CHAPITRE VI
BU HOUVEHENT IPVM COUPS ROUBE PESAliT SUE Wi
FLAN DQ2VNÉ.
§ I*'. Cas où Toïi ri a pas égard au frottement.
447* Pour simplifier, je supposerai que le mobile ne tonche \e phin donné qu'en un seul point, que j'appellerai K, et qui vatiera^ en général, sur sa surfilée et sur le plan. Lies for^ed perdues dans chaque instant infiniment petit devant se -faire équilibre , il faudra qu'elles-se réduisent à* une seule force> passant par le point K, normale au jilan donné", et dirigée de manière qn^elle terfde à appuyer le mobile sur ce pbn. Cette résultante sera la pression que ce plan épi^uvera , et qui sera détruite par sa résistance, que je représenterai par R.' En joignant au poids du corp6 la force R> de granijeur inconnue , on pourra faire abstraction du- plan jdoimé , et considérer le mobile comme etitièremtent libre.
Son centre de gravité, que j'appellerai G , se mouvra donc comme un point matériel isolé, dont la masse serait celle du mobile, et auquel on appliquerait, parallèlement à feurs directions, le poids de ce corps et la force R. Au bout du temps /, je repi*ésen-
,ao8 V. i TRAITÉ DE HÉfiéJ(I<{D|L.;
ferai par x. , j^ , z^ , les coordonnées dn point G^
'.rapportées- à des asces^fimes et rectangolairas^ et par X, fj^fPp les angles que la direction de la fyrce R fiJt avec des parallèles à ces axes«^ menées par le pouit K« En supposant 1 axe des z^ positives , vertical et dirigé
;tdè]MS en lianf>et en appelant g la pesanteur él M la masse du corps> nous aurons
M^* = ReosA,
, M^f =:RÇ08,»> . V (0
U-^ = Rcosr T^Mg,
p9ur les trois équations différentielles dft monve- .ment du pQint G. Si le |dan. donné est fixe, les . apgles Xy /A, Pf seront oonstans et donnés; 8^ est en mouvement » nous supposerons que oe moave- ^ ment soit connu, et ne puisse pas être modifié par celui du corps : ?i , pt, v , seront alors des • fonci tions données de t. Le mobile étant im corps pe- , fiant y il Àudray pour qu'il ne se détache pas.de ce plan , fixe ou mobile , qu il soit toujours situé audessus; eq sorte que la composante verticale Roosr . de la i^ésistance du piaiji sera constamment positive, ...et V un angle aigu : les deux autres angles donnes A et fe pourront être aigus ou obtus.
En même temps, le corps tournera autour du
point G comme autour d'un point fixe, en vertu
. des forces R et M^ , appliquées aux points K et G
( n"" 4^0 ) ; mais le poids Mg ninfluera pas sur ce
. , mouvement de rotation^ dont les équations difle-
DTVAttlQQE, SEOONDE PARTIE. aog
i^^f^Jl^K ne défendront qne de la force R. Féiir- les former^ on pretidra pdat les seconds membres des éqmaAons(a) dn n"" 4 ^ ^f ^^ niomens mvlriplî^ par dt, de la forée R, par rapport aux trots axes priocîpaux do mobile y qui se coupent au point G. En appelant ^f ^9 y 9 les coordonnées du point K rapportées k ces axes y et X% /i% v', les angles que £dt la direct tion de la force R avec les parallèles à ces mêmes axes y menées par le point K^ ces momens seront
aRcosf&' — CRcosx', yK cos A' — aR cos v^, ^cos / -^ yRcosft',
et les équations Ça) deviendront
Gir4-(B— •À)pî^f^=:R(Acos/ot'— ffGOsA')i&, ) hdq 4- (A— C) rj)dt = R(> cos A'— etcos vyU, > (a) A4?+(C — B)ç/tft = RCffcos /— >cos;t>ft; 3
A y By C, désignant les momens d'inertie qui répondent respectivement aux mêmes axes que les angles X\ fjif, /i et que les composantes p, q, r, de la vitesse Angulaire de rotation (n* 4^7).
Il y fiiudra joindre les équations (7) du n^ ^io , savoir :
^pdt c= sin ô siii çd-^^^cos fd8 , )
qdt = sin 8 cos ^d^+ sin (pd& , > (52'
rdt := d^ — cos 9^4/. ) ; •
Nous supposerons que les neuf cosinus a^ b , etc., dont les valeurs en fonctions de^, 4^ 8^ otit été
axo TRAITÉ DE MÉCANIQUE. ^
données dans le n^ 378, soat ceux dés angles que font les axes fixes des coordonnées x, ffifZ^ ,.dn point G, avec des parallèles aux axes principaux relatifs à ce point , menées par l'origine de ces coordonnées ; et , d'après la signification des angles A, /t, v^ X', fi\ /, et l'équation (2) du n* 9 , nous aurons alors
cosX' == aeosK + a'cos/jL -+• a"cosF, \ Vosft' = icosA + V cMiA + b^'cosv p C (4)
cos y' = c cos A + c' COS fJL- + ^'' cos V , )
pour les valeurs de cos X\ cos/jl', cos f', qu'on devra su1>stituer dans les équations (2).
La position du mobile à un instant quelconque, par rapport aux plans ûxes des ^1 , J^i , ^i t sera complètement déterminée au moyen de ces coordonna et des trois angles ^,, 4^ ^f précédeniment définis (a* 378) ; la position de l'axe instantané de rotation , dans l'intérieur du mobile ^ et sa vitesse autour de cet axe , dépendront , en outre , des trois quantités p , q , r: la solution du problème consistera donc à dé-* duire des neuf équations (i), {2), (3), les valeurs de ces neuf inconnues en fonctions de t; mais comme ces équations renferment la force R et les trois coordonnées a, S ,y, qui sont aussi inconnues, il faudra encore quatre autres équations, que Ton obtiendra de la manière suivante.
448* Soit L une fonction donnée de a^, € , y , et représentons par L = o , l'équation de la surface du mobile, rapportée à ses axes principaux qui* se coun pent au point G. Si nous faisons '
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. ait
v=[(ty+©>(^)-]-',
nous aurons (n"" 21)
cosA' = v|^, cos;*' = V§, cos/=vg, (5)
OÙ Ton prendra le signe de Y de manière que les angles A', yJ.y v', se rapportent à la partie intérieure de la normale à la surface du mobile^ qui sera la partie supérieure de la normale au plan donné. L'une de ces équations sera une suite des deux autres. En mettant les formules (4) à la place de cos A', pos f/, cos v', et les joignant ensuite à Féquation L = o ^ on aura déjà. trois des quatre équations demandées.
Si l'on représente par x, jr , z ^ les coordonnées courantes, du plan donnée rapportées aux mêmes axes fixes que x^^ Jr^ , z^, et en observant que A ^ fi», p f sont les angles que fait la normale à ce plan ayec ces axes , on aura , pour son équation ,
.rcosA +7'cosfc + zcosjf = Ç;
Ç étant une quantité donnée, qui sera constante^ quand le plan donné sera fixe , et , généralement , une fonction donnée de t. D'ailleurs, en supposant que x^jjZ^ répondent au boint K qui appartient à ce plan, on aura, d'après Jes formules du n"" 377,
j = j. + ^'aV *'ff+c>, f (6) z = z, + a"tt+ Vt'\- d'y.)
lies valeurs de jc, ^, z, devront donc satisfaire à
»ia nUTTÊ DE MÉCANIQUE.
réqnatioii précédente ; eu les snhititqimt dans cette équation, 4t ajant ^;wrd ans formules (4)f on aura
pour la quatrième équation qu'A s'agissait d'ob-
teoir.
Loiï;qu^ le oiolnW sera termiiié par une pointe, et qull toiM^iera constamment le plan donne jiar son extrémité, les coordonnées «^ C, >, du peint K seront constantes, et données d'après la position de cette pointe sur la sur&ce et ses distances wat plana des axes principaux du mobile , qui se coupent au point G. Mais les équations (5) n'auront plus lieu m un point de œtte nature j l'équation (7), <pu exprime que ce point appartient au |dan donné, subsirtera toujours; et il suffira de la joindra aux équations du numéro précédent, pour déterminer les neuf inconnues du problème et la grandeur de la force R que ces équations renferment,
449* Quand le plan donné sera fixe et horiaontal , on le prendra pour le plan des coordonnées x et j^; il en résultera
cosX = o, cosf&=:o, cosy = i, Ç = o;
ce qui réduira les formules (4) ^
cosX'Œia", cos/t'soi", cosi'' = c*'.
En vertu des deux premières équations (x), le mouvement horizontal du point G sera rectiligne et uniforme; sa vitesse^ parallèlement au plan donné ,
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. ai3
dépendra de la percussion horizontale que le mobile aura éprouvée à Forigine du mouvement. La troisième équation (i) donnera
ce qui fera connaître la valeur de R, quand celle de z, aura été déterminée. En même temps, les équations (a) deviendront
C;cfr4-(B-A)/>g^=M(^'H-^)(«*"-^a">/', RA74.(A-C)/7«fe==:M(^'+g)(>a''-rtc''>àA(8)
et l'équation (7) se changera en celles:! :
de laquelle on tirera la valeur de z, , pour la substituer dans les équations précédentes.
Ainsi 9 dans ce cas, le problème dépendra des équations (5) et (8), qui serviront à déterminer /? ^ Ç f ^7 9 f '^ y ^> ^^ fonctions de t, comme dans le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe. Si le p<^t K varie à la sûrSace du mobile , il Vfaudra éliminer de ces équations les quantités a , C , y, au moyen de L s= o et des formules (5) , qui seront maintenant
ai4 TRAITÉ DE HËGÂNIQUE.
Sip -au contraire , K est constamnaent le mètne point de la BQxhoé dn mobile , on mettra dans les éqpa-^ tions (8) f à la place de «^ € , y\ les coordonnées constantes et données de ce point. Ce second cas sera c^ni du mouYement de la toupie sur on plan horizontal p abstraction faite du frottement de la pointe K contre ce plan.
Dans Fétat d*équiltbre d*un corps pesant sur un plan fixe et horizontd , la <broite GK sera verticale ; si cet état est stable, et qu'après, en avoir écarté le mobile un tant soit peu-, on l'abandonne à Inîmémey.il fera des oscillations- très petites, que Ton déterminera, aussi approximativement qu'on voudra, au mojen dés équations précédentes. Jç me contente dlndiquer cet exemple, comme un exercice de calcul. On pourra supposer , pour fixer les idées et simplifier la question , que le mobile soit un ellipsoïde homogène , ou bien une sphère dont le centre de gravité ne coïncide pas avec le centre de figure.
45o. On peut obtenir deux intégrales premières des équations (8).
D'abord en les ajoutant après les avoir multipliées par d'f V'p a*' , leurs seconds membres disparaissent , et , en intégrant, on trouve , comme jgns le n"" 4^^^
Aa> + Bb"q + CcV = /; 4
l étant une constante arbitraire qui exprimera la somme des momens des quantités de mouvement de tous les points du corps ^ par rapport à un axe vertical passant par le point G.
DyNAMlQUE, SËCCO^DË PARTIE. 21 5
Pour obtenir une seconde intégrale de cesf mentes équations (8) , je les ajoute , après les avoir multipliées par r y q, p; ce qui donne
Cnir ^Bqdq + A/4i = M(^+g) [<6'V-c'!g)
oa bien, à caose des trois dernièreSk équatiotas (8) du n"4ii,
C«Zr+Bç£iî+A/jd'^=M(^4-gy«<faH^rf**H->rf'c').
En différentîant Téquation (9), par rapport k t, on a '
Or 9 le second membre de cette équation est nul^ quand K est toujours le même point de la sur£sice du mobile , puisque alors ses coordonnées cl, €, y, sont constantes. Il est encore zéro , lorsque K se déplace à cette surface^ car^ en vertu des équations (10) ^ on a ••
quantité nulle , à cause que Ton a L±=p pendant toute la durée du mouvement , et , conséquemnient^ ££L = o. On aura donc, dans ces deux cas,
ado!' + Çdb'' + ydc" = — dz,; d'où il résulte
ai6 VIU^ M
h étant la constante arbitraire.
Cet dent intdf[nlèa aaffiront pour réModre le proUèine, : lam^'U s'agira . d<an solide bqmogène tenniné par .nne snr&ce de rérolationu; ce qm a Ucfu f par.demptey dans le cas de la tbnpie. L*aze de figare est la droite 6K ; en supposant que G soit ]e.iiioinoQ|td^inertieqnirtfpo«4 AcetajiO> mama
y ^era.la longnenr de GK ; et , d après Féquatioa (9)
et V = cos 0 . on and^
z, = — ^ cosfl,
ponr EordonnâB verticale dn point G. La piemiim équation (8) donnerarssn^ en désignant par 1» une constante arbitraire qui représentera la vitesse de rotation du mobile autour de son aie de figure* Mais diaprés les valeurs de a!' et b'^ (n? 5j8), et les deux premières équations (5), on a
les deux intégrales qu'on a trouva deviendront donc
O»cosô — A8in*8^=s /,
A (sîn- 8 ^+5) +M(>- sia- fl^-2>gcos8)=A,
en comprenant — Cn* dans la constante h.
Ces deux demies équations feront çpnnaitre , au mpyea des fooctions elliptiques , ks valeurs de 4 et t en fonctions de 8 ; la troisième équation (5) donnera ensuite la valeur de ^ ; et le problème sera résolu , copime celui du n"" 4^^ f <loQt novts nous sommes occupés ea détail*. ^
45i. Le mobile étant toujours un solide de révolution homogène et terminé par une pointe , et ce corps touchant constamment le plan donnée par l'extrémité K de cette pointe , supposons main-** tenant que ce plan soit en mouvement ^ de sorte que les anglél À, /jl, 9 , ei la quantité ^ soient des fonctions données de t. L'axe de figure répondant au momeut d'inertie C , les deux autres momens B et A seront égaux, les coordonnées a et C seront zéro ^ et 7 exprimera la longueur de GK. En désignant par n une constante arbitraire, la première équation (2) donnera encore r= n ; ea sorte que la vitesse angidaire du mobile autour de son axe de figure, sera constante, comme dans le cas du ph(h fixe. Si Ton a égara aux formules (4)9 les deux autres équations (2) deviendront
AdqJ^(k — C)npdt=:'Ky{acosX+a^cosit + a''coSf)dt, î A4p--(A--C)i»|7A==:--Ry(ftcosA+ft'cos^+**co8f)rf/./ ^'^^
L'éouation (7) deviendra de même
jr,COfA+7-,COS/»+«,C08f+y(cC08A+c'C08/»+C^C08f) = i ; (la)
et les équations (i) et (2) ne changeront pas.
Le système des équations (1), (3), (n), (is), devra donc servir à déterminer les neuf inconnues
atS TRAITÉ DE HÉGAHI<ïlJe.
Pi 9» 9» 4^> ^f ^tfT%f ^i> R ; ntaû ntit^ntùm rigon-reuae -dé œs- éqnatioiis est impossible; et, pour en dëdaire d» Takiire approchéBs des ineodnatt , qui ne soient pas très compliquées , on est oblige de* restreindre la généralité de la question , par diflërentes suppositions qne^ Ton énoncera à' mesure qi^'elUs seront nécessaires.
' 4^3* J^^rappûserai y en premier lieu> que la rota- Ktiïm du mobile autotir de son aùce dé £^ure est très rafnde^ et que les diflërens mouyémens du' plan donné sont très lents par rapport 2i cette roti^fion ; en sorte que j si V par -exemple , la perpendiculaire au plan donhé-y menée par le point K, oscille de part et d'autre ou tourne autour de la vertiade qui pisse par ce même point, la durée de chaque osdllation ou ' de chaque révolution soit très grande , relativement à une révolution du mobile* autour de l*axe KG j et de même , si le plan donné exécute des oscillations parallèlement à lui-même.
*Je supposerai, secondement ,^ue les angles 0 et 4^ varient aussi très lentement par rapport à l'angle f ; hypothèse qui devra être confirmée à posteriori , par les valeurs que l'on obtiendra pour ces trois angles. En négligeant , dans une prepiière approximation , la différentielle d-^ que contient la troisième équation (3) , et en supposant qu'on ait ^ = o qund ^ = o, on aura ^:ssnt^ à un instant quelconque. Au moyen des formules du n* ^jS, on aura alors
a cos X -4- û' cos fi + a" cos i^ = P sin nt -f- Q cos «/, A cos A + 6' cos ft +^" cos r = P cos ni — Qsin ni,
DYNAMIQUE , SEœNDE PARTIE. 21g
où FoD a fait , pour abréger ,
P z= cos Acos fi sia 4 +cos ^ucos G cos '^ — cos^Fsin ^, Q = C05 XjCOs4 — cosfi sin %[/ ; et les ëqnatioùs (11) deviendront
Adq H- (A — C)npdt .= R>(P sin nt^Q^ cos nt) dt , lidp — • (A — C)nqdt = R3<(Qsin ni — P cos ni)dt.
Or , dans la seconde hypothèse , les quantités P et Q varieront très lentement ; il en sera de même, comme on le verfa tout à l'heure , k l'égard de R; en intégrant ces ' équations , on pourra donc considérer, dans une première approximation, P, Q » R , comme des quantités constantes, et n'avoir égard qu'à la variation de sin nt et cos nt dans leurs seconds membres. Si m esCgune très petite fraction de n, et que le coefficient de sin nt contienne , par exemple ,. un terme qui ait cos mt pour facteur, sin nt devrait être remplacé par j sin (n + m)t + 7 sin (n — in)t; en regardant comme constant le coefficient de sin nt , cela revient donc à négliger mt à l'égard de 7^, du moins dans la preinière approximation.
De cette manière, les intégrales complètes des équations précédentes sercmt
p = Dsm^ ~ h Ecos^ ~ ^(Qcosni -f Psinn/) ,
-, (A— C)7i£ „. (A— C)n/ , Ry,^ . „ ,,
D et E étant les deux constantes arbitraires. Pour les déterminer, je suj^pose qu'à l'origine du mouvement,
âtao ^«TIAITÉ DE HÉCAIIH2DB. .
Taxe instantané de rotatioa a oolncidé avw Taxa de .figure ; onaara alocs/»=so etq =0^^, quand t^i ai él A Ton déB%ne par JP'f Q', R^ les yalenfs de P, Qy Ry qui ont eu lito, à la ménàe éjpoqiie,'ii en lësnltera
^^-cT* '^ — -Tsr-
Noos atirons donc^ à un instant qodoonqne, '
— .i^smi^ + QoMitief],
-i- R(P C08 Jif — Q sîn n/y].;
En &isaat 9 S58 nf dans lea denz preenbei ë^iifr*
tions (3) , on en déduit ,
sinO^>[/ =s (psiant -|- qcosnt)dt,
dS = (qsinnt — poosnt)dt;
et en y mettant pour peiq leurs valeurs précédentes, il yient
8mflrf4 =^R'(P'cos ^+Q'8m^) — RP] ,
rf9 = ^R(P'sin ^ - (J'eus ^ )+ RQ].
Or y si C n'est pas une très petite firaction de A , i! faudra ^ pour que 0 et «^^ varient très lentemeiil t comme oa l'a supposé , que les termes dépmdans de
DTMAMIQUË, SEœNI^ PARTIE. 2st
sin -j- et cos -p disparaissent dans ces formules ;
condition que Ton remplira toujours , en supposant qu'à Torigine du mouvement , Taxe de fi{|[ure KG coïncidait avec la perpendiculaire au plan donne.
En effet , à Torigine du mouvement , soient e langle que la perpendiculaire au plan donne fait avec la verticale , et e' langle que sa projection horizontale fait avec la droite d'où Ton compte l'angle 4* A cette époque , on aura ( n* 8 )
cosy = cos£, cos ft =: sin écos 6^, cosA=sin€sin£' ,
et en supposant que 4' ^^ ^ soient les valeurs initiales de 4 ^t fi , il en résultera
P' = cos 6" sin € cos (c' — 4') — ^in fl' cos e , Q' = sin € sin (é' — 4')*
Or , si Taxe de figure a été perpendiculaire au plan donnée quand le mouvement a commencé^ on aura^ 4'= i' et fl'= «; d'où il résultera F=o et Q' = o; ce qui réduit les formules précédentes à
455. Maintenant 9 il faut encore supposer que Ta perpendiculaire au plan donné et l'axe de figure du mobile , s'écartent très peu de la direction verticale , pendant toute la durée du mouvement. Le supplément de l'angle 6 sera constamment très petit ; car 0 est l'angle pbtns , compris entre la verticale menée de bas en haut par le point G , et la droite menée de G vers le point K qui est au-dessous de G. Nous
aaa TRAITÉ DE MÉCANIQUE. ; :
négligerons le carré de sinO^ et «nous prendrons 'cos 0 == — I • Les quantités cos A et cos/x seront très petites; en n^igev^t leors carrés, on aura oosr=?i. Oq a d'ailleurs ( n^" 578 )
C£=sin0sin4'» c^=:sin8oos4^y c"=scosdc=—- 1.
En négligeant donc les produits sindooaA et cosêcoqu» l'éqnatibn (i 2) donnera
«« s= 9. H- Ç — or.cos.A — * >i cos /Et.
Si donc , indépendamment de la petitesse de cos A et cos /x y les oscillations verticales du plan donné sont aussi supposées très petites ,. les yariations de z, le seront également ; la yaleur de R , donnée par la troisième équation (i) , savoir ,
différera très peu de 1% ; et si Ton néglige les pro-
daits de ^^ et de chacune des quantités cos A ,
cosyx^sinO, il snffira de mettre Mg à la place deR, dans les équations (i3). En y mettant aussi les Tableurs dé P et Q, elles deyiendront
sin flrf>j/ = -^ (sinô — cos Asin4 — cosyx coS'^}dt, ^ = -^ (cos A cos 4/ — cos fi sin '^ )dt.
Les deux premières équations (i) deyiendront, ea même temps ^
-^=gC08A, -^ = gCOSf«. (l4)
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. aaS
En diffëreotiant par rapport à t les valeurs de c et c'y et mettant dà au lieu de ^.sin 6, en a
de ;?= sin •>[/ ^ -{- cos 4 sin 6^%|/ , ûfc' = cos -vlz/iS — sin 4 siu 9 d^ ;
et si Ton substitue dans ces formules^ à la place de sin 8^4 ^^ ^8 9 leurs valeurs précédentes, il en résulte
de — c'mdi = — mco&/idtf | . ^
où Ton a fait , pour abréger ,
Mgy ^
Âin^ la question est réduite Bnaiement à Tintégratien de ces équations linéaires, à coefHciens cons* tans et du premier ordre , par rapport aux inconnues c et c\ C'est aussi en employant ces mêmes inconnues, c est-à-dire , sin 6 sin 4 et sin 6 cos^sp , dans le problème du mouvement de la lune autour de son centre de gravité , que Lagrange a ramené à la forme linéaire les équations différentielles de ce problème ; ce qui l'a conduit à l'explication complète du phéji iMmène de la Ubra^fj^ , qu'il n'avait pas donnée dans ses premières recherches sur ce sujet.
454* Eu intégrant les équations (i5) par la métthode ordinaire , désignant par k et II les deux con^ tantes arbitraires , et remettant pour c et c' ce que ces lettres représentent , on a
m4 ^nurrfi lœ mécanique.
sm^co^sskoMnU — k^sinmi •
— mcosnUj[c€)^LàiÈmt — cosXcosnu)dt^
Je sapposend que les intégrales indiquées dans oes formules commencent avec ^ , et je représenteni , comme plus haut, par d' et 4' 1^ T^lears initiales de 0 et'^;ea fiiJsant tssto^ on aura
k = sina'eàs4^ kf s ^nO'sm^' ,
pour les valeurs de it et A:'^ qui seront nulles, lorsque Taxe de figure, du mobile sera vertical à Torigine du mouvement , auquel cas on aura 0^ e= o« ' Lorsque les valeurs jde cos A et cOs fk, étt fonctions de t j seront effectivement données , on effectuera les intégrations indiquées, e,t les équations (i6) feront connaître les valeurs de 6 et 4, et, par conséquent, la position de Taxe de figure du mobile, à un instant quelconque. D'après la troisième équation (5) , on aura , en même temps ,
^ s= nt — 4 -^- 4 f
en y faisant cos 0 = — i, et suffisant ^ = o, qumo ^ = o. Les deux premières équations (5) , dans lesquelles on fera simjAement ^ := ti^ , donneront les valeurs de p et ç , lesquelles , en les joignant à rssn^ détermineront, à un instant quelconque. Taxe de rotation et la vitesse angulaire du mobile autour de cet
DYNAMIQUE , SEœNDE PAATIE. .aiS
^axe. Enfin, par deiiz intégrations succes6ivefr,;<m tirera; des équations (i4) les valeurs de x^ ^^ X% ^ fonctions de /; doù l'on déduira immédiatement celles de z, et R.
Les v^eurs approchées de toutes les inconnuesdu pro^ blême seront donc déterminées , au moyen des valeurs données de cos X et cos fc. Au moyen de ces valeurs approchées, on pourra calculer celles des quantités qu'on albégligées dans cette première approximation ; en ayant égard , dans une seconde approximation , à ces quantités ainsi calculées , on parviendra à d'autres valeurs des inconnues, plus approchées que les premières; et, si l'on continue de cette manière , on obtiendra, par le procédé général des approxi^ mations successives, des expressions des inconnues, aussi approchées qu'on voudra. Nous nous arrêterons ï la première approximation; la seconde et les suivantes n'auraient d'autre difficulté que leur longneiv.
455. La vitesse de rotation n , imprimée au mobile autour de son axe de figure, étant supposée très grande, la quantité m sera généralement très petite. Il résulte donc des formules (16) que les variations de cos A et cos (i y provenant des petites oscillations de la normale au -plan donné sur lequel le mobile' s'appuie, seront très affaiblies dans la valeur de 6. Par conséquent , si le mobile est terminé à sa partie supérieure par une surface plane perpendiculaire à son axe de figure, et qu'à l'origine du mouvement cette surface soit horizontale et l'axe vertical , ce qui fera disparaître les termes multipliés
«oB JZRAITË DE MÉCAinQOE.
pir.k'^'Vf 4sette sw&ce omseni^ teiisiUMMiit Mft iibijtotitalttë pendant toute k dorée dti moatMient , teilgfé lei petites oaeilktioiis du plati donné , nt eda d'autant plus exactement que la yifeise de rotKtkm impriniée an mobile sera pltes considérable. CTesl snr CD principe qu'est fondé k moyen qui à été propOié pouir obtenir à la mer, indépendamment des tfMat^ memens dé rouUs et de tenjgvgê du Taiaséati/nn honion' artificiel- qui puisse serrir aux ollftryations astronomiques*
A miaett de la petitesse de m, on peut considërèr aurms et oosmif comme des quantités cedstantes daas^les int^rales que contiennent les ferniukM (rOjf. Aittft^ par exempla, en intégrant par pirtié, te
et si les Yâriatièns de cos X sont très rapides par rapport à celles de sin mt et cos mt , quoique très lentes par rapport k la rdtation du mobile, cette série sera très convergente et pourra se réduire à son premier terâie; ce qui revient à considérer cos mi tôtntne constant dans l'intégrale /côs A cos m/ift.
De cette manière , et en supposant A = o et A^ =o, ks formules (i6) se réduiront à
sin8sin4 = — mfcosfjuit, sinficos^^s^^CosAift.
Si Ton suppose aussi que le centre de gravité da mobile n'ait reçu , à l'origine du mouvement^ aucune
vitesse horizontale , de sorte qu'on ^ait ~ == o et
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. al^
^ = 6 , qnand £ = o , les ikjtiations (i4) donneront
■^ = gfcosAdt , ^ = gfcosfjidt ;
les intégrales commençant avec t , comme dans lés équations précédentes. En les éliminant et remettant pour m sa yaleur, on aura donc
• A • I ^y 4T\ • n ^ I My dx,
La différence de* signe dans ces deux fi;>rmules provient de ce que l'angle ^ augmentant de 90° , F^e des abscisses positives va tomber sur Taxe des^ ordonnées négatives , et celui-ci sur Vaxe des abscisses positives ( n*" SyS ) ; efi sorte qu'en mettant 4 + 9^^ dans la première formule , il y faut, en même temps, changer^, en — nt^j ce qui donne la second^ formule.
En divisant ces équations Tune par i autre , il vient
tâng^/ =x i-Uif SIl
Or» si l'on mine par le point G un plan perpendtctilaire à l'axe àê figure GK , 4 ^^^ l'angle que fait Tintersectîon de cet équairar du mobile et du plan horizontal des X, et^-, f avec Taxe des at, ; d'ailleurs , les variables x« et^, sont les coordonnées de 1^ projeo tîoD du poist G sur ce plan borisontal ; il en résulte donc que cette intersecticm est constamment parallèle à la tangente à la ooinrbe décrite par la prûj[ectiott horizontale du centre de gravité du mobile. Si ron
aaS TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
appelle u la vitesse horisontalè de c^ point , de sorte
qU)On ait
on aura aussi
sinô s=
pour le sinus de Finclinaison du mobile sur le plan horizontal» laquelle inclinaison est le supplément de
langle 0.
Ces différentes formules , et les conséquences qui s'en déduisent, subsisteront tant que la vitesse n de rotation du mobile autour de son axe de figure sera très grande ; mais la résistance de Tair et le frottement de la pointe K contre le plan sur lequel le mo« bile s appuie, diminueront continuellement cette vitesse ; et quand elle aura cessé d'être très grande , l'axe GK s écartera de plus en plus de la directfon verticale , et le mobile finira par tomber sur ce plan , comme dans le cas de la toupie ordinaire.
On doit aussi obsenner que les oscillations verticales du plan donné , d'où il résulte des variations alternatives de la quantité Ç , n'ont aucune influence sur les variations des angles 4 ^t 6. Mais si le plan donné s'élève au s'abaisse verticalement d'un nàoavement uniformément accéléré , la quantité Ç comprise dans son équation (n* 44^) f renfermera un terme =^ i g'^* 9 ^1^^^ lequel g' représentera une quantité constante et positive. La valeur de R dont on a frit usage dans le n* 4^5, au lieu d'être Mg, sera alors yi{gdbg'); on devra donc remplacer g par g dbg'
dans la yaleor de m; en sorte qu'un mouvement de cette nature influera sur les yariatîbns de G et 4 • Si le jAan donné s abaisse , auquel cas on devra prendre le signe inférieur devant g', il âiudra qu'on ait g' ^ g , sans quoi la valeur de R deviendrait négative; ce qui signifierait que le mobile cesserait de s'appuyer sur le plan donné , qui tomberait phis vite que ce corps pesant, et s'en détacherait par conséquent.
§ n. Cas où Ton a égard €Ui frottement.
456. Dans l'état actuel de la science , les lois du frottement des corps en mouvement ne peuvent être déterminées que par l'expérience ; avant d'introduire cette force y d'un genre particulier, dans les équations du mouvement dHm corps qui s'appuie sur un plan donné , nous allons dpnc faire connaître les résultats généraux de Fobservation sur cette matière (^).
i*". Le frottement d'un corps solide sur un autre est indépendant de la vitesse du mobile ;
2"*. Il ne dépend pas non plus de l'étendue de la surface frottante;
3®. Il est proportionnel à la pression totale exercée sur cette surface.
Ces deux dernières lois sont celles qui ont aussi lieu dans Tétat de repos ( n? 269) ^ a Fiostaot où l'é-^
C**) Les expériences les plus re'centes sur ce sujet important sont celles de M. Morin, officier d'artilUrie attaché à l'École de Metz, dont le travail est inséré dans le tome V des Mé» moires présentés à rAcadémie des Sciences,
aSo TWilTÉ DE lEËGAinQDE; *'''
qtiilifan va se rôètÊfttf et quand'k cdiftiM'deft oorpi • âMé BÊÊOZ ÛiSil^Émpê pour qùê k> fro^Otakent ail ifttamt son marâMim.
. , ^atitiBiiient à on flaide qai coule rar m, corps wààObr le finottament soit des lois diffiSreotes. Qp ad* iMt> d*après rekp<rieiioe^ .c|a'il est alon proptaiionoel à la YtlesBOrdu flôidé^et à Péten^jEie de la siirfiite, et qu'il ne dépend pas de la pressioné Qoaêil il Vagit dSnn' fluide aérifonpiD^ il y a lieu de croire que le frottement augmente oi^odiminué ayec la densitë , comme nous l'avons supposé dans le n"" 444 i ^^ ^osrte ïpL% températue i^le^ il se trodve' dépendre Indi* ndement de la |pnndeur de la preésioh. ' ■^ 4^* Supposons JNïtuellêmeht qikr'itn corps mSÊSk\ dotat4a bése' est- mie smfiu» plane d'une étenSâ qMloOttqtte, smt posé isus un jplatf fixé et lioriiMMild, et que ia verâcidê menée par soA centre & gMdié G ( fig. iS ) rencontre le plan fixe dans TéteMibe de cette base y ce qui est la condition nécessaire et suffisante de Féquilibre. Soient M sa masse» et F son poids. En un point A de sa su.r&ce, situé dans le plan horizontal mené par le point G , attachons une corde qui vienne passer sur une poulie fixe B, de sorte que BA soit le prolongement de GA. A Textrémité inférieure C de cette corde » suspendons un antre o(»rps dont la masse soit M '^ et lé poids V, et qui ait son centre de gravité G sur la verticale inemée par le point C.
L'équilibre subsistera tant que le poids P', augmenté du poids de la partie verticale de la corde , sem moindre que le frottement de M sur le plan fixe^
DYNAIUQUE» S|S0ONDB PARTIE. aSi
et de h corde sur. U pouliç B; et si P' wgmente gmdnelleaienty l'équilibre se rooiprt il Tiostant où P^ surpassera cette somme de frottemens^ diminuée du poids de la corde verticale. Si Fou néglige ce dernier poids relativement à P', et que Ton désigne par F et F' les firottemens de M contre le plan fixe et de la corde contre la poulie fixe ^ qui ont lÎQu immédiatçmçut avant la rupture de Téquilibrei on aura
La pression exercée sur la base de M est le poids P de ce corps; le frottement F est donc proportionnel à P, D'après ce qu'on a vu dans le n"" Soa^ le frottement F' est aussi proportionnel k la force F; par conséquent, on a
ea désignant par f et f des fractions indépendantes des grandeurs de P et F. An moyen de ces valeurs , réquation précédente, devient
d'où l'on tire
Le* poids F étant connu à l'instant où l'équilibre commence à se rompre , cette équation déterminera la valeur de y,. relative au corps M et au plan hprixontal sur lequel il est posé^ quand on connaîtra la valeur de f qui répond à la corde et à la gorgç de la ]>oulie. Le moyen indiqué dans le n"" 269 fait cou-
1^2 I^ITÉ DE MfiCàMIQtS; :^
ikftltre cette Taleur de /*, itadëpendaiàiMDtvd'aacttiie* aittre qàfeiititë deméoie nature; d'aprèalVngfe'Wiw lèljiiel le mobile ooiilbièiio& à glidier ràr mt-filatt ^e IVm itidine gradaellement.
45â. Dès que le poids V, *a!ignieiitë du poôdr de la' oôrde Terticale p remportera mi tant soit peir ' Bvùt h qoànfitë F + F'» Tëquilibre seita rompu, et, k {dns finrte raison', pour un poids V enoom* plos grand. Le corps M glissera sur le plan hori- Mnital, .et M' descendra verticalemenU Pendant ce mcmyement, j'appeUerai H le iBrottement de M contre ce Tfimn, qni stira n^è fraction donnée dé la pressionr F. Qnant à la poulie B, on pourra supposer i|u*élle est etatièrement fixe et demeure immobile , on Ueir, qu'elle tourne autour d'un axe horizontal, perpendiculaire au plan de la corde ABC. Dans le premier cas, il 7 aura, pendant le mouyement, un certain frottement H' contre la poulie, qui sera différent de F', et devra être ajouté à H ; dans le second cas , â la corde ne glisse aucunement sur la poulie, il n'y aura aucun frottement de l'une contre l'autre ; mais il faudra tenir fbmpte du mouvement communiqué k la poulie par l'intermédiaire de la corde , comme si elle y était attachée. Je supposerai que ce soit le second de ces deux cas qui ait lieu.
Pour former l'équation du mouvement, dengnons, au bout du temps quelconque ^, par z et if les parties horizontale et verticale de la corde ABC, et par fi et fi' leurs masses. Les vitesses de M
et M', à cet instant , seront — -r et ^^ ; et Ton pourra
représenter par a-^^d -^ les résistances de Tair
exercées à leurs sar£ices: a et a! étant des constantes qui dépendront de leur forme et de leur étendue. Si Ton appelle g la gravité ^ les forces motrices appliquées au ^stème seront donc le poids ( M' + At') g >
diminué de la résistance a' -^ , et la force horizon-*
taie H , augmentée de la résistance a 2^. Leurs mo-
mens , par rapport à l'axe de la poulie B, devront se retrancher Fun de lau^fy et en appelant c le rayon de cette poulie circulaire , on aura
^[(M'+AtOg-^'^'-H-a^], (a)
pour leur différence. Les forces motrices qui auront effectivement lieu seront (M' + /jl') -^ dans
le sens vertical ^ — (M^ A^) -^ dans le sens horizon*
tal , et celles de tous les points de la poulie. Les momens de toutes ces forces par rapport à Taxe de la poulie devront s'ajouter ; et la vitesse angulaire de la poulie étant - j-^ si Ion représente
par m sa masse, et par mAf son moment d'inertie relatif à son axe, on en conclura , cooune dans le n* 5o2 ^
— "3? pour le moment de ces dernières forces par rapport à cet axe ; par conséquent , la somme des momens des forces effectives , par rapport au même axe, sera
qS4 TBArrÉ DS MÉGâRIQœ. ' .
Or^ pour qn^ les fore» iaioti^^ ftppliqiiées au sv»tèiiie fassent équilibre, au moyea del'axedç la poulie, aux forces effectives p prises en sens coiitraire dp lenr jiirèctioif , il fitudra que les deux quaotit& (à) et (b) soient ^|ales entre elles; d'où il résollera
- («r+KH-^);g--(ii+M)^
ff
La ecitde ABC étant ragar^l^ comme inextensiMe y la somme de ses parties seva feonslanta ; en appdant / sa longn^nr totale, on aura donc . .
*'+•* •^•* ar'*' ^ it' ^^^
Soient mr- le poids de la corde entiëre, et p \é pends de la masse in de la ponlie, on anra'irassi
on a également
et parce que le frottement H est proportionnel av poids P, on a , en outre ,
en désignant par h un coefficient indépendant de P* Au moyen de ces différentes valeurs , l'équation du mouvement deviendra
DYNAMIQUE, SECÙVOE PARTIE. ' a35
= fir[AP - F - -.^ + ^ + (« + «') ^.].
459. Elle n'est point intëgrable sous forme fin^, k moins qu'on ne néglige les termes qui provienUNdlt de la résistance de Fair ; ce qui la réduit à
d*z gZz ,
en faisant , pour abr^jer ,
V—hf + * __ •
Son infinie complète sera alors
« = Ce -|- Ce "^ T '
C et C étant les deux constantes arbitraires , et e la base des logarithmes népériens.
En substituant cette valeur de z dans les termes de l'équation du mouvement qui proviennent de là résistance de Tair , et intégrant de nouveau cette équation, on aura une valeur de z plus approchée; mais nous nous arrêterons a la précédente ; et pour déterminer les constantes C et C, j'appellerai y la'
dz
valeur initiale de 2; on aura z = ^ et -i- =0^ quand t =^0j d'où il résulte
à3S TRAITÉ DE HÉGAHnyOE.
oe qui dtknne
cooaéqjOBnt , '
à ua instant quelconque.
Si Ton appelle 8 le temps que le pmds P emploien à afeeindre Im poulie B^ c'est4-dire , à parcourir la distance y, on aura à la finis £:=6et js=so; d*où Ton conclut
Lorsque 0 sera donne par Tobsenration , cette équation servira à déterminer la valeur de «, et^ par suite^ celle du coeiBcient A. relatif au frottement du poids P en mouvement sur le plan horizontal. Dans cette expérience , on pourra prendre pour P' un poids quelconque^ pourvu qu'il surpasse le frottement qui a lieu dans Fétat d^équilibre. Si le poids 4r est tris petit par rapport aux poids P et F , ^ sera une très petite fraction^ et Ton pourra développer les expo* nentîelles en séries très convergentes, suivant \^ puissances de £• De cette manière , on aura
imtAMKSDE, SEœNIffi PARTIE. iS^
et si l'on n^lige tout-à-^fiatt la quantité € , on aura simplement
ce qui doit être, en effet, puisque alors ft mouvement du poids F est uniformément accélère.
Quel que soit le mouvement du système que nous considérons, la tension delà partie horizontale de la corde ABC est constamment égale ii la plus pMile des deux forces qui agissent à ses extrémité (n* 552)/ <^e8t-4-dire , au frottement H augmenté de la résis* tance de l'air , exercée sur la surfiu» de M. Elle est donc constante et égale à H , ou AP, pendant toute la durée du mouvement, lorsqu'on fait Jibstractibn de la résistance de lair; et sa valeur, mesurée par l'extension d un ressort placé dans la longueur de cette corde, peut aussi servir à déterminer le coefficient A.
460. Les valeurs que rexpériènce a données pour œ coefficient , soit par l'observation du temps 0, soit par la mesure de la tension de la corde , varient avec le degré de poli des 'surfaces frottantes et la matière des corps ; elles ne dépendent pas , corfune celles du coefficient y^ (n^ ^^9)f ^^ temps pendant lequel les corps ont été en contact avant de glisser Tun sur l'autre. Quand celles-ci onX atteint leur maximum , elles surpassent toujours les valeurs correspondantes de h; en sorte que, dans l'état de mouvement , le frottement H est moindre que le frottement F qui a lien à l'instant où l'équilibre va commencer à se rompre.-; et la tension de la corde en mouvement est
^9 ^. nAnS.DEMÉQtJ^IQOB.i'^^
mmi phig .potHe qne odld qai.iundt Jinjguj^ moment de rëcpiilibre* '-i^;^. •*
Le poids P éUnC en np^H-ré^^î^re vd^^ que Je poids F est plus petit qoe F; ma& àpi- a- re^ ÉDif^m qM & 'F 9 qaMque nl»J&si&^jjgB^ -yâfjliafe notablement H ; il suffit d'ftcptw i£lr fM||^^^ xonlaL^ pw^/de petites . pépsMBÎcwfc » pQçf ïlilS^^ pdids P 4e mette ea mtiovtomçKlu . fy^ij
4kSQmiid le «MMffimeioA A est aÉHia> il «M -déterminer le mo&¥emeàl:d^ pèàds P.
iMlia& JediisigiierMptr i TiacImMbon decéipli^^ tmplàii hèriionlal ^ qui devra swiyiMscgJltoilfjp^ 1^1 l^é^oilib^ào^ ^ se*|x>mpn^telhà
tel; qnWji^ te0§&.>/ ( Q"^ ^26g)i h» oèragMÉdÉk dflt P 9 jpÉnUHesi el peipendioalAirëi àee jptm^t s^oilt JRein t et:P cbs i. La '. prenciièise ,- dimiBnéef dà fioUtr Btent Hy sera lafilit» motncedamcAUe^'^aoçtlftÉrit la masse ; en appelant z Tespace parcouru au bMit'da temps t, op. aura donc
M tjjr ^^ Psiiii -^ H.' • *
D'aillears, la pression suc ce. plan ëteiit Y^stOte
composanteL JP cos î 9 on aura aussi
H s= ^Pcosi;
& cause de P^sMg^ Téquation précédente deviendra donc
2f s=s (i --• hcùXi)gAniy
ce qui montre que le mouvement sera. uniforme* ment acoëlërë. et le même one si le froMement
DYNAMIQUE, SEOONDE PARTIE. a39
n'exipttit pas, et -que le sinus de rindinaison &A dimiaaé daos le rapport de i — A cot i a r.unité» CSfeÉlé quantité i— Acoti est positive , puisque ron a, par hypothèse , h </ et /cot i < i .
461. Le frottement H étant proportionnel à Ik pression , et indépendant de Fétendue de la sur&ce firottaote , il s'ensuit que les poids P et P' dû n"" 4^7 , restant les mêmes , le mouvement de P sur le plan horiédtifal ne changera pas, quelle que soit Tétendue de n fane , pourvu qu'elle ait toujours le même degré defioU» Ainsi, ien prenant pour ce corps un parallé^ lëpipède rectaligle, d'une, matière homogène , et dont tontes les £sice$ soient également polies , son mouve- Tttent horizontal sera toujours le même, si on le pose successivement sur chacune de ses faces ; et il en sera encore de même, sur un plan incliné, sans le secours du poids P'. *-
Au reste, cette proposition, que le frottement est indépepdant de Tétenduc et du contour delà base dbP, et simplement proportionnel au poids P, revient à dire qu'à chaque point de cette base, le frottement est proportionnel à la pression relative à ce point. En effet , soient b cette base, e£r l'un de ses éléiqens différentiels, etpdj la pression verticale que supporte cet élément, de sorte que p représente la pression rapportée à l'unité de surface. Il faudra que la résultante des pressions exercées sur tous les Aemens de^, reproduise le poids P a{^qué au centre de gravité G ; îl faudra donc qu'on ait
fpdff = f; (a)
«4d tvV^TiiAiTB de: MÉC4ni(K^^ ^
i^d Ton mUm par b.firojectioii dà poiat-G-Mr^Ie IJ^i five.^ .dauc âxes horusontamc et rectamnkdraiy 4ttQt :rmi flér», par exemple i^ Im pràjèctiM'da la droite GB^et qu'on appellejelaidiataiioedirdiràeietle prjgectkm^ et j^ sa distance à raptrp .m. r oo^dem eoan avoir 4 .
fxpdfsA o, * ffpdr se- 6 ; (*>
ees inli^grales ejt oellç q^e contieat Tâqnation (fi) a'é- ^l!^dant àla base i tout entière. Cela étant j êvppmom j^'lrottimi6nt de Fëléinent d!?* siirle plan fixe, pno|artionnef à la prearidn /nefir.qall rfprouvej 0t repiMea loiift-]e par Apeb^ en désignant par A on ooeffioeat indépendant de.p et relatif à la pâtnre. de la aoffficjç dffi nous anrons
H ^=x fhpdff^
pour le finottement total; et comme les frottemens de ,tous les éléroens sont parallèles à la direction CB du raouyement , si Ton appelle x^ la distance de leur résultante H au plan vertical passant par la droite GB , on aura également
^^%fMx^ s=: fhœpdj»
Or, si la base du mobile a le même degré de poli daiis toute son étendue , le coefficient h sera constant , et il en résultera • ^
H=sA//M6r=:AP, lAx^=ihfxpdffzszO;
par conséquent , le frotten^ent total ne dépendra que du poids P, quels que soient retendue et le contour
DYNAMIQUE, SECONDE PARUE. a4i
desaiiase;-et la direction de cette force tombant^ à cause de j?^ = o , dans le plan yertical passant par la droite GB , elle ne pourra imprimer aucune rotation au mobile , dont le mouvement sera parallèle à ce plan ,. comme on l'a supposé.
Lorsque les centres de gravité du poids P et de la base b sont situes sur une même perpendiculaire à cette base , comme dans le cas d'un prisme on d'un cylindre vertical y on satisfait aux équations (a) et (6), en supposant la pression p constante et égale au rapport de P à 6. Réciproquement y pour une valeur constante de p, les équations (b) donnent
fxdT = o, ^dj = o;
ce qui exige que le centre de gravité de b coïncide avec la projection horizontale du point G; par conséquent, lorsque cette condition n'est pas remplie, la pression p varie nécessairement d'un point à un autre de la base du mobile. La détermination de sa valeur en un point quelconque est alors un problème très difficile , qu'on ne peut résoudre qu'en ayant égard à la flexibilité de la matière du mobile et à celle du plan horizontal sur lequel il s'appuie , et qui donnerait lieu, sans cette considération, à une indétermination apparente y comme dans le problème du n^ 370.
Si Ton suppose que les deux centres de gravité soient sur une même verticale, on aura donc à la fois, quel que soit le coefficient h,
p=^j, H = -^/hdtr,. xjhdff z^ijhxda.
^ft TRAITÉ DE MÉGAHIQUE.
Têt conséquent, la base Testant h mémè^, le frottement total H sera proportionnd an poids P, eomnw -si lé degté de poli était le méine dans toute Tëtendoe de cette base; mais, en général, on n'aura' plu x/= o , la direction de la force H ne coïncidera pins avec la projection horiaontale de la droite GB, et ipiand le poids P entraînera le poids P snr le plan hôriaôntal , le frottement fera tourner le mobile autour de la. verticale qui passe par son centra de gravité G.
46a.^ Le poids P étant toujours posé sur un plan fixe horiaontai , et la projection horîxontale du point G coïncidant avec le centre de gravité de la base b, supposons que l'on imprime à ce corps , par un 'moyen quelconque , des quantités de mouvement panll^es au plan fice, qui ne le &sseirt pas trébucher, cTest-À-dire, qui ne détadient pas sa baae b de ce plan. Le mobile prendra deux roouvemens horizontaux , Fun de translation , qui sera celui de son centre de gravité G, et Fantre de rotation, autour de la verticale passant par ce point. Or, il s'agit d'examiner l'influence du frottement sur ces deux mouvemens difierens.
AP Représentons par -.- dff le frottement éprouvé par
l'élément do' de b , et dont la direction sera contraire à celle de la vitesse de cet élément. Appelons r sa distance k l'axe de rotation ; au bout du temps t , désignons par^ x et / les coordonnées rectangulaires du centre de gravité de b , rapportées à des axes fixes mena arbitrairement dans le plan
;» SEœNDE PARTIE. 14s
lioriMDtal , et par A Tangle que fait r airee le prolongement de jc. Les coordonnées de dff seront, an même instant ,x-f-rcosOetj^-f-rsiàd;etsi I on désigne par i^ la vitesse , et par a et f les angles qi|e fiiit Sa direction avec des parallèles aux axes des jo etjr^ on anra
i^cosessl^ + rc^fl^, )
povr les deux composantes de cette vitesse. Celles dn fiottement seront , en même temps ,
— -x-cos«a(j, T-€Os6a(J^
Or, le mouvement du centre de gravité G étant le même que si la masse du mobile y était concentrée , et que les forces motrices de tous ses points y fussent apfJiqoées parallèment à lenrs directions, nous ancrons, pour le» équations de ce mouvement ,
dâ
= -.^/cosarf(r
P en déâgnant par g la gravité, de sorte que - soit la
masse, et supposant le coefficient h constant dans tonte l'étendue de b.
En même temps, le mobile tournera autour de la verticale passant par le point G, comme si cette droite était fixe, et que les forces qui agissent sur ce
^44 TRAITÉ «E MÉCill^E.
4NVp6 ne luBent fas thmagées. Le ipoaieiit iki €ntr .teiM»t de lAr aéra ^Rii à k différence des nwqwBB de ses daox composantes, et aura pour filenr
-r «rcos6H j— •r«nfll^
en supposant que la rotation a lieu dans le sens oa Fangle 0 augmente, c^est-è^dire, del'exe des x positives yers celui des jr positives. Cela étant, si Ton désigne par oà la vitesse an(||blaire du mobile au bout du
tenq» t, et par — son moment dlnertie par rapport a l'axe de rotatio», on aura (n* Sga)
pour r^qaaKson du mouvement autour de cet axe,
de 'dans laquelle on fera a» := ;r- , et Ton étendra llnté-
grale k la base entière b du mobile.
Dans ces équations (a) et (3), les variables jr,/, A, ne sont pas séparées ; les mouvemetis de translation et de rotation dépendent ainsi lun de l'autre , et ne peuvent, être déterminés, en général, que par approximation. Q y a deux cas qui peuvent se résoudre aisément , et que nous allons conâidérer.
4^5. Si le centre de gravité G demeure en repos,
dx dy
on aura g^ = o et ^ = o ; les équations (i) don*
neront
cosflir= — sinfl, cos^scosO, ^ = r?;
DYNAMIQUE, SECONDE PAHTIE. ^45
et {)biir que les équations (a) soient satisfaites, i) £iii« dra que les intégrales /sin 6 ^/o' cfl/cosOé/j soient nulles ; ce qui ne dépendra que du contour de & , et aura lieU| par exemple, toutes les fois qn'iï sera sj** métrique autour du centre de grayité de cette base. L'équation (3) deviendra
d'où Ton tire
dm ^^ ïicg .
en appelant c la constante />%&*. Le mouvement de rotation sera donc uniformément retardé ; et si l'on appelle A la vitesse initiale angulaire ^ on aura , à un. instant quelconque ,
boat d'un temps exprimé par -r— * ^ pour lequel on
aura o» = o » et le corps sera en repos.
Lorsque la vitesse de rotation sera , au contraire ,. très petite par rapport à celle du mouvement de
de
traijslation , et qu'on négKgera le eanrré d^ r ^ , les équations (i) donneront
»,• = «•- a(^siDfl-fcosfl)r^, en désignant par u la vitesse du point G ,. de sorte
s46 TRAITÉ BE MÉGAlriQDE^
qn'oD «i
"^ ~ 3? "^ S" On dédoin de là et des mimes équaûom (x)
oosa
I dxi I /d!r n ^ 4f • à\4T ^^
L'origine des coordonnées polaires r et S étant It centre de ^yité de la base è, on a d'aillenis
fràn^dr. = o, freos^th ss o^
Cela étant, si Ton substitue ces yaleurs de cos «t et *cos ^ dans les équatio|is (2)^ et si Ton observe que fdrzszb^ elles deyiendront
d*x hg dx dy hg dx ,.%
Pom* plus de simplicité , je supposerai la base & symétrique autour de son centre de gravité , de manière qu'on ait
/r*cosOsin0ab-=:o, /r'8in*fl£ir=/r"cos'Mr=*>^î
y étant une ligne donnée* Par la substitution jies yaieurs de cos a et ços Q , Féquation (5) se ré* duira alors a
'^i/i* ~ Il 57' ^-^i
en observant que tûziz -rr»
DYNAMIQUE , SEœNDE PARTIE. 34^
Les intégrales complètes des équations (4) sont
^=(a — hgt)co&ê, %^{a — hgt) sin « j
a et « étant les deux constantes arbitraires. On en déduit
w = a — hgt;
et l'on voit que le mouvement du point G sera unii formément retardé, et que a et s seront la vitesse initiale et Tangle que sa direction fait avec Taxe des X. L'équation (5) devient
d^ hgy^ dB
de "" ]^{a—hgt) dt ^
son intégrale complète est donc
dd - / hffCK^
en daignant par Cl la constante arbitraire, qui exprimera la vitesse angulaire initiale. Les valeurs de
dt ue^ ^ ou œ, seront d'autant plus* approchées , que
le produit de H et de k plus grande valeur de r sera une jJus petite fraction de la vitesse u ; elles montrent que les mouvemens de translation et de rotation finiront ensemble, au bout d'un temps égal
Lorsqu'un corps solide se meut sur un plan fixe ^ en le touchant constamment par un seul point dé sa surface, il peut arriver plusieurs cas qu'il im-^ porte de distinguer.
^48 tKkrrÈ VE itÈcivvgOË.
-I*. Le corps prat rouler ^ mw gliBser , -eiir le plan fixe, de manière que leg deux courbes tracées sur ce plan et sur là irailkce dn mobile, qui sont les Keux géométriques de leurs poinis de contact succeasift, aient constamment des longueurs égales.
2*. Le mobile peut tonmi^ sur lui-même, en touchant constamment le plan fixe , en un même point ^•'ce plan.
S^. Le corps peut glSter sans tourner, de aoite que le point de contact soit constamment Te même pdnt de sa sur&ce.
4** Ei^fin f îl P^ut glisser et tourner à la fois sur le plan fixe.
Dans le deuxième et dans le troisième cas, le finot^ tèment dn mobile contre le plan fixe est le même que si le contact àyait une étendue quelconque-; sa grandeur est proportionnelle à la pression qui a lieu au point de contact , et sa direction contraire à celle de û vitesse de ce point. En le désignant par H, et la pression par P, on a H == AP ; le coefficient h étant le même que dans le n^ 4^8. Cette loi est une conséipience de ce que le firottement est indépendant de rétendue du contact ; elle aurait besoin, toutefois, d'être yérifiée par des expériences directes. La farce H est ce qu'on appelle un frottement de la première espèce.
Dans le premier cas, le frottement du mobile contre le plan fixe se nomme un frottement de se^ conde espèce. L'observation fait voir que cette force est généralement très petite, et peut être négligée.
Dans le dernier cas, les deux espèces de frottement
• DYNAMIQUE, SÉCOWDE PARTIE. 249
ont lieu en même temps ; on nëgKge celai de la seconde espèce par rapjport an frottement de Isr , pre-^ mîere espèce 9 qai est dirigé, à chaque in^nt^ en sens contraire de la vitesse du point de contact, ei toujours proportionnel à la pression en ce point.
Ces résultats ne conviennent pas au cas où le point de contact est Textrémité d'une pointe, ou quand il appartient à une arête vive; ils aurontt encore lieu lorsque le mobile sera un cylindre qui touchera le plan fixe suivant une ligne droite; et, toutes les fois que sa surface n'aura ni pointes ni arêtes vives , ils suffiront pour former les équations différentielles des mouvemens de translation et de rotation. L'exemple suivant montrera comment on en devra faire usage pour cet ohyet.
464* Je suppose que le mobile soit une sphère homogène, posée sur un plan fixe horizontal. On imp^me à ce corps un mouvement de rotation autour d'un diamètre horizontal , et à son centre une vitesse horizontale et perpendiculaire à ce diamètre. U est évident que le mobile tournera autour de ce diamètre , qui sera transporté parallèlement à lui-même et an plan fixe, et que le centre de figure et de gravité décrira une droite horizontale , dans le plan vertical «perpendiculaire à l'axe de rotation. Il s'agit de déterminer, à un instant quelconque, les vitesses de ces deux mouvemens.
La figure i4 représente une section du mobile, perpendiculaire à son axe de rotation et passant par son centre G. La droite AKB est la section du plan fixe ; la parallèle CGI> est k droite que décrit le point G ^
a5o TRAIT1Ê IS MtiCAHIQDE,
et l6<x»Dtacl , aa iMmt da temps qodôniqne ^ , ai liea «a point IL Aoet mstant, Boieatx Ik distance G6, oomp-
tée k partir^Vi point fixe C , ^layiteaBedapointG^
m la ntease angolaire da mobile antonr de son axe de rotation, qui sera x^^îdée comme positÎTe on comme négatiTe , selon qne la rotation anra lien dans le sens indiqnë psr la flèche s on en aens contraire.. En appelant, an même instant, i^.la Titesse absolue dn pdlnt K, et désignant par c le ny<Mi CSG de la qphàre, on anra
Selon qne cette quantité sera posithre on native ^ le point K s'avancerss yers B on vers A ; et le 6ot^ tement qni a lieu en ce point K en sens contraire de V, sera dirigé sniyant KA on snirant KB. Qnani^ on a vssio^ le corps roule sans gfisser , et le frottement n*est plus que de la seconde eq>èoe.
Cela posé , désignons toujours par P le poids do
corps , par g la gravité , par le moment dlnertie
par rapport à l'axe de rotation , et par &P le finottement au point K. En supposant , pour fixer les idées, la vitesse (^ positive, et, couséquemment , le frottement dirigé suivant KA , les équations differen* tielles des mouvemens de translation et de rotation seront
^=-Aff, *-J = — Acg; (a) car le centre G devra se mouvoir comme si la masse
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- du mobfle y était reunie , et que le frottement y
fût appliqué parallèlement à sa direction; et^ en même temps , le mobile devra tourner autour de son axe de rotation , comme si cet axe était fixe, et que le point d'application du frottement et le sens de cette force ne fussent pas changés. Le pnobile étant une qphère, on a aussi
les équations précédentes auraient encore lieu^ mais avec une valeur différente de Af, si ce corps était un solide de révolution, ou un cylindre droiln^ base circulaire, tournant, dans ces deux cas, autour de Taxe de figure.
En supposant le coefficient h constant, et intégrant les équations (a) , on a
a et a étant les deux constantes arbitraires qui repré» senteront les valeurs initiales des vitesses ^ et a?. On aura , en même temps ,
(; = a + ca — (i H- jr)Ag^. m^.
Par hypothèse, la constante a-^ca est positive; la vitesse v Yès\ donc aussi pendant un temps 9., au bout duquel elle est nulle , et qui a pour valeur
afia TRAITÉ DE MÉCAHIQCE.
dans le cas de la sphère. Pendaot l'iatervalle de temps 6, les valeurs précédentes de r- et a subsisteront, et lesdeox moavemens du mobile seront uni-
Tileur de j-, sera nulle ; si donc ce temps est moindre gue â, ce gui aura lieu si l'on a - -ac»
la vitesse -j- deviendra négative au-delà de t^-r-,
et le centre de la sphèi'e rétrogradera. Cest ce (jui arrive, par exemple, lorsqu'on frappe une bille de billard, de mauïère à la faire tourner rapidement autour d'un diamètre horizontal et à faire avancer en même temps son centre avec une moindre vitesse, en sorte que les quantités a et a. soient tontes deux positives et satisfassent à Tïnégalilé précédente^ Le froCtemeat contre le tapis détruit bientôt le mimfem«nt de trwHletioB; nuis le moavenenf de rotlK tion subsistant encore , le frotiement continue d*a^ en sens contraire de ce dernier mouvement; et c'est
^Ite fbrce^ traosportée au centre de gravité , qui le
Vmène vers son point de départ.
Si , à Forigiae du mouvement, la spbère ne tourne pas, de sorte qu'on ait a^o, ou, plus g^nérar knient , si l'on a
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la vitesse ^ ne deviendra pas nulle avant la vitesse 1^, et le centre G ne rétrogradera pas. Mais dans tous les cas , au bout du temps 6, le point d'appui K du mobile n'ayant plus de vitesse ; le frottement hP de la première espèce di^raltm ; la sphère continuera de rouler sans glisser ; et il se produira un frottement qui ne se;'a plijis que de la seconde
espèce. Les vitesses -yr ^f» deviendroat constantes ,
ou ne décroîtront plus que très lentement ; leurs valeurs seront celles des formules (b) , qui répondent à / = Q , savoir :
dx 5a — 2C9t acoL -^ 6a
6tf = —
dt n '
Kinsi f i'efiet général du frottemeat ordinaire ou de la première espèce , est de réduire au repos les corps qui glissent sans tourner, et de réduire seulement à runiformfté et a l'égalité , en sens opposés, les^deox mouvemens desx:orps qui glissent et roulent ^en même temps. Dans un vide parfait , le roulement du mobile qui résulte de ces deux môuveniens , subsisterait indéfinimient , et le frottement de la seconde espèce maintiendrait la vitesse v nulle , et les deux
vitesses ^ et a» égales, et contj*aires. Mais la ré-
ôstaoce de lair trouble cette égalité ; le frottement de la première espèce reparait , et le concours de ces deux, forces finit par réduira le mobile à Tétat de repos.
9S4 TBJOTÈ DB MÉGAiriQDE.
