CHAPITRE V

DU ■OUVEMElffT DTN CORPS SOLIDE ENIURElIEirr

UBEE.

453. Pour se représenter avec plus de facilité le mouvement d un corps solide dans Fespace, on y substitue deux autres mouvemens, l'un de rotation, autour d*nn des points du mobile, et lautre de translation, commun à tous ses points. Cela revient évidemment à regarder , à un instant quelconque , la vitesse de chaque point comme 4a résultante de deux autres vitesses, dont l'une soit égale et parallèle à celle du point que l'oi^ prend pour centre du mouvement de rotation, et dont l'autre soit particulière «à chaque point du mobile : en ayant seulement égard aux vitesses particulières, le corps tourne autour du centre, comme autour d'un point fixe ; et , en vertu de la vitesse commune, tous ses points sont transportés dans l'espace , d'un mouvement commun qui n'altère en aucune manière Is mouvement de rotation.

Le mouvement de translation peut être révolu tif autour d'un autre corps en repos ou lui-même en mouvement. H n'y a pas de rotation toutes les fois qu'une face ou une section déterminée du mobile reste constamment parallèle à elle-même; il y a, au contraire, rotation dans le même temps que la révolution, lo)*sque le mobile tourne constamment la

iBo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

même face vers le corps central. C'est ce second cas qui a lieu dans lè mouvement dès satellites autour de leurs planètes. La lune tourne toujours la même face vers la terre ; et le rayon vecteur qui va du centre de la terre au centre de la lune , rencontre toujours en un même point la surface du satellite (n"^ i40» d'où il résulte que la rotation de la lune sur ellemême et sa révolution autour tle la terre y's'acbèvent danis un même temps, lequel est 27^,52166. On démontre , dans là Mécardque céleste, que Fégalilé de ces deux mouvemens subsistera toujours, quoique le mouvement révolutif s'accélère de siècle en siècle (n* 2144) ' ^° sorte que le mouvement de rotation participe également à bette accélération, dont Laplace a assigné la cause.

Tant V)u'on aura seulement pour but de décomposer le mouvement d'un corps en deiflc mouvemens plus simples et plas faciles à 'concevoir, on pourra choisir arbitrairement le centre du mouvement de rotation; mais lorsqu'il s'agira de déterminer effectivement ces deux mouvemens, nous prendrons pour ce point le centre de gravité du mobile , parce qu'alors , dans le premier instant , ces deux mouvemens se détermineront indépendamment l'un de l'autre, et qu'il en sera de même , dans plusieurs cas, pendant toute leur durée : le choix de ce centre de rotation rendra toujours plus simples les équations différentielles des deux mouvemens , ainsi qu'on va le voir.

434* Appelons G le centre de gravité du mobile , . M sa masse , et dm un élément quelconque de M. Au

boat du temps t , compté depuis rorigiue 4u mouvemeot, d&îgooDs par ar,/-, z, les trois coordoonées rectahgulaires de ce point matériel , et par ar, ,^, , 2, ^ celles du point G par rapport aux mêmes axes. Nous aurons

Ma:,=fxdm, Mjr^=:/ydin, Mz,=:fzdm,

en étendant les int^rales à la masse entière. Si rôo différentie ces équations par rapport à ^ , on pouml effectuer cette opération sous les signes y. On aura , de cette manière ,

etf pour en conclure les composantes de la vitesse initiale du centre de gravité, il suffira de connaître les valeurs de ces dernières intégrales à l'origine^ du mouvement» * .

Pour cela , supposons qu'à cette époque des parties /t, ;t% fi!', etc. , de M , reçoivent des vitesses qui soient les mêmes pour tous les points de chacune d'elles , et que nous représenterons par f^, /, ^, etc. ; en sorte quelles prendraient les quantités de mouvement /lify ftV, A^V\ etc., si elles étaient libres. D'après le principe du n"" 555, l'équilibre doit exister entre ces quan*tités de mouvement, prises en sens contraire de leurs directions, et .celles que prendront, réellement , dans le premier moment , tous les points du mobile , lesquelles seront, parallèlement aux axes or, j^, z , les valeurs initiales de ^dm, S" ^ ' 7t^"^^ relativement

i6% T&AITÉ DE MÉGANIQUE,

à Télemeût iim. Or, les directions des vitesses i/, /, ^, etc. f étant données , on pourra décomposer , parallèlement à ces axes, les quantités de mouyement qui leur correspondent. Si donc on désigne par P, Q, R, les sommes de ces composantes , suivant les directions des oc, j^, z, positives , et si l'on observe que y par hypothèse, le mouvement est entièrement libre, il faudra qu'on ait, pour l'équilibre dcmt il s'agit,

pour la valeur particulière ^x=:o. Les équations (i) deviendront donc

à l'origine du mdhvement ; et l'on en conclut que la vitesse initiale du centre de gravité sera la même , en grandeur et en direction , que si la masse entière M du mobile y était concentrée, et que toutes les quantités de mouvement ^ti^, /leV, /lcV^ etc., ou leurs composantes?, Q, R, y fussent appliquées parallèlement à leurs directions respectives.

455. On peut supposer que /jl, //, fji!\ etc., sont les masses de corps animés des vitesses p, p', i/', etc., qui sont venus frapper simultanément un autre corps en repos , et y sont restés attachés , pour former une masse totale M, dont le centre de gravité G a pris la vitesse qui a pour ses trois composantes les valeurs de

^, -^' , -^, données par les équations (2).

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. i83

Le problème serait différent si les corps choquans ne restaient pas attachés au corps choqué après les percussions. G>ncey(ms qu'une masse M en repos soit frappée par un autre corps en mouvement, qui touche M eo un seul point £ (fîg. lo) de sa. surface ; suppo* sons, de plus, que pendant la durée du choc il n'y ait pas de glissement de l'un des corps sur l'autre , ou du moins, s'il y en a un d'une très petite étendue, faisons abstraction du frottement considérable auquel il pourrait donner lieu (n* 353); supposons , enfin, que ËF soit la normale en £ à la surfaire de M, et comprise dans l'ftitérieur du corps. On verra, dans un autre chapitre , que le mouvement de M sera le même que si une certaine partie fc de la masse , dont le centre de gravité serait situé sur £F, recevait , suivant cette direction , une certaine vitesse (^, commune a tous ses points. La droite EF est donc la direction du choc; et son intensité, c'est-à-dire , la quantité de mouvement /Lti', sera déterminée, dans ce chapitre, d'après le mouvement du corps choquant et la forme des deux corps, élastiques ou non élastiques.

Cela étant, si Ton appelle Y la vitesse que prendra le centre de gravité G de M , elle sera dirigée suivant la droite GD , parallèle à EF , et elle aura pour va<* leur le rapport de ft(^ à M , de sorte que l'on aura

Réciproquement, si la vitesse V du centre de gravité est donnée par l'observation , en la multipliant par M, on aura la quantité de mouvement qui a été im-primée au corps choqué, suivant la partie intérieunei;

i84 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

de la normale à la sar^sice, menée par le point E où le choc a en Heu ; propriété qni appartienf exdoaiyement au centre de gravité G , et qui n'aurait pas lien , en général , poilr la vitesse que prend le pont E, ou tout attire point de M , situé ou non sur la direction du choc.

456. Afin que Ton voie plus clairement comment le mouvement de rotation d'un corps se trouve simplifié/ quand on le rapporte à son centre de gravit^ supposons d'abord que l'on veuille déterminer . ce mouvement autour d'un point déterminé C (fig. ii) de ce corps, que nous ferons ensuite coïncider avec son centre de gravité G.

Soient CA, en grandeur et en direction , la vitesse du point C, et BD celle d'un autre point quelconque B du mobile. Par le point B , tirons une droite BE égale et parallèle à CA, et achevons le parallâogramme BEDF. On pourra remplacer la vitesse BD par ses deux composantes BE et BF ; et si Ton décompose de même les vitesses de tous les points du mobile, ils auront tous une vitesse commune, égale et parallèle à CA , et chacun d'eux aura, en outre, une vitesse particulière. Or, si l'on imprime au point B et à tous les autres points du corps, une vitesse égale, parallèle et contraire à CA , on réduira le point C au repos, sans altérer le mouvement de rotation autour de ce point , qui sera dû aux vitesses particulières des autres points , savoir, BF pour le point B. Pour déterminer ce mouvement, on pourra donc considérer C comme un point fixe, après avoir imprimé à tous les élémens du corps , des quantités de mouvement

DYNAMIQUE., SECONDE PARTIE. l85

égales aux produits de leurs masses et de la vitesse CA y et dirigées eu sens contraire de CA. Or, la résultante de toutes ces forces parallèles et proportion-* nelles aux niasses , sera égale à leur somme, et passera par le centre de gravité G, comme la résultante des forces qui proviennent de k pesanteur; par conséquent , si l'on désigne par U la vite^e CA V et toujours par M la masse du mobile , il suffira de joindre aux quantités de mouvement données, qui peuvent être imprimées simultanément à différentes parties de Af , une autre quantité de mouvement MU , dirigée suivant la droite GA', parallèle et contraire à CA. On déterminera ensuite le mouvement de rotation autour du point C , par les règles du chapitre précédent , et comme si C était un point fixe.

Cette détermination exigera donc que l'on connaisse là vitesse U. du point C ; mais lorsque ce point sera le centre de gravité G , il est évident qu'a(Mres avoir appliqué au mobile la quantité de mouvement MU, dont la direction passera par ce point G, on en pourra faire abstraction; car une force quelconque , passant par le centre d'un moQrvement de rotation , ne peut influer en aucune ndanière sur ce mouvement, puisqu'elle ne saurait faire tourner le corps autour de ce point, plutôt dans un sens que dans le sens opposé.

Concluons donc que quand on imprime simultané*ment des quantités de mouvement données, en grandeur et en direction , à différentes parties d'un corps solide , le mobile commence à tourner autour de son

i8fr TRAITÉ DE MECANIQUE,

centre de gravité , comme autour d'un point fixe , et sans qu'on soit obligé d'ajouter aucune autre quantité de mouvement à celles qui sont données.

457. En combinant ce théorème avec ce qui précède 9 on déterminera complètement le mouvement initial d'un corps solide de forme quelconque , de quelque manière qu'il soit produit.

Pour fixer les idées, supposons que le mobile dont le centre de gravité est G (fig. 10), et dont la masse est M, soit frappé en un point E de sa surface par un autre corps qui s'en détache après le choc. En prenai^t pour son mouvement de translation celui du point G, et ayant seulement égard à ce mouvementi tous les points du mobile décriront /dans le premier instant, des droites parallèles à la normale EF ; on pourra toujours, comme on l'a dit tout à l'heure , déterminer leur vitesse commune, qui sera la vitesse complète du point G; mais, pour plus de simplicité, je la supposerai donnée par l'observation, et je la représenterai par V. Indépendamment de ce mouvement de translation, le coi^s tournera autour du point G comme s'il était fixe , et qu'une partie de la masse M , dont le centre de gravité serait sur la droite EF, reçut une quantité de mouvement équivalente à MV. Par conséquent , dans le premier moment, la direction de Taxe instantané de rotation et la vitesse angulaire du mobile autour de cet axe, se détermineront d'après les équations (/) du n"" 4^^^ ^^^^ lesquelles on fera

k = MV/j

/* étant la perpendicolaire GL, abaîssëe du point G snr la droite EF.

Appelons , pour cela , <ù cette vitesse angulaire , et a^Q^ y^ les angles que fait k direction de l'axe instantané avec les trois axes principaux du mobile qui se coupent an point G ; soit aussi HEK la section da mobile qui renferme le point G et la droite EF; par le ^^nt G^ élevons sur ce plan une perpendiculaire^ et représentons par a^ h^ c^\e& angles qu'elle fera avec 1«5 axes auxquels repondent et, C, 9/: d'après les équations (/) et les formules (3) du n"" 4^5 , nous aurons

Ââ»oosa=A:cosa, Bû;cosf = A'cos^, Câ^cos;<=A:cosc;

Â, By C, étant les trois momens d'inertie du mobile par rapport aux mêmes axes. On en déduit

^ k" cos* a , k^ cos* b , k^ cos* c

Les valeurs de a, h^ c, seront données dans chaque cas ; on connaîtra donc la vitesse ein ; et les équations précédentes détermineront les angles a, ^, >, c'està-dire^ la direction de l'axe instantané.

Si la perpendiculaire à la section HEK coïncide avec l'un des trois axes principaux , de sorte qu'on, ait, par exemple, a = 90% 6 = 90% c = o, il en résultera « = 90% 6 = 90®, c = o , et l'axe instantané coïncidera aussi avec le même axe principal; d'oii il suit qu'un corps libre , qui est frappé dans le plan de deux des trois axes principaux relatifs -à son centre de gravité, commencera à tourner autour du

i88 TKAiTÊ D£ MÉCANIQUE.

troisième axe. £a mettant pour k m valeur^ celle de la vitesse initiale de rotation sera , dans ce Cas ,

Réciproquement^ il est aisé de conclure des équations précédentes que le mobile ne peut commeocer a tourner autour de la perpendiculaire au piau^ A la section HEK , de manière que cL^S,.y, soient égaux aux angles €Z^ 6^ c, ou à leurs supplémens, à moins que cette perpendiculaire ne soit un des axes principaux qui se coupent au point G.

Lorsque le mobile sera une sphère homogène on composée de couches concentriques , la perpendiculaire EF passera par le point G , qui sera son oentre de figure. On aura donc y*==o,A: = o.| A»=:o;en sorte que le mobile ne prendra aucun mouvement de rotation. Quand on parvient , par une percussion, à faire tourner sur elle-même une sphère entièrement libre, c'est toujours parce que le corps choquant glisse plus ou moins sur cette sphère , et le mouvement de rotation est alors produit par le frottement qui a lieu pendant la durée du choc.

Quelle que soit la forme du corps choqué, si le corps choquant s'y attache , les formules précédentes auront encore lieu, en y mettant la quantité de mouvement du second corps avant le choc, à la place de MV , et prenant pour / la perpendiculaire abaissée du centre de gravité des deux masses, sur la direction primitive du centre de gravité du second corps : A, B, C, seront alors les momens

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 189

d'inertie principaux du corps formé des deux masses

réunies.

438. Occupons-nous maintenant du mouvement de la miasse M au bout d'un temps quelconque t, et Doasidér<ms successiTement ses mouvemens de translation et de rotation , rapporta lun et l'autre à son centre de gravité.

i\ A cet instant , soient X , Y ^ Z , les componnles parallèles anx axes des or, jr, 2/ de la force aooélératrice donnée qui agit sur' l'élément quelconque dm; les forces .perdues par ce point matorid , pendant l'instant dt , seront ( n* Sgi )

(x-p)^. (ï-^)<fa, (?-^>,

paràll&ment aux mêmes axes. Le mobile étant eutièrement libre , il faudra pour l'équilibre iles forces perdues par tous se& élémens ^ que les intégrales de ces quantités, étendues à la masse entière, soieat éfjÊles à xéro ; par conséquent , on aura

Mais en différentiant de nouveau les équations (i), on a

il en résultera donc

192 TRAITÉ DE BiÉCANIQUE.

autre côté , je poids du corps étant une force appliquée constamment à son centre de gravité > il n aura aucune influence sur le mouvement de rotation autour de ce point , qui sera^ uniquement dû aux percussions initiales , et le même que si le centre de gravité ne se déplaçait pas.

Supposons 9 par exemple , que le corps soit un ellipsoïde liomogène, frappé par un autre corps qui le touche au point E de sa sur&ce (fîg. lo) ; la droite 6D, parallèle à la normale EF, sera la tangente à la parabole que le point' G va décrire; et Ton conisftruira aisément cette courbe , d'après la vilesse initiale. du point G , que je représenterai par Y. Concevons , de plus p que la section HEK du point G et de la droite £F comprenne deux des axes de figure de l'ellipsoïde ; a et b étant leurs- demi-longueurs, C le moment d'inertie par rapport au troisième axe , et M la masse du corps , on aura (n^ 370)

Or, le mobile devra tourner autour du point G , comme s'il était dénué de pesanteur, et que ce point ne prit aucun mouvement ; mais alors l'axe perpendiculaire à la section HEK demeurerait tout entier immobile (n*** 389 et 4^7) f ^t sa vitesse angulaire de rotation serait donnée par la formule relative an mouvement initial d'un corps solide autour d'un axe fixe. Donc , en la désignant par cû ^ observant que la quantité de mouvement imprimée au mobile est équivalente a MV , et appelant f la perpendiculaire GL abaissée du point G sur la droite EF, nous aurons ^

DYNAMIQUE , SECONDE PAKTIB. ig3

d'après. la formule (i) du n* 586,

ou bien , en mettant pour C sa valeur ,

Les deux vitesses o et Y sont ainsi liées Tune à l'autre, parce quelles résultent toutes deux d'une même percussion.

Ainsi 9 tous les points du mobile décriront des parabdles parallèles à la trajectoire de son centre de figure; et, en même temps, le corps tournera uniformément autour de l'axe perpendiculaire à la section HEK I qui sera emporté en restant constamment parallèle a lui-même.

44o- Si le mobile est une sphère homogène ou composée de couches concentriques^ dont tous les points soient attires' ou repoussés en raison inverse du carré des distances , par les points d'autres corps en repos ou en mouvement , la résultante de toutes ces forces sera la même que si la masse entière du mobile était réunie à son centre de gravité ; car chacune d'elles sera égale et contraire à la réaction de la sphère sur le centre dont elle émane. Par conséquent, le centre de gravite se mouvra comme un point isolé , soumis à des attractions ou répulsions données; et le mouvement de rotation du mobile sera indépendant de ces forces , et le même que si le centre de gravité demeurait en repos ; en sorte que ,

194 ' TRAITÉ DE MÉCAIÎK;^

dans ce cas, lès deux mouvemens.de trandatidn et de rotatioii seront encùré indëpendans Vvn de Fautre. AbstractioQ fiiite de Ik non-sphéridltf parfiute des couches de U terre , elle toumerait. donc fionstamment et uniformément autour d'un de ses dUumètrêSy qui serait toujours le même et demeurerait toujours parallèle k lui-même; en même temps le mouvement e]]Q»tiq99.'sde «oniceplK de gravité autour du aoleQ ]'m^ fmi^. m. V^càfm des antres plaiiàtes,: mais rigouteusement indépendant du mouvement de raîi*

: :. 44&« m n'en mt jphis de.niime iMhqu'pq «-^po^à

~Ki9^ti«eaifont du sphëraide. femsire. I^abovd^: si

l'l0ce;de ArtatiHoft n'a pi^ coïncidé ewctemeqt^ àT^Ni-

ginftivsKmeQien î^Toerasedefigure/raiceite-

tantanë de rotation oscillera autour dfi oeflto diuke

O^v 4ia»:>ir.^ ïjMiqontrefa successivement, Ja tem.èn

, diÇéi^ns.ppints jie sa sutface. Les p61es et l'éqùateur

^^^piêceTfàient àopc a la surfiuse du. globe; et il

^, réBulteiait , pour les . différens lieux de la terre ,

. des jchfpgemeos dans lieurs latitudes géographiques.

. li'aaiplitude de ces oscillations serait arbitraire; nuis

J^iur. durée. dépendait des différences entre les mo-

,.piens ^V^rtîe de la terre; et, d'après ce qu'on sait

sm qes différences , çettq durée serait d*Un peu.uKnns

d'uiie année. Or, dans cet intervalle de temps , les

o|»ervations les plus précises ne font connaître au*

, ,cùne variation dans la distance du zénith d'ua lieu

. déterminé de la terre au point où Taxe de rotation

va. rencontrer )e deL II en &ut donc conclure que les

oscillations dont il s'agit , si elles ont existé autre-

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. igS

fois y sont devenues .tout -à -fait insensibles à Tëpoque actuelle; en sorte qu'il n^existe plus maintenant que les forces permanentes , provenant des attractions au soleil , de la lune et des planètes sur le sphëroide terrestre ^ qui puissent faire varier la direction de Taxe de rotation de la terre.

, Pr, à raison de la non-sphëricité des couches de la terre, ces forées renferment une partie, à la vérité très.ppt^te par rapport, aux attractions sur le sphéroïde jçntier , dont la direction ne passe pas constamment par spn centre de gravité. C'est cette partie qui produit les petrturhations du mouvement de rotation , ssLVcir^J^précessiQn des équinoxes et la nutation de ra:|[:et/de la terre.

, {a y^erfu de, la préc|ÇSsion , la rétrogradation annfiçlle des équinoxes sur Técliptique fixe de 1 800 est de ^'^^3648:2 ; sur le plan dç l'orbite de la terre, xeif^ Jlif>h^^ par l'action des autres planètes , c'esfà-dîre,^f uf T^cliptique yraie^ ellje est un peu moindre, et ^[ale à,^o'',^34?7> comme nous l'avons, déjà dit daii$. on .^utre endroit (n* 219).

La nutation est une oscillation de l'axe de la terre , qui s'approche et s'éloigne alternativement de la perpeadjcu|aire au plan de l'écliptique : elle çst due à Tf^ttr^çtion) de la lune ; sa période est celle du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire , ou d'environ

18 ans; et son amplitude s'élève à c}\^o (n* aaS), en supposant la masse de la lune égale à un soixantejiijîçzièmc de celle de la terre. - \^ lies actions du. soleil et de la lune sur le sphéroïde

terrestre ne produisent qu une variation très lente et

'tg6 TRAITÉ DE liÉCAKIQUE.

qui ne sera sensible qu'après une longue initë de jrijbeles^ dans Tindinaison de Tëquateor sur Fécliptîqiie; la diminution aonndle de robliquîtë d^réd^ptique ,

que Ton observe et qui fl!'éleYait.à.o"94^'4 ^^ commencement du siècle, est due aux actibns planétaires qui font varier le plan.dc l'orbite de la terre (n^ a44)*

Un examen approfondi de la question a fiât voir que les mêmes forces^qui produisent lés variations que nous venona d'indiqnercbuis l'a direfctioii abscrfue, oq rapportée à des lignes fixés, de Taxe de lOtatiaMe la terlne, sont impuissantes pour déplacer oet axe^* dans llntérieur du spbéroide, nonjdns que pour- fiore varier sa vitesse de rotation. Ainsi, la terre toitfne constamment autour d'un même diamètre, qtai est soin axe de figure; et son mouvement est nnîfanue autour de cette droite mobile, dont' la divectitan change continuellement dans l'espace. Le jonraidâràl est donc constant ; il en résulte que le jour mo/en (n** m) l'est aussi, on, du moins, il n'est soumis qu'à une variation séculaire tout-à-fiût insensible ; et l'une ou l'autre de ces durées peuvent être prises pour unité de temps.

Pour tout ce qui concerne cette importante théO' rie , dont je n'ai pu ' ici qu'indiquer succinctement les principaux résultats , je renverrai k mon Mémoire sut le ihouswnent de la terre autotur de son cmtrede grai^itéf inséré dans le tome VII des Mémoires de T Académie des Sciences.

44^* L'invariabilité du jour est confirmée par les observations les plus anciennes, qui font voir' que sa durée n'a pas changé d'un centième de ^eçoddè.

par exemple, depuis 25oo ans, ainsi que nous allons l'expliquer.

Si la durée du jour était variable , les longitudes et les latitudes du soleil , de la lune et des autres corps célestes , calculées en la supposant constapte ^ ne s'accorderaient plus avec les longitudes et les latitudes observées ; le mouvement de la lune autour de la terre , à cause de sa rapidité , serait le plus propre à nous éclairer sur ce point; et si la variation du jour était progressive^ les différencies entre le calcul et l'observation seraient d'autant plus grandes qu'elles se rapporteraient à des époques plus éloignées de la nôtre.

Cela étant , soient l et l' les longitudes vraies de la lune et du soleil à une époque déterminée. Si l'on sait qu'à cette époque il y a eu une éclipse de lune ou de soleil, la différence / — l' devra s'écarter d'un multiple de 180", d'une quantité moindre que la demi-somme des diamètres du soleil et de la lune ; si donc on appelle J^ cette différence , abstraction faite du multiple de 180^ qu'elle peut contenir, il faudra que J" n'excède pas un demi-degré , et soit même, en général, beaucoup au-dessous de celte limite. Or, on a calculé, dans la Comiaissance des Tems de 1 800, les valeurs de S" qui répondeut à n'j éclipses observées par les Chaldéens , les Grecs et les Arabes ; les valeurs qu'on a trouvées pour cette différence sont tantôt en plus, tantôt en moins, et toutes très petites. La plus grande , qui répond à une éclipse observée 382 ans avant l'ère chrétienne, s'élève à — 27^4 1 "> pour l'éclipsé la plus ancienue, observée par les Chaldéens 720 an^

igS fikVtÈ HÉ I^Akkc^.

âyaiàt ^otte ère, -la Valenir dé J" est 2i''8ètalçiii6pt.,Cette comparaison proQTe Texactitade des tablés làniuMs qhe'ttoiiis îK)i5séd6ks, et la nécéasîti dés îfa^alités séculaires que Lâiplacé y a introduites:' Elle fait aûsâ TOirqtiq l'a dnree du jbà^, qa*6û à râj[lpoii^ éétasHinlfe dans le calcoT des longitudes' dé la lèîiej éif àû sôlëil; n'esï ; en effiet'^ sujette à' atiCutie variatibA' p^ji^jcé»^ si?e. Mais pour qp'il ne rèstiè atibdii dbfrte attiroè point important t calculons là' rdSem àe^, c6tttspondante Ji/l'éclipse la plus ancienne V qui r&nlt^rt!t d'une semblable variation , si elle ex!iist ait.

44^. Prenons pour unité rîntierville de tëtnp^ qui

^oinne aujourd'hui le jour moyen; supposons <pâè,

depuiii une époque très éloignée^ cette dûWSè ait

ffinkinué, d'un jtfur au smvané , de 'la ^na^Vte ooinh

tante '«• Soît n le mojen mouvéïjiént cté là limé,

c'est-à-dire; le nônibre de degfes qu^élle déèrif dalb

chaque unité de temps , abstraction faite des inl^-

lites de son mouvement vrai; les arûs parcourus

aujourd'hui et les jours précédéns seront h, /tCi-f-ft),

n(ï-i-2i), ii(i-(-5flt), etc.; et Tare décrit pendant

un très grand nombre t de jours^ sera nt'+'{àni(t'^i),

ou, à très peu prèâ, nt + ^ant^. Le terme M est

déjà compris dans la valeur dé l, calculée dVprès

les tables , en considérant le jour comme constant ;

là variation du jour augmenterait donc de ^ttrii^, la

longitude vraie de la lune , à une époque séparée

de nous par un nombre t de jours. Celle du soleil ,

a la même époque , serait augmentée de | dnfi^, en

appelant n' le. moyen mouvement diumç du soleil ;

a raison seulement de la variation du jour, on aurait

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. ig^

donc à cette époque

et , pw rapport à rëcltpse observée 730 ans avant notre ère , ce serait toute la valeur de la différence des* longitudes de la lune et du soleil » puisque cette différence , calculée en supposant le jour constant , n'est que de 2" , ou à peu près nuljie.

$oit I le nombre de siècles contenus dans le nombre i deJQura; on aura

Soient aussi

e = {X525)a, m = (56525)n, m' = (56525) n' : Véquation (r) se changera en celle-ci :

dans laquelle C sera maintenant la diminution sécufaire du jour , et m et mf représenteront les mouvemens séculaires de la lune et du soleil. D'âpres leurs valeurs déterminées au moyen des observjatîons mo-> dernes, on a

jii — m' = 445a68%

en néglig^t les fractions de degrés. Or, si Ton suppose que le jour a diminué d'un cQx-millionième depuis la plus ancienne éclipse caloéenne , on aura

Ci =s 0,0000001 , i 5=s a5;5a ;

aoo . TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

et il en résultera

vtlear qui rendrait impossible l'éclipsé observée.

On ne peut, donc pas admettre que la durée du jour ait diminué de cette fraction , un peu rooin'dre qu'un centîèmede seconde, dans un interyalle de temps qui surpasse vingt-c^nq siècles. S'il existait des variations périodiques dans la durée du jour, il en résulterait des illusions dans la mesure du temps , qui produiraient des inégalités apparentes dans les mouvemens des astres. Ces inégalités seraient fisiciles à distinguer, parce qu'elles suivraient toutes la même loi p pour la lune , le soleil et les planètes , et que leurs grandeurs seraient proportionnelles , pour chacun de ces corps, à la rapidité de son mouvement

Les astronomes n'ont reconnu aucune inégalité de cette nature* dans le^ mouvemens des corps célestes. Ainsi l'observation , d'accord avec la théorie , prouve que la durée du jour moyen n'est sujette à aucune variation , périodique ou progressive, qui ait une grandeur sentie.

444* Hevenons actuellement à l'objet spécial de ce chapitre.

Lorsqu'un corps solide se meut dans l'air ou dans un autre fluide, les résistances exercées sur tous les points de sa surface doivent être transportées parailèlement à elles-mêmes , avec le poids du corps , à son centre de gravité ; et le mouvement de ce centre est celui d'un point matériel pesant, dans un milieu résistant; la masse de ce point étant celle du corps,

et sa force motrice , provenant de la résistance , une force dont les composantes dépendront de la forme da mobile, des vitesses des différens élémens de sa snrfiice , et dés condeisatimis ou dilatations du fluide en contact avec ces élémèns. En même temps le mdbile tournera autour de son centre de gravite, comme si la vitesse de ce^ppint était nulle, et que les vitesses des points de la surface fussent, néamnoins, celles qui ont réellement lieu à cba-* que instant. Il en résulte que la résistance du milieu influera , à la fois , sur le mouvement de translation et sur le mouvement de rotation du mobile, et que, pour un corps de forme quelconque , ces deux mouvemens dépendront l'un de Tautre et ne pourront pas être déterminés séparément.

Si le mobile est une sphère homogène ou composée de couches concentriques , à laquelle On n'ait imprimé aucune vitesse de rotation à l'origine du mouvement, il ne s'en produira aucune pendant toute la durée de ce mouvement, qui sera un simple mouvement de translation, dans lequel tous les points du mobile auront à chaque instant des vitesses parallèles et égales entre elles. En effet , si l'on mène alors par le centre de la sphère , une tangente à la courbe qu'il décrit, il est évident que tout sera semblable autour de cette droite , soit pour les vitesses des points de la surface , soit pour les condensations ou dilatations du fluide environnant. Par conséquent, la résultante des résistances exercées sur tous les points de ta surface , passera constamment par le centre de flgure>

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d^QdiYsqiie 4f q^ xi^9iW!f à» V^epAfM *l 1^ fiurfiiçeji et 4fi:h ^rce ela^ipje natnidlfQ 4^ flùÂM; et le iffiQnyemeii^t à^^^mjSfieip graxitë «ora, çdhl^ d*09 pqii^tm»térieJli^fi,^4^^ p|à^4^ççiqpR,

«|b av^iel çn 4yq^U^ la ri^tw*»^ d<wit .il 8*a|pit» OftPtiii^Bea^Mt 4irigfe ei> sf os ÇfiQtrav^ 4*^ «ft i|î* tesse, et, en oupre^ le poids du tDoUle. Ç^cf que nous ayons snjipçiifé dans If p"^ af9 » à l^prd des projectiles de Tartillçrief spikpQçi^ pÂr^tequ^t sphériques et homogènes.

Dans œ c^, le centre dVn boulet ne peqt pus for-* tir du plan vertical passant par. la direction de sa y itesse ipitiale , et par rapport ^uqnel tput est semblable à\kix côté et de l'autre. Mais si le prqjectile s'écarte un peu de la forme sphériqup , on s'iL n'a pi|s U même densité dans toute son étendue , la tipùr tante des résistances extérieures^ qui sont npr|wilçs k sa surface» ne passera plus constamment par le centlp de gravité; elle produira donc un mouvemant d^ i|Oh tation ; et si elle n'est pas toujours comprise dans la plan vertical oii le centre de gravité comii^ence k ffi mouvoir» dile le fera sortir de ce plan ; en sorte que

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. noS

la ' trajectoire du projectile ^ rapportée* à ton centre de gravité, ne sera pïufif une conii>e pland.Tontcela est facile à concevoir, k Fégard d'un projectile nonsphérî<}Qe on non homogène; mais j'ajouterai que , abstraction faite du (ïisfaut d'homogénéité où de sphéricité , si le boulet a reçu , à là bduche du canon > une vitesse de rotation>, le frottement de sa surfeoe contre l'air, pendant son ùiouyemént, pourra encore' faire sortir d'un plan vertical son centre de gravité et de fijgurei

445- Pour le faire vOir, soient G (fig. i %) le centre de gravité et de figure d'un corps sphéri<|iie et hom<^ène, et A6B le diiamètre tangent à sa trajectmre. Suppoéèiis, pour plus de simplicité, que Taxe de ror tation qui passe par le point G > soit perpendiculaire à ce diaoMftre. Soient ADBE k section d» iliobile , per|)eiidici|)aire à cet axe, et DGE un . diaitiètre de cette sectibn , qui conpe AGB à angle droit. SuppO* sons aussi que le motivèment du point O a lien de A vers B, où dans le sens indiqué par la flècoe ^ ^ et le mouvement de rotatioti dans le sens indiqué par les flèches placées en A^ D, B, Ë. Le frotteibent de # chaque élément de la surface contre l'air, qui nal*» tra du mouvement de rotation ^ sera une fbrce tangente à la surface^ et dirigée eh sens contraire de ce mouvement. Sur chaque section parallèle à ADBE, il variera d'un point à un autre » à raison de la dî^ férence de densité du fluide. En avant du projectile, le fluide sera condensé; en arrière, il sera dilaté ; par conséquent , le frottement sera le plus grand du côté du point B, et le plus petit du cèté du point

m4 traité oe mécanique. . '

A* On oondiift de là ^e si IW trwiapdrte an point 6/pnrtIlMetioent k ëHes-mènet, tontes les forces pratetie^it du frottement etereé à là snrfiitee'y il en réialteni' une force dirigée saivant la partie GD du diamèire DGE. J'appellerai F cette force, P le poids 'do corps, ètR la .résistance proprement dite du milieo y transportée ta pointG/et £rlgée sni- Tant la partie GA* da diamètre AGB. La force motrice da point>£ sera la Tésnltante des trois forces F, P, Ifl, etea force accélératrice, cette rraoltante di«- Tiséè .par la ma|»e du projectile.

Gda posé^ si Taxe de rotation est vertical, et compris, par conséquent, dans le plan des dèÎDX forces P et il, ladiracfien GD de la force.F sera perpendicolaire à/de pUm; elle-fora donc sortir le mobile de ce plan vertical^ en- le poossantdn c6té dn point IX; et , dam oe cas, la traiectoirè dn point G sera nne combe à double courbure. Si, au contraire, l'axe de rotation est horizontal, la direction GD de la force F sera comprise^Uins le plan yertical des forces P et R , qui sera celui de la section ADBE; par conséquent^ le point G ne sortira pas, de ce plan , et sa trajectoire sera plane.

446*^îi9Xts ce dernier cas, on voit que la co^nposanté verticale de la force. F augmentera ou diminuera le poids P, selon que lia -flèche A sera dirigée vers le haut ou vers le bas.. La force F sera verticale, et cette diminution ou augmentation de poids, la plus grande,^ quand la direction ÂB sera horizontale. Ainsi, dans le tir horizontal, et en supposant que le boulet tourne autour d'un axe horizontal , perpeur

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dîculaire à la direction du tir, le frottement du projectile coDttre Tair augmentera son poids et diminuera la portée 9 lorsque la partie antérieure de ce corps tournera de bas en haut; et quand cette par^ tie tournera de haut en bas, le frottement diminuera le poids et augmentera la portée. Il pourrait même arriver, dans ce second cas, que la trajectoire devint convexe vers le terrein : il suffirait, pour cela, que la rotation fût assez rapide pour rendre la force F plus grande que le poids P ; mais alors le frottement diminuerait la Titesse de rotation, la force F décroîtrait, et finirait par devenir moindre que P; ce qui ramènerait la trajectoire à sa forme concave vers le terrein , comme a Vordinaire.

Ces considérations, jointes à celles du numéro précédent , montrent qu'indépendamment du défaut de sphéricité ou d'homogénéité du boulet, le frottement de sa surface contre Tair, provenant du mouvement de rotation qu'il peut avoir contracté en roulant dans Tàme du canon, est une circonstance qui peut influer, soit sur la justesse du tir, parce que ce frottement fait sortir le centre du boulet du plan vertical de projection, soit sur l'inégalité des portées, h cause que cette force augmente ou diminue le poids du mobile. Toutefois , on doit observer qu'aucun de ces effets n'aura lieu , si le boulet tourne autour du diamètre ÂB, dans le sens duquel il se meut; car alors le frottement est égal et contraire pour deux élémcns opposés de chaque section de la surface , perpendiculaire à Taxe

ao6 ' ilRAIT&.DE MÉCABIQDE.

de . rstatiOD j AQfh il Fé8iiit6-'^ii6*lfli fifpcw pravft- Mogitda finottcmevl . emoé Bnr toos in âéoDieiiSi Aut InoiportÉn m '€mtn''dfe'graE?itef ..&«▼ cUilnD- Mof .deux à deux f en nrle^qse le moaTcment de ee.{K>iiit:ae.8era pas. dénuoig^ pur le fhoftiwnent i<H td^li4 àriftffQliitiiMi.

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