Si Ton suppose M' = M, les équations (8) deviennent

8,coslHi/=— Ô'cos H'GX', Ô;cosH'G7'=— BcosHCL,

d'où Ton conclut que dans le choc de deux corps parfaitement élastiques et égaux en masses , les centres de gravité des deux mobiles échangent leurs vitesses parallèles à la normale au point de contact, lorsque cette normale , commune aux deux surfaces en ce point , passe à la fois par ces deux centres.

Quand le point G^ sera en repos avant le choc , en . sorte qu'on ait d' = o, et que , de plus, la masse M , à raison de sa densité , sera très petite et négligeable par rapport à M', on aura, en vertu des équations (7)

B, cos HGZ = o, 0/ cos WG'l' = o ;

en sorte que les Centres de gravité G et G' de deux corps mous n'auront , dans ce cas , aucune vitesse normale après le choc. Mais, en vertu des équations (8) 9 si ces corps sont , au contraire , parfaitement élastiques , on aura

fl/cosH'G7' = o, Ô^cosHGZ = — ÔcosHGL;

ce qui montre que le centre de gravité G' ne prendra aucune vitesse , et que G prendra , après le choc , une vitesse normale égale et contraire à celle qu'il avait auparavant.

Q est aisé d'en conclure que le centre de gravité G sera réfléchi en faisant avec la normale au point de contact des deux mobiles , l'angle de réflexion ^al a l'angle d'incidence.

En effet, prenons sur le prolongement de GL (fîg. 17) , un?^rtie gG pour représenter, avant le choc, la vitesse de G, qui se mouvra de g vers G; soit

272 TRAITÉ DE BfÉCANIQUE.

toujours 6H la normale au point de contact des deux mobiles , laquelle passe ^ par hypothèse, parie point G ; décomposons la vitesse gG en deux autres. Fane aG, dirigée suivant cette normale, et l'antre bG parallèle au plan tangent : la seconde ne sera pas changée par le choc , et la première sera changée en une vitesse cG égale et contraire à €tG. Donc , si Ton achève le rectangle G6^c y et qu'on prolonge la diagonale Gif d'une quantité G/ = Gd, la vitesse du point G, après le choc , sera G/, en grandeur et en direction ; par conséquent p l'angle de réflexion HG/ , sera ^al à l'angle d'incidence HGg, et, de plus, la vitesse du mobile aura la même grandeur avant et après le choc. Ce cas est celui d'un corps élastique qui vient rencontrer un obstacle fixe , doué également d'une par£ute élasticité.

474* Lorsque les mobiles sont des sphères homogènes, la condition que la normale HKH'(fig. 16) passe par leurs centres de gravité G et G' , est toujours remplie. Par conséquent, si ces corps sont parfaitement élastiques , ils échangeront , en se choquant , leurs vitesses dans le sens de la droite qui va d'un centre à l'autre, et conserveront, sans altération, leurs vitesses perpendiculaires à cette droite; et, quand ils viendront frapper un obstacle fixe et aussi parfaitement élastique, ils se réfléchiront en faisant l'angle de réflexion égal à 1 angle d'incidence.

C'est sur ces principes qu'est fondé le jeu de é/Zlard; mais il faut observer que non-seulement ils supposent l'élasticité parfaite des bames et des billes, mais que la non- altération, par le choc, de la vitesse

des flwbiles , mit parallèletnenf k leur plan fdfrgent conmniiy uni parâllèlenient afint bandes qu'ils ren-^ CDnirent , n'a lien qne quand on hit abstraclion du firottement provenant de leur rotation et du glissement d'une surface sur l'autre. On 'va voir, par exemple , que Faogle de réflexion dépend de la rotation de la bille, et qu'il n*est plus égal à l'angle d'incidence , quand en tient compte du frottement de la bille contre 1% bande. La même chose a lieu dans le rico'ckei dPmi boolet : le frottement de ce projectile contre le lermin et sa vitesse de rotation influent aussi sur Tangie de réflexion, qui peut être, pour celte raison, difféfent de Tangle d'iocidenee*

Celle question nous fournira l'occasion d'expliquer comment on doit avoir ^ard au frottement dans le choc des corps, et de compléter ce que nous avons dit, sor ce genre de résistances , dans le second par»* graphe du chapitre précédent. Nous allons d'abord espoaer les principes qui mus guideront dans cette matière ééticale ; on y est conduit par l'analogie ; mais ils auraient besoin, ainsi que les conséquences qui s'en déduisent, d'être confirmés par des e«périences directes.

475* ^ formant les équations d'équilibre des quan^ tités de mouvement perdues dans le choc , par les deux masses M et M', nous n'avons point tenu compte des quantités de mouvement produites par les poids de ces corps pendant la durée de la percussion, parce que cette durée étant très petite, ces quantités, qui loi sont proportionneKes , sont aussi très petites , et peuvent être négligées par rapport à celles que les a. 18

274 TRAITÉ D£ MÉCAMQUE.

mobiles reçoivent de leur choc mutuel. Mais il nen est pas de même, cpmme nous Favons déjà remarqué (n? 553) y à legard du frottement qui a lieu pendant le choc , lorsque les surfaces des deux mobiles en contact glissent l'une sur lautre. Quoiqu'on n'ait pas fait d'observations sur l'intensité de ce frottement, on peut supposer, par induction, qu'il suit les lois générale» du frottement des corps soumis à des pressions proprement dites, puisque la percussion n'est autre chose qu'une pression d'une très grande inten* site, exercée pendant un temps très court. On peut donc admettre que pendant la. dorée du choc le frottement, à chaque instant, est proportionnel à la grandeur de la pression normale, qui appuie, à cet instant , les deux mobiles l'un contre l'autre ; qu'il est dirigé, pour chaque mobile, enr sens contraire de la vitesse relative du glissement de ce mobile sur l'autre, et indépendant de la grandeur de cette vitesse; et qu'il disparaît, ou devient négligeable, quand le glissement se change en un simple roulement.

Or, la quantité totale de mouvement imprimée à M suivant la normale KH ( fîg. i5), a été représentée par N , quand ces deux mobiles sont dénués d'élasticité, ou par 2N, quand ils sont parfaitement élastiques. Si donc, pendant toute la durée du choc, la surface de M glisse, dans une même direction, sur celle de M', et qu on appelle Q la quantité de mouvement imprimée à M par le frottement , en sens contraire de cette direction, on aura Q = /iN, dans le cas des corps dénués d'élasticité , et Q = 2//N >

DYNAMIQUE, S£œND£ PARTIE. 276

dans le cas des . corps par£|îteinent élastiques ; h étant un coefficient qui ne dépend que de la natore des surfaces de M et M', au point . de contact K, et pour lequel on pourra prendre celui qui a été déterminé par l'expérience , relativement à des pressions ordinaires (n* 4^)*

Si le glissement a lieu dans un sens pendant une partie du choc ^ et dans le sens opposé pendant l'autre partie, on aura Q = A(N' — N"), en désignant par N^ et N^' les quantités de mouvement produites par la perc}ission pendant ces deux parties du choc y de sorte que N ou ^N soit leur somme N^-f-N'', et en supposant N'> N". Si, à U fin de la première partie , le glissement se change en un simple roulement , on prendra Q =b hS^'^ en négligeant le frottement de la seconde espèce ^ qui aura lieu pendant la seconde partie.

£a appelant, Q' ce que Q devient relativement à M'y il est évident que Q' sera , dans tous les cas , une quantité de mouvement égale et directement opposée à Q ; car la pression normale que M' exerce sur M pendant toute la durée du choc, est de même grandeur que cell^de M sur M% et la vitesse relative du glissement de M' sur M est toujours égale et contraire à celle du glissement de M sur M^

Il résulte de là que pour former les équations d'équilibre des quantités de mouvement perdues pendant le choc par le corps M, en ayant égard au frottement, il suffira de joindre à la quantité- de mouvement N ou :2N,. imprimée à ce mobile suivant la normale KH , une autre quantité de mouvement

276 TIÂITÉ DE BfËCANlQUE.

Q, perpcndicukir^e à KH, et exprimée eonmie on vieot de le dire ; et qme pom obtenir, en même temps, les équations relatives à M', il faudra joindre k ht cpianrtité de rooavement N on ^N, dirigée suivant KH', une ^antité de mouvement Q' égale et con* traire à Q. Cest ce que nous allons faire , dans le cas do choc d'un projectile spkérique et homogiae contre un obstacle fixe.

476. Pour fîieer les idées , je supposerai que l'obstacle fixe que la sphère M vient Â*api)er est un plan horizontal, et que cette spfaère4oume, arant le cboc^ avtawr d'un axe horizontal , perpendiculaire à la di-foction GH de son centre de gravité. La figure iS représente une section du plan fixe et de M par ce plan ▼ertical« Tout étant semblable de part et d^autra de celte section, le point 6 ne s'écartera point de cedemier plan pendant le choc, M continuera de tourner autour du diamètre perpendiculaire à ce même plan , et le point de contact K glissera, pendant cette percussion, le long de AB, intersection de ce plan vertical et du plan fixe.

Immédiatement avant le choc, j'appelle a la vitesse horizontale de G , dirigée suivant* GD , b sa vitesse verticale, dirigée suivant GK, et >^ l'angle dTincidence HGK, de sorte qu'on ait*

*ang y — i'

Le mobile M étant supposé parfaitement ékistique , ainsi que Tobstacle fixe qu'il vient frapper, il perdra d'abord, en se comprimant, sa quantité de mouve-

DTlfàMiQOE, SECONDE PARTIE. 277

ment yerticale Mi; puis il reprendra, en rereiunt à sa .figure primitive , ooe <|aaatité de mouvemeat ^le et contraire; eo sorte <{ii après le choc^ le centre de gravité G aura uue vitesse verticale b , diluée suivant le prolongement G£ de GfL Si donc ou appelle, k œtte époque , a' sa vitesse liortzontale , di«ngée suivant GD, ou en sens contraire , selon qu'elle sera positive ou négative ; que GH' soit la direction de ce poiut^ et <pion désigne par y laogle de réflexion EGH\ on aura

tangy = -j-.

La droite GH' sera située à gaucbe de la verticale EK y comme la droite GH, ou à droite de EK^ selon que la quantité a^ sera positive ou négative. Pour que Tai^^le de réflexion soit égal à Fangle d'incidence^ il £uidra que cette vitesse a^ soit positive et égale à a ; la difierence y' — ^ de ces deux angles sera toujours de même signe que o! — a; et le point G rétrogradera quand la vitesse a' sera négative.

Soit aussi a la vitesse angulaire de rotation de M avant le choc , laquelle vitesse sera considérée conune positive ou conmie négative , selon qu'elle aura lieu dans le sens indiqué par la flèche s^ ou dans le sens oppoaé. Désignons par a! ce que devient celte vitesse angulaire après le choc. Le problème consistera à dé* terminer les valeurs de a' et a/ d'après celles de a et a. Selon que la vitesse absolue du point K sera posi-^ tive ou négative y c'est-à-dire, dirigée suivant KA ou suivant KB, pendant une partie de la durée du cboc^

OU pendant sa durée entièi^ , la solution présentera différens cas distincts, que nous allons examiner auccessivemeut dans le numéro suivant.

477' Je supposerai, en premier lieu, que la vitesse du point K soit positive, ou dirigée suivant KA , pendant toute la durée du choc. En aj^lant c le rayon GK de M, cette vitesse sera a + cct au commencement , et a' + ca' à la fin ; de sorte que ces deux quantités devront être positives. La quantité totale de mouvement imprimée à M suivant GK,« soit pendant que le mobile se comprime , soit pendant qu'il revient à sa figure primitive , étant égale à 2Mbp la quantité de mouvement provenant du firottement, et dirigée suivant KB, sera 2hMb, d'après le n^ 4^5; par conséquent, la vitesse horizontale €^ du centre de gravité G après le choc, sera la même qtie si la masse M y était réunie , et que les quantité de mouvement Ma et ^hMb y fussent appliquées, en sens contraire Tune de l'autre ; ce qui donne

al z=. a — ihh.

En observant que | Me* est le moment d'inertie de M par rapport à son axe de rotation , et que oh^hc est le moment, par rapport au même axe, du frottement dirigé suivant KB, on verra, sans difficulté , que la diminution â( — - a de la vitesse angulaire de rotation sera déterminée par l'équation

£Mc*(a — flt') = 2}Mbc\ d'où l'on tire

De ces valeurs de ol et a! y il résultera

a! + ca! =z a '^ cet — jhb ;

et cette quantité a' -f- ex' deyaot être positive dans le cas que nous examinons ,. il faudra que la quantité ^-f-ca, aussi positive, soit plus grande que jhb. Quand cette condition aura lieu, on aura

tang >' = T — 2^=5 tang y — 2// ,

peur déterminer l'angle de réflexion y' d'après l'angle d'incidence y et le coefficient h.

Si la vitesse absolue du point K est constamment négative, ou dirigée suivant KB, le frottement sera dirigé suivant KA, et il suffira de changer les signes des termes multipliés par h, dans les formules du cas précèdent, qui deviendront

a^ :=z a '{^ 2lib j a'=îa--| , tangy=stangy-h2^.

Pour que ce cas ait lieu^ il faudra que la vitesse initiale du point K soit en sens contraire de celle de G; ce qui suppose que la rotation primitive ait lieu dans le sens opposé à celui qui est indiqué par la flèche s. A cause de

a' + cet' = rt -fc- ca -f" jhb,

il faudra, en outre, que cette quantité négative a^cct l'emporte sur le terme positif jhb. Dans ce second cas, l'angle de réflexion surpassera l'angle

28o TRAITÉ D£ MÉGAffiQIJË.

d'incidence, tandis qoe , dans le premier cas , y' était moindre que >•

La yite^ du point K étant positive au commencement du choc, si elle devient zéro à un certain instant de sa durée, et qu'elle reste ensuite nulle jusqu'à la fin , on prendra , d'après le n^ 4?^ » ^^ ( ^ + ^') pour l'effet total du frottement, en désignant par V la vitesse verticale de G à Tinstant dont il s'agit , et regardant h' comme une quantité négative ou positive, selon que cet instant arrivera pendant que le mobile se comprime, ou pendant quil revient à sa figure primitive. On en conclura, comme dans le premier cas.

et , par suite ,

tang y = tang y g .

Si la vitesse du point K est zéro dès le commencement du choc, on aura ^ = — /^ ; et le frottemeot étant nul, ou de la seconde espèce, pendant toute la durée de la percussion, il n'influera pas sur les valeurs de a\ a' y tang^'. Si , au contraire, la vitesse de K ne devient nulle qu'à la fin du choc, on aura b' = b , et ces formules coïncideront avec celles du premier cas. Généralement, la valeur de b' sera inconnue , et Ton saura seulement qu'elle ne peut pas dépasser db&; mais comme on suppose nulle la vitesse finale du point K, il faudra qu'on ait

DYNAMIQUE, SECONDE PARtlE. a8i

d'où l'on tire

A(ô + y) = ^^^-f^^ et, par conséquent,

d^—ca^ — —, tang>=tang> ^ ^

La vitesse du point K étant positive dans une première partie du choc, si elle devient négative dans la partie suivante , et que V soit la vitesse verticale, positive ou négative, de G, à l'instant de ce changement de signe, les quantités de mouvement imprimées à M, suivant la direction de KG, seront M (6 + h') et M (A — V) pendant ces deux parties de la percussion. D'après le n"* 47^9 on prendra donc AM(i + V) — AM(6 — V) pour la quantité totale de mouvement produite par le frottement suivant la direction KB ou KÂ, selon qu'elle sera positive ou négative ; et comme cette quantité se réduit à 2AM&', on en conclut que les formules relatives à ce quatrième cas se déduiront de celles du premier , en y mettant V au lieu de h. On y changera le signe de h, comme dans le second cas, si la vitesse de K a d'abord été négative, pour devenir ensuite positive. Mais la quantité If n'étant pas donnée , ces formules ne feront pas connaître la diminution ou l'augmentation de l'angle de réflexion, et Ton saura seulement que l'une ou l'autre est moindre que dans le premier ou le second cas.

La question serait encore plus compliquée, si le projectile tournait autour d'un axe qui ne fût pas

perpendiculaire 9 comme nous l'avons supposé , au plan vertical dans lequel le point G se meut avant le choc* Le frottement ferait alors sortir ce point de son plan pendant la percussion ; et non seulement l'angle de réflexion différerait de l'angle d'incidence , mais encore ces deux angles ne seraient plus compris dans un même plan vertical .

4 y 8. Maintenant, pour montrer, indépendamment du frottement^ l'influence du choc sur le mouvement de rotation , prenons un exemple simple , dans lequel la normale au point de contact des deux mobiles^ qu'on peut regarder comme la direction du choc , ne passe pas par le centre de gravité de l'un de ces deux corps.

Supposons que dans le choc Taxe instantané de rotation de M coïncide avec l'un des axes principaux qui se coupent à son centre de gravité , par exemple^ avec l'axe Gz (fig. i5) ; on aura alors p = 0 et ç = o. Supposons aussi que le point K et la normale comknune aux deux surfaces en ce point, soient compris dans le plan des axes Gjc et Gj* ; ce qui rendra nulles les deux quantités c et cos y. En faisant

^=0, ^ = 0, c = o, cos 5^ = 0^

dans les deux dernières équations (1) ou (4), on en conclut />,= o et ^r^ = o, ou P = G et Q == o ; en sorte que , dans les deux cas des corps mous et des corps élastiques , Taxe de rotation coïncidera encore , après le choc, avec Taxe Gz, et le choc changera seulement la vitesse de rotation sans changer Taxe

iostaotané, conforméraent à ce que nous ayons déjà vu dans le-n» 467.

Prenons pour le corps M' une sphère homogène* La direction du choc passera par son centre de gravité ; on aura donc, comme dans le n"" 4? < »

rt'cosff'=i'cosflt', c'cos€tf=^afcosy\ b'cosy'=c^cosS' ;

en ayant égard aux suppositions précédentes , Téquar tion (3) se réduira à

(acosC — 6cosa)r^+ u^coscl + i^^cos^ + u/coscl' + i^/cos^' + w/cosy' = o;

et f en la combinant avec les équations (6) ^ on en déduit

jj!" + ij7 + (^cos 5 — 6cosa)r^ + ucosa + i^cos^ + tt'cosa'+ i/cos^' + tv'cosy = o.

Menons parle point K des parallèles aux directions des vitesses fl et fl' de G et G' avant le choc; soient J" et cT'les angles que ces parallèles font avec KH ; nous aurons

i£COStt + V'cosf == âcoseT^

m' cos a' + i^'cosÇ ' + w'cos >' = — ô' cos J"'.,

pour les composantes de G et 0' suivant cette partie de la normale au point K; et en éliminant r, au moyen de la quatrième équation (i)^ l'équation pré^ oédente deviendra

N , N , (ncosf — ^cos«)'N , , /» î v'

Ijj + ^ H Q ' f- (û cos b — O cosay

+ ÔCOSeT— Ô'coscT' = o;

d'où ToD tire

^ MWC[{b cos et — a cos C)r -4> ycos /"— 9 tos J]

. — (M + ir)C + MM'(ftco8 «— iicosC)*

Au moyen de cette valeur de N^ les trois pneniiènes équations (i) ou (4)^ selon que les mobiles seront mous ou élastiques ^ feront connaître les trois composantes u^^ i^f^w^y ouV fY, Wy de la yifteiie de G après le choc, et les trois premières équations (a) ou (5) détermineront de même celles de la vitesse finale de G'. Quant à la valeur de r^ ou de B , elle se déduira de la quatrième équation (i) ou (4)«

La quantité N doit toujours être positive , nous l'avons déjà remarqué ; et quand sa valeur négative, il n'y aura pas de choc entre lea deux mobiles. Le dénominateur de cette valeur est pontif , ainsi que le facteur MM'C de son numérateur. Les quantités â et 6\ contenues dans lautne facteur, sont aussi positives; les quantités a, b, cos cl ^ cosSp cos cT , cos cT', pourront être positives ou négatives; et leurs signes seront donnés dans chaque cas parti* culier. A cause de/> = o et q = o , r sera , abstrac* tion faite du signe , la vitesse de rotation avant le choc. Pour savoir le signe qu'on devra lui donner dans la valeur de N, je considère un point situé sur l'axe Go:, à l'unité de distance du point G; la vitesse Je ce point, parallèlement à Taxe Gjr, sera i^^r avant le choc ( n'' 4^^ ) ? ^'^^ ^'^^ conclut que sa partie r devra être positive ou négative , selon que le mouvement de rotation primitif aura eu lieu, de Taxe Gx vers l'axe Gjr, ou de Taxe Gjr vers l'axe Gx,

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. ^85

c'fSt-^-^ire, dans le sens ât la flècbe sou dans le sens opposé. Aprèsr le choc^ la rotation aura aussi Kea dans le^premier sens ou dans le second, selon que la valeur de r^ ou de R ^ra positive ou native.

479^ Jusqu^ci nous avons supposé les deux corps M et M^ entièrement libres ; mais s'ils sont retenus par un point ou un axe fixe, la détermination de leurs inouvemèns après le choc dépendra toujours des mêmes principes, ef ne différera que par le nombre des équations qu'on aura à considérer..

Tir exemple , si te mobile M est retenu par un point fixe G, les trois premières équations du n* 467 ne seront plus nécessaires pour l'équilibre de M et dies quantités de mouvement perdues, pendant le choc f par tous les points de ce corps. Ce point fixe G ne sera pas toujours , comme précédemment , le centre de gravité de M^et les intégrales /jcéAn^ //dm,, fzdm , ne seront plue nulles ; mais les six quantités a, i^p Wf u^j^if w^f seront zéro; et en prenant pour Cat , Gr^, Gz , les trais axes principaux de M qui se eoirpent en ce point G , les trois dernières équations d'équifibre se réduiront encore à

N(âCOs^ — bcosa) + C(r — rj = o, N(ccostt — ^ acosy) + B(g — q,) = o, N(icos> — ccos€) + A(^p — p,) = o,

ccmime dans le numéro cité. En y joignant les six éqitaiions (i) relatives au corps WK, que je contîmMMi de supposer entièrement libre, et Téquatien (5)-, dans taquelle on fera u^t^o, i'y==o, îv^ = o, (m âttra les dix équations nécessaires pour déterminer

la valeur de N, et les mouvemeas des deux corps après le choc , lorsqu'on les supposera dëaué^ d élasticité. Qnaod ils seront parfaitement élastiques ^ on remplacera les trois équations précédentes par les trois dernières équations (4) f et Ton fera usage des équations (5) au lieu des équations (2).

Si le corps M est retenu par un axe fixe Gz , qui ne sera plus un axe principal, la quatrième équation du n^ 4^7 sera seule nécessaire pour l'équilibre de N et des quantités de mouvement perdues par M. Comme l'axe de rotation coïncide alors avec Gz, avant et après le choc, on aura p = o, 9 = 0, p=Of q;=- o ; et les trois composantes de la vitesse de G étant aussi nulles, cette équation se réduira encore à

N(acos^ — ôcosflt) + C(r — rj = o;

C étant toujours le ndoment d'inertie par rapport à Taxe Gz. On la remplacera par

2N(acosê — bcosct) + C(r — R) = o,

lorsque les deux mobiles seront parfaitement élastiques; et eu y joignant l'équation (3) et celles qui répondent au corps M', on aura toutes les équations nécessaires pour déterminer N et les mouvemens des deux mobiles après le choc.

480. Au lieu de deux corps seulement, si trois ou un plus grand nombre de mobiles se choquent simultanément, on formera les équations d*équilibre des quantités de mouvement perdues, dans le choc, par chacun de ces corps, en le cousi' dérant isolément , après avoir joint aux quantités de mouvement perdues par tous ses points, d'au-

très forces inconnues N, N', N''^ etc., appliquées aux points de contact de ce corps ayec tous les autres , et dirigées, de dehors en dedans, suivant la normale à sa surface. Pour tous les mobiles, ces forces inconnues seront en même nombre que les points de contact de ces corps; car elles representeront des quantités de mouvement égales et contraires pour les deux mobiles qui se touchent en chaque point. Mais , à l'instant de la plus grande compression , c'est-à-dire , à la fin du choc des corps dénués d élasticité , 1 eqaation (3) aura lieu pour chaque point de contact ; <l*où il résulte qu'on aura toujours un nombre suffisant d'équations, pour déterminer, à cet instant, letat de tous les mobiles , et les valeurs de N , N' , îi"p etc. Quand les mobiles seront parfaitement elas-* tiques, on obtiendra la solution du problème, pour chacun d'eux séparément , par la considération employée dans le n"* 4^*

481. Pour donner un exemple simple de cette solution générale, soient M, M', /bc, les masses de trois sphères homogènes , dont les centres sont G , G', C(fig. 19). Supposons que pt soit en repos avant le choc , et que cette sphère soit frappée simultanément par M et M% qui la touchent aux points K et K'. Si M et M' ont un mouvement de rotation avant le choc , il ne sera pas changé par le choc ; etfJL n'en prenant aucun pendant cette percussion , on aura seulement à déterminer, en grandeur et en direction, les vitesses de G, G', C, après le choc, au moyen des vitesses et des directions de G et G' auparavant.

Désignons donc , ayant le choc^ par a, b , c , les composantes de }a yitesse de 6^ parallèles à trois axes fixes et rectangulaires , Ox, Ojr, Oz , et par a!y h\d\, les composantes de la vitesse de C, parallèles aux mêmes axes. Représentons par UyS^^w^ u\ i/ w/^ ce que dcTiennent ces six composantes à l'instant de la plus grande compression , et par u^^ p^, w^^ les Gompofiantes snivant lea mêmes axes^ de la yitesse de C à cet mst^uif. Soient aussr ^^ f ^ >, les angles compris entre le rayon K€ et des parallèles aux axes Oxy Oj^ O2, menées par le point K, et a\ C\ y\ ks asgles que fait le rayon K'C avec des parallèles à ces axes, menées par le point K^ Appelons, a l'instant dont il s'agit, N la quantité de mouvement gAb« nraniquée à fA par M suivant KG, ou à M par ^ soi* vani KG, et N' celle qui est communiquée à fjt. par M' suivant K'C ^ ou à M' par fA suivant K'G'. Les neuf équations d'équilibre des quantités de mouvement perdues y et des forces N et N' ^ qu'il suffira de con- ^dcrer, seront

M (a — u) — N cos CL =.0 , M (6 — i^) — N cos f = o , M (c — iv) — N cos j. = o ,

M'(a' — «0 — N'cos a'= o ,

U'{b' — v') — N' cos ff' = o , \ (a)

U'{c' — tv') — N'cos y = 0 ,

N cos a + N' cos a' — uu^ = o ,

N cos ^ 4- N' cos €^ — )Dti^^ = o ,

IN cos 5. + N' cos y — /tfcw^ = o , ;

DYNiLMIQDE, SECONDE PARTIE. 289

en observant que KG et KG/ sont . les prolongemens de KG et K'C.

L'équation (3)^ appliquée aux points K et K', donnera, en même temps ,

ujcosa -f-i'^cosC + w^cosy = u cosce + vcos^ + w cos y , | ii^cos *'+ i'^cos f + tv^cos y'= u'cos «t'+ /cos Q!+ w' cos y' ; J

et l'on aura y de cette manière ^ les onze équations nécessaires et sufEsantes pour déterminer les on^se inconnues N, N', 2^, p, etc.

Si nous fiisons

€06 m cos a + cos f cos ^' + cos y cos 7' = cos /, a cosft + b cos S 4" ^ cos> = A:, a' cos a' H- fc' cos C + tr' cos ^ = A<,

J^ sera Fangle GCG', et k et A:' représenteront les yrtesses primitives de G et G' suivant GK et GK^ En observant que

cos*a+cos*^+cos*7=i, cos^a'+cos*6'+Ws'>''=i, les équations (a)- donneront

u cos » + p cos C -f" ^ ^^ y = k — g , . j/ cos a' + i^' cos C + w' cosy = A' — ^, ,

i^; cos et + i'^cos^ + w^cos^^

M' N + TTcos^

ir + N cos ^T

tt^ COS a' + u^ cos ff ' + w^ cos y =

av moyen de quoi les équations (^ deviendront 2. 19

390 TRAJT£ m MÉCANIQUE.

M/»* ^ N (M + A^) + N'M coséT, M'fik^=^ N'(M'4- A*) + NM' coscT;

d'où l'on tîre

^ k (W + ^) M^ — yMM>co8 #^ — (M + ^) (M'4- A*) — MM' cos' /'

^, y (M + f*) M> — iHtflir^cos /- ^

~ (M 4- ft) (M'-h /u) — MM'cos'/ ^

valeurs qui devront toujours être des quantités positives. Après qu'on les aura substituées dans les équations {a) j on en déduira immédiatement les valeurs des neuf composantes u^ v^ etc. , des vitesses de G, G^ C, qui auront lieu à la fin du choc, lorsque les trois mobiles seront dénués d'élasticité.

Slls sont, au contraire, parfaitement élastiques , et qu'on désigne, à la fin du choc simultané de ces trois corps , par U , V , W, les composantes de la vitesse de G, par U", V, W, celles de la vitesse de G', par Û^ , V^ , W, , celles de la vitesse C, on aura , par la considération déjà employée dans le n®4^> ^^ neuf équations :

M (m — U) — N cos ot = o , M(i; V) — N cos^ = ô, M(w — W) — N cos> = o, • M\w' — U') — N' cos oc' = o , M'(p'— V) — N'cosf'«; o, M V'— W') — N' cos >' = o , Ncosa4-N'coset' + ju(w, — UJ z=: o,

lScOs€+N'cOSe'+yLt(i;^ \[) — o\

Ncas7 + N'cos3' + ;t(çv, — WJ = o.

En ajoutant chaciA^e d'elles à cel)e qui lui conespomi

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 191

parmi les équations (a) , il vient

M (a — U) — :iN cos a = o ,

M(6 — V) ~ oN cos € = o,

M(c — W) — 2N cos y z=z o,

MV— U') — aN'cos ct'= o, M^b'^T) — :iN'cos €' = o , MYc' — WO — :iN'cos >' = o ,

:iNcos a + 2N'cos a' — /jJJ^ == o , aNcos C -f- aN'cos ^'— ;tV^ = o , 2N cos T' + aN'cos y — AtW^= o ;

et il ne restera plus qu'à substituer dans ces dernières équations les valeurs précédentes de N et N', pour en déduire ensuite immédiatement les valeurs des neuf inconnues U, V, W, U', V, W, U,, V,, W,.

Les vitesses finales des points G , G^^ C , seraient encore les mêmes , si les chocs de M et de M ^ contre fZf an lieu d'être simultanés^ se succédaient à un très petit intervalle de temps ^ de sorte que ces trois points ne se fussent pas sensiblement déplacés pendant ce temps très court. Les durées très courtes des deux chocs, simultanés ou successifs, peuvent aussi être inégales , et l'instant de la plus grande compression n^étre pas le même aux points K et K'.

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