CHAPITRE VIII

ElUSMPLES DU MOUVEMENT D^Ulf COUPS VLEXIBLE.

§ !•*. Vibrations dune, corde Jlexihle.

483. Soit AMB (fig. no ) une corde parfiiitement flexible^ très peu extensiUe, homogène et partout de la même épaisseur , tendue suivant sa longueur par une force équivalente à un poids donné 9 , et attachée par ses deux extrémités à des points fixes A et B. On néglige son poids par rapport à «; et on la regarde, par conséquent, comme rectiligne dans son état d'équilibre. Cela étant, supposons qu'on l'écarté un tant soit peu de cette direction, et qu'on imprime de petites vitesses à tous ses points; cette corde osciUera de part et d'autre de la droite AMB; et il s'agit de déterminer , à un instant quelconque , sa position et les vitesses de ses différens points.

Au bout du temps quelconque t^ supposons que

cette corde forme la courbe AAfB, plane ou à double

ourbure , dans laquelle M' est la position qu'a prise

3 point quelconque M. Soit P la projection de M'

our la droite AMB; faisons

AM = X, AP = X '■{' u;

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. ag3

et repres^toDS par^ et 2 les deux autres cooitlonn oées de M\ perpendiculaires entre elles à Taxe AB^ Les déplacemens des points de la corde étant supposés très petits^ les variables Uj jr^ ^^ seront aussi très petites y et la question consistera à déterminer leurs valeurs en fonctions de x et /.

Appelons ds l'élément différentiel de la courbe AM'B f qui répond au point M', et £ la densité de la corde en ce point , multipliée p&r Taire de la section perpendiculaire à sa longueur en ce même point , de sorte que ids soit Télément de sa masse. Dans Tétat d'équilibre , les élémens de cette masse spnt proportionnels aux longueurs, puisque la corde est homogène et d'une épaisseur constante ; la longueur de l'élément qui répond au point M est cbc; sa masse sera

donc -^^ y en appelant p et /le poids et la longueur

de la corde entière, et g la gravité; et comme la' masse de cet élément ne doit pas changer pendant le mouvement, on aura constamment

Si cet élément ids était sollicité par une force mo« trice donnée, dont les composantes parallèles aux axes des coordonnées fussent représentées par Xed!; , Xêds , Zids , les composantes suivant ces axes , de la force perdue pendant l'instant dt , seraient ,

par conséquent, pour avoir les équations d'équilibre

^94 TRAITÉ DE MËGAlilQUB.

dû ces forces^ qui seront celles du mouvement de la

çqrde^ il faudrait mettre

k la place de X, Y^ Z^ dans les équations (i) du n*" 398 , et y substituer pour éits sa yalenr précédente. Or, les quantités K, Y^ Z, étant niiUes> par hypothèse I il en résulte

, Tdlx + u) p d*u j

''•Tf = ^^'i-. > (0

T étant la tension de Télément ids ^ et en observant que X'i'U est l'abscisse du point M' auquel ces équations répondent. Elles ne sont intégrables que quand on les a réduites à la forme linéaire, par la considération du peu d'étendue des vibrations de la corde.

483. L'élément de la longueur de la corde étant ctx dans l'état d'équilibre et étant devenu ds dans l'état de mouvement , et les tensions qu'il éprouve , dans ces deux états, ayant ^zir et T pour mesures, leur différence T — fisr devra ^ être proportionnelle au rap[>ort de son extension ds — djo à sa longueur primitive da: (n® 288) ; on aura donc

rp q (ds — dx)

T^= rf^— î

DYNAMIQUE, SEœNDE FIHTIE. dgS

q ëtâot un poids constant et donnée ^t dépendra de là matière et de répais^ear de la corde. D'ailleint ^ <m a

d^ tt^ (jtia: ^ duy *^ ify^ ^ da^î

de pins, si non-seulement les points de la courbe AM^B^ mais aussi les directions de ses tangentes, s'écartent peu

de la droite AMB, les quantités j- et ^ seront de

très petites fractions ; en négligeant leurs carrés , il en résultera donc

ds::=:da: + du, T = *w + ç — ; et si l'on n^lige également les prodoits ;r^ 7^ et

T' dg^^^ équations (1) deviendront

où l'on a £siit, pour abréger,

Les variables u^ jr^z, étant séparées dans ces équations (2) , on en conclut que les vibrations de la corde, parallèles aux axes de x^fy z, seront indépendantes entre elles, et coexisteront ensemble, sans s'influencer mutuellement. On Voit, de plus, que les vibrations trdnsPersales seront les mêmes dand le sens des^ et dans le sens des z ; en sorte qu'il suffira de considérer les premières , par e!témple. Quant aux

àgS ! ' iT&iLlTfi DE MÉCAKIQBI^: /^^

pnraftila: pranûèDe deftëqMli6ii8(i) àlkuM^doBidenk dernières I qu'elles saÎTront les mêmes iois que les antres y dtmidtes ne difiereroot qoeiMOila grandeur du coeffident a^, qui surpassera a^ dans le rapport

4i^4* 'li'dqiiatkin aux dtflKrfifnces partielles da aecond

a pour infinie complète

y ïs /(in- a«) H- F (x — a«) ; (5)

■f et F (déngDtnt lëé denx fbndioitt «rlntranes. En. effet, quelle qne aoit une fonction . i(> , on a

d^ (g ± €U) j, ^ Af (« d: «0

d'où Ton conclut

et comme on a aussi

dy d*f(x + ai) d^F{x^ai)

ces valeurs rendent identique l'ëquation donnée. Si le temps t est compte à partir de l'origine d

mouvement, et qu'on regarde a, ou v/— ,comm^

DYNAMIQUE, SSœNDE PARTIE. agj

une quantité positive ^œ + at sera une quantité po-« sitive pendant toute la durée du monvement, et X'^at une quantité négative , ou une quantité positive et moindre que /• Si donc on désigne par ^ une variable positive » il suffira, pour pouvoir faire usage de la formule (3), de connaître les valeurs de fl^ et F(— Ç), depuis Ç=o jusqu'à Ç = oo , et celles de FÇ f depuis ^= o jusqu'à ^ = /. Or , on détermi«r nera, comme on va le voir, ces valeurs de JX et F (± ^) , par la condition de l'immobilité des points A et B pendant tout le mouvement , combinée avea l'état initial de la corde.