CHAPITRE yn

BU CmO BU CCMM BB FOBMB QUBUMHIQDE.

if65. Là position et T^t d'an oorpi adide n moaTemeht, sont oomplèlaaaenit détermines à nn instant donné 9 lorsque Ton connaît, à cet- instant, les coordimnées de son centre de gravité, les oomposantes de la vitesse de ce point, les directions dei trois axes principaux qui se coupent en ce. même point , et les composantes de la vitesse angnlaire de rotation autour de ces trois axes. Si ce corps est rencontré par un autre, mobUe, pour lequel tùoies ces choses soient ^[alement connues , les compo* santés de leurs vitesses de translation et de rotation seront changées par le choc , mais non pas les positions de leur^ centres de gravité, ni les directions de leurs axes principaux ; car , quoique le choc ne soit pas instantané , cependant la durée de ce phé* nomène est toujours assez petite pour qu'on puisse faire abstraction du déplacement des différens points des deux mobiles^ pendant qu'il s accomplit, et, par conséquent, pour qu'on puisse considérer comme sensiblement imitaobîles leurs centres de gravité et les points des deux mobiles qui appartiennent à leurs axes principaux. %e problème du choc des corps aura donc pour objet de déterminer, en grandeur et en direction , leurs vitesses de translation et de rota*

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. a55

lion après le choc, an moyeni de ces mêmes quantités ayant le choc, et d'après la forme et la situation rela-^ tires des mobiles.

Nous allons donner la solution générale de ce pro- Mème, ^ans les deux cas extrêmes où les mobiles sont moQS et dénués d'élasticité , et où. ces corps sont au contraire parfaitement élastiques.

466. Supposons d abord que les mobiles soient au nondbre de deux , qu'ils se louchent par un seul point , et qu'ils soient entièrement libres. Soient M et M' leurs masses , G et G' ( fig. i5 )' leurs centres de gravité , K leur point de contact , RKW la normale à leurs surfaces en ce point. Soient aussi Go:, Gjr, Gz, les axes principaux de M, et G'x', Gy, GV9 ceux de M'.

Immédiatement ayant le choc , désignons par u , if,w,]es composantes de la vitesse de ^G suivant les axes fiar , Gjr, Gz ; appelons en même temps «? la vitesse angulaire de M autour de l'axe instantané de rotation, passant par le point G, et p, ç, r, les trois composantes de cette vitesse , autour des mêmes

axes Gx , Gjr, Gz ; en sorte que ^ , ?, -, soient les

cosinus des angles que Taxe instantané fait avec ces trois droites ( n* 407 ) f et qu'on ait

fi>* = />■ + ç* + r*.

Cela étant, si Jc , jr, z, sont les trois coordonnées d'un point quelconque de M , rapportées aux axes &r p Grjr, Gz , les composantes de sa vitesse , paraià ces axes et provenant de la rotation du mo-

THAITÉ DE UÈGLSiqO^

JiUe(a*4iS) seront qz — rjr, rx^r^fat Ry^f^i par CQnaéffaentf <m aurm celles 4^ sa viteate absolue, en y ajoutant les composantes Up v^ Wf-àià la vileaie 4(1 point Gj ce qui donne

■ u + çz — 17, »-^rX'-»pz, w-\-ff^—gx.

Je désigne par n; 9 ^/> ^/>P/y î/f •*•/> c&^^^àb^ Tiennent II, ^fW^ p^q^r^ iinmédiateiaettt a|jrès le ohoc En obsenrant' qne le point dont les coordonnées aôntXy jTy s y ne change pas sensiblemcttit da^jpôsitiott. pendant le choc, les trois composantes pnSrïSdentés ^mendront

.et comme Içs axes Gx , Gj^ Gz , auxquels dites Âmt parallèles*, sont aussi . supposés idMbobfles pieiiÀuit le choc y on aura les vitesses perdues par ce jptmii'sm- Vaut ces axes , en retranchant ces dernières qûatititéi des précédentes. Si donc on désigne par dm rétément de la masse M qui répond aux coordonnées x, y^ Zf nous aurons /

[^ — ^; + (^ — O^— (P — Pi>ldm, [w—w, + (p ^ p;^^ (q— qyx:]dm,

pour les composantes parallèles à Go:, Gjr, Gzp de Is quantité de mouvement perdue par dm , pendant Is durée du choc.

Eu vertu du principe général de la Dynamique (n"" 353 ) , les quantités de mouvement ainsi perdues

par M et M' devront se faire éqnilîbre ) .et , d'après oe qa'oD a yu dans le n® ^65, on formera les équations d'éqnilîbre de ces deux corps ^lides , srppujës Tun contre Tautré, en considérant chacun d'euit isolément, après avoir joint aux forces relatives à Bf ^ Une force inconaue N , dirigée suivi^nt KH , et aux forces apjdi^ées à M', la même force N agissant au potfjflK suivant KH^

Ces forces N, dirigées suivant KlTet IU9^ sçront les quantités de mouvement imprimées par 'là choc aux masses M et M' ; et , avant d'écrire les équations d'Àjuilibre^ on peut remarquer que les effets du choc y qii'eUiBS serviront à déterminer, seront les méflaes» poof ia masse M , par exemple, que si Ton appliquait à une partie arbitraire fc de cette masse , ayant 809jcentre.de gravité sur la droite RH, une vitesse k pÉ^lèle à KH , et telle que Ton eût /tA: = N ; car il fsl li vident que la résultante des quantités de mouvement de fc serait N , en grandeur et en direc* tion : la percussion exercée sur M, suivant KH, équivaut donc toujours, comme nous Tavons dit dans le n* 455 , à des vitesses égales , imprimées , parallèlement à cette normale KH, à tous les points dune partie de M , qui a, son centre de gravité sur cetle droite.

467. Cela posé, désignons par a, b, c, les trois coordonnées de K , rapportées aux axes Gor, Gjr, Gz, et par a , f , 7 , les angles que la droite KH fait avec des parallèles à ces axés, menées par le point K ; les six équations d'équilibre des quantités de mouvement perdues par tous les points de M , seront

a6ô TEAITÉ DE MÉGAlflQDB. .

une treizièine équation, que rpn.obtieadi^ par It . considération suiyftnte^ dans le cas.deg corps ^féanik d'ëlasticittf. '

468. La. solution du proUèvft serait, en effieit, indëtermiikée , si ^, Ton considérait les deux mohUes comme. alKsolament durs , et qu'on fit abstraction de la compression quib éprouveol pendant la dnrée-du dioc Biais en ayant éffird à.cette oompreasion , qijdcnie petite qu'on la sniqpose, on .conçoit qa'dle effl due k ce que les jknnts des deux mobiles^ par lot: quds ils viennent se toucber , n'ont pas la iqftfni Vitesse iniiTant Jbi normale commune à leurs surfiioes. A raison de la différence des yitess^ noçasaks de ces deux points, les deux corps s'ai^mient et as cpQipriiyient gnûduellement l'un ccmtre Tautre ^ ap même tany», cette différence diijpnue par 4f^ff4^ infioSment petits, jusqu'à ce qu'elle. ait fntiiè};^ii)snt disparu ; et quand les deux mobiles sont dénniÉ^''d^élasticité, le phénomène du choc est achevé à Vim^ tant où cette différence est devenue nulle , et ces deux corps conservent la forme qu'ils ont prise k cet instant de leur plus grande compression. (Test cette ^alité des vitesses normales des deux points de contact, à la fin du choc, qui fournit la treizième équation demaqdée, et qui fait dispar^^U^ rindétermination du problème.

En tant que le point K appartient au corps M , ses coordonnées^ rapportées aux axes Gx^ G^,- Gs, sont 4ip b, C} en les substituant à la place de or» jTf £, dans les formules du n* 466, on a, immé'diatement après le choc, «^-f-y^c — rfi, i^^+ rflr-^p^

Wf +/'i^''*9/^> pour les composantes de sa vitesse parallèles à ces trois axes ; et comme a , €$ y, sont les angles que la droite KH fait avec les directions de ces composantes^ on en conclut

+ K+ Pfi — 9/«) cos y,

pour la vitesse finale de ce^point suivant cette droite. Si Ton considère le même point K comme £usant partie da corps M% sa vitesse après le choc, soi* ?ant la direction KH', sera

Ctt/+îy— <*Ocosa' + (p/ + r/a' — />/c')cosC'

Or, pour que', daos les deux cas, la vitesse norr maie du point K soit la même, et dingép dans If^ . même sens, il faudra que ces deux dernières quantités soient égales et de signe contraire, ou que leur somme soit nulle ; par conséquent , on aura

(**/ "Ha — ^ft3cosa+ (tt/H-î/e'— r/6')cosa' J -K^, +^/l--p,£?)cosC^-(i^/^-^>'— p/c')cosr I (3)

Les . équations (i), (a), (3),. du premier degré, par raj^rt aux incoamies Nf i^/i ^,f etc., donneront, dans chaque cas particulier, des valeurs eâtiièreipent déterminée^ pour ceft qmintitéa> qui fe«ront connaîtra l^étajk^Qs deux mobjlefrafms lecboc, et.Jea quantités. de mouvement, égales et contraires,^ que la percussion. lejur aura . imprimées suivant la normale conmiune à leurs surfaces.

agi TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

469* Haintenant ^ si les deux co^ SOM ëhstî-* qiie9 9 11 fiiadn distiiigaer trois époques siitecwivei dâtis le pbén'omèo^ du choc : la premiiôte-hipondra k Fiostant où les deux mobiles cdmineiiGent a se toucher par un point K de leurs ^urÊures; la dienzième sera celle de leur plus grande compression , où les Titesses normaleé du point K seront égales et dans le' même' sens pour ces «deux corps; la' trcHsième sera la fin du choc , o& les deux molitlM aé sépa^ xêroot l'un de l'autre , après avcnr repris exactement leurs formes primitives, s'ils sont supposes parfaitement élastiques. . ^ .'

Depaif la première jusqu'à la seconde époque, le phénomène est le même que si les. deux mohiles «taieift déirnés d'éhùticité. Ainsi, rou Àéterniiiiierai au moyen des 'équations préoédientés^ lèi domie eoioi* posantes tt/, s^^, etc., des vitesses de transliticMi et de rotation des mobiles à Finstant de leur plus grande compression, et la quantité de mouvement N que chacun des deux corps aura reçue , suivant KH pour M, et suivant KH' pour AT. Depuis la deuxième époque jusqu'à la troisième, ces dew corps , en revenant à leurs formes primitives , recevront , suivant ces directions , une nouvelle quantité de mouvement, qui sera encore égale à N , dans le cas d'une parfiiiCe élasticité. Par conséquent, cette seconde partie du phénomène devra être considérée comme une seconde percussion , identique avec la première , mais exercée sur des corps animés des vitesses de transls'tion et de rotation qui ont lieu à la fin de la première partie.

D'après ce principe , conforme à ce qui a déjà été exj^qnédans le n^ 36o, si Ton appelle^ à là troisième époque y U^ Y, W, les composantes de la vitesse du point G^ suivant les axes'Gâ?^ Gjr, Gz, et P, Q , R , les composantes de la vitesse angulaire de M autour des Qiêmes axes, on aura , pour déterminer cas six inconnues, les six équations

Ncosct + M(tt,— U) =3 o,.

NcosC + M(P, — V) = o^

Ncos> + M(w,—W) = o^

N(acos€ — r ôcosflt) + C(r, — R) = o-,.

N(ccosa — acosy) + 8(9^ — Q) s= o,

N(Aco8>. — ccosff) + A(p^ — P) = o,

qui se déduisent des équations (i), en y mettant Uj^ V, W, P, Q, R , à la place de w,, p,, <^,pP,, q^, r^% et ces dernières quantités au lieu de u, ^9^9 Ptq, r, et en conservant la quantité N.

Pour faire disparaître les inconnues intermédiaires »/> ^i» ^,f Pi> q,f ^if j*ajoute chacune de ces six équations à Téquation (i) qui lui corrgspond; ce qui donne

aN CO8 a + M (w •— U) = o ,

aNcosff + MCp — V) = o,

^cos>^ + M(w — W)=o,

aN(^cosff — icosa) + C(r — R) = o, ^ ^^^

aN (c cos a — a cos 7.) 4- B (9 — Q) =0,

oiS^{bcosy — ccosê) + A(/? — F) == o.

Ces équations (4) sont celles de l'équilibre des

964 7»àn$ wMÈaangm.

qf»nûté& de mouTemeal pmdoef < pw li pendhat la àfxie Iptalç dii<€^i0Cf JoiuQBS^kîki quotité de am

^M:tian.JKP# (le^d«|lt,cQlte iiiéme/(^^ Qoy

x«»id0 l^âfBllio».C5)i;ii^^ wàbÊl&fnè'im

leurs des inconmies t^^^ «i» Mo^f «/r •^'t «boiy par les équations (i) et (al. Noos qqus dispcnacroDS d'écrire ici l'expressioii géi^Snie dé Cette ^àntiééH, qoi serait très compliquée, et'dont pu calcfUera , sans di£Bcuhé « la yakîdr numftn^àe ,' dans cbaqoè cas particoUer.*âï les êeax Qiolnlês o^ébieot pas koj^poses parMtementéllIsHqoeB,. If serait mèihdfe 'dans la seconde partie dé dioe que *dânâl la pramièM; il frçdnJt prendre alors poor sa valeur, dans 1^ 1^?f9^ partie, one fraction fée m valeor, dâcloit^ Çfm 4^g^ tions (i) , (à) , (5) , et mettre (i + /} N à h pbMce <kf iN dans les équations (4)« Cette fraction / dépen-* drait du degré d'élasticité des dçux mobiles, et. ne pourrait se déterpiiner que par des expériences faites sur des corps de la même matière , dans le cas le ptos simple , par rapport à leur forme et à leur mouvement primitif. Nous nous bornerons à considérer le cas de rélasticité parfaite, en observant, toutefois, que la remarque qui termine le n* 4^6 a également lieo , qoel que soit le degré de Télasticité*

Quant au corps M', si Ton désigne, à la;fiit do choc^ par U', Y', W, les composantes de la vitesse de G' suivant les axes G'x', G'/, G'z\ et par P', Q', R', les composantes de la vitesse angulaire de M' autour de ces axes, on aura pour déterminer ces six

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. a65

inconnues des équations semblables aux équations (4)^

savcMr :

aNcosa^ + M'(tt'— U') = o, 2KcosC + M'{i/ - V') = o,

aNco8y + M'(w'— W') = o„

aN(a'cose' — 6'cosaO + C'('^— R';= o, ^ (^) aN(p'cosa' — a'cosy) + B'(9'— QO = o,

Telle est donc la solution complète et générale du problème du choc , dans le cas de deux corps entièrement libres y dénués de toute élasticité, ou parfaitement élastiques. Qu retendra , sans difficulté , au choc simultané de trois ou d'un plus grand nombre de mobiles; nous en donnerons plus bas un exemple.

470. On peut conclure des équations précédentes que le choc des corps M et M' n'altère nullement les vitesses de leurs centres de gravité G et ' G^ parallèlement au plan tangent commun en K à leurs deux surfaces.

En effet, par le point G , menons une droite parallèle à ce plan , qui fasse des angles ^,ftf v , avec les axes Gx, Gj-, Gz ; cette droite étan^ perpendicu-» laire a la parallèle. à KH, menée par le même point G, on aura

coset cos A + cos^ cos jct + cos ^ cosy = o ;

et, d'après cela , si Ton ajoute les trots premières équations ( 1 ) ou (4) , après les avoir multipliées par ces A, cosft, coB i^,.il en résultera

2i66 TRAITÉ DE MÉGAIflQUE.

=:UcOS X+ Vc08ft-f-WcOS f ;

ce qui montre que la vitesse de G, soivant une direction quelconque, parallèle au plaortangent en K , sera la mÂme avant et après le choc des corps mous ou élastiques. Il suffira donc , pour connaître , en grandeur et endirection, la ritesse finale de G, de déterminer, dans chaque cas, la vitesse de ce point après le choc, parallèlement à la normale KH, et de la oomposetavec la vitesse de G parallèle aii plan tangent en K, qui ktait lieu auparavant, et qui n*aura pas changé pendant la percussion. La m£me chose aura lieu relativement au centre de gravité G' de If ^

En ajoutant les trois demières-équatioiis ( i) on (4) » après les avoir multipliées par cos ^, ços C^ ooa d, u Tient

= CR cosy + BQcos.^ + AP cot a.

Or, ces trois quantités égales sont les momens par rapport à l'axe KH ( n® 4^9 ) 9 ^^ quantités de mouvement dont sont animés tous les points de M , avant le choc, à rinstant de la plus grande compressio|^ , à la fin du choc; d'où il résulte que la percussion ne change rien à la grandeur de ce moment , pour le mobile M, et , de même , pour le mobile M', mous ou élastiques.

471- Appliquons maintenant à difierens exemples les équations générales que nous avons obtenues.

Supposons d'abord que la normale KH au point de contact des deux mobiles, passe par le centre de gra-

Tité G de M, de manière qu'elle soit la droite KGII (fig. 16 )• D après la signification des Iett]*es et, ^ y y f ^9 -^ f ^9 ^^ est aisé de yoir qu'on aura, dans ce cas,

a cos € =s b cos oL ,

CCOSCL =z= a CCS ^ y

6cos^ = ccosC;

alors les trois dernières équations (1) et (4) dopneront

ce qui signifie que la direction de Taxe instanfané de M et la vitesse de rotation seront les mêmes immédiatement avant et après le choc. Donc, toutes les fois que la normale au point de contact passe par le centre de gravité de l'un des deux mobiles mous ou élastiques, le choc ne change rien au mouvement de rotation de celui-ci , et n'influe que sur son mouvement de translation.

Si la même normale passe aussi par le centre de gravité G' de M', de sorte qu'on ait également

a^cosC = b'cosa\ c' cos ce' = a' cos y-, V cosy = c' cos ^1

les vitesses de rotation disparaîtront de l'équation (3) , qui se réduira à

u^ cos a + i^^cos S -f- ^/ cos y -f- «/cos a' -h p/cosS'+u'/cosy = 0;

mais les trois premières équations (i) et (2) donnent

268 TRilTÊ DE MÉCANIQUE.

N=M [(w^— w)cosa +{if^ — i')oo6C+(fv^— w)cos >],) N=Mt(<-«0cosa'4<i'/-</)oose'+(w^/-w^

et en divisant ces équations par M et M' et les ajoatant ensuite à la précédente , il en résulte

+ /cos ff'+w'cos >'= o.

0% si GL et &U sont les directions de G et G' avast le choc et 0 et Q' leurs vitesses initiales , on aura

OcosHGL = i^cosa + i^coaC' + îvcos^^ , û^cosH'GX' = i/cosaf+ i/cosff'+ w/cos/,

d'après ce que les lettres u, 9, tv^ct, €, y^ Mi^ v' ^W^ ol\ C, y' f represenfenti On aura donc

pour la valeur de N , qui devra être essentiellement positive : lorsqu'elle serî' négative , on en conclura qu'il n'y a pas de choc entre les deux^mobiles M et M'. De même , sî G/ et GT sont les directions de G et G' à l'instant de la plus grande compression des deux mobiles , et fl^ et 0/ leurs vitesses au même instant, on aura aussi

ô^cosHGZ = l^^cos a -f- <^;cos Q + tv^cos y^ fi;cosH'G7'= tt'^cosa'+ v^/cos C' + w^co^y';

et de ces diverses équations ^ on conclut

A ^ni Mo cos HGL — M'ô'cos H'G'L' fl, cosHGZ = ^^^:^, ,

6, cosH'G7'= j^j-^-^p ,

poor les composante* des vitest>es de G et G' suivant GH 8l GW , à rinsUot qne nous «Hisidqagis. Elles sont, comme oa voit, égales et contraires; d'où il soit qn'à l'instant de la pins grande compression , les centres de gravité des denz mobiles ont la même vitesse, ea grandeur et en direction, suivant la normale an point de contact K. Dans le cas des corps mous f celle vitesse normale sera celle qui aura lieu après le choc. Lorsque les deux mobiles seront par- Cutement élastiques , on aura

0, cosHG^ — UcosaH- Vcosf + Wcos?', 6/oosH'G'r = U'cosa'+V'cos Z' + W'cosj-' ; en supposant que les vitesses 0, et â/ et les directions G/ et G'/' se rapportent à la fin du choc. Donc , en vertu des trois premières équations (4) et (5) , et de la valeur qu'on vient de trouver pour N , nous ■nrons

il n*>i {M— M')9cosHGL— sM'B'eosH'G'L' 1 0, C08 tw*( ^ a -ITm' * \

A. viriP (M'— MjfcOTH'G'L' aMScosHGL 1^^ e.COsHGf = g-j-^j, ,)

pour les composantes des vitesses finales de G et G' suivant les directions GH et G'H'.

473..Dans le cas particulier où les deux points G et G' se meuvent , avant le choc , sur la normale HKH', leurs vitesses peipendiculairefi à cette droite seront nulles , et elles le seront encore après le choc ; en sorte qne l'on aura

00s HGL =zh i, CO8 HG/ =: ± I , cos H'GX'^ d: I , cos HGr^ dt 1 ,

27 o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

selon le sens de leurs directions , en considérant^ dans tou|^s cas , les vitesses 0 , 0\ 0^ , 0/, comme des quantités positives.

Si G et G' vont dans le même sens avant le choc, par exemple , de H' vers H , 1 angle HGL sera zéro , et Tangle H'GX'égal à deux droits; en vertu des équations (7) , on aura donc

cos HG/ = I , cosH'G'r = — i , Ô, = 8/ = ^^•

Si , au contraire , G et G' vont au-devant Tun de l'autre avant le choc , de manière que le point G se meuve de H vers H', et le point G', de H^ vers H , on aura cos HGL = cos H'G'L' = — 1 , et les équations (7) donneront

cosHG/==f:i, cosH'G7=±i,Ô,=fl/=±?^^;

les signes supérieurs ou inférieurs ayant lieu selon que la différence Mfl — M'ô' sera positive ou négative. On appliquera de même les formules (8) à ces deux hypothèses.

Ces résultats coïncident avec ceux qu'on a obtenus dans les n°* 36i et 562 , relativement au choc des corps sphériques et homogènes ; mais on voit de plus qu'ils sont indépendans de la forme de ces corps et de leur mouvement de rotation, et qu'ils supposent seulement que les centres de gravité des deux mobiles se meuvent, avant le choc , sur la normale au point de contact.