ox^, Oj-^, Oz^; mais on la retrouvera^ à chaque instant, au moyen des formules (5) du n® 4^9 » ^^"^ lesquelles on peut supposer connues les quantités Pfq,r. On pôUrfli dotic assigner y à un instant quelconque , le point où cette droite rencontre la surface du mobile 9 et la trace , inr cette surface , de la section du plan mobile perpendiculaire à cette droite.

Ainsi , lorsqu'un corps solide tourne autour d'un point fixe, en vertu d'une ou plusieurs impulsions primitives y sans qu'aucune force motrice agisse sur ses points, il existe un plan passant par le point fixe, qui demeure invariable pendant le mouvement , et dont on peut déterminer la position, à chaque instant, par rapport aux plans mobiles des axes principaux du corps.

Nous aurons occasion, dans la suite, de généraliser ce théorème ; maintenant , il va nous servir à trouver la troisième, intégrale des équations (7).

417. L'axe Om étant immobi^, nous pouvons le prendre pour l'axe fixe Oz , dont la direction est ar-

i44 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

bitraire ; nous aurons alors

cos mOiCj = cos tQx^ = u", cosmO;^^ = cosz();^^ = V, cos mOz^ = cos zOz^ = c".

A cause de G = Ar et des formules (5) du n® ^oq y il en résultera

les équations (c) deviendront donc

sinâsin9= j^, sîn9cosÇ= — -^, cos8=s-j^; (i)

elles s'accorderont entre elles ^ en vertu de Tëquation (f), et serviront à déterminer les angles Ç et 69 en fonctions du temps , d'après les valeurs de

Maintenant y si l'on élimine dQ entre les deux premières équations (7) du n^ 4^^» ^^ *ï^ra

sin* ^d-^ = sin 6 sin (p pdt + sin 9 cos (p qdt; doù l'oq tire y en vertu des équations précédentes,

donc y à cause de Téquation {e)\ on aura

H = -\E^kdt; {k)

et en substituant la formule (g) à la place de dtj il en résultera une valeur de ^4' ^^^^^ l'intégration se ré-

DYNAMIQUE, SECOITDE PARTIE. 145

claira aussi aux fonctions elliptiques ^ et qui s'ôhlien- <lia sous forme finie dans les mêmes cas que Fintë* grade de dt. De cette manière , on connaîtra donc la valeur dû troisième angle 4 ^^ fonction de r, et, par conséquent , en fonction de t.

Les quantités h — Cr* et k* — CV étant positives, en vertu des équations {e) et (/) ^ at^ étant aussi une quantité positive , il en résulte ïjÊà la vitesse angulaire -^T sera toujours négative, et que le mouye-

ment de la droite ON aura constamment lieu dans Ii^ même sens. A cause que l'angle <>|/ est compté dans le sen$ indiqué par la flèche s (n* SyS) , ce i^uvement se fera eo sens contraire, c'est-à-dire, de Taxe Ox vers Taxe Ojr^ sa direction constante dépendra donc du sens de l'axe 0/*, que nous déterminerons tout à llieure.

41 8. Les valeurs des six variables />| 9^ r, ^fr, d, 7, r^oltant de notre analyse , seront des fonctions du temps, qui contiendront ^ en outre , quatre constantes arbitraires, savoir, Ar , A, et les deux constantes qui seront introduites par l'intégration des formules (g) et (Je). Les intégrales complètes des équations (7) et (^,dont ces valeurs dépendent, devraient renfer* mer si^ constantes arbitraires ; mais le choix que nous venoi^ de jaôre 1^ de Taxe Om du moment principal , poor.ran des axes des coordonnées x^ jr ^ z , a fait disparaître deux de ces constantes ; car , Om coïncidant avec O2, les angles mOx et mOjr sont droits, et, d'après les formules du n® 4^6> ^^ ^^ résulte Izzio et f'=:o. Nous n'avons donc plus , pour achever la sea. 10

i46 TRAITÉ DE BiÉCANIQUE.

iution complète du problème^ qu'à déterminer, an moyen des données initiales du mouyenient, les quatre constantes restantes , et les parties des droites passant par le point 0^ auxquelles répondent les angles variables, pendant toute la durée du mouvement.

Four cela ^apposons que le mobile dont on cou-» sidère le monument de rotation , soit formé, comme dans le n"" 386, de deux corps, dont l'un était en repos et retenu par le point fixe 0, et dont l'autre, animé d'une vitesse donnée , est venu frapper le premier, et s y attacher^ Soient /t la masse du corps choquant, v^ vitesse commune à tous ses points ayant le ch6c, FE la direction initiale de son centre de gravité, HEK la section du mobile par le plan de cette droite FE et du point 0 , et /* la longueur de la perpendiculaire OL , abaissée de ce point sur cette droite. La percussion qui a produit le mouvement de rotation sera dirigée suivant FE, et égale à fâv» D'après le principe du n* 353 , si l'on prend en sens contraire de leurs directions les quantités de mouvement de tous les points du mobile , qui auront lieu immédiatement après le choc , l'équilibre devra exister entre ces quantités de mouvement finies et la force /jLi^ prise dans sa direction; or, pour cet équilibre, il faudra (n° 282) que le moment fiyf àe cette force soit égal au moment principal de ces quantités de mouvement , et que les axes de ces deux mômiens soient dans le prolongement l'un de Tautre. Puisque ce moment principal, qu'on a appelé Cr, est constamment égal à A' (n* 4^6), on aura donc d'abord

pour la yaleur de cette constante positive.

De plus, si Ton mène par le point 0 Taxe du moment pwj^ perpendiculaire à la section donnée EHK du mobile, cette droite sera aussi l'axe du moment principal , que nous ayons pris pour Taxe Oz ; lés di«reclioos Ox^ , 0/; , Oz^ , des trois axes principaux du mobile, seront également données à Torigine du mouvement ; les angles que font ces droite^ avec O2 seront donc connus; et, d'après le numéro précé^ dràt, nous aurons

^cosjeOj:. icoszQr. A:co8jbOz^ ...

pour les valeurs initiales de p , 9 , r. En les substituant dans réquation (e), on aura la valeur de la constante A.

On prendra arbitrairement pour les droites Ojt, , Qt*/ 9 Oz^ y ^^ parties qu'on voudra des axes princî-t paux du mobile qui se coupent au point 0 ; mais après les avoir choisies, et ^Vôir fixé les points de la surface du mobile où ces portions de droites vien^ nent aboutir, elle ne devront plus changer pendant lé mouvement.

Le sens de la percussion exercée sur le mobile, suivant la direction FE, déterminera celui de la rotation autour de chacun des axes Ox^, ^n ^^/^ ^ l'origine du mouvement, et, par conséquent, les siwt gnes des valeurs initiales de /?, 9, r (n*^ 4^)- On saura donc aussi, d'après les équations précédentes, si lefi an^rles zQr. . lOr. • zOz. • sont d'abord aififus

i5o TAAITÉ DE BfÉCANIQUE.

viye de ce point matériel (n"* 56 1); et ea intégrant ensuite y dans toute l'étendue de la masse du corps, on obtiendra la somme des forces vives dont il est animé au bout du temps t. Or , en supprimant les termes multipliés par fxjjint , fzpc^dm , Jjr^zjdm , k cause que les coordonnées x^^jr^^z^^ sont rapportées à des axes principaux, et ayant e'gard aux valeur des momens d'inertie A / B , C , on a , pour cette

somme ^

A/>* + 89* + Cr»;

donc y en vertu de l'équation (e), la somme 4^ forces vives de tous les points du mobile est constante pendant le mouvement.

a*. Si Ton appelle ^ la vitesse angulaif^e autour de l'axe du moment principal , qui coïncide constamment avec OZf cette composante de la vitesse m^re^ lative à l'axe instantané ^ se déduira de celle-ci , en la multipliant par le cosinus de l'angle que fait l'axe instantané avec l'axe Oz ; d'après le n** 4^7 , on aura donc

et si Ton substitue pour a", b", c", leurs valeurs trouvées dans le n® 417, et qu'on ait égard à l'équation (e), il en résultera

La vitesse angulaire du mobile^ parallèlement au plan dans lequel la percussion primitive a eu lieu , est donc constante et égale à la somme des forces

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. i5t

myes de tous les points da corps, divisée par le moment de. cette percussion par rapport au centre fixe. 3*. Soient a?% y, z% les coordonnées d un point quelconque de l'axe instantané , rapportées aux axes Ùjc, j Ojr^ y Ozi^ei u la distance de ce point à leur

origine O. En observant que '^j - f ^i sont les cosinus des angles que font ces droites avec Taxe instantané

si donc on multiplie les équations (e) et {f) par — y elles deviendront

AV+ By + Oz'» = ^' ;

et si l'on élimine — entre celles-ci , on aura

A(yf— AA)y*+B(** — BA)y + C(A* — CAX*=o ;

d'où Ton conclut que l'axe instantané de rotatîop demeure toujours sur la surface d'un cône du second degré, que l'on peut tracer dans l'intérieur du mobile, lorsque les constantes h et k sont connues. Ce cône se change en un plan. , quand le *carré , de k est égal à l'un des produits Ah jBhjCÂ; il devient un c6ne droit à base circulaire , ayant pour axe l'un des .trois axes principaux relatifs k ce point, toutes les fois que deux des coefficiens de l'équation précédente sont égaux*

ife TBAITÊ DE HÉGAttlQDE.

4* L'axe Oui ou Os do moment prindptl dèsipMi^ tivÂi de mouvement, étant immobile, la nite des droites snivant leaqnelles il iravene le eorpa pendant le mouvement, se tronvera aor nn c6ne qni a le point 0-poar commet. Or, oe o6ne est ansar dn aeoond degré, comme le prëcédenL En effet^ ai Toa appelle ^,y^ a!*, les trois coordonnées d'un point qîûconqne de Taxe Om , rapportées ans area Oxj^ Ôjr^ ^ Os;, et si Ton d^gne par u^ la distance de%fe point k rcMrigine 0 , on anra

ar^d\, f=^Vu^ «'^«^^.t et,parconiMÎqnent,

En anbatituant ces valenrs dans les é(|aation8 (€) et (/) , i) vient

et par rëlimination de k/ , on en conclut :

— A — ^ ^ r~-^ + ~C — « =Of

pour réquation de la surface du c6ne dont il s'agit.

5*. Pour que ce came et le précédent ne soient pas imaginaires , il faudra que les quantités A* »- AA , A:*— BA, A* — CÀ, ne soient pas toutes trois de même signe. Cela étant , si A est le plus grand et C le plus petit des trois momens dlnertie principaux^ les

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. i«»

ûenx ^pantitÀ A:* — ÂA et Af — Ch devront être de s^* gnes ocmtraîres. Or , selon qoe la troisième quantité A*^'BA aura le même signe que A*— -ÂA ou A:*— CA, ks sections de ces deux cônes seront des ellipses perpendiculaires à l'axe du plus grand oi^ à l'axe du plus petit moment d'inertie. Far conséquent, pendant toute la durée du mouvement ^ l'axe instantané de rotation ne s'écartera de l'un de ces deux axes principaux, que de quantités limitées; et, en même temps , cet axe principal ne s'écartera non plus que de quantités limitées, de l'axe O/n perpendiculaire au plan de la percussion primitive et du point O.

420. Lorsque l'axe instantané de rotation 01 (fîg. 3) s'écarte très peu de l'un des trois axes principaux, par exemple de Taxe Oz, , pendant toute la durée du mouvement , on peut déterminer sa position et ceHe du mobile à un instant quelconque , d'une manière très simple, et sans recourir aux fonctions elliptiques. A la vérité, cette autre solution du problème n'est qu'approchée; mais on pourra pousser l'approximation aussi loin qu'on voudra : celle à laquelle nous nous arrêterons suffira pour compléter ce qui a été dit dans le n"" 689 ^ $ar les propriétés mécaniques des axes principaux.

Nous avons ( n* 406 )

sin 10^. = -.^25

Vp' + q' + ^

l'angle lOz^ étant très petit par hypothèse , p eiq seront deux fractions très petites de r; si l'on néglige leur produit, la première équation (d) se réduit

t54 UUITÉ SE MËGAHIQUE.

k dt^ss/Oi et. donne rtsan; » étant une oonsr litote ?arlntmre^ exprimera la^Titene de rottfr

tiofr da^corpi/ on^la 9fi|lear de^\//^^r9'•+''*> * iié^igeuif anaai les caità de p et 9. Les deux- autres équations (d) derieiidront

Bdq+(k-^ (l)hpdt z± o, I , .

Ai^ 4, (Ç — B)ng£ft a o. J ^ ^ ;

Pour les int^rer , |ê fida

Ci ^1 y,WyétnA dés qiEiantitës conalantas. En auba* tituant ceà-^tâtenra de p et q dans les équations (i), -«ÎOaiippriiiiànt enstaite le sinus ou cosinus qui se trouve ftctenr commun à tous leurs termes, il Tient

B^n^-.(A— C)tfn=o, Atfn'— (B — C)tf'»=±oi

d'où Ton tire

a ëUnt une constante 4|iii testera arintraire, ainsi qae ^. Si donc on &it , pdnr abréger, <

il en résultera

/> = « \/B(B — C) sin (J'nt + >),

ç = et VACA— C) cos («Tu* pour les intégrales complètes des équations (i)^

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. tSS

Si Toii projette Taxe instantané 01 sur le plan* des x^ ^fif et qu'on appelle Ç l'angle que fait cette -projeo tioQ ayec l'axe des j^ , on aura

de plus, la yaleur de sîn lOz^ se réduit à

sîn I0«^ = -\/p^ + 5^,

au degré d'approximation où l'on s'est arrêté ; par conséquent y les valeurs précédentes de p et q feront connaître immédiatement, à chaque instant , la position de l'axe de rotation dans l'intérieur du mobile. On va voir les conséquences qui en résultent.

4^1. Si, à l'origine du mouvement, cette droite a coïncidé exactement avec l'axe Oz^ , il faudra qu'on aît/i =: o et 9 == o, quand / =o ; ce qui exige que la constante a soit nulle. Alors on aura constaiùraent pssoetç = o; et l'axe instantané 01 coïncidera , pendant toute la durée du mouvement , avec l'axe Qs^, qui demeurera immobile (n"* 40^)* L<»^ donc que le corps retenu par le point fixe 0 aura commencé 1 tourner autour de l'un des trois axes principaux qui se coupent en ce point, il continuera indéfini* ment à tourner autour de cet axe, comme s'il était entièrement fixe; ce qui est la proposition du n® SSg.

Mais, si à l'origine du mouvement Taxe 01 s'é« cartait un peu de Oz^ , les valeurs initiales de p et ç , et, conséquemment ^ la constante a, seront seulement très petites. Or , pour que les valeurs de /i et 9 demeurent toujours très petites, il faut quQ la cons-«

l56 I&Ant OB MÉÇAIIIQUE.

tmlè J^floit réeUe; car> lonqu'elle ert imagimirey le dniis et le oosiinu contenus dans les équatioos (a) se changent , pipr les formules connues , m expo* réelles, et les valeurs de /i et 9, qui en , croissent, indéfiniment avec le temps t. La réalité de J^ exige que le moment principal C suit le plus grand ou le plus petit des trois momens d'inertie A , B , C. Dmc 9 quuid Taxe instantané de rotation a été un tant soit peu écarté de Taxe principal qui répond au moment d'inertie moyen» cet ^ôurt augmente avec le temps^-et ne reste pas renfermé entra, de très pietites limites; et » au contraire, lor8q<iV>n Ta un peu écarté de Taxe principal auquel répond le plus grand ou le plus petit moment d%* nertie, il s'en éloigne très peu, et ne fint que db très petites oscillations pendant tonte la durée du mou* yement.

n 7 a donc une différence essentielle entre les trois axes principaux du mobile qui se coupent au point fixe 0 : en supposant que A soit la plus grande, et C la plus petite des trois quantités A, B , C» le mouvemMt de rotation est stable autour des axesOj^r^ et Oz, , et ne peut être qu'instantané autour de Taxe Ojr^* S'il s'agit, par exemple , d'un ellipsoïde homogène ; retenu par son centre de figure, le mouvement est stable autour du plus grand ou du plus petit de ses trois diamètres principaux, et non stable autour de son diamètre moyen.

422 • Dans le cas de l'instabilité du mouvement, les formules (2) n'exprimeront les valeurs appipchées àe p etq que pendant les premiers instans du

DYNAMIQUE , SEœNDE PARTIE. iS?

mooyement , et tant qu'elles seront très petites, comme ie supposent les équations (i), dont elles sont déduites. Pour avoir les valeurs de p , q, r, k un instant quelconque ^ il faudra alors recourir à la scdution' rigoureuse du problème» Dans le cas de la stabilité^ les valeurs approchées ^e p et q, données par les équations (2), subsisteront pendant toute la durée du mouvement; et l'on déterminera de la manière suivante celles des trois angles 4 » d > 9*

Je supposerai , comme dans le n® 4^8, que le mouvement a été produit par le choc d'une masse fi, dont tous les points avaient une vitesse i^, parallèle à une droite FE ( fig. 8 ) , passant par le centre de gravité àe fA, et comprise dans le plan des x et jr^ Les équations (£) auront lieu comme précédemment; et en désignant toujours par^^la distance de cette droite au point 0, la quantité k quelles renferment sera encore le moment fii^f de la percussion initiale. Au moyen de r = n et des formules (2), ces équations (/) deviendront

sin 6 sin 9 == — a — ^ ^^T' ' sm{S^t + y\

cos9 5= — ..

hyf

Les angles 6 et ^ étant donnés à Torigine du mouvement, si Ton &it ^ = o dans les deux premières de ces équations , on en déduira les valeurs des deux ooostantes a et y. Ces deux équations feront ensuite connaître les valeurs de ^ et 0 à un instant quel-

t9B TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

conque , après que la oonatante n aura aussi été déter« minée. U faudra que cl soit une quantité très petite y pour que les valeurs .de petq, données par les équa-* tions (3), soient très petites^ comme on Ta supposé. Cela étant , 6 sera constamment un très petit angle.^ et Taxe principal Qz^, dont s'écarte très peu Taxe instantané de rotation^ s'écartera lui-même très' peu de Taxe Oz perpendiculaire à la direction FE de la percussion primitive.

En négligeant le carré de 6, la troisième équation ' (3) se réduit à

f^uf = Cn ;

ce qui fera connaître la constante n , qui sera , à très peu près , la vitesse angulaire du mobile autour de l'axe instantané.

La troisième équation (7) du n* 410 se réduira de même à

ndt B ^ — -, d'^ ;

d'où l'on tire

c étant une constante arbitraire , que l'on détermir nera d'après les valeurs initiales de (p et 4/. Cette dernière équation fera ensuite connaître l'angle >|/ à un instant quelconque ; ce qui complète la solution du problème.

4^3. Lorsque le mobile est un solide de révola-' tion, dont'Os^ est l'axe de figure , on a BssAj la première équation {d) se réduit à //r= o ; r est'^onc une constante arbitraire n; et toutes les formules du'

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. i5$

n* 4^ y ^^^ V^^ 1^^ équations (5) , ont lieu rigoureusement.

L angle 6 n'est plus assujetti à être très petit; mais , en vertu de la troisième équation (3) , sa valeur est constante pendant le mouvement ; en sorte que Taxe de figure du piobile décrit un cône droit à base circulaire , autour de la droite Oz perpendiculaire à la direction FE du choc primitif. En désignant par € la valeur constante et donnée de cet angle 0 , on aura

pour déterminer la constante n* D'après les deux premières équations (5), on aura aussi

u»(^/»sin»€ = £fA»(A -- C),

pour déterminer la c<fnstante a; et en vertu des équations (3) la vitesse angulaire ô» autour de Taxe instantané sera ( n® 4^)

Oà

ce qui montre que cette vitesse sera constante , de manière que le mobile tournera uniformément^ soit autour de Taxe instantané • en vertu de cette vitesse • soit autour de son axe de figure ^ en vertu de la vitesse n.

Les deux premières équations (3) donnent aussi

tang^ = tang(€r/ir-f->), (^^snj'nt + y. La troisième équatipu (7) du n° 4^^ devient

ndt =1 Sndt — cos id'\ ;

i6o TRAITÉ DE HÉCANIQUE.

en désigoanl par c une constante arbitraire ^ on en

déduit

I (i — i") ni uyf ^

^ cos t A '

par conséquent , langle (p , compté sur un plan per*» pendiculaire à Taxe de figure , et Tangle 4 » compté sur le plan du choc primitif et du point 0, varient Fun et Tautre uniformément.

4^4* ^ stabilité du mouyement autour des axes principaux du plus grand et du plus petit moment d'inertie 9 ayant été conclue des équations (3), qui ne sont qu'approchées, on pourrait conserver quelque doute sur l'exactitude de cette conclusion ; mais on démontre rigoureusement la stabilité dont il s'agit , au moyen des intégrales exactes (e) et {f) des équations du mouvement. •

En effet , ea multipliant la première par C , et la retranchant de la seconde , on a

D désignant, pour abréger, la constante A:* — C^. Si donc l'axe instantané s'écarte très peu de Taxe principal Oz^ à Torigine du mouvement, de sorte que les quantités p et q soient très petites à celte époque, la constante D sera aussi très petite ; d'où je conclus que les valeurs de p et q devront rester très petites pendant toute la durée du mouvement , lorsque les deux différences A — C et B — C seront de même signe; car il faudra, en vertu de l'équation (4), que leurs carrés , multipliés par des quantités de même signe, et ensuite ajoutés, donnent constamment une

DTNAMIQnB, JffiCORDE PARTIE. i6t

somme très petite. Ou peut même-, dans . ce cas , fixer des limites aux valeurs depetq, et l'on voit <}u.'on aura loujouni

Mais si les différences A — C et B — C sont de signe contraire, et qne la constante P soit enbojre supposé^ très petite , on ^conçoit que Téquation (4) pourra néanmoins être «satisfaite, sa^s que les va^ leurs dé pat q soient astreintes à demeurer constamment très petites; et, en effet , l'analyse do n* 4^0 montre qu'alors ces valeurs ne sauraient être, supposées trèf petites pendant toute la durée du nâO]Uryement.

Au reste, les axes principaux relatifs au point fixe O sont les seuls axes qui puissent rester les mêmes dans l'intérieur du mobile, et demeurer en repos, quand ils ne sont pas entièrement fixes, ainsi qu'on Fa déjà vu dans le n** SSq. Cela résulte actuellement des équations (d). En effet , pour que l'axe instantané de rotation conserve toujours la même position, il faut que les trois quantités /i , 9 , r, soient constantes. On a donc dpsso, 'dqsszo, dr=^o; ce qui jréduit les équations '\d)k

(B~A)/iyt=o, (A — C;ipss:o, (C— B)yr=o.

Si les trois momens d'inertie A , B, C, sont inégaux , U faudra supposer nulles* denx des trois quantités /i, f , r, pour satisfaire à ces équations ; et alors Taxé instantané coïncidera avec l'un des trois axes Oor^ »

O;^,, Oz^. Si deux de ces. trois momeqs d'inertie sont égaux y de sorte que Ton ait B = A ^ par exemple, la première équation disparaîtra , et Ton satisfera- aux deux autres en prenant r = o. L axe instantané sera donc alors situé dans le plan des deux axés Ox^ et Qjr^; mais on sait que, dans un pareil cas, toutes les droites comprises dans ce plan , et passant par le point 0 , sont des axes principaux ; Taxe de rotation iilimobSe sera donc encore un axe principal. Enfin , lorsqa'on a A =3: B = C , ces trois équations sont identiques, et Ton peut prendre les valeurs de p, q, r, arbitrairement ; mai$ aussi , dans ce cas particulier , tontes les droites qui passeiit par le point 0 sont des axes principaux ; par conséquent^ dans tous les caSj Taxé de rotation , s'il demeure immobile, ne pourra être qu'un axe principal .

§ m. Solution dun cas particulier de mouvement de

rotation dun corps pesant.

425. Lorsque le point fixe 0 n'est pas le centre de gravité du mobile , et qu'on ne fait point abstraction de la pesanteur , on n'est parvenu , jusqu'à présent , à intégrer le système des équations (7) et (b) des n*' 410 et 41 3, que quand le mobile est un solide de révolutiop, et que le point 0 appartient à son axe de figure. C'est ce cas particulier que nous allons maintenant considérer.

Supposons que Taxe principal 0%^ sqjt l'axe de fi- ^re, et qu'on ait, par conséquent, 6 r= A. Supposons aussi que le centre de gravité G du itiobile (fig. p)

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. i63

appertieiiiie*à Taxe dies z, positives^ de sorte qu'on ait (n* 4i3) ^ = o et f = o, et que y soit une quantité positive ^t donnée , qui représente la distance OG. L'axe Oz étant vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, 1 angle 0 ou zOz^ sera aigu ou obtus , selon que le point G se trouvera au-dessous ou au-dessus du plan horizontal tnené par le point 0. Dans ces deux cas , les équations (b) deviendront

A^ — (C — k)rpdt = yaf'Mgdt, > (i) Adp -t- (C — K)njdt fe —yV'Mgdt} )

les quantités a" et b'' qu elles renferment étant , d'après les équations (c) ,

a" = — sin 0 sin 9 , b" = — sin d côs ç.

Nous appellerons équateur du mobile la section perpendiculaire à son axe de figure , et passant par le point 0- Soient NEN'F cette section, et KON' la droite suivant laquelle elle coupe le plan horizontal mené par ce point fixe. Toutes les. droites qui passent par ce point et sont comprises dans cette' sSction, étant des axes principaux , Tangle <p pourra se rapporter à Tune quelconque d'entre elles; et'E étant un point déterminé du mobile , on pourra prendre pour (p l'angle NOE. L'angle %|/, dont la troisième équation (7) renferme la différentielle , sera l'angle NOx, compté à partir d'une droite fixe Ox, menée arbitrairement dans le plan horizontal. On aura donc, à un instant quelconque ,

aOz, = fl V 'NOE s= ^ , - NOor = 4 ; .

iU TRAFnfi''Be MÉGAHiODE/.

et Fôii » saffijMumreat explique ^'dânll^ v^'^i^p vmpt^ nhût la (Misition du motiile sera dëtemrioée^ nils an» côiie: ainbigaittf ,^ au màyetx ésB tit>i8 angles ^ff

: 4^* TBm dësîgoant par 71 une ûonstaute ajjj^traire, on aura rss n , dVprès la première équation (i). lA inouTénient de rotation do corps sera donc titnforme, p^rallèleipenl; à son équateur. Tour définir la-dmo^ tîotai de ce inou^ement , nous supposerons que le point Naoit le nœud astendani de rëquattfdr; en aorteque, quaikd-le point Ë panrieiid.ra à« point N^-SOfli nryon EO s'ëleréra aunlessus du* plan «horiaontal^en Vertu de la vitessé-ai^làire n , qui sera àlorà iinè*quAnâkë positive. En eflfet^ d'ajpirès la troisJKàaie équation (7} du n^4^^9'0^ aura

d^ SSL ndt ^ çM-fid^^ . (^) .

Lorsque le point E est en N ^ Tangle ^ est zéro ou' un multiple de aTC; et^ dans l'instant suiyant, il s'élèvera ou s'abaissera ^ selon que l'angle (p augmentera ou diminuera (n* 378) ;, donc, pour que Iç point E s'élève obmmè on le suppose, en ayant seulement égard au mouvement du corps parallèlement à son équateur , il £Eiu.dra que le premier 4erme de d^ aoit positif.

Cela étant , si son second terme est aussi positif, il augmentera la valeur de dp^ qui sera donc plus grande que si le^ nœud N était immobile; par conséquent, son mouvement proj.eté sur l'équateur sera nArtH grade j ou en sens contraire du mouvement du corps, parallèlement à ce plan. Le contraire aura lieu, et le

DYNABUQUË^ SEœNDË PARTIE. 166

mouvement do nœud sera direct^ lor$que le second terme de la valear de dp sera négatif. Dans le second GttSy si le second terme remportait sur le premier, la Taleor complète de d(p serait négative, et le point E), parvenu en N, s'abaisserait au-dessous du plan horizontal , au. lieii de s'élever au-dessus ; mais cela n'empêcherait pas que N ne fût toujours le nœud ascendant,, en égard au mouvement du corps autour de son axe de figure.

hjpû , le sens du mouvement du nœud* ascendant N dépendra du signe qu'aura, à chaque instaut, le produit de cos 6 et //>|/ ; et ce mouvement sera direct

00 rétrograde , selon que cos 0 et d^ seront de signe contraire ou de même signe.

427. En ajoutant les équations (i), après les avoir multipliées par c'', V% d\ les seconds membres des deux dernières se détruisent , et l'on trouve , comme

dan5len''4i^f

donc, à cause de r= /i, c''= cos0 , et des valeurs de d^ et }sf\ on aura , en intégrant,

O» cos 6 — A (/i sin 0 sin ^ 4" 9 sûi 0 cos ^) = / ; (3)

1 étant une constante arbitraire, qui exprimera, comme dans le numéro cité , le moment des quantités de mouvement de tous les points du corps par rapport à l'axé Oz. Dans le mouvement que nous considérons, le moment de ces cpiantilés de mouvement est donc une quantité constante, mais seulement par

t66 TRAITÉ DE ItËCAlflQDE.

rapport à Faxe VeUtcal , et niatk phii par rapport k tOM les axiQspaMutit par le point 0.'

JTajcnite encore lea-de^x dernières équations (i)^ apiès^ aroir moltipliëes par 9 et ^ ; ce qoi donne

VboBp en Vertu des deox premièrËs^éqQations (7} du

n*4iQ, (ma . /

psiniBoQS 9 — -fLSÎn 8 sinf SB—» sin 0^; on aura donc

et en intégrant et dëaignàiit par A la constante arbf-^ traire t il en résultera

D'après, les ëqnatipns (7) qu'on vient dé citer ^ on a d'ailleurs

psinOsin^-f-^sinfi cos^sssin* â ^t

au moyen de quoi les équations (3) et (4) pourront être chan^fées en celles<i :

Cwcosfl — Asin-ff§ = /,

di

A(«"'fl§ + D = ^Mg>cosflH-A

Les équations (2) et (5) donneront des valeurs de

dtfd^fd^^ dont chacune sera de la forme Ffic/Q ; il ne a'agira donc plus que d'intégrer ces trois formules difierentielles , pour avoir les valeurs de ^ ^ «^^ (p^ en fonctions de 0 ; or/ leurs trois intégrales s^ réduiront, dans tous les cas , aux fonctions elliptiques. Mais ^ sans recourir à ces fonctions , on pourra aussi obtenir des valeurs approchéesVde 4 > ^ 9 6 9 en fonctions de <, dans les exemples que nous donnerons plus bas, après avoir déterminé les trois constantes arbitraires /i, /, A, que contiennent les équations précédentes» Les troi$ nouvelles constantes qui seront renfermées daife leurs intégrales, se détermineront d'après le^ valeurs de 4» ^9 8> V^^ répondent à ^=0: celle de 6 sehi donnée ^ on prendra , si l'on "^eut , 4 = o et ^ = o, pour les valeurs initiales de 4 et ^.

438. Quelles que soient les quantités de mouTement que prendront les points du corps à l'origine du mouvement, leur moment principal relatif au point O, et la direction de son axe, seront connus, d'après les percussions qu'on aura exercées sur le mobile il cet uistant, et auxquelles ces quantité de mouvement inconnues, prises en sens contraire de leurs directions , devront faire équilibre (n* 555). .

Par la règle du n° 281 , je décompose ce moment principal en trois autres rtiomens, dont les axes rectangulaires soient la partie Oz^ de l'axe de figure qui comprend le centre de gravité G, une droite perpendiculaire à Oz^ et contenue dans le plan vertical de Oz et Oz^, et une droite horizontale perpendiculaire à ce plan. Ces trois droites étant des axes principaux, le moment par rapport à Oz^ aura Gr ou C>i pour va^

iSB ^TRUTÉ DE HÉGARIQUE. '

U!ax(te 409) ; il ifeti)^ djMi6 eotuudftra la tal^

iibm jesQppoiotei, anomtraire; cette viMtiedoii^

née difMtçaieiît, et je= prendrai Oi (KNif 'tt lâô^

meet*

• / le daignerai par fâ le moitient par n^port^aa ae- '

ebnd aze^ et par m le moment pa^ mppofî k Taxe

HonsMmtal; éa aorte qûela raleor kiitide dtf momttit

jrtindiMl «era VÇ^f^+f^^-^^i * <»iwèdè B==: Jt et r^n,sùa cmé est A* (/>• + g*) + CV (n(^ 409) , & tm instant quelconque ; si donc on appeÛé à fat Ta- Ifenr initiale dé l'angle 0, on auM,' en t^rta «k Téduation (4)>

(^g^Gosa + A) A =8 At' -h m\'

à Torigine du 'monveàientf ce qoi'donne

Laxe du moment désigné par /u fera un angle « + 90^ avec Oz; Taxe du moment m étant perpendiculaire à cçtte verticale $ ce moment n'influera pas sur le moment / par rapport a Oz; d'après l'expression générale de £ du n® 281^ nous aurons donc sim» plement

/ s= Oz cos a — ft sin ce.

On devra se' rappeler que dans ces valeurs de h et /, l'angle ol sera aigu on obtus, selon qu'à For?gine du mouvement, le centre de gravité 6 du inobiie se trouvera au-dessous ou au-dessus du plan horizontal , passant par le point O. «

429* Pour vérifier ces dijQférentes formulcfs, je

BUfipo&d que la masse M du mobile Boit concentrée à son centre de gravité , et qu'il se change en un pen-^ dttle simple dont 7 sera la longiiear.

Dans ce cas, on n'aura point à considérer l'angle ^, et le mouvement dépendra seulement des angles >[/ et 0. Si le point matériel G a reçu, à Foriginé'^ une vitesse k^ perpendiculaire à GO^et dirigée dans le plan GOz , et une vitesse k perpendiculaire à ce plan, on aura ^

ft = Myk, m = Mykf.

On aura aussi

Il en résultera

A = (A* + *'• — 2gy cos a) M , /= — Myk sin a ;

les équations (5) deviendront

y sîn' 9 -j s=z k gina,

>*(«no'ô ^+§) = *'H-*"+2g7<co8fl-cos«);

et il est aisé de les faire coïncider avec les équations (5) et (6) du n"" ao5.

La première , multipliée par \ ydt , exprime que Taire décrite autour du point 0 pendant l'instant dt, par la projection horizontale du rayon vecteur GO du mobile , est constante et égale à sa valeur initiale 7 yk sin a. Le premier membre de la seconde est le carré de la vitesse de ce point matériel, au bout du temps t; et A* + ^' étant le carré âe cette

,170 TKAITÉ DE MËCANIQUE. ,

vitesse à rorigio^ du mouvement ^ cette équation est

la formule du p.ti5g.

430é Dans le cas d'un corpa qui ne se néduit pas à un point matériel , si Ton écarte le molnle de sa position d'équilibre , qu'on lui imprime une vitesse de i^tatiloh autour de son axe de figure-, et qu'on l'abandonne ensuite k lui-même, les deux quantités /k <^t m seront nulles , on aura

• / = Cn cos a , A = — aMgj^ cos a ,

If

et les équations (5) deviendront

sin* fl ^ **= X (cos 9 — cos a) ,

En vertu de la seconde^ la différence cos 8 — cos« est toujours positive ; en vertu de la première , la différentielle d'^ le sera donc au^i ; par conséquent (in? 4^6) f ïc mouvemeui du nœud ascendant N sera direct, quand cos 0 sera négatif, ce qui suppose le centra de gravité G au-dessus du plan horizontal passant par le point 0; et ce mouvement sera rétrograde , lorsque G sera au-dessous de ce plan , ce qui répond à cos 6 positif.

Quand n. sera zéro, la différentielle d^, et par suite la différentielle d(p donnée par l'équation (a), seront zéro; les angles 4 ^t ^seront donc constans, et pourront êu*e supposés nuls ; le mouvement se changera dans celui du pendule ordinaire , autour d'un axe horizontal par rapport auquel le moment.

d'inertie est Â| et , efifectÎTement ^ en faisant d^tszo dans là secondé équation (6), elle se réduit à Téqnation (a) du n^ S94 f qpand on suppose dans celle-ci la Titesse initiale égale à zéro. « ,

L'élimination de ^ entre les deux équations (6)

donne

sin*fl^*=^ [sin*6— 2e*(cos6— c06a)3(cosô— cosa), (7)

en faisant pour abîmer , '

M> ^ I CW __ 4gC*

où Ton peut remarquer que A est la longueur du pendule ^ simple qui ferait ses oscillations dans le même temps que le mobile, si la vitesse n était nulle. En même temps, la première équation (6) deviendra

.sin*a^= aff-y^f (cosô — cos<t), (8) •

en regardant € comme une quantité positive et. donnée. •

Les valeurs approchées de 0 et / qu'on ti^ra de ces équations (yj. et (8) , et celle de ^ qui résultera de l'équation (2), s'exprimeront aisément sous forme finie, dans les deux cas dont nous allons nous occuper. •

43 1. Je suppose 'd'abord que la partie 0^^ de l'axe de figure qui contient le centre de gravité G du mobile ait été (i^ peu écartée àe la verticale Oz k

lys XaAlT& DE MÉCAIIfQDE^ -

rorigioe da moay émeut >.-dtt aorte. que Fangle • soit très ^etît ; Vangle fi- le sera âàuif puiaqu'op a foujouncoB 0,> CM «; el, en obligeant les qvotrièpici poissanoes de^«|^ 0 dans les défeloppemena de ^eos « etxosfiy Ifs éqoidioiis (7) et (8) dei^ieiidrQDt

La première montve «jae 6» qai doit' toajonn être une quantité potàtiye (n** 578) , B*exoédera jamais a ,

et ne sera pas m<oindre que , ...i ■ , ♦ En la HBSoiraat

par vappiirt à d!(,«ii a

,oa l'on regardera toujoors le dénominateur ooiniiiè une quantité positive , et Ton prendra le signe infé- ^rienr ou le signe supérieur, sèlQu que 6 croitra on décroîtra.

Pour Êudliter intégration , je fais

• â=sasini«, dO^iâtt cos udui

il en résulte/

V ^ l/i(t ^;')cot*ii

En intégrant , on aura donc il/- v^i ^- G^z=^ c±arc(sin= y^i + f%cos u) ;

DTNAUQQUE, SECONDE PARTIE. 175

c étant la constante arbitraire. Pour f = o, on a 0= a et cos tt =£: o; l'angle qui i^pond au sinus zéro est zéro ou un multiple quelconque de ^ ; on a. donc c ^=ziic ^ en désignant par i un nombre entier positif, n^atif ou zéro ; et en remettant pour cos u sa valeur , on aura

t y/\ s/i"+g*=w±arc(sin==:y^^ y/^^^*).

L'angle 0 décroissant d^abord dépuis d=âi jusqu'à

Ci . ^ , • '

6 = ^"^T^f ^^ prendra le signe supérieur et 1=0;

croissant ensuite depuis cette dernière valeur jusqu'à 0=€t, on prendra le signe inférieur et z= i; décroissant de nouveau , depuis ^=^a jusqu'à

8 =: f on prendra le signe supérieur et £=2 ;

et ainsi de suite. C'est dé cette manière qu\>n doit déterminer l'a constante arbitraire^ ajoutée à un arc de cercle que l'on considère comme une fonction de son sinus ; mais il est plus simple de passer de l'arc an sinus, avant cette détermination.

A mi instant quelconque , on aura , d'après l'équation précédente ,

fl* = «•

^ siu^ , /eîs:

En appelant T le temps pendant lequel l'angle 8 )>assera de sa plus grande valeur a à sa plus petite valeur , qui suit immédiatement , ou reviendra de la plus petite à la plus grande , on en- conclut

rj4 . IF^Ardï BB MÉCiNEQinS.

>vÇ

,Aa moyen de oêtte yalçur de jT j, oelle de f24>.9Û t donnée, par I9 seconde éqimtton (g^ ^ sen ^

^ înt^^ra^t er^j^posant.^lon ait 4^s9=o..fai|nd ^s=o. on en déduit

^ . C un, , v/#^

fMttnilie ({ni ^étertnin^^ le mouvement inftrogiâfle du no^ud asoeadimt N nwle i^mh bociao^tal. pksawnt par te point 0. Si la ooru^nte I? n'est 'pu nvlk , les iralenn ié l'àrc compris datis cette 'fornkiile tteixmt

arc(taDg = Qo)c=:i^7r, arcrtangs=o)«=s«, arc(tang=: — cb)s=f^, etc.,

au bout des premier, deuxième, th>îsième, etc., întervaRés dé temps T; pat conséquent, l'arc parcouru par le point N pendant le premier intenralle de temps T, sera

4 1 ■ mTrQ

pendant les deux premiers intervalles '

4 = îr-^ •* '

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 175

au bout des trois premiers , on aura ^*

et ainsi de suite. Il eu résulte que les arcs parcourus par le nœud N pendant les intervalles T siiccessifs seront tous égaux entre eux, et auront pour valeur commune

Ikcpielle est d'autant moindre, que la constante ^ sera un plus grand nombre.

Quant à la valeur de ^ , si l'on néglige le carré de 0 dans 1 équation (:i)y et qu*op suppose ^x=o quand Y = 0, on aura

ce qui achèvera de déterminer la position du mobile à un instant quelconque.

45a ^ Quel que soit l'aiigle a, supposons actuellement que Tangle â demeure à peu près constant., et par conséquent très peu différent de «t ^ pendant toute la durée du mouvement. Faisons donc

ô sa flt — w, . ^ =; — du\

et considérons u comme ^me variable très ]!>etife. En neigeant les puissances de u supérieares au carré, on aura

sîn*9 = sîn*a — uwxicl + i^cosact, cos fl — cos a = 2£ sin çt — \ u^ cosee ;

el a ce degré d'aq>pr6xinuilioh , l'équation (y) donne

^où.l'ota tire

|/att sm « — If* (eoêm 4- 46}*

En* iot^prant ^t tolweiTaut que 11 s= o 4iiiuid isa^Of il irient

etv par conséqaQBt^

Pour '^que h variaUe jv soil loajjrars très petite , ôoïnitfe je Tai sqjqposë, il fradra que la qoaiitit^ € smt ti^ grande;. ce qiii èkigç, eft gëilériil^''qii'oà dt imprimé aa mobile une très' grande yitesse de rotation antour de son axe de figure. On pourra ^alors piettre 4^' à la place de cos a -f- /^€^, et Ton aura^

plos simplement'.,

u = -L sîn a sin* 5/ 1/ -.

2C* Va

jSn mettant «t-f-^K au lieu*de 6 dans reqnation*(8), négligeant le carré de « , et supposant que Tangh}^ ne soit pas nul , ce qui permet de supprimer le fao«> teur sin* ct^ commun aux deux membres, nom au-:* rons

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 177

d'où l'on tire

En vertu de Téquatlon (2), on aura, en même

temps ,

^ = /i^ -f- -^ ces CL,

en supposant l& angles ^ et 4 ^^ ^ Forigine du mouvement ; et la position du mobile , à un iostant quelconque , sera complètement déterminée.

On eondut de ^ = a -^ u , etde cette valeur de 4 y I*. que qioand le mobile ^e nous consi^ dmm a reçu une très 'grande vitesse de rotation autour 4e son axe de figure , après que cette droite a été écartée ^e la direction verticale , son équa«teur conserve une inclinaison à peu près constante^ sur le plan horizontal passant par lé point 0, pendant toute la durée, du mouvement qui en résulte; 2*. qu'en même temps l'intersection de ces deux plans prend un mouvement à très peu près uniforme^ très lent par rapport à la rotation du mobile , et qui est direct ou rétrograde , comme on l'a déjà dit ( n* 4^0 ) , selon que le centre de gravité du corps est au-dessus ou au-dessous du plan horizontal. Pourvu que l'angle et ne soit pas zéro , l'angle 4 ^^ 1^ mouvement du nœud sont in-* dépendans de sa grandeur. L'inégalité u de ririclinaison de l'équateur, et celle qui a lieu dans le mouvement du nœud, sont d'autant moins sensibles, que la rotation est plus rapide, et la quantité ë un plus grand nombre.

178 TRAITÉ D£ MÉGAIflQUE. '

II existe f dans beaucoup de cabinets d^ physique , une machine de Bohnenberger , qui représente fidèlement toutes les circonstances de ce mouvement de rotation, de même que la machine d'Âthood montre aux yeux toutes les circonstances du mouveulent des corps graves. Le mouvement de rotation est produit au moyen d'un fil enroulé sur l'ëqnateur du mobile, et attaché i l'un de ses points, que Ton déroule rapidement, comme dans le jeu de la toupiCé

On remarquera que quand a est zéro , 0 Test aussi ; ce qui rend l'équation (8) identique , et l'angle 4 î^ déterminé 3 l'angle ^ — 4^ ^g^ ^ ^ » représente alors le mouvement du corps autour de son axe de ^gure , qui demeure constamment vertical.

DTNAUIQUE, SEœNDE PARTIE. 179